初二数学-三角形内角和定理及推论

初二数学七年级第八章三角形内角和定理及推论一、三角形三个内角的关系三角形三个内角的和等于_____.在小学，我们已通过下列三种实验，观察猜想得到。

⑴ 折叠 本册教材P 70图______示意。

（填图序号。

下同）（2）剪拼 本册教材P 70图______示意或本册教材 P 75图______示意。

（3）度量实际上，有可能：折叠时，边缝不易平齐，难以拼成一个平角;剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个角；度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°。

以致于怀疑我们的猜想：三角形的内角的和等于180°。

事实上，它是真命题，并且曾多次运用它求三角形内角的度数。

要判断它的“真“，必须进行 _________。

二、证明三角形的内角的和等于180°1、分析 要想求得三角形的内角的和等于180°，三角形纸片的折叠、剪拼过程给我们这样的提示：把三角形三个分散的角，全部或部分适当地集中起来，利用平角定义或两直线平行，同旁内角互补来证明。

这就需要在原来的图形上，添画一些线，转化为易于证明的情况。

为了证明的需要，在原来的图形上添画的线，叫做__________.为了区别于原图形中的线，辅助线一般画成____线。

由剪、拼角给我们的提示，得到辅助线的添法，如图（1）、（2）、（3）、（4） 所示。

（2） （1） 图（1）：剪掉三个角，拼接在它的一边BC 上，∠B 放在∠CDF 上，∠C 放在∠BDE 上EBC AD图（2）剪掉两个角（∠A 与∠B ），拼接在它的顶点C 处，其中∠A 放在∠1上图（3）剪掉两个角（∠B 与∠C ）,拼接在它的顶点A 处，∠B 放在∠BAD 上（3） （4）图（4）剪掉∠C 放在∠DAC 上。

作辅助线是几何证明常用的方法，在书写几何证明时，首先应该写明辅助线的画法。

上面四个图辅助线的添法，可用下面的几何语言表达：1、作BC 的延长线CD ，在△ABC 的外部，以CA 为一边，CE 为另一边，画∠1=∠A 。

< >2、作BC 的延长线CD ，过C 点作CE ∥AB 。

< >3、过A 点作DE ∥BC 。

< >4、过A 点作射线AD ∥BC 。

< >5、在BC 上任取点D ，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F 。

< > 请在上面五句话后面的< >内填上对应的图号。

2.证明：请你根据图（4）证明“三角形的内角的和等于180°”至此，我们明白，“三角形的内角的和等于180°”是一个真命题，并且，常被选作解决其他问题的依据，所以课本上，把它称之为_______。

三角形内角和定理表达式： △ABC 中∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）根据图（3），证明三角形内角和定理：______________________________________________.三．推论1：直角三角形的两个锐角互余。

表达式∵在Rt △ACB 中，∠C=90°（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。

表达式：∵△ACB 中，∠A +∠B=90°E BC B∴∠C=90°（即△ACB 是直角三角形）推论3：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

表达式：△ACB中，∠ACD=∠A+∠B 推论4：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

表达式：△ACB中，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B结合教材P82内容，解决下列问题：1._____________________________________________________________叫做三角形的外角。

注意：同一顶点处虽然有两个外角，但我们通常指一个。

在上图中，延长CA到点E,得到内角∠BAC相邻的外角∠BAE，再根据推论3、推论4，分别写出它们各自的几何表达式。

推论3的：________________________________________________推论4的：_________________________________________________2证明上面四个推论：推论1：_____________________________________________________推论2：______________________________________________________推论3：______________________________________________________推论4：______________________________________________________四三角形内角和定理及其推论的应用1.三角形内角和定理及推论的作用1）在三角形中，利用三角形内角和定理，已知两角求第三角或已知各角之间的关系求各角。

2）在直角三角形中，已知一个锐角利用推论1求另一个锐角或已知两个锐角的关系，求这两个锐角。

另外，推论1常与同角（等角）的余角相等结合来证角相等。

3）利用推论4证三角形中角的不等关系。

2.阅读例题例1.已知：如图02-13△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线AD、BE交于点O，求：∠AOB的度数。

另解：同上可得到∠1+∠2=45°∴∠3=∠1+∠2=45°（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）∵∠AOB+∠3=180°（平角定义）∴∠AOB=180°-∠3=180°-45°=135°∴∠AOB=135°例2．AB与CD相交于点O，求证：∠A+∠C=∠B+∠D思路分析：在△AOC中，∠A+∠C+∠AOC=180°（三角形内角定理）在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°（三角形内角和定理）∴∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD（等量代换）∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等）, ∴∠A+∠C=∠B+∠D 这道几何题是一对对顶三角形组成的几何图形．因为我们发现了两个三角形，所以便联想到三角形内角和定理，探索思路，使问题解决了．可是这道题的应用价值很值得开发，它是一类几何题打开思路的“桥梁”，借助它可顺利到达“彼岸”，请看实例．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．揭示思路：从图形中观察出现对顶三角形，此时便使我们设法把5个分散的角转化在一个图形中，在这种想法趋使下，使我们想到对顶三角形这“桥梁”．结合图形，连CD，立即可发现，∠B+∠E=∠1+∠2∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ACD+∠ADC=180°（三角形内角和定理）3.教材p83例5可归纳出一个定理：__________________________.。

五．专题检测㈠填空1、直角三角形的两个锐角相等，则每一个锐角等于______度。

2、△ABC中，∠A=∠B+∠C，这个三角形是三角形。

3、国旗上的五角星中，五个锐角的和等于度。

4、三角形的三个内角中最多有个锐角，最多有个直角，个钝角。

5、一个三角形的最大内角不能超过度，最小内角不能大于度。

6、已知三角形的一个外角是88°，按角分，这个三角形是（）7、已知△ABC，①若∠A=50°∠B=60°, 则∠C=___。

②若∠A=50°∠B = ∠C , 则∠C =______.③若∠A=50°，∠B-∠C=10°，则∠B =____④若∠A+∠B=130°，∠A-∠C=25°，则∠A =____，∠B =____，∠C=____。

⑤已知：∠C=2∠B，∠B比∠A大20°，∠A=__,∠B=__,∠C=__。

9、在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大30°，求∠C的外角。

9、△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角等于_________10、△ABC中，∠B=∠C=50°，AD平分∠BAC，则∠BAD=_______.㈡选择11、已知，在△ABC中与最大的内角相邻的外角是120°，则这个三角形是()A、等边三角形B、等腰三角形C、不等边三角形D、等腰直角三角形12、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠B=（）A、30°B、60°C、90°D、120°13、一个三角形有一内角大于其相邻的外角，这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、斜三角形㈢解答14、在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B大30°，求∠C的外角。

15、等腰三角形ABC一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分.求这个等腰三角形的腰长及底边长。

㈣证明16、如图，∠A+10°=∠ACB, ∠B=42°,∠ACD=64°.求证：AB∥CD.CB。