中考数学一轮复习二次函数1

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中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题(含答案)

中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．二次函数223y x x =-+的一次项系数是（） A ．1B ．2C ．2-D ．32．抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（） A ．(9,3)-B ．(9,3)--C ．(9,3)D ．(9,3)-3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ．那么水位下降1m 时，水面的宽度为（）A 6mB ．26mC ．)64mD ．()264m4．二次函数()225y x =+-的图象的顶点坐标是（） A ．2,5B ．()2,5C ．()2,5--D ．()2,5-5．在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(2)(4)y y y -，，，，，在抛物线22y ax ax c =-+上，当0a >时，下列说法一定正确的是( ) A ．若120y y <，则30y > B ．若230y y >，则10y < C ．若130y y <，则20y >D ．若1230y y y =，则20y =6．抛物线221y x x =-+的顶点坐标是（） A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(1，2)D ．(－1，2)7．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（） A ．()2323y x =++B ．()2323y x =-+C ．()2332y x =++D ．()2332y x =-+8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A 的坐标为16(0)9，，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m9．关于抛物线2(1)y x =-，下列说法错误的是( ) A ．开口向上B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．对称轴是直线1x =D ．顶点()1,010．一次函数y x a =+与二次函数2y ax a =-在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD 为14的奖杯，杯体轴截面ABC 是抛物线2459y x =+的一部分，则杯口的口径AC 为（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．下表中列出的是一个二次函致的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是（） x … 2- 0 1 3 …y … 6- 4 6 4 …A ．函数的图象开口向上B ．函数的图象与x 轴无交点C ．函数的最大值大于6D ．当12x -≤≤时，对应函数y 的取值范围是36y ≤≤二、填空题13．已知函数221y mx mx =++在32x -上有最大值4，则常数m 的值为 __.14．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当0y ＞时，自变量x 的取值范围是 _____．15．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____．16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面上升1.5m ，则水面宽度为________．17．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是___________米．18．在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的图象如图所示，已知A 点坐标()1,1，过点A 作1AA x ∥轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∥交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∥轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∥交抛物线于点4A ，…，依次进行下去，则点2022A 的坐标为______．19．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面下降0.5m ，那么水面宽度增加________m ．20．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB 间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF 的长为0.28米，则拱高OC 为_____米三、解答题21．已知关于x 的方程2(23)0mx m x m +-+=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．22．已知关于x 的一元二次方程x 2+x −m =0．(1)设方程的两根分别是x 1，x 2，若满足x 1+x 2=x 1•x 2，求m 的值． (2)二次函数y =x 2+x −m 的部分图象如图所示，求m 的值．23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。

二次函数-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

A.x1=1,x2=-1
B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0
D.x1=1,x2=3
(2)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象则不等式的ax2+bx+c＜0解集是( C )
A.x＜-1 B.x＞3 C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3 y
-1 O 3 x
课堂小结
二次函数
知识梳理
强化训练
二次函数图象与性质
查漏补缺
5.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_x_=_-_1___. 6.若抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c=_-_1____.
7.若抛物线y=x2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是_k_＜__4__.
8.若抛物线yy==xk2x-22-x6+xm+-34与x轴有交点,则m的取值范围是_k_m≤_≤_3_5且__k_≠__0__. 9.若抛物线y=x2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为__0_或__1_.
1.下列关于抛物线的y=ax2-2ax-3a(a≠0)性质中不一定成立的是( C )
A.该图象的顶点为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)；
C.当x＞1时,y随x的增大而增大；D.若该图象经过(-2,5),一定经过(4,5).
2.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),
当堂训练
二次函数的基本性质
查漏补缺
1.抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( B )
A.m＞1
B.m＞0

数学中考一轮复习专题16二次函数的应用课件

知识点2 ：二次函数的实际应用
典型例题
【考点】二次函数的应用；分式方程的应用
【分析】（ 1 ）设猪肉粽每盒进价 a 元，则豆沙粽每盒进价 (a-10) 元，根据商家用
8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
x 1
y
3Байду номын сангаас
（不合题意的值已舍去），
即点B的坐标为（-1，3），
从图象看，不等式x2+mx＞-x+b的解集为x＜-1或x＞2；
知识点1 ：二次函数与方程、不等式的关系
典型例题
（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， ∵MN的距离为3，而AB的距离为3，故此时只有一个交点，即-1≤xM＜2；当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点A的右侧时，当xM =3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，-1），即xM =3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，综上，-1≤xM＜2或xM =3．
知识点1 ：二次函数与方程、不等式的关系
典型例题
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4+2m，解得：m=-2，将点A的坐标代入直线表达式得：0=-2+b，解得b =2；故m=-2，b =2；
（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y=-x+2，y=x2-2x，
联立上述两个函数表达式并解得：
知识点1 ：二次函数与方程、不等式的关系
知识点梳理
知识点1 ：二次函数与方程、不等式的关系
知识点梳理
2. 二次函数与不等式的关系:
（1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；（2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围．

数学中考一轮复习专题15二次函数的图象及其性质课件

知识点1：二次函数的概念
典型例题
【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）
A. y=3x-1
B. y=ax2+bx+c
C. s=2t2-2t+1
D. y x2 1 x
【考点】二次函数的定义.
【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．
A. y=3x-1是一次函数；B. y=ax2+bx+c不一定是几次函数；
C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. y x2 1 不符合二次函数定义． x
故答案为：C．
典型例题
知识点1：二次函数的概念
【例2】（4分）（202X·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的情势为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1．【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的情势即可．【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
典型例题
知识点2：二次函数的图象和性质
【例5】（3分）（202X•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经
过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b），可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
知识点梳理
知识点1：二次函数的概念

2024年中考第一轮复习二次函数的图象与性质课件

∵顶点坐标为(m,-m+1),且顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴

-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与

x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代

中考数学复习课件：第1轮第3章第12讲二次函数

(1)求该二次函数的表达式；解：由题意可设抛物线解析式为 y＝a(x－4)2－3(a≠0)，把A(1，0)代入，可得0＝a(1－4)2－3，解得a＝ 31，故该二次函数解析式为y＝31(x－4)2－3；
(2)求 tan ∠ABC．
解：令x＝0，则y＝13(0－4)2－3＝37，则OC＝73. ∵二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，A(1， 0)，则点B与点A关于直线x＝4对称，可得B(7，0)，
②当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB ＝PQ，
当P点在Q点右边时，则P(4，n)，把P(4，n)代入y＝－12x2＋x＋32，可得n＝－52，则P4，－52；
③当AB为平行四边形的对角线时，如图2所
示，AB与PQ交于点E，则E(1，0)，
∵PE＝QE，∴P(2，－n)，
把P(2，－n)代入y＝－12x2＋x＋32，
3.已知函数 y＝－3x2－6x＋1，此抛物线的开口向 ___下___，对称轴为直线__x_＝__－__1___，顶点坐标为 __(_－__1_，__4_)_；当 x＝__－__1__时，抛物线有最__大____ 值，最值为___4_____；当 x__<_－__1___时，y 随 x 的增大而增大；当 x__>__－__1__时，y 随 x 的增大而减小.
第一轮考点突破
第三章函数
第12讲二次函数
1.(2020·哈尔滨)抛物线 y＝3(x－1)2＋8 的顶点坐标为_(_1_，__8_)__．
2．(2020·上海)如果将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，那么所得新抛物线的表达式是_y_＝__x_2＋__3_．
3．(2020·淮安)二次函数 y＝－x2－2x＋3 的图象的顶点坐标为_(－__1_，__4_)_．

2023年中考数学一轮复习考点过关：二次函数最值问题

2023年中考数学一轮复习考点过关二次函数最值问题1. 已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2. 已知点A (2，－3)是二次函数2(21)2y x m x m =+--图象上的点．(1)求二次函数图象的顶点坐标：(2)当14x -≤≤时，求函数的最大值与最小值的差：(3)当3t x t +≤≤时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t 的值．3. 如图，某学校要建一个中间有两道篱笆隔断的长方形花圃，花圃的一边靠墙（墙的最大可利用长度为10m ），现有篱笆长24m ．设花圃的宽AB 为x m ，面积为2m S ．(1)如果要围成面积为232m 的花圃，AB 长是多少米？(2)能围成面积比232m 更大的花园吗？如果能，请求出花圃的最大面积，并给出设计方案．如果不能，请说明理由．4. 金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该有机大米成本为每千克 14 元，销售价格不低于成本，且不超过 25 元/千克，根据各销售渠道的反馈，发现该有机大米一天的销售量 y （千克）是该天的售价x （元/千克）的一次函数，部分情况如表：售价 x （元/千克） 14 16 18 …销售量 y （千克） 800700 600 …(1)求一天的销售量 y （千克）与售价 x （元/千克）之间的函数关系式并写出 x 的取值范围．(2)若某天销售这种大米获利 2400 元，那么这天该大米的售价为多少？(3)该有机大米售价定为多少时，当天获利 w 最大？最大利润为多少？5. 如图1，抛物线2134y x bx =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为()6,0，点D 为线段OB 上一点，点E 为抛物线上一动点．(1)求b 的值；(2)点D 坐标为（3，0），点E 在第一象限的抛物线上，设ECD 的面积为S ，求S 的最大值；(3)如图2，点D 坐标为（4，0），是否存在点E ，使12ABE ODC ∠=∠，若存在，请求出点E 坐标，若不存在，说明理由．6. 如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，()4,5C -两点，且与直线DC 交于另一点E ．(1)求抛物线的解析式：(2)P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q ，连接EQ ，AP ．试求EQ PQ AP ++的最小值；(3)N 为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E ，A 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1G ：2y x bx c =++的对称轴为2x =．(1)求b 的值；(2)若当14x <<时，抛物线1G 与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围；(3)将抛物线1G 向左平移()0m m >个单位长度得到抛物线2G ，抛物线2G 的顶点在直线21y x =-上，求抛物线2G 与y 轴交点的纵坐标的最小值．8. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax bx a a =++-≠的对称轴是直线1x =．（1）求抛物线24(0)y ax bx a a =++-≠的顶点坐标；（2）当23x -≤≤时，y 的最大值是5，求a 的值；（3）在（2）的条件下，当1t x t ≤≤+时，y 的最大值是m ，最小值是n ，且3m n -=，求t 的值．9. 党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点(),P m n 的坐标满足2n m =，则称点P 为“高质量发展点”．(1)若点(),4P m 是反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式； (2)若函数23y x p =+-（p 为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p 的取值范围；(3)若二次函数()212y ax b x =+-+（a ，b 是常数，1a >）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令()281w b a =---，当1t b t -≤≤时，w 有最大值t -，求t 的值．10. 已知y 关于x 的二次函数2224y x mx m =-++，点P 为抛物线顶点．(1)若抛物线与y 轴的交点坐标为点()0,2，求该二次函数的表达式；(2)当P 点的纵坐标取最大值时，m = ，此时P 点坐标为；(3)在（2）的条件下，当3n x n -≤≤，函数有最小值9，求n 的值．11. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点A ，点B ，（点A 在点B 的左侧），点D 是抛物线上一点．(1)若32c =，12,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，用含a 的式子表示b ； (2)若12a =，2c =-，()5,3D ，ABD △的外接圆为E ，求点E 的坐标和弧AB 的长； (3)在（1）的条件下，若2AB 有最小值，求此时的抛物线解折式12. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y ≤M ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y ＝﹣（x ﹣3）2＋2是有上界函数，其上确界是2(1)函数①y ＝x 2＋2x ＋1和②y ＝2x ﹣3（x ≤2）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；(2)如果函数y ＝﹣x ＋2（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过2a ＋1，求a 的取值范围；(3)如果函数y ＝x 2﹣2ax ＋2（1≤x ≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a 的值．13. 已知二次函数2(2)4y x m x m =+-+-，其中m>2．(1)当该函数的图像经过原点()0,0O ，求此时函数图像的顶点A 的坐标；(2)求证：二次函数2(2)4y x m x m =+-+-的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线2y x =--上运动，平移后所得函数的图像与y 轴的负半轴的交点为B ，求AOB 面积的最大值．14. 如图，抛物线2y ax 2x c =++．与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于(03)C ，，直线=1y x --经过点A 且与抛物线交于另一点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 是位于直线AD 上方的抛物线上的一个动点，连接PA ，PD ，求PAD 的面积的最大值；(3)在第（2）问的条件下，求点P 到直线AD 的最大值．15. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y 32x 233x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求直线BC 的解析式；（2）如图2，点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB 、PC ．当PBC 的面积最大时，在线段BC 上找一点E (不与B 、C 重合)，使PE +12BE 的值最小，求点P 的坐标和PE +12BE 的最小值；（3）如图3，点G 是线段CB 的中点，将抛物线y 32x 233x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y ′经过点D ，y '的顶点为F ．在抛物线y '的对称轴上，是否存在一点Q ，使得FGQ 为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1. 【答案】（1）抛物线解析式为y =﹣12x 2+2x +6；（2）当t =3时，P (3,152),△PAB 的面积有最大值；（3）点P （4，6）．【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM ，先求出直线AB 解析式为y =﹣x +6，设P （t ，﹣12t 2+2t +6），则N （t ，﹣t +6），由S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN •AG +12PN •BM =12PN •OB 列出关于t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH ⊥OB 知DH ∥AO ，据此由OA =OB =6得∠BDH =∠BAO =45°，结合∠DPE =90°知若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP =45°，从而得出点E 与点A 重合，求出y =6时x 的值即可得出答案．【详解】解：（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y =a （x ﹣6）（x +2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a =6，解得：a =﹣12，所以抛物线解析式为y =﹣12（x ﹣6）（x +2）=﹣12x 2+2x +6；（2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y =kx +b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y =﹣x +6，设P （t ，﹣12t 2+2t +6）其中0＜t ＜6，则N （t ，﹣t +6），∴PN =PM ﹣MN =﹣12t 2+2t +6﹣（﹣t +6）=﹣12t 2+2t +6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ，∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN •AG +12PN •BM =12PN •（AG +BM ） =12PN •OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6=﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t =3时，P (3,152),△PAB 的面积有最大值；（3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE =PD ，点P （m ，-12m 2+2m +6），函数的对称轴为：x =2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE =|2m -4|，即-12m 2+2m +6+m -6=|2m -4|，解得：m =4或-2或1717-2和17故点P 的坐标为：（4，6）或（1717）．2. 【答案】(1)(3，－4)(2)当－1≤x ≤4时，函数的最大值与最小值的差为16(3)t ＝1或2【详解】（1）解：∵已知A (2，-3)是二次函数()2212y x m x m =+--图象上的点 ∴44223m m +--=- 解得52m =- ∴此二次函数的解析式为：2265(3)4y x x x =-+=--∴顶点坐标为（3，－4）；（2）∵顶点坐标为（3，－4），∴当x ＝3时，y 最小值＝－4，当x ＝－1时，y 最大值＝12∴当－1≤x ≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；（3）当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而减小，当x ＝t 时，y 最大值＝t 2-6t +5当x ＝t +3时，y 最小值＝（t +3）2-6（t +3）+5＝t 2-4，t 2-6t +5-（t 2-4）=4﹣t 2+4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝﹣6t +9=4，解得56t =（不合题意，舍去）， ②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴y 最小值＝－4，i ）当0≤t ≤32时，在x ＝t 时，y 最大值＝t 2-6t +5， ∴t 2-6t +5－（－4）=4，解得t 1＝1，t 2＝5（不合题意，舍去）；ii ）当32＜t ＜3时，在x ＝t +3时，y 最大值＝t 2－4， ∴t 2－4－（－4）=4，∴解得t 1＝2，t 2＝－2（不合题意，舍去），③当t >3时，y 随着x 的增大而增大，当x ＝t 时，y 最小值=t 2-6t +5，当x ＝t +3时，y 最大值＝t 2-4，∴t 2-4-（t 2-6t +5）=4解得136t =（不合题意，舍去），综上所述，t ＝1或2．3. 【答案】(1)4(2)能，最大面积是235m ，此时花圃的长为10米，宽为3.5米【分析】（1）由S AB BC =⨯，然后求出方程242432x x -+=的解即可；（2）把解析式化成顶点式，求出顶点的坐标即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意，设花圃的宽AB 为x m ，面积为2m S ．∴2(244)424S AB BC x x x x =⨯=⨯-=-+，∴242432x x -+=解得：12x =，24x =；∵024410x <-≤， ∴762x ≤<， ∴4x =；∴AB 长是4m ；（2）解：∵224244(3)36S x x x =-+=--+，又∵762x ≤<，当72x =时，274(3)3635322S =--+=>， ∴能围成面积比232m 更大的花圃，最大面积为235m ，方案：∵7244102-⨯=， ∴花圃的长为10m ，宽为3.5m ，花圃的面积最大．4. 【答案】(1)5501504201yx x (2)18元(3)当22x =时，w 有最大值3200元．【详解】（1）解：设一天的销售量y （千克）与售价x （元/千克）之间的函数关系式为1425y kx b x由题意得：1480016700k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：501500k b =-⎧⎨=⎩所以一天的销售量y （千克）与售价x （元/千克）之间的函数关系式为5501504201y x x ．（2）解：设这天该大米的售价为x 元由题意可得： 145015002400x x解得18x =或26x =（舍）．∴这天该大米的售价为18元．（3）解：由题意可得：有机大米一天的获利w （元）与该天的售价x （元/千克）的函数关系式为：21450150050223200wx x x ∴当25x 时，y 随x 的增大而增大．∴当22x =时，w 有最大值3200元．5. 【答案】(1)1b =．(2)S 的最大值为6．(3)存在这样的点E ，E 点坐标为：()222-，和(1028)39--，．【分析】（1）题目中给出了点B 的坐标，代入解析式中，即可求出b 的值；（2）题中要求CDE 三角形的最大值，可以设E 点的横坐标为m ，用含m 的式子表示出纵坐标，连接OE ，过E 分别作x 轴、y 轴的垂线EP 、EQ ，ECD OCD COE ODE OCD OCED S S S S S S ΛΛΛΛΛ=-=+-四边形，用含m 的式子表示CDE S Λ，然后求出这个式子的最大值，即可得到对应m 的值，进而求出S 的值．（3）先假设存在这样的点E ，作ODC ∠的角平分线交y 轴于点F ，过B 作BE ∥DF ，交抛物线于点E ，点E 就是要求的点．这时ODF BMC ΛΛ∽，46OF OD OC OB ==，如果知道OF 的长度，就可以求出OE 的长度，即可得到E 点的纵坐标，然后代入解析式，即可求出横坐标．根据题目条件，知道OC 、OD 的长，作FH CD ⊥与H ，OF FH =，利用面积可以求出FH 的长度，进而求出OF 的长度；根据46OF OD OE OB ==，知道OD OB OF 、、的长度，即可求出OE 的长度，进而求出E 点横坐标，从而求解．注意当E 点在x 轴下方时，也可以用同样的方法求出E 点的坐标．【详解】（1）解：将()60B ，代入解析式可得： 2166304b -⨯++=，解得1b =．（2）连接OE ，过E 分别作x 轴、y 轴的垂线EP 、EQ ，设点E 坐标2134m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则：QE m =，2134PE m m =-++ ECD OCD COE ODE OCD OCDE S S S S S S ΛΛΛΛΛ=-=+-四边形21111333332242m m m ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 化简得：()223334688S m m m =-+=--+当4m =时，S 取最大值，最大值为6．（3）假设存在这样的点E ，作ODC ∠的角平分线交y 轴于点F ，过B 作BE DF ，交抛物线于点E ，点E 就是要求的点．作EM x ⊥轴于点M ，作FH CD ⊥于H ，当点E 在第二象限时，设OF a =，∵FH CD ⊥，FO OD ⊥，FD 为角平分线，∴OF HF a ==在Rt ODC ∆中，2222345CD OC OD +=+ODC ODF CDF S S S ΛΛΛ=+1114345222a a ⨯⨯=⨯+⨯ 5262a a += 43a = ∴43OF =∵ODF MBE ∠=∠，FOD COB ∠=∠∴~ODF OBE ΛΛ46OF OD OE OB == ∵43OF =， ∴2OE =21324x x -++= 解得：222x =±由于E 点在第二象限，所以222x =-∴()222E -，当点E 在第四象限时，有~ODF NBE ΛΛ，OF OD NE NB= 此时E 点横坐标为x ，ON x =-，则6NB x =-，22113344NE x x x x =-++=-- 有24431634x x x =---，化简得238600x x --= 解得1103x =-，26x =，由于E 在第三象限，所以103x =-， 2110102834339⎛⎫-⨯--+=- ⎪⎝⎭ 此时E 点坐标为(1028)39--， ∴存在E 点，E 点坐标为()222-，和(1028)39--，． 6. 【答案】(1)223y x x =-++ 411 (3)存在，()1,3-，(22，(1,22，(1,517-，(1,517-【分析】（1）求出A 点坐标，把A 、C 坐标代入解析式计算即可；（2）连接OC ，交对称1x =于点Q ，证明四边形AOQP 是平行四边形，即可说明若使的EQ PQ AP ++值为最小，其EQ OQ +为量小，最小值为线段OC 长；（3）由于N 是任意一点，要使得以点M ，N ，E ，A 为顶点的四边形是菱形只要说明△AME 是等腰三角形即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，()4,5C -，∴5AD AB ==，()4,0B ，∴1OA =，∴()1,0A -，将点A ，C 坐标代入2y x bx c =-++得：164510b c b c -++=-⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）连接OC ，交对称1x =于点Q∵PQ y ⊥轴，∴AO PQ ∥，∵1AO PQ ==，∴四边形AOQP 是平行四边形，∴AP OQ =，∴1EQ PQ AP EQ OQ ++=++若使的EQ PQ AP ++值为最小，其EQ OQ +为量小．∵E ，C 关于对称轴1x =对称，∴EQ CQ =，∴EQ OQ CQ OQ +=+，此时EQ OQ +的值最小，最小值为线段OC 长．∵()4,5C -， ∴224541OC +=∴EQ PQ AP ++411，即EQ PQ AP ++411．（3）设(1,)M m∵E ，C 关于对称轴1x =对称，()4,5C -，∴()2,5E --，∵()1,0A -∴222(12)(50)26AE =-++--=2222(11)(0)4AM m m =--+-=+2222(21)(5)1034EM m m m =--+--=++∵由于N 是任意一点，要使得以点M ，N ，E ，A 为顶点的四边形是菱形∴△AME 是等腰三角形当AE AM =时，222426AM AE m ==+=，解得22m =此时M 点坐标为(22，(1,22-当AE EM =时，222103426EM AE m m ==++=，解得517m =-此时M 点坐标为(1,517-，(1,517-当AM EM =时，222210344EM AM m m m ==++=+，解得3m =-，此时M 点坐标为()1,3-综上所述，存在点M ()1,3-，(22，(1,22，(1,517-，(1,517-，使得以点M ，N ，E ，A 为顶点的四边形是菱形7. 【答案】(1)4-(2)4c =或03c ≤<．(3)2-【分析】（1）根据对称轴为与系数的关系即可进行求解；（2）将该抛物想的表达式改写为顶点式：()224y x c =-+-，画出函数()22y x =-的图像，结合图像即可得出c 的取值范围；（3）根据二次函数的平移规律，将2G 的函数解析式表示出来，进而表示出其顶点坐标，再将顶点坐标代入21y x =-得出m 和c 之间的关系式，最后将0x =代入2G 即可求出其与y 轴的纵坐标．【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为2x =， ∴22b -=，解得：4b =-．（2）由（1）可知，4b =-，∴()221:244G y x x c x c =+=-+--，如图，画出抛物线()22y x =-的图像，由图可知，①当40c -=时，1G 与x 轴只有一个交点，解得：4c =②当40c -≠时，将()22y x =-的图像向下平移的距离大于一个单位长度，小于或等于4个单位长度时时，平移后的函数图像在x 轴上14x <<时只有一个交点．∴()144c <--≤，解得：03c ≤<．综上：4c =或03c ≤<．（3）由（2）可得4b =-，∴1G ：()22424y x x c x c =-+=-+-，∴2G ：()224y x m c =-++-，∴2G 的定点坐标为：()2,4m c --，∵抛物线2G 的顶点在直线21y x =-上，∴把点()2,4m c --代入21y x =-得：()4221c m -=--，整理得：72c m =-，把0x =代入2G ：()224y x m c =-++-得： ()2024y m c =-++-24m m c =-+∵72c m =-∴2472m y m m -+-=267m m =-+()232m =--，∴当3m =时，y 有最小值2-．∴抛物线2G 与y 轴交点的纵坐标的最小值为2-．8. 【答案】（1）（1，-4）；（2）1；（3）-1或2【分析】（1）根据对称轴可得a 与b 间的关系b =-2a ，把这个关系式代入函数解析式中，配方即可得顶点坐标；（2）首先，由于抛物线的顶点在所给自变量的范围内，若a 为负，则在所给自变量范围内，函数的最大值是相互矛盾的，故可排除a 为负的情况，所以a 为正．再由于x 轴上-2与1的距离大于3与1的距离，根据抛物线的性质，函数在x =-2处取得最大值，从而可求得a 的值．（3）分三种情况讨论：即分别考虑顶点的横坐标是在1t x t ≤≤+范围内、在这个范围的左边、在这个范围的右边三种情况；对每种情况分别求出最大值和最小值，然后可求得t 的值．【详解】解：（1）∵对称轴是直线1x =， ∴12b a-=． ∴2b a =-．∴2224(1)4=-+-=--y ax ax a a x ．∴顶点坐标为()1,4-．（2）若a <0，则抛物线的开口向下，从而y 有最大值4∵当23x -≤≤时，y 的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x =1，∴函数此时在1x =时取得最大值5，这与y 有最大值4矛盾，从而a >0．∴抛物线的顶点为图象的最低点．∵1-（-2）>3-1∴当2x =-时，5y =．代入解析式，得2(21)45,a ⨯---=∴ 1a =．（3）①当11t t ≤≤+时，此时0≤t ≤1，∴n =-4，函数的最大值在t +1或t 处取得，即24m t =-或2(1)4m t =--∴m 的最大值为3-．此时1m n -=．不符合题意，舍去．②当11t +<，即0t <时，22(1)4,(11)4=--=+--m t n t ．∵3m n -=，∴1t =-．③当1t >时，同理可得2t =．综上所述，1t =-或2t =．9. 【答案】(1)8y x =或8y x=- (2)4>>3p (3)52t =或12t =【分析】（1）将(),4P m 代入k y x =得到关于m k ，的方程，依据“高质量发展点”的定义得到关于m k ，的另一个方程，解方程组即可；（2）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为()2t t ，，依据题意可得含t 的一元二次方程，根据方程有两个不相等的实根对应0∆>，即可求出p 的取值范围；（3）设设图象上存在的“高质量发展点”坐标为()2t t ，，将()2t t ，代入()212y ax b x =+-+，可得含t 的一元二次方程，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知对应方程两根相等，即Δ0=，得出a b ，的关系式，从而由()281w b a =---变形为关于w b ，的函数，根据函数性质分情况讨论最值即可．【详解】（1）解：将(),4P m 代入k y x =，得：4k m = 即4k m = ，又因为(),4P m 是“高质量发展点”，故24m =，解方程组244k m m =⎧⎨=⎩ 得：1128m k =⎧⎨=⎩ 或2228m k =-⎧⎨=-⎩，则这个反比例函数的解析式为8y x =或8y x=-．（2）解：设图象上存在的“高质量发展点”坐标为()2t t ，，依据题意将()2t t ，代入23y x p=+-得：()2230t t p ---= ，由函数23y x p =+-（p 为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”可知：方程()2230t t p ---=有两个不相等的实根，即()()2243>0p ∆=-+- 解得：4p < ，且由韦达定理可知()2230t t p ---=的两根之和为2，两根之积为()3p -- ，又因为这两点都在第一象限可得： ()3>0p --，解得：3p > ，综上可得：4>>3p ．（3）解：设设图象上存在的“高质量发展点”坐标为()2t t ，，将()2t t ，代入()212y ax b x =+-+，可得()2212t at b t =+-+，整理得()()21120a t b t -+-+=，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知方程()()21120a t b t -+-+=两根相等，即()()21810b a ∆=---=，变形得：()()2181b a -=-，因为()281w b a =---，所以()2221221w b b b b =---=-+-，故由抛物线2221w b b =-+-性质：开口向下，对称轴为12b =，顶点1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，当1t b t -≤≤时，w 有最大值t -，∴分情况讨论最值情况：（1）当112t ->即32t > 时，函数自变量取值在对称轴右侧，图像下降，故当1b t =- 时w 有最大值t -，即()()221211t t t -=--+--，化简得：22750t t -+=，得：12512t t ==，131<2t =，故11t =舍去， ∴52t = （2）当112t -≤且12t ≥，即3122t ≥≥ 时，函数2221w b b =-+-的自变量取值范围包括了顶点，即当12b =，w 有最大值12t -=-，解得：12t =， ∴12t = （3）12t 时函数2221w b b =-+-自变量取值在对称轴左侧，图像上升，此时w 最大值当b t =时取得，即：2221t t t -=-+-，整理得： 22310t t -+=，解得112t t ==， 12t ，故112t t ==，均不合要求，此时无解，综上可得：52t =或12t =． 10. 【答案】(1)222=++y x x(2)1，()1,5(3)1n =-或6n =【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）将一般式转化为顶点式，再利用配方法求纵坐标的最值即可得解；（3）3n x n -≤≤，函数有最小值9，判断3n x n -≤≤与对称轴的位置关系，再根据二次函数的图象和性质，进行求解即可．【详解】（1）解：抛物线与y 轴的交点坐标为点()0,2，则：224m =+，解得：1m =-，∴222=++y x x ；（2）解：()22222424y x mx m x m m m =-++=--++；∴()2,24P m m m -++ ∵()2224155m m m -++=--+≤，∴1m =时， P 点的纵坐标取最大值：5，∴()1,5P ；故答案为：1，()1,5；（3）解：∵()1,5P ，∴()215y x =-+；∵10a =>，对称轴为1x =，∴抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 值的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 值的增大而增大，∵当3n x n -≤≤，函数有最小值9，95>，∴3n x n -≤≤在对称轴的同侧；①3n x n -≤≤在对称轴的左侧，即：1n <时，当x n =时，函数有最小值：()2159y n =-+=，解得：1n =-或3n =（舍）；②3n x n -≤≤在对称轴的右侧，即：31n ->，4n >时，当3x n =-时，函数有最小值：()23159y n =--+=，解得：6n =或2n =（舍）；综上：当1n =-或6n =时，函数有最小值9．11. 【答案】(1)21b a =--(2)E 点坐标为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭52(3)2332y x x =-+【分析】（1）将32c =，12,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入2y ax bx c =++，计算求解即可；（2）将122a c ==-，与()5,3D 代入2y ax bx c =++，得到32b =-，然后将解析式因式分解()()1142y x x =+-，得到A B ，点坐标分别为()()1,04,0-，；如图，在直角坐标系中作EF BD EG AB FM EG FN AB ⊥⊥⊥⊥，，，，连接EA EB ，；点F 为BD 中点，坐标为4503,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭；点G 为AB 中点，坐标为41,02-⎛⎫⎪⎝⎭，9090EFM MFB MFB BFN ∠+∠=︒∠+∠=︒，，EFM BFN ∠=∠，有EFM BFN ∽，EM MF BN FN =，942BN =-，32FN =，9322MF NG ==-，得EM EG ，的值，进而可求出E 点坐标；35122AG EG =+==，知45AEG BEG ∠=︒=∠，90AEB ∠=︒，22522AG GE +180n r AB π=求解即可；（3）23(21)2y ax a x =-++，知12122132a x x x x a a ++=⋅=，，222221212122131()()4=4132a AB x x x x x x a a a +⎛⎫⎛⎫=-=+-⋅-⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2AB 最小时，有110a -=，解得a 值，故可得b 值，进而可得出抛物线的解析式．【详解】（1）解：将32c =与12,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入2y ax bx c =++得134222a b -=++ 21b a =--∴用含a 的式子表示b 为21b a =--．（2）解：将122a c ==-，与()5,3D 代入2y ax bx c =++得2135522b =⨯+-32b =-∴()()()221311234142222y x x x x x x =--=--=+- ∴A B ，点坐标分别为()()1,04,0-，如图，作EF BD EG AB FM EG FN AB ⊥⊥⊥⊥，，，，连接EA EB ，∴90909090EFB MFN EMF FNB ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，，，，MF AB ∥∴点F 为BD 中点，坐标为4503,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭即93,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；点G 为AB 中点，坐标为41,02-⎛⎫ ⎪⎝⎭即3,02⎛⎫⎪⎝⎭∵9090EFM MFB MFB BFN ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴EFM BFN ∠=∠ ∴EFM BFN ∽ ∴EM MFBN FN= ∵91422BN -==，32FN =，93322MF NG ==-= ∴351122EM EG ==+=， ∴E 点坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭∵35122AG EG =+== ∴45AEG BEG ∠=︒=∠ ∴90AEB ∠=︒ 2252AG GE +5290522180180n rAB ππ⨯===∴E 的坐标为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB 52．（3）解：由题意知23(21)2y ax a x =-++∵12122132a x x x x a a++=⋅=，，222121212()()4AB x x x x x x =-=+-⋅ ∴2221342a AB a a +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭24164a a a =++- 2124a a=+- 2113a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵2AB 最小时，有110a-=解得1a = ∴3b =-∴2332y x x =-+．12. 【答案】(1)②，1； (2)-1≤a ＜1； (3)a 的值为2.4．【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；（2）由题意可知：-b +2≤y ≤-a +2，再由-a +2=b ，-b +2≤2a +1，b ＞a ，即可求a 的取值范围；（3）当a ≤1时，27-10a =3，可得a =2.4（舍）；当a ≥5时，3-2a =3，可得a =0（舍）；当1＜a ≤3时，27-10a =3，可得a =2.4；当3＜a ＜5时，3-2a =3，可得a =0．【详解】（1）①y =x 2+2x +1=（x +1）2≥0， ∴①无上确界； ②y =2x -3（x ≤2）， ∴y ≤1，∴②有上确界，且上确界为1，故答案为：②，1；（2）∵y =-x +2，y 随x 值的增大而减小， ∴当a ≤x ≤b 时，-b +2≤y ≤-a +2， ∵上确界是b ，∴-a +2=b ，∵函数的最小值不超过2a +1， ∴-b +2≤2a +1， ∴a ≥-1， ∵b ＞a ， ∴-a +2＞a ， ∴a ＜1，∴a 的取值范围为：-1≤a ＜1；（3）y =x 2-2ax +2的对称轴为直线x =a ，当a ≤1时，y 的最大值为25-10a +2=27-10a ， ∵3为上确界， ∴27-10a =3， ∴a =2.4（舍）；当a ≥5时，y 的最大值为1-2a +2=3-2a ， ∵3为上确界， ∴3-2a =3， ∴a =0（舍）；当1＜a ≤3时，y 的最大值为25-10a +2=27-10a ， ∵3为上确界， ∴27-10a =3， ∴a =2.4；当3＜a ＜5时，y 的最大值为1-2a +2=3-2a ， ∵3为上确界， ∴3-2a =3， ∴a =0，综上所述：a 的值为2.4． 13. 【答案】(1)()1,1A -- (2)见解析(3)最大值为98【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为22820,24m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为2y x bx c =++，则其顶点坐标为24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后求出点B 的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线2y x =--上推出2284b bc +-=，过点A 作AH OB ⊥，垂足为H ，可以推出219=(1)88AOB S b -++△,由此即可求解．【详解】（1）解：将()0,0O 代入2(2)4y x m x m =+-+-，解得4m =．由m>2，则4m =符合题意， ∴222(1)1y x x x =+=+-， ∴()1,1A --．（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为22820,24m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭． ∵m>2， ∴20m ->， ∴20m -<， ∴202m-<． ∵228201(4)11044m m m -+-=---≤-<，∴二次函数2(2)4y x m x m =+-+-的顶点在第三象限．（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为2y x bx c =++，则其顶点坐标为24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 当0x =时，y c =， ∴()0,B c ．将24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入2y x =--，解得2284b bc +-=．∵()0,B c 在y 轴的负半轴上， ∴0c <．∴2284b b OBc +-=-=-．过点A 作AH OB ⊥，垂足为H ， ∵()1,1A --， ∴1AH =．在AOB 中，211281224AOBb b S OB AH ⎛⎫+-=⋅=⨯-⨯ ⎪⎝⎭△ 211184b b =--+219(1)88b =-++,∴当1b时，此时0c <，AOB 面积有最大值，最大值为98．14. 【答案】(1)223y x x =-++； (2)1258； 252．【分析】（1）根据=1y x --经过点A ，可求出点A 的坐标，将点A 、C 的坐标代入2y ax 2x c =++即可求出抛物线的解析式；（2）联立抛物线和一次函数=1y x --的解析式列方程解出可得点D 的坐标，过点P 作PEy 轴，交AD 于E ，设()2,23P t t t -++，则(),1E t t --，求PE 的长，根据三角形的面积公式可得PAD 的面积，配方后可得结论；（3）由前两问可知()1,0A -，()4,5D -，再根据勾股定理得：52AD =P 到直线AD 的距离为h ，再利用等面积法即可求解．【详解】（1）解：∵直线=1y x --经过点A ，∴令0y =，则01x =--， ∴=1x -，∴()10A -，，将()10A -，，(03)C ，代入2y ax 2x c =++得： 203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得：13a c =-⎧⎨=⎩ ，∴抛物线的解析式为：223y x x =-++；（2）解：2231x x x -++=--，解得：11x =-，24x =， ∴()4,5D -，过点P 作PEy 轴，交AD 于E ，设()2,23P t t t -++，则(),1E t t --， ∴()()2223134PE t t t t t =-++---=-++，△PAD 的面积()()221553125413422228PE t t t ⎛⎫=⋅⋅+=-++=--+ ⎪⎝⎭，当32t =时，PAD 的面积最大，且最大值是1258；（3）解：∵()1,0A -，()4,5D -，根据勾股定理得：52AD =设点P 到AD 的距离为h ， 12APD S AD h =⋅△ 由第（2）问知：112528APD S AD h =⋅≤△11255228h ⨯≤ 252h ≤∴点P 到直线AD 25215. 【答案】（1）直线BC 的解析式为y =332）PBCS 最大时，P (3253)，PE +12BE 53，理由见解析；（3）存在，Q (33(3，−23，理由见解析．【分析】（1）根据二次函数的解析式先求出点C 、点B 的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；（2）如图2中，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交直线BC 于点F ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，设P (a 32a 233，则F (a 33则可得 PF =32a 3，继而得S △PBC =32a 33，根据二次函数的性质可得当a =32时，S △PBC 最大，可得点P 坐标，由直线BC 的解析式为y =3330CBO ∠=︒，继而可得12PE BE PE EN +=+，根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P ，E ，N 三点共线且垂直于x 轴时，PE+12BE 值最小，据此即可求得答案；（3）由题意可得D (1，0)，G (323，继而可得直线DG 解析式，根据抛物线y =32x +23332(1)x -43x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D ，可得y '32(3)x -43，从而可得对称轴为x =1，然后分90∠=︒QDG 或90QGD ∠=︒，90GQD ∠=︒三种情况进行讨论即可得.【详解】（1）当x =0时，y =32x 2333 ∴点C 的坐标为（03 当y =032x 23x 3，解得：1213x x ==﹣，， ∴点B 的坐标为（3，0），设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，将B （3，0）、C （03y kx b =+，得：303k b b +=⎧⎪⎨⎪⎩，解得：33k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为y =33 （2）如图2中，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交直线BC 于点F ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，设P （a 32a 233F （a 33 ∴PF =32a 3， ∴S △PBC =12×PF 32a 33， ∴当a =32时，S △PBC 最大，∴P （3253），∵直线BC 的解析式为y =33 ∴30CBO ∠=︒，EN x ⊥轴， ∴EN =12BE ， ∴PE +12BE =PE +EN ，∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P ，E ，N 三点共线且垂直于x 轴时，PE +12BE 值最小，∴PE +12BE =PE +EN =PN 53；（3）∵D 是对称轴直线x =1与x 轴的交点，G 是BC 的中点，∴D （1，0），G （323∴直线DG 解析式y 33 ∵抛物线y =32x 23332(1)x -43x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D (1,0)， ∴y '32(3)x -43∴对称轴为x =3，F 43∵FGQ 为直角三角形，∴90FGQ ∠︒＝或90FQG ∠︒＝，90GFQ ∠︒＝（不合题意，舍去）当90FQG ∠︒＝，则//QG x 轴 ∴Q （33 当90FGQ ∠︒＝，设点Q 坐标（3，y ） ∵222FQ FG GQ +＝． ∴2222243343333()(3)((3)()222y y =-++-+- ∴y ＝−23∴Q （3，−23）综上所述：Q （333，−23）．。

2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—二次函数的图象与性质

前提条件
当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用
一般式求其表达式.
顶点式
y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用
a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式
y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0)
顶点式求其表达式.
其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题
【详解】解：∵二次方程 2 + + = 0的两根为−1和 5，
∴
1−+ =0
= −4
，解得
，
25 + 5 + = 0
= −5
∴二次函数 = 2 + + = 2 − 4 − 5 = ( − 2)2 − 9，
∵ 1 > 0，
∴当 = 2时，有最小值，最小值为−9，
2）自变量的最高次数是2；
3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零.
根据实际问题列二次函数关系式的方法：
1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式.
考点一二次函数的相关概念
二次函数的常见表达式：
名称
解析式
一般式
y=ax²+bx+c (a≠0)
状相同，
∴可设该二次函数的解析式为 = ±3 − ℎ
2
+ ，
∵该二次函数的顶点为 1，4 ，
∴该二次函数的解析式为 = ±3 − 1
2
+ 4，
∴该二次函数的解析式为 = 3 2 − 6 + 7或 = −3 2 +

2024成都中考数学一轮复习专题二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题二次函数解答压轴题一、解答题1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数2y x bx c =-++．(1)当4,3b c ==时，①求该函数图象的顶点坐标．②当13x -≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =-时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m -<<-时，求n 的取值范围；(3)求证：240b a +=．5(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB 的面积；(3)P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACO PBC ∠=∠6．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线2y ax =+(1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以若不存在，请说明理由；(3)以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数268y x x =-+的图像与x 轴分别交于点,A B （点A 在点B 的左侧），直线l 是对称轴．点P 在函数图像上，其横坐标大于4，连接,PA PB ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，以点M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与M 相切，切点为T ．(1)求点,A B 的坐标；(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等，且M 不经过点()3,2，求PM 长的取值范围．8．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点()0,0O ，()10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设(),0B t ，当2t =时，4BC =．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作①如图，若点P 在第三象限，且tan 2CPD ∠=，求点②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 周长．10．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线(1)求抛物线解析式及B ，(2)以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点(3)该抛物线对称轴上是否存在点11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++与坐标轴分别相交于点A ，B ，()0,6C 三点，其对称轴为2x =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴，直线BC 交于点D ，E ．①当CD CE =时，求CD 的长；②若CAD ，CDE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足1322S S S +=，求点F 的坐标．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．∠的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(3)当PAQ(4)设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以Q15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值．(2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当:3:5BM MQ =时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC标及PDDB的最大值；(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连接PC，将好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．33(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点K 坐标．28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上．①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．(1)请求出抛物线1Q 的表达式．(2)如图1，在y 轴上有一点()0,1D -，点E 在抛物线1Q 上，点F 为坐标平面内一点，是否存在点边形DAEF 为正方形？若存在，请求出点,E F 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线1Q 向右平移2个单位，得到抛物线2Q ，抛物线2Q 的顶点为(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线11:y OP y x x =交BF 于点G ，求BPG BOGS S △△的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于求点P 的横坐标．31．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(0,3)A C -两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +的最小值；(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(2,0)B 和(0,2)C ，连接BC ，点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点，过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ，交x 轴于点N ．(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，连接OM ，当OCM 为等腰三角形时，求m 的值；(3)当P 点在运动过程中，在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以B ，C ，N 为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应），若存在，直接写出．．．．点P 和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点交x轴于点D，求与12PK PD+的最大值及此时点2①求证：23DO EO =．②当点E 在线段OB 上，且BE =35．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数直线与该函数图象交于点()1,3B (1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE 设点P 的横坐标为m ．①当12PD OC =时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ，36．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △(3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点若不存在，请说明理由．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．41．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数2y ax bx =++交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；(3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线29y ax bx =+-与x 轴交于点()30A -,，()6,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标；(3)如图②，当点(),0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点A ，B 不重合），自点P 分别作∥PE BC ，交AC 于点E ，作PD BC ⊥，垂足为点D ．当m 为何值时，PED V 面积最大，并求出最大值．43．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++．(1)若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点，且4a b =，则a 的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x 轴有两个公共点()2,0A -，()4,0B ，并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，BC ，其中PA 交y 轴于点D ，交BC 于点E ．设PBE △的面积为1S ，CDE 的面积为2S ．①当点P 为抛物线顶点时，求PBC 的面积；②探究直线l 在运动过程中，12S S -是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若32m<<，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若32m<，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使值；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD 好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点F ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为G ，求2FG +(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求AOD △周长的最小值；(3)如图2，过动点D 作DP AC ∥交抛物线第一象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAD 与△为S ，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？50．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线23y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ，且经过点()2,6C -．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；(3)点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．52．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x -，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．53．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．54．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA 标；(3)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N，求证：无论存在一点E，使得MEN∠为直角．(1)求a 的值．(2)将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度，交抛物线于在定点D ，无论m 取何值时，都是点D 到直线B C ''的距离最大，若存在，请求出点请说明理由．(3)抛物线上是否存在点P ，使45PBC ACO ∠+∠=︒，若存在，请求出直线58．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线28y ax bx =++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．59．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；(3)该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．(4)当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．60．（2023·湖北·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ．(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)在图1中，连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ，求CEB ∠的度数；(3)如图2，若动直线l 与抛物线交于,M N 两点（直线l 与BC 不重合），连接,CN BM ，直线CN 与BM 交于点P ．当MN BC ∥时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由．61．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上一点，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程：___________，___________【技能训练】(2)如图2，已知抛物线21y x =上一点()()000,0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的参考答案一、解答题222（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当⊥交BP于连接PB，过C作CE BC∵5OC OB ==，则OCB 为等腰直角三角形，由勾股定理得：52CB =，∵ACO PBC ∠=∠，∴tan tan ACO PBC ∠=∠，即1552CE CE CB ==，∴2CE =由CH BC ⊥，得90BCE ∠=︒，【点拨】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．A7．【答案】(1)()2,0,y=【分析】（1）令0（2）由题意可得抛物线的对称轴为假设M 过点()3,2N ,则有以下两种情况：①如图1：当点M 在点N 的上方，即∴2683m m -+=，解得：m =∵4m >∴5m =；②如图2：当点M 在点N 的上方，即∴2681m m -+=，解得：m =∵4m >∴32m =±；综上，32PM m =-=或2．∴当M 不经过点()3,2时，1【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P．．由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，=．∴PQ CH∵四边形ABCD是矩形，∴P是AC的中点．33⎝∴90,PEC CED ∠=∠=︒。

2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数(含解析)

2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数一、单选题1．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( )A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-2．若抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（）A ．m ＜﹣1B ．m ＜1C ．m ＞﹣1D ．m ＞13．已知下列命题：①抛物线y ＝3x 2+5x ﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题4．当﹣7≤x≤a 时，二次函数y ＝﹣ 12（x+3）2+5恰好有最大值3，则a ＝ . 5．若函数y=a （x ﹣h ）2+k 的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x 2﹣2x+3相同，则此函数关系式．6．函数y=x 2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而（填写“增大”或“减小”）．三、综合题7．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．8．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽 24m ，最高点离水面 8m ，以水平线 AB 为x 轴， AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高 4m ，最宽处为 18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．9．已知二次函数 223y x bx b =+- ．（1）当该二次函数的图象经过点 ()10A ，时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ，点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值；（3）若对满足 1x ≥ 的任意实数x ，都使得 0y ≥ 成立，求实数b 的取值范围．10．已知：如图，二次函数 2y ax bx c =++ 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为 ()1,0- ，点 ()C 0,5 ，另抛物线经过点 ()1,8 ，M 为它的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）求 MCB 的面积 MCB S .11．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同.（2）从第一次降价的第1天算起，第 x 天（ x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示；已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第 x 天的利润为 y 元，求 y 与(115)x x ≤< 之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？12．如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．13．已知二次函数y=﹣（a+b ）x 2﹣2cx+a ﹣b ，a ，b ，c 是△ABC 的三边．（1）当抛物线与x 轴只有一个交点时，判断△ABC 的形状并说明理由；（2）当x=﹣ 12 时，该函数有最大值 2a ，判断△ABC 的形状并说明理由． 14．某水产养殖户进行小龙虾养殖. 已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 ()y kg 与时间第 t 天之间的函数关系式为 2100y t =+ （ 180t ≤≤ ， t 为整数），销售单价 p （元/ kg ）与时间第 t 天之间满足一次函数关系如下表：（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？15．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD ，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB 的长为x 米，矩形绿化带的面积为S 平方米.（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）求围成矩形绿化带ABCD 面积S 的最大值.16．已知 y 关于 x 的二次函数 ()220.y ax bx a =--≠（1）当 24a b ==，时，求该函数图象的顶点坐标.（2）在（1）条件下， ()P m t ，为该函数图象上的一点，若 p 关于原点的对称点 p ' 也落在该函数图象上，求 m 的值（3）当函数的图象经过点（1，0）时，若 1211322A y B y a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，是该函数图象上的两点，试比较 1y 与 2y 的大小.17．抛物线 245y x x =-++ 与 x 轴交于点 A ， B 两点（ A 在 B 的左侧），直线 334y x =-+ 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D ．点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF x ⊥ 轴于点 F ，交直线 CD 于点 E ．．（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）设点 P 的横坐标为 m ，若 5PE EF = ，求 m 的值；18．已知m,n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH△x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．19．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h) 2-4(a≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(-3，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC .求点P 的坐标；（3）设点Q 是线段AC 上的动点，作QD△x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值.20．如图，已知抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为．21．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线 -2y x = 交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN△x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，函数221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点()1,2 时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x ≤ 时，若函数 221y x ax =-- （a 为常数）的图象的最低点到直线 2y a = 的距离为2，求a 的值．（4）设0a < ， Rt EFG 三个顶点的坐标分别为 ()1,1E -- 、 ()1,1F a -- 、 ()0,1G a - ．当函数 221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与 EFG 的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 P ' （ P ' 与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 A ' ．若 2AA PP '=' ，直接写出a 的值．23．已知，抛物线y ＝mx 2＋ 94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B ，与y 轴交于点C ．点D （n ，0）为x 轴上一动点，且有﹣4＜n ＜0，过点D 作直线1△x 轴，且与直线AC 交于点M ，与抛物线交于点N ，过点N 作NP △AC 于点P ．点E 在第三象限内，且有OE ＝OD ．（1）求m 的值和直线AC 的解析式．（2）若点D 在运动过程中， 12AD ＋CD 取得最小值时，求此时n 的值．（3）若点△ADM 的周长与△MNP 的周长的比为5△6时，求AE ＋23CE 的最小值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 223y x x =+- 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ．对称轴为直线 l ，点 ()4,D n - 在抛物线上．（1）求直线 CD 的解析式；（2）E 为直线 CD 下方抛物线上的一点，连接 EC 、 ED ．当 ECD ∆ 的面积最大时，在直线 l 上取一点 M ，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N ，连接 EM 、 BN ．若 EM BN = 时，求 EM MN BN ++ 的值；（3）将抛物线 223y x x =+- 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线 y ' ， y ' 经过原点 O ． y ' 与 x 轴的另一个交点为 F ．设 P 是抛物线 y ' 上任意一点，点 Q 在直线 l 上， PFQ ∆ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点 P 的坐标．若不能，请说明理由．25．如图，已知抛物线 y ＝ 2ax bx c ++ 与 x 轴交于 A -（）， B （）两点，与 y 轴交于点 C 0,3（）．（1）求抛物线的解析式及顶点 M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点 P ，使得 PAC 的周长最小，并求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O 、 C 重合）．过点 D 作 DE //PC 交 x 轴于点 E ．设 CD 的长为 m ，问当 m 取何值时， PDE ABMC 1S S 9 四边形．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，∴y=（x+4）2-16=x2+8x，故选：C．【分析】根据增加的面积=新的正方形的面积-原正方形的面积，可列出y与x之间的函数解析式.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac=4﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：B．【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；②相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；③任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；⑤圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；故答案为：B.【分析】根据抛物线与x轴的交点，弧、弦、圆心角的关系，正多边形与圆，三角形外心的性质，圆内接四边形的性质逐一判断即可. 4．【答案】-5【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴x=-3，∵x<-3时，y随x的增大而增大，∴当a<-3时，x=a时有最大值，∴y= ﹣12（a+3）2+5=3,解得a=-5，当a>-3时，x=-3时有最大值5，不符合题意，故答案为：-5.【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（-3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．5．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8【解析】【解答】解：∵函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得：ah2+k=0，∵最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k=8，又∵形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，∴二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得h=±2，∴函数解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8，故答案为：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8．【分析】根据函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得到ah2+k=0，由最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，得到顶点的纵坐标k=8，由形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，得到二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得到h=±2，得到函数解析式.6．【答案】-1；增大【解析】【解答】解：把y=0代入y=x2+2x+1，得x2+2x+1=0，解得x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；故答案为﹣1，增大．【分析】将y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．7．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=()() 221802000150120120005090x xx x⎧-++≤≤⎪⎨-+≤≤⎪⎩（2）解：当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案． 8．【答案】（1）解：∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为 ()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得 ()()8012012a =+- ，解得 118a =- ∴抛物线解析式为 21818y x =-+ ；（2）解：当x=9时，得 2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-，再将点C 代入计算即可；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可。

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中考数学一轮复习二次函数1
知识考点：
掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。

精典例题：
【例1】二次函数c bx ax y ++=2
的图像如图所示，那么abc 、ac b 42
-、b a +2、c b a +-24这四个代数式
中，值为正的有（）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个解析：∵a
b
x 2=
＜1 ∴b a +2＞0 答案：A
评注：由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。

由抛物线与x 轴的交点个数判定ac b 42
-的符号，若x 轴标出了1和－1，则结合函数值可判定b a +2、c b a ++、
c b a +-的符号。

【例2】已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2
向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由0=++c b a 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为2
)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为1)52(2
+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（1，0）
∴1)521(02
+-+=a ，解得4
1-=a ∴原抛物线的解析式为：1)3(4
1
2+--
=x y 评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。

另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800
），此时顶点坐标不变，只是a 反号；②两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 反号；③两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称；探索与创新：
【问题】已知，抛物线2
2
)1(t t x a y +--=（a 、t 是常数且不等于零）的顶点是A ，如图所示，抛物线
122+-=x x y 的顶点是B 。

例1图
（1）判断点A 是否在抛物线122
+-=x x y 上，为什么？
（2）如果抛物线2
2
)1(t t x a y +--=经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

2t ），而1+=t x 当时，
解析：（1）抛物线2
2
)1(t t x a y +--=的顶点A （1+t ，
222)11()1(12-+=-=+-=x x x x y ＝2t ，所以点A 在抛物
线122
+-=x x y 上。

（2）①顶点B （1，0），0)11(2
2
=+--t t a ，∵0≠t ，
∴1-=a ；②设抛物线22)1(t t x a y +--=与x 轴的另一交点为C ，∴B （1，0），C
（12+t ，0），由抛物线的对
称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，过A 作AD ⊥x 轴于D ，则AD ＝BD 。

当点C 在点B 的左边时，)1(12
+-=t t ，解得1-=t 或0=t （舍）；当点C 在点B 的右边时，1)1(2
-+=t t ，解得1=t 或0=t （舍）。

故1±=t 。

评注：若抛物线的顶点与x 轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。

跟踪训练：一、选择题：
1、二次函数c bx ax y ++=2
的图像如图所示，OA ＝OC ，则下列结论： ①abc ＜0； ②2
4b ac <；
③1-=-b ac ； ④02<+b a ；
⑤a
c
OB OA -=⋅；
⑥024<+-c b a 。

其中正确的有（）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
2、二次函数c bx x y ++=2
的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为122
+-=x x y ，则b 与c 分别等于（） A 、6、4 B 、－8、14
C 、4、6
D 、－8、－14
3、如图，已知△ABC 中，BC ＝8，BC 边上的高4=h ，D 为BC 上一点，EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，那么y 关于x 的函数图
像大致是（）
问题图
第1题图
第3题图
F
E
D
C
B
A
3题图
3题图
A B C D
4、若抛物线2
ax y =与四条直线1=x ，2=x ，1=y ，2=y 围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是（） A 、
41≤a ≤1 B 、21≤a ≤2 C 、21≤a ≤1 D 、4
1
≤a ≤2 5、如图，一次函数b kx y +=与二次函数c bx ax y ++=2
的大致图像是（
）
3题图
3题图
3题图
A B C D 二、填空题：
1、若抛物线232)1(2
-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为。

2、二次函数542
+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增大。

则当1-=x 时，y 的值是。

3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。

4、已知抛物线n mx x m y +--=4)2(2
2
的对称轴是2=x ，且它的最高点在直线12
1
+=x y 上，则它的顶点为，n ＝。

三、解答题：
1、已知函数m x m x y +--=)2(2
的图像过点（－1，15），设其图像与x 轴交于点A 、B ，点C 在图像上，且1=∆ABC S ，
求点C 的坐标。

2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。

下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）。

根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
O
O
3、抛物线2
x y =，2
2
1x y -
=和直线a x =（a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB ＝900。

（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式；（2）为使直线b x y +=
2与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合？
4、如图，抛物线t ax ax y ++=42
与x 轴的一个交点为A （－1，0）。

（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧。

问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案
一、选择题：BCDDC 二、填空题：
1、2；
2、－7；
3、1)2(2
1
2+-=x y ；4、（2，2），2-=n ；三、解答题：
1、C （23+
，1）或（23-，1）、（3，－1）
2、（1）t t S 22
12
-=
；（2）10月；（3）5.5万元 3、（1）x y 4
2
=
；（2）－3≤b ≤0 4、（1）B （－3，0）；（2）342
++=x x y 或342
---=x x y ；（3）在抛物线的对称轴上存在点P （－2，2
1
），使△APE 的周长最小。