中学数学思维方法训练专题-分析与综合
思维方法·分析综合法
思维方法·分析综合法综合法、分析法和分析综合法是平面解析几何中论证命题的基本方法．从已知条件出发，运用学过的定义、公式、定理进行一步步地正确推理，最后证得结论，这种论证命题的思维方法叫做综合法．从命题的结论入手，寻找使这个结论成立的充分条件，一直追溯到已知条件为止，这种论证命题的思维方法叫做分析法．把分析法与综合法结合起来去论证命题的思维方法叫做分析综合法，它是从一个命题的两头向中间“挤”，因此容易发现证题的突破口，收到事半功倍的效果．例1 设A、B、C是双曲线xy=1上的三点，求证：△ABC的垂心H必在此双曲线上．【分析】如图1－1，设H的坐标为(x0，y0)，要证H在此双曲线上，即证x0y0=1．而H是两条高AH与BH的交点，因此需求直线AH、BH的方程，进而从所得方程组中设法推出x0y0=1．【证明】如图1－1，由已知可设A、B、C的坐标分别为(α，设点H的坐标为(x0，y0)，则由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得化简可得x0y0(α-β)=α-β．∵α≠β，∴x0y0=1．故H点必在双曲线xy=1上．【解说】本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双曲线xy=1上就是证x0y0=1．这为综合法证明此题指明了目标．在用综合法证明的过程中，牢牢抓住这个目标，去寻找x0、y0的关系式，用式子①与②相乘，巧妙地消去参数α、β、γ，得到x0y0=1．从而避免了解方程的麻烦，提高了解题速度．例2 在直角坐标系xOy中，已知A1(x1，y1)、A2(x2，y2)是单位圆x2+y2=1内任两点，设点P(x，y)是以线段A1A2为直径的圆上任一点，求证：x2+y2＜2．【分析】欲证x2＋y2＜2，由于A1、A2是圆x2＋y2=1内两点，坐标的关系式，又点P在以A1A2为直径的圆上，故可从PA1⊥PA2入手去证．【证明】当P是直径A1A2的端点时，结论显然成立．当P不是直径A1A2的端点时，如图1－2，连结PA1、PA2，则PA1⊥PA2，即x2＋y2-(x1+x2)x-(y1+y2)·y+x1x2＋y1y2=0，∴ x2＋y2＝(x1+x2)x+(y1+y2)y-x1x2-y1y2．又由A1、A2是圆x2＋y2=1内两点，得故x2＋y2＜2．【解说】乍看，本题难以下手．但用分析综合法，把被证结论转例3 已知P是椭圆b2x2＋a2y2=a2b2(a＞b＞0)上任一点，F1、F2是左、右两个焦点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，e是离心率，求证：由合分比定理，得只需证①如图1－3，在△PF1F2中，由正弦定理，得∵ |PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，由和差化积公式和倍角公式，得即①式成立．故原结论成立．【解说】本例的上述证法就是分析综合法．它从被证结论入手，把它转化为证①式成立，这个过程是分析法．然后，从已知条件出发，运用解析几何、三角知识推得①式，这个过程是综合法．习题1．1用分析综合法证明下列各题：1．已知a、b、c满足3(a2＋b2)=4c2(c≠0)，求证：直线ax＋by＋c=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点．B、B′是此椭圆的短轴的两个端点，BM与B′M分别交x轴于K、N两点．求证：|ON|·|OK|=a2．4．设F1、F2是双曲线x2-y2=a2(a＞0)的两个焦点，P为该双习题1．1答案或提示1．欲证直线与圆有两个不同的交点，只需证圆心O到直线的距离＜a．又点P既在椭圆上，又在圆x2＋y2-ax=0上，由此可得(b2-a2)3．欲证|OK|·|ON|=a2，需要求出K、N两点的横坐标，从而只需求出直线BM、B′M的方程．。
初中数学综合题常见的思路和方法总结
初中数学综合题常见的思路和方法总结初中数学综合题是考察学生数学综合能力的一种重要形式，常见的思路和方法有以下几种：
1.方程（组）思路：对于涉及到数量关系的题目，通常可以引入未知数，建立方程（组），然后求解。
2.函数思路：利用函数关系式或图像解决综合问题。
比如，通过建立函数关系式，利用函数性质解决问题。
3.数形结合思路：通过数与形的结合，将抽象的问题形象化，帮助学生更好地理解问题，找到解题的方法。
4.分类讨论思路：对于涉及到多种情况的问题，需要对各种情况进行分类讨论，逐一解决。
5.转化思路：将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题，从而更容易地解决问题。
6.整体思路：从全局出发，将问题看作一个整体，把握问题的主要矛盾，从整体上解决问题。
7.排除法思路：在解决选择题时，可以通过排除法排除错误的选项，提高解题的正确率。
8.极端法思路：在解决某些问题时，通过极端情况的分析，可以更容易地找到问题的答案。
9.构造法思路：通过构造适当的模型或函数，帮助解决问题。
比如，在解几何问题时，可以通过构造辅助线或辅助图形来解决问题。
10.反证法思路：对于某些问题，可以通过反证法来证明其不成立或找到矛盾之处。
以上是初中数学综合题常见的思路和方法总结，希望能对你有所帮助。
在解决综合题时，需要灵活运用各种方法，不断尝试和总结经验，提高自己的解题能力。
七年级数学必备的个数学思维训练方法
七年级数学必备的个数学思维训练方法七年级数学必备的 5 个数学思维训练方法在七年级的数学学习中，培养良好的数学思维至关重要。
掌握有效的思维训练方法，不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能提高解决问题的能力，为今后的学习打下坚实的基础。
下面为大家介绍五个七年级数学必备的数学思维训练方法。
一、转化思维转化思维是数学中最基本也是最常用的思维方法之一。
它是指将一个复杂的问题通过一定的手段转化为一个相对简单、熟悉的问题，从而达到解决问题的目的。
例如，在求解一元一次方程时，我们常常会将方程进行变形，把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边，从而将方程转化为“ax ＝b”的形式，然后求解。
再比如，计算不规则图形的面积时，我们可以通过割补、平移、旋转等方法，将其转化为规则图形来计算。
为了培养转化思维，同学们可以多做一些相关的练习题。
例如：“已知正方形的边长为 5 厘米，求阴影部分的面积。
”这道题中，阴影部分是不规则图形，我们可以通过将其分割成几个三角形和梯形，然后分别计算面积，最后相加得到阴影部分的面积。
二、分类讨论思维分类讨论思维是在解决问题时，根据问题的不同情况进行分类，然后分别对每一类情况进行讨论和求解。
比如，在绝对值的计算中，当绝对值符号内的数大于等于 0 时，绝对值等于其本身；当绝对值符号内的数小于 0 时，绝对值等于其相反数。
这就需要我们对绝对值内的数进行分类讨论。
又比如，在求解一元二次方程时，如果方程的二次项系数含有参数，我们需要分二次项系数为 0 和不为 0 两种情况进行讨论。
在日常学习中，同学们可以通过以下题目来训练分类讨论思维：“已知一次函数 y ＝ kx ＋ b，当 k 为何值时，函数图像经过第一、二、三象限？”在这个问题中，需要分 k ＞ 0 和 k ＜ 0 两种情况进行讨论。
三、逆向思维逆向思维是从问题的相反方向进行思考，寻求解决问题的方法。
例如，在证明“如果两个角是对顶角，那么它们相等”时，我们通常会从“对顶角相等”这个结论出发，反推其条件，从而完成证明。
分析综合法——精选推荐
分析综合法提要分析法就是执果索因的解题方法，即首先抓住问题的结论，追索结论成立的条件，该条件找到后，在追索该条件成立的另一个条件，这样一直追索下去，直到最后出现显然成立的条件；综合法是一种由因索果的解题方法，从顺序上看其与分析法恰好相反，是从已知到未知（即从题设到结论）的推理方。
解题时，分析法和综合法是交替使用的。
知识全解一．分析法的概念解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。
它的思维形式是逆向推理。
对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则需反过来“顺着书写”。
二．综合法的概念解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推出结论为止，这种方法叫作综合法。
用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。
书写时应先写原因后写结论，一般都用“因为……，所以……”来表述推理。
在叙述过程中，当前面一步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。
三．分析综合法的概念对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。
一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼，想需要找到什么条件，从而找到解题途径。
这种方法称为分析综合法。
寻求解题要因题而异，有时用分析法，有时用综合法；有时用分析法分析思路，用综合法书写表达；有时分析法，综合法同时并用，一边分析，一边综合或交替使用。
四．分析法，综合法的解题策略应用分析法证明数学问题，尤其是证明几何问题时，语言是假定的；若要证明A成立则先证明B 成立，若要证明B成立，则先证明C成立……应用综台法时，语气是肯定的，且每一步的推理都必须是正确的。
解题时，分析是为了综合，综合又必须根据分析。
因而有的题目往往同时应用两种方法：一边分析，一边综合，有时甚至交替运用。
中考必备数学思维训练
中考必备数学思维训练
小学数学思维训练体系虽已形成，但总体上与课程标准中的知识点脱节。
虽然对一些问题和思维形式的训练，对初中、高中甚至大学数学知识的后续学习是有启发的，但总显得有点模糊。
中学数学竞赛和初高中的知识非常接近。
可以说是中学(初中、高中)数学知识的延伸和提升。
经过再三思考，我决定从初中数学核心知识点入手，以知识点为纲分析知识点，总结解题思路和方法，然后给出程序的设计思路和求解步骤，所以是一个新的课程体系。
先做一思维导图，再分类解决吧！
学习，如果只是知识点数量的增加，没有思维和技能(或思维方式)的积累，是不能满足新课程要求的。
教材本身就是对要教的知识的分类。
如何打破这种知识的分类教学思路，总结出有效的思维分类教学，是一个挑战。
先按照编程的思路总结一些具体的模型来解决问题！
1.数与式
2.方程
3.不等式
4.函数
5.三角
6.几何
7.统计
8.数形结合
9.抛物线平移
10.最值
11.对称
12.排列
python语言是最接近自然语言的一种编程语言，在表达数学思维方式方面有独特的优势。
再加上它模块众多，要解决上述知识范围内的实际数学问题是可行的。
问题的关键是我们务必对这些常见的数学思维方式方法必须谙熟于心。
好吧！我们按计划做就是了。
《分析与综合》课件
因果分析法
总结词
因果分析法是一种通过探究事物的因果关系来理解其行为和变化的方法。
详细描述
因果分析法注重对事物的因果链条进行深入探究，以揭示其内在的因果关系和作用机制。这种方法需 要运用归纳和演绎等逻辑推理方法，对事物的因果关系进行全面分析和解释。
03
综合的方法与技巧
Chapter
归纳综合法
总结词
。
企业管理领域
企业管理中，分析与综合是制定战略 和决策的重要手段。
在综合过程中，企业将各部门的信息 和资源进行整合，形成协同效应，提 高整体运营效率。
企业通过对市场、竞争对手、客户需 求等进行分析，制定营销策略和产品 开发计划。
例如，制定年度预算时，企业需要对 财务数据进行深入分析，综合各部门 的需求和资源，制定出合理的预算方 案。
《分析与综合》ppt课件
目录
• 分析与综合的定义 • 分析的方法与技巧 • 综合的方法与技巧 • 分析与综合的应用领域 • 分析与综合的实践案例
01
分析与综合的定义
Chapter
什么是分析
总结词
分析是将整体分解为部分，逐一考察各部分的性质和特点。
详细描述
分析是一种逻辑推理方法，通过对整体进行拆分，深入研究 各个组成部分的性质、属性和相互关系，从而深入理解整体 的结构和功能。在科学、工程、经济学等领域中，分析方法 被广泛应用。
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感谢观看
详细描述
系统分析法强调对系统的整体性、层次性和动态性进行全面分析，以揭示系统的 内在规律和行为特征。这种方法需要综合考虑系统的各个组成部分，以及它们之 间的相互影响和作用。
结构分析法
总结词
结构分析法是一种通过分析事物的内部结构和组成要素来理解其本质特征的方法。
数学解题的两种思维方法
数学解题的两种思维方法做任何事情都要讲究方法。
方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。
解答数学问题，关键也在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的答案。
数学解题的思维方法很多，如分析法、综合法、变更问题法、试验法、联想法、换元法、数形结合法、构造法、待定系数法等等。
其中前三种方法是解题中最常见，使用频率最高的方法，这里就这两种方法联系实际问题，与读者切磋一下它们的使用技巧。
一、分析法与综合法分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
为便于读者熟练地掌握这两种方法，从而获得希望成功的解题思路，现举例说明如下。
例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写)要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。
(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证。
从例1容易看出，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件。
综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找它的必要条件。
分析与综合法
AD BD
1
4．前进型分析法 这种分析法，其思路是从整体物中已经成立的某 一部分出发，运用已有的知识逐步寻找并扩展到 其它部分成立的条件，最终挺进到原事物成立的 必要条件，也就是原命题成立的必要条件。
数论常用的方法
例3 设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的 和都是负数，而任意11个相继项的和都是正数，试问，这 样的数列最多能包含多少项。 解：从已经明确的部分出发，即（最小项） ∵a1+…+a7＜0，a1+a2+…+a11＞0， ∴a8+a9+…+a11＞0。（由已知：到11项是已成立的部分） 顺序往前推进，可得a11+a12+…+a14＞0，则有 a8+a9+…+2a11+…+a14＞0。 但∵ a8+a9+…+a14＜0，∴a11＞0。（从11进到14，得a11＞0） 用同样的方法，顺序往前推进，可得a12＞0，a13＞0，因 而a11+a12+a13＞0，(推至16项)但因为a11+a12+…+a17＜0， ∴a14+…+a17＜0。(考察17项) 另一方面，从a7+…+a17＞0及a7+…+a13＜0，可得 a14+…+a17＞0。与前矛盾，因此项数≤16。(从11前进到17项， 第17项不成立，故只能是≤16)
分析与综合法
一、分析法与数学解题的分析法 1、分析法：把研究的对象分为各个组成部分，各个不同的 因素、不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而认识 和理解事物的一种方法，这是方法论中的分析法，也是数 学思想方法中的分析法。 2、数学解题中的分析法： 指从结果追溯到其产生的原因的思维方法，它是从所需要 论证的结论出发，以一系列的已知定义、定理为依据逐步 逆推，从而达到已知条件（也叫执果索因）
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2、已知 f(x)=
那么
f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+f(4)+f( )=___3____
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3、5个正方形组成一张十字形的纸，你能将它剪拼成 两个正方形吗？若能，怎样剪？
解:设剪拼成的两个正方形可看成 是一个长是宽2倍的长方形
长方形长为x,宽为 ,
原正方形的边长为a.
从前有个富于冒险精神的年轻人，在他的曾祖父的 遗物中发现了一张羊皮纸，上面记载了一项宝藏， 年轻人非常激动地读到：
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感谢您的欣赏！
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设D点坐标为（ x,y） (x,y)-(-1,0)=(-2-2a, -2b)
C（绞架）
F -1
1
AO B
x
得D(-3-2a,-2b)
(橡树)
(松树)
同理得E点坐标为 D （2a-1,2b)
所以由中点坐标公式得F（-2，0）
这样就可找到宝藏。
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六、小结
1、掌握分析综合思维方法，逐步学会分析问题、解决问题、 提高问题的能力。
∴x =5a2 ∴x2=10a2 =3a2+a2 所------数学故事
“乘船至北伟…，西经…，即可找到一座荒岛，岛的北岸有一 大片草地，草地上有一株橡树和一株松树，还有一座绞架，那 是我们过去用来吊死判变者的，从绞架走到橡树，并记住走了 多少步，继续朝前走刚才这么多步数的2倍，在这里打个桩，然 后回到松树那里，从松树走向绞架，同时记住所走的步数，到 了绞架那里，再继续朝前走这么多步，在这里打个桩，在两个 桩的正中挖掘，就可以找到宝藏了。”
已知：橡树为A（-1，0），松树为 B（1，0）绞架为C， AD=2CA， yE
BC=CE，求DE的中点F。 F
-1
AO
C（绞架） 1
x
B
(橡树) (松树)
D
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解：设绞架C的坐标为(a,b)
CA=（-1，0）-（a,b)= (-1-a, -b)
yE
又AD=2CA =(-2-2a, -2b)
需知
条件
综合思维方法：综合是以已知性质和分析为基础的，从已 知出发逐步推求位未知的思考方法，即执果导因法。
条件
可知
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结论
四、思维能力训练
1 、 集 合 A={a2,a+1,-3} ， B={a-3,2a-1} ， 若 A∩B={-3} ，
则a的值是（A ）
(Ａ)０ ( B)1 ( C)2 (D)3
2002年高考文科第22题：
（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（图1，图2）， 要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型，另一块剪拼成 一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的 面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线表示在 图中，并作简要说明；
图1
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图2
解：（Ⅰ）沿正三角形三边中点连线折起， 可拼得一正三棱锥；
取三角形三边之四等分点，过四等分点作边的垂线， 沿垂线剪下三个角， 余下部分沿三个边折起， 可剪拼成一个缺上底的正三棱柱，
而剪下的三个角恰好可拼成这个正三棱柱的上底。
图1
图2
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三、方法总结：
分析思维方法：分析在数学中特指从结果（结论）出发 追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。
结论
2、分析的思维方法的实质就是：正难则反。
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思考题： 如果给出的是一块任意三角形的纸片 （图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全 面积都与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼 方法，用虚线表示在图中，并作简要说明。
图（3）
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（Ⅲ）剪拼的正三棱锥模型的推广，因为角平分线到两 边的距离相等，取任意三角形的内心，分别连结内心到 各顶点的三条线段，去三条线段的中点，过三点分别想 三边作垂线，沿垂线剪下三个角，余下部分沿三个边折 起；可剪拼成一个缺上底的直三棱柱，而剪下的三个角 恰好可拼成这个直三棱柱的上底。