高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质第一课时直线与平面垂直的性质北师大版必修
高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.2 垂直关系的性质课件9高一数学课件
第一页，共十一页。
工人师傅在砌墙时，会使用 (shǐyòng)铅垂线来检验强是否垂直于 地面，原理是什么呢？
第二页，共十一页。
一、直线与平面垂直的性质
在初中(chūzhōng)我们学过：“在平面内，如果两条直线同时 垂 直于请另问一在条空直间线中，那有么相这同两或条者直类线似平的行结。论”吗？
No 的中点.。又∵GF∥BE 且GF＝1。∴GF∥CD 且 GF＝CD。∴DF∥GC 且
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求证：DF∥平面ABC
E
证明：作AB的中点G，连接FG、GC
D
∵BE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC
∴BE∥CD
又∵GF∥BE 且GF＝1
F
B
C
∴GF∥CD 且 GF＝CD
∴四边形CDFG为平行四边形 G
∴DF∥GC 且
FD平面 ABCAG C平面AB (píngmiàn)
∴DF∥平面ABC
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③面面垂直的判定定理
④面面垂直的性质定理
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教师 寄语： (jiàoshī) 聪明 在于勤奋 (cōngmíng)
天才在于积累
———华罗庚
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内容(nèiróng)总结
垂直关系的性质。工人师傅在砌墙时，会使用铅垂线来检验强是否垂直于地面(dìmiàn)，原理是什么呢。在初中 我们学过：“在平面内，如果两条直线同时垂。直于另一条直线，那么这两条直线平行。定理 如果两条直线同垂直 于一个平面，。求证： .。例2、如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE
高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.2 垂直关系的性质 第二课时 平面与平面垂直的性质高效测评
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第二课时平面与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分）1．下列推理中错误的是( ）A．如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面βB．如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面βC．如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析: 因为当α⊥β时，α内垂直于α与β的交线的直线垂直于β，不是α内所有直线都垂直于β。
答案：A2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则( ) A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面都垂直解析：因为直线a垂直于直线b，b不一定是平面β与α的交线,所以a不一定垂直于平面β。
答案：C3．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则（)A．l∥γB．lγC．l与γ斜交D．l⊥γ解析：在γ面内取一点O，作OE⊥m,OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥面β，所以OE⊥l,同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ.答案：D4．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( ）A．0条B．1条C．2条D．无数条解析: 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．答案：A二、填空题（每小题5分,共10分)5．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α,P∉l，则下列结论中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β;②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．解析：由面面垂直的性质定理可知，只有②不正确．答案：①③④6．若构成教室墙角的三个墙面记为α,β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β,γ的距离分别为3 m，4 m,1 m,则P与墙角B的距离为________m.解析：过点P向各面作垂线,构成以BP为体对角线的长方体．答案: 26三、解答题（每小题10分,共20分）7.如图所示,α⊥β，CDβ，CD⊥AB，ECα，EFα，∠FEC＝90°。
高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定课件北师大版必修2
5 2.
∵PE⊥BD1，∴BE＝12BD1＝
3 2.
在 Rt△PEB 中，PE＝
PB2－BE2＝
2 2.
在 Rt△PEF 中，sin∠PEF＝PPFE＝12， ∴∠PEF＝30°. ∴二面角 A－BD1－P 为 30°.
【探究 4】 在直角梯形 ABCD 中， ∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝ 12AB＝a(如图所示)，将△ADC 沿 AC 折起，将 D 翻到 D′，记平面 ACD′为 α，平面 ABC 为 β， 平面 BCD′为 γ.若二面角 α－AC－β 为直二面角，求二面角 β－ BC－γ 的大小．
符号 语言
l⊥a，l⊥b，a α，b α， a∩b＝P ⇒l⊥α
图形 语言
• 【预习评价】
• (1)线面垂直判定定理中，平面内两条相交直 线和已知直线l必须有公共点吗？
• 提示 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂 直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线 和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已 知直线有公共点，则是无关紧要的．
•答案 C
• 题型一 线面垂直的判定
• 【例1】 如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平 面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点 A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.
•证明 ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， •∴PA⊥BC. •又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC. •而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. •又∵AE 平面PAC，∴BC⊥AE. •∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C， •∴AE⊥平面PBC.
互动 探究
题型三 与二面角有关的计算
【探究 1】 如图所示，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60°，E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA ＝ 3. (1)证明：平面 PBE⊥平面 PAB； (2)求二面角 A－BE－P 的大小．
高中数学第1章立体几何初步1.2.3空间中的垂直关系(第1课时)直线与平面垂直bb高一数学
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第二十五页，共四十五页。
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[证明] 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 BD⊥AC，又 PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，所以 BD⊥PA，
因为 PA⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC，且 PA∩AC＝A， 所以 BD⊥平面 PAC，FH⊂平面 PAC， 所以 BD⊥FH.
3.直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
如果一条直线与平面
内的_两__条_相__交__(x_iān_gji_āo_)直都线
垂直，则这条直线与这 个平面垂直
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符号语言
l⊥a，
l⊥b，
a⊂α，
⇒l⊥α
b⊂α，
a∩b＝P
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思考：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线 与这个平面是什么位置关系？
所以 AG⊥DC，
因为 PA＝AD，G 是 PD 的中点，
所以 AG⊥PD，又 DC∩PD＝D，
所以 AG⊥平面 PCD，所以 PC⊥AG，
又因为
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PC⊥AF，AG∩AF＝A，所以
PC⊥平面
AFG.
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线面垂直性质定理(dìnglǐ)的应用
[探究问题] 将一块三角形纸片 ABC 沿折痕 AD 折起，将翻折后的纸片竖起 放置在桌面上(BD，DC 与桌面接触)．观察折痕 AD 与桌面的位置关 系．
直于这个平面
符号语言
aa∥ ⊥bα⇒_b_⊥__α__
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1．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的六个面中，与 AA1 垂直的平面的
2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质ppt课件北师大版必修2
类型三 面面垂直的性质定理的应用 【例 3】 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点， 四边形 ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正 三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD.
若 G 为 AD 边的中点， 求证：(1)BG⊥平面 PAD； (2)AD⊥PB.
(2)存在，所示 G 点即为 A1 点，理由如下： 由(1)可知 AE⊥DA1，取 CD 的中点 H， 连接 AH，EH，由 DF⊥AH，DF⊥EH， AH∩EH＝H，可证 DF⊥平面 AHE， ∵AE 平面 AHE，∴DF⊥AE. 又 DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面 DFA1，即 AE⊥平面 DFG.
理，证明的关键是 BN⊥平面 ECA，在这里应充分体会线线垂直、
线面垂直与面面垂直的关系．
(2)垂直关系的相互转化：
直线与直 判定定理 直线与平面判定定理平面与平
线垂直 定义及性质垂直
性质定理面垂直
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 C1D1 的 中点，F 为棱 BC 的中点．
(2)∵E 为△PBC 的垂心，连接 BE 并延长交 PC 于点 F，则 BF⊥PC.又 AE⊥平面 PBC，则 AE⊥PC.
∴PC⊥平面 ABE，则 PC⊥AB. 又由(1)知 PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB，则 AB⊥平面 PAC.∴ AB⊥AC，即△ABC 为直角三角形．
类型四 垂直关系的综合应用 【例 4】 如图所示，△ABC 为正三角形，CE⊥平面 ABC， BD∥CE，且 CE＝AC＝2BD，M 是 AE 的中点．求证：
如图所示，已知平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC， AE⊥平面 PBC，E 为垂足．
2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直课件新人教B版必修2
2．在三棱锥 A-BCD 中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．
证明：如图取 BD 的中点 E，
连接 AE，EC． 因为 AB＝AD，BE＝ED，所以 AE⊥BD． 又因为 CB＝CD，BE＝ED，所以 CE⊥BD．
又 AE∩EC＝E，所以 BD⊥平面 ACE，又 AC⊂平面 ACE，
所以 AC⊥BD．
如图所示，S 为 Rt△ABC 所
在平面外一点，且 SA＝SB＝SC．点 D 为
斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC；
(2)若直角边 BA＝BC，求证：BD⊥平面 ASC．
证明：(1)法一：在等腰三角形 SAC 中，D 为 AC 的中点， 所以 SD⊥AC，取 AB 的中点 E， 连接 DE、SE． 则 ED∥BC，又 AB⊥BC，
(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平 面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直) (3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么 另一条也垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质 (1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都 垂直，除此以外还有性质定理． (2)垂直于同一个平面的两条直线平行． 垂直于同一条直线的两个平面平行．
所以 AM＝12DC＝12AB．
所以 M 是 AB 的中点．
线面垂直的综合应用 如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，已知 DC
＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
(1)求证：D1C⊥AC1； (2)设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置， 使 D1E∥平面 A1BD，并说明理由．
(2)由第一问知 AN⊥平面 PBM，
高中数学第一章立体几何初步1.2.3第1课时直线与平面垂
的 任何直线都垂直 . 把直线AB画成和 AO：点A到平面α 我们就说这条直线 表示平面的平行 的垂线段 ；线段 和这个平面互相垂 四边形的一边垂 AO的长：点A到 直，记作______ AB⊥α 直 距离 平面α的____
那么它就和平面
内的 任意一条直
线垂直
知识点二
直线和平面垂直的判定定理及推论
跟踪训练 3
如图，△ABC 是正三角形， AE 和 CD 都垂直于平面 ABC ，
且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：
(1)DF∥平面ABC；
证明
(2)AF⊥BD. 证明 在Rt△ABE中，∵AE＝AB，F为BE的中点，
∴AF⊥BE.
∵△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.
解析 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面.
而②④图形中的两边不一定相交，
故该直线与它们所在的平面不一定垂直.
1 2 3 4 5
解析
答案
2.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形 的第三边AB的位置关系是 A.平行 C.相交 B.垂直 √ D.不确定
则称这两条直线互相垂直.
(2)直线与平面垂直的定义及性质
定义及符号表示 如果一条直线(AB) 和一个平面(α)相交 于点O，并且和这 个平面内过交点(O) 图形语言及画法 有关名称 直线AB：平面α的 垂线；平面α：直 线AB的 垂面 ；点 O： 垂足 ；线段 重要结论
如果一条直线垂
直于一个平面，
l⊥α ⇒l∥m _____ m⊥α
[思考辨析 判断正误] 1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可 能平行.( × ) 2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × ) 3.若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( × )
高中数学第一章立体几何初步1-6-2垂直关系的性质第一课时直线与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2
——教学资料参考参考范本——高中数学第一章立体几何初步1-6-2垂直关系的性质第一课时直线与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2______年______月______日____________________部门一、选择题(每小题5分，共20分)1．若m、n表示直线，α表示平面，则下列推理中，正确的个数为( )①⇒n⊥α；②⇒m∥n；③⇒m⊥n; ④⇒n⊥α.A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．答案：C2．已知直线a、b与平面α、β、γ，能使α⊥β的条件是( )A．a⊥β，β⊥γ，a⊂γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，α∥a D．a∥α，a⊥β解析：因为a∥α，所以过a作一平面γ∩α＝c，则a∥c，因为a⊥β，所以c⊥β，又c⊂α，所以α⊥β.答案：D3．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正确．答案：C4．四棱锥P－ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的关系是( ) A．垂直B．相交C．平行D．相交或平行解析：∵PA＝AD，E为PD的中点，∴AE⊥PD又PA⊥面ABCD.∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD.∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AE.又∵CD∩PD＝D，∴AE⊥面PCD.∴AE⊥PC.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________________．(只填序号即可)①a和b垂直于正方体的同一个面②a和b在正方体两个相对的面内，且共面③a和b平行于同一条棱④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直解析：①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．答案：①②③6．已知直线PG⊥平面α于G，直线EFα，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是________．解析：由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PF＜PE，∴有PG＜PF＜PE.答案：PG＜PF＜PE三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC 上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD、B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C，又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.8．斜边为AB的直角三角形ABC，过点A作PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E、F分别为垂足，如图．(1)求证：EF⊥PB；(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.证明：(1)∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵△ABC为直角三角形，∴BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又PB平面PBC，∴AF⊥BP.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，∴PB∥l.9．(10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．解析：取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.。
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1 ∴NB＝ON＝2AN. 又∵AB＝3AQ，∴Q 为 AN 的中点． 在△CAN 中， ∵P，Q 分别为 AC，AN 的中点， ∴CN∥PQ. 由 ON⊥OA，OC⊥OA 知 OA⊥平面 ONC， 又∵NC 平面 ONC，∴OA⊥NC， 由 CN∥PQ 知 PQ⊥OA.
线面垂直性质定理的应用 如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 AE＝AB＝2a，CD＝a，F 为 BE 中点． 求证：DF∥平面 ABC.
[思路探究] 要证DF∥平面ABC，关键是在平面ABC内找到一条直线与DF 平行，结合题目条件，可以利用作辅助线构造平行四边形的方法找这条直线．
6.2 垂直关系的性质 第一课时 直线与平面垂直的性质
自主学习·新知突破
1．在平面几何中我们有结论：“垂直于同一条直线的两直线平行”，这个结 论在空间还成立吗？如果不成立，这两条直线的位置关系又有哪些可能呢？
[提示] 不成立，在空间，垂直于同一条直线的两条直线既可能是平行的， 也可能是相交的，也可能是异面直线．
文字语言
图形语言
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两 条直线_平__行___.
符号语言
a⊥α b⊥α⇒ __a_∥_b___
[强化拓展] (1)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同 一个平面垂直)． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直” 与“平行”关系相互转化的依据．
A．AC
B．BD
C．A1D1
D．A1A
解析： 可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE. 答案： B
2．直线 a 与 b 垂直，b⊥平面 α，则 a 与平面 α 的位置关系是( )
A．a⊥α
B．a∥α
C．a α
D．a α 或 a∥α
解析： 若 a α，必满足条件；若 a α，则 a∥α，故选 D.
[思路探究] 要证 PQ⊥OA 可以有两种思路：一是证明 PQ 垂直于过 OA 的 平面；二是证明 OA 垂直于过 PQ 的平面．本题中两种方法都不容易实现，可以 转化为证明其中一条直线和另外一条直线的平行线垂直．
证明： 在平面 OAB 内过 O 点作 ON⊥OA 交 AB 于 N，连接 NC. 在等腰△AOB 中，∠AOB＝120°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， 在 Rt△AON 中，∠OAN＝30°，
1.如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的 中点，MN⊥平面 A1DC.求证：
(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点．
证明： (1)∵ADD1A1 为正方形， ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1，∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC，∴MN∥AD1.
(3)直线与平面垂直还有如下性质： ①如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一 条直线． ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行． ③两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面．
[自主练习]
1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于( )
2．如果两条直线都垂直于同一个平面，那么它们的位置关系能确定吗？观察 一下教室里两个与地面垂直的墙角，给出答案．
[提示] 能确定，互相平行．
1．认识和理解空间中线面、面面垂直的性质． 2．能够灵活应用线面、面面垂直的性质定理证明相关问题． 3．理解线线垂直、线面垂直的内在联系．
直线与平面垂直的性质定理
[规律方法] (1)证明线线平行是证明线面平行和面面平行的基础． (2)证明线线平行常有如下方法： ①利用线线平行定义：证共面且无公共点； ②利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线； ③利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； ④利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为线面垂直． (3)当条件中有垂直关系而证明线线平行时，可考虑利用线面垂直的性质定 理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三 角形中位线的有关性质．
[边听边记] 证明：取 AB 的中点 G，连接 FG、GC. ∵F 为 BE 的中点，
1 ∴FG∥AE 且 FG＝2AE＝a， 而 AE⊥平面 ABC，∴FG⊥平面 ABC. 又∵CD⊥平面 ABC， ∴FG∥CD 且 FG＝CD＝a. ∴四边形 CDFG 为平行四边形． 于是 DF∥CG.故 DF∥平面 ABC.
答案： D
3．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC， 且EC＝12，则ED＝________.
解析： ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥CD， 又可设AB＝10，∴CD＝5， 由EC＝12，故ED＝13. 答案： 13
4．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E∈平面 ABCD，F∈平面 A1B1C1D1，且 EF⊥平面 ABCD，求证 A1F 綊 AE.
证明： ∵EF⊥平面 A1B1C1D1， AA1⊥平面 A1B1C1D1， ∴EF∥AA1，∴A、A1、F、E 四点共面．
又平面 ABCD∥平， ∴AE∥A1F， ∴AA1FE 为平行四边形，
∴A1F 綊 AE.
合作探究·课堂互动
(2)连接 ON，在△A1DC 中， A1O＝OD，A1N＝NC. ∴ON 綊12CD 綊12AB，∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，
∴四边形 AMNO 为平行四边形，
∴ON＝AM.
1
1
∵ON＝2AB，∴AM＝2AB，
∴M 是 AB 的中点．
由线面垂直证明线线垂直
如图，在四面体 ABOC 中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°， 且 OA＝OB＝OC＝1.设 P 为 AC 的中点，Q 在 AB 上且 AB＝3AQ，证明：PQ⊥ OA.