高等数学：1.2 参数方程的导数及相关变化率问题
参数方程的导数及相关变化率问题
x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
dt
dt
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。
本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。
一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。
形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。
导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。
二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。
2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。
3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。
三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。
当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。
函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。
平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。
瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。
四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。
以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。
在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。
导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。
五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
参数方程的导数与速度加速度
参数方程的导数与速度加速度参数方程是一种常用的表示曲线的方式，它通过使用参数来描述曲线上的点的位置。
在研究曲线的运动和变化时，我们常常需要了解曲线上各点的速度和加速度。
本文将探讨参数方程的导数与速度、加速度之间的关系。
一、参数方程简介参数方程是将曲线上的点的坐标表示为参数的函数形式。
一般来说，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示点的坐标，t是参数。
通过改变参数t的取值，可以得到曲线上的不同点的坐标。
二、参数方程的导数导数是描述函数变化率的重要概念，它表示函数在某一点处的斜率。
对于参数方程而言，我们可以通过对自变量t求导来得到曲线上各点的导数。
以参数方程x = f(t)，y = g(t)为例，我们可以分别对x和y关于t求导，得到它们的导数：dx/dt = f'(t)dy/dt = g'(t)其中，f'(t)和g'(t)分别表示函数f(t)和g(t)的导数。
这样，我们就可以通过导数来描述参数方程曲线上各点的斜率。
三、参数方程的速度在物理学中，速度是描述物体运动状态的重要概念。
对于参数方程所表示的曲线，我们可以通过求导数的模长来得到曲线上各点的速度。
速度的定义是：v = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)其中，dx/dt和dy/dt分别表示x和y的导数。
通过计算导数的平方和再开平方根，可以得到曲线上各点的速度大小。
四、参数方程的加速度加速度是描述速度变化率的重要概念，它表示速度的变化量与时间的比值。
对于参数方程所表示的曲线，我们可以通过对速度关于t求导来得到曲线上各点的加速度。
加速度的定义是：a = sqrt((d^2 x/dt^2)^2 + (d^2 y/dt^2)^2)其中，d^2 x/dt^2和d^2 y/dt^2分别表示x和y关于t的二阶导数。
通过计算二阶导数的平方和再开平方根，可以得到曲线上各点的加速度大小。
导数的参数方程与隐函数的综合问题解析
导数的参数方程与隐函数的综合问题解析在微积分的学习过程中，导数是一个重要的概念。
导数可以用来描述数学函数的变化率，并在各种问题的解析中发挥着关键作用。
本文将围绕导数的参数方程和隐函数的综合问题展开讨论和解析。
一、导数的参数方程1.1 参数方程的概念参数方程是一种表示几何图形或者函数的方程表示形式。
在参数方程中，自变量通常用参数表示，通过参数的取值范围来表达函数的变化。
常见的参数方程表示为：x=f(t)，y=g(t)。
1.2 导数的参数方程求解方法对于参数方程导数的求解，可以利用链式法则来进行计算。
具体步骤如下：（1）对参数方程中的每个函数进行求导，得到关于自变量的导数；（2）利用链式法则求出关于参数的导数；（3）根据关系式dy/dx=dy/dt / dx/dt，计算出导数dy/dx。
1.3 导数的参数方程应用场景导数的参数方程可以应用于描述物体在弯曲运动中的速度和加速度变化，同时也可以用于描述极坐标系下的曲线方程等。
二、隐函数的导数问题2.1 隐函数的概念隐函数是一种以方程形态给出的函数，其中自变量和因变量之间的关系通过方程来隐含地表示。
在一些问题中，可以通过对隐函数求导来探索其性质和特征。
2.2 隐函数的导数求解方法求解隐函数的导数时，可以利用全导数或者偏导数的方法来进行计算。
具体步骤如下：（1）对隐函数的方程两边同时求导；（2）将求导结果中的隐含导数表示为已知导数和其他变量的函数；（3）根据求导结果来计算隐函数的导数。
2.3 隐函数的导数应用场景隐函数的导数可以应用于描述曲线的某一点的切线斜率，用于求解极值、最值等问题，还可以在物理学建模和经济学分析等领域中发挥重要作用。
三、参数方程与隐函数的综合问题解析3.1 参数方程与隐函数的关系参数方程与隐函数是微积分中的两个重要概念，它们是相互关联的。
参数方程可以通过对隐函数进行参数化来表示，而隐函数可以通过参数方程去求解其性质和特征。
3.2 参数方程与隐函数综合问题的解析方法在解析参数方程与隐函数综合问题时，可以利用以下方法进行求解：（1）将参数方程代入隐函数中，得到隐函数的表达形式；（2）利用隐函数的导数性质来求解问题，如切线斜率、曲线性质等；（3）通过参数方程和隐函数的相互关系，进一步求解相关问题。
高等数学c2教材答案
高等数学c2教材答案1. 导数与微分1.1 单变量函数的导数对于单变量函数f(x)，导数可以通过求取极限来定义。
导数表示了函数在某一点上的变化率或者斜率。
计算导数需要使用导数的基本运算法则，如常数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则、三角函数规则等等。
1.2 导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，如极值问题、曲线的切线与法线、函数的凸凹性判断等等。
通过求取导数，我们可以找到函数的最大值和最小值，并确定函数在不同区间的增减性。
1.3 隐函数与参数方程的导数对于隐函数或者参数方程，我们也可以通过对变量进行求导来计算其导数。
在求取隐函数的导数时，需要使用隐函数求导法则。
在求取参数方程的导数时，需要使用参数方程求导法则。
2. 定积分2.1 定积分的概念与性质定积分用于求解曲线下的面积或者求解某个区间内的加权平均值。
定积分的计算需要使用定积分的性质和基本的计算方法，如分部积分法、换元积分法等。
2.2 定积分的应用定积分在实际问题中有着广泛的应用，如求解空间曲线的长度、质量、重心等问题。
通过求取定积分，我们可以计算出函数曲线下的面积或者求解某个区间内的平均值。
2.3 定积分的计算定积分的计算需要掌握各种不同类型的定积分计算方法，如分部积分、换元积分、三角换元、特殊公式等。
同时还需要了解定积分的一些常见技巧，如利用几何意义、利用对称性等。
3. 常微分方程3.1 常微分方程的基本概念常微分方程是描述自变量和它的导数之间关系的方程。
常微分方程的阶数、线性与非线性、齐次与非齐次等概念需要了解。
常微分方程可以分为一阶和二阶两种情况，需要使用初值条件或边界条件来求解。
3.2 一阶常微分方程的解法一阶常微分方程的解法包括可分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
通过将方程进行变形，可以得到一阶常微分方程的标准形式，使得求解变得更加简洁明了。
3.3 二阶常微分方程的解法二阶常微分方程的解法需要使用特征方程法、常数变易法、欧拉方程法等。
高数一二章知识点
高数一二章知识点高等数学是大学数学的一门重要课程，主要包括高等微积分和高等代数两个部分。
其中的第一章和第二章是基础，也是整个课程的核心知识点。
下面我将从微积分和代数两个方面详细介绍高数第一章和第二章的知识点。
高数第一章主要内容是函数与极限，主要包括函数的概念、函数的运算、函数图像与性质、初等函数、复合函数、反函数等知识点，以及极限与连续的概念与性质、无穷小量与无穷大量的性质与运算、极限的四则运算与求极限的方法等知识点。
函数是自然界和社会现象中一种常见的数学模型，通过输入一个或多个自变量，输出相应的函数值。
函数的基本概念有定义域、值域、图像、奇偶性、周期性等。
常见的初等函数有幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
函数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
复合函数是多个函数合成的结果，反函数是函数的逆运算。
极限是微积分的基本概念之一，它描述了函数在其中一点或在无穷远处的趋势或性质。
极限分为单侧极限和双侧极限，具体计算方法有代入法、夹逼准则、无穷小量和无穷大量的运算等。
极限的运算规则包括四则运算、函数运算和复合函数的极限。
连续是函数与极限的一个重要性质，函数在其中一点连续的条件是函数值、左右极限和函数值相等。
连续性的定理有介值定理、零点定理、局部性原理等。
无穷小量是数量无限接近于零的量，无穷大量是数量无限接近于无穷大的量，它们具有一些特定的性质和运算规则，如无穷小量的四则运算、无穷小量与有界量的运算等。
高数第二章主要内容是微分学，主要包括导数与微分的概念与性质、常用函数的导数、隐函数与参数方程的导数、高阶导数与导数的应用等知识点。
导数是函数在其中一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
导数的计算方法有基本导数公式、常用导数公式和导数运算法则。
常用函数的导数包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
隐函数是由一个或多个变量的方程表示的函数，其导数通过隐函数微分公式计算。
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dt
12
1.2 导数的计算
于是方程两边 s2(t) x2(t) (16 y(t))2 对 t 求导得：
2s ds 2x dx 2(16 y) dy ,
dt
dt
dt
∵当 t 1时， x 6， y 8 ，
∴ s 62 (16 8)2 10 ，
∴ ds dt
t 1
36 64 10
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度
dx 50 ，求 时的 d 。
dt
3
dt
10
1.2 导数的计算
x 500cot , dx 500( csc2 ) d ,
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
14 (km / h) ， 5
负号表示甲乙两船的距离在减少。
13
1.2 导数的计算
作业
习 题 2.1（P88）
27(2)；29；41.
14
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
Hale Waihona Puke dtdt4 的点处的切线方程。
x2y a 0 2
4
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
dy
1
解
： dy dx
dt dx
dt
1t2
1
1
2t t
2
(1
1 t
)2
。
dx
dx dt
1
1
2t t
2
(1 t)2 。
dy dy
1
dt 1 t 2
y
( )sin
a sin 3
sin
dy
dy dx
d
dx
a(3cos 3 sin sin 3 cos ) , a(3cos 3 cos sin 3 sin )
d
k
dy dx
4
1 ，切点 M ( a , a ) ，
2
22
∴切线方程为
y
a 2
1 2
(x
a )
2
，即
x
2y
a 2
0。
7
1.2 导数的计算
6. 相关变化率问题 相关变化率问题 是指：在某一变化过程中变量
x, y,，它们都与变量 t 有关，且它们之间有关系式 F( x, y,) 0 ，知道了其中一些变量对 t 的变化率， 要求另外一些变量对 t 的变化率。
8
1.2 导数的计算
求相关变化率的步骤 ：
（1）建立变量 x, y,之间的关系式 F( x, y,) 0 ；
x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
5
1.2 导数的计算
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
dy 解： dy dt a sin t sin t ，
dx dx a(1 cos t) 1 cos t
dt
当 t 时，摆线上相应的点为 M (a( 1), a) ，
2
2
摆线在点 M 处的切线斜率为 k
dy dx
t 2
1，
故切线方程为 y a x a( 1) ，即 x y a(2 ) 0 。
2
2
6
1.2 导数的计算
例 3．求三叶玫瑰线 a sin 3
(a 为正常数) 在对应
4
的点处的切线方程。
解：利用直角坐标与极坐标间的关系，将所给极坐标方程
化为参数方程：
a
x ( )cos a sin 3 cos
2
1.2 导数的计算
定理
设有参数方程
x y
f
(t) (t)
, t I ，如果函数 x
(t) ，
y f (t) 在区间 I 上均可导且(t) 0 ， 又 x (t) 存在
dy 反函数 t 1( x) ，则 dy dt f (t) 。
dx dx (t)
dt
注意：参数式函数的导数仍是一个用参数方程表示的函数
（2）将关系式 F( x, y,) 0 两边对 t 求导（注意到 x, y, 都是 t 的函数），从而得各变量对 t 的变 化率之间的关系式；
（3）将已知的变化率（包括一些已知数据）代入并 求出所要求的变化率。
9
1.2 导数的计算
例 1．一架直升飞机在 500m 高空，以 50 m / s 的均
dt
dt
d 1 sin2 dx ,
dt 500
dt
当 时， sin 3 ， dx 50m / s ，代入上式得
3
2 dt
d
dt
3
0.075 .
负号表示 随时间 t 增加而减少。
11
1.2 导数的计算
例 2．在中午 12 点，甲船以 6 km / h 的速度向东行驶，乙船 在甲船之北16km 处以 8 km / h的速率向南行驶，求下午 1 点 两船相离的速率。