零极点对系统的性能影响分析

4增加极点后的开环传递函数G2（s）的性能分析
为了分析开环传递函数的极点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个极点S=-p,并改变p值大小，即离原点的距离，分析比较系统性能的变化。所以增加零点后的开环传递函数为：
G2(s)的根轨迹
因为后面利用阶跃响应来分析时将取的极点均在实轴的负半轴，那么只要了解其中一个开环传递函数稳定，那么其它的稳定也可以推知。所以取p=1画出根轨迹来观察系统的稳定性。
不可对消偶极子
取增加的极点p=和零点s=组成一对开环偶极子，那么可以得到的闭环传递函数为：
为了得到新传递函数的性能参数，画出闭环传递函数的阶跃响应曲线。
Matlab指令：
num=[1,];
den=[1,,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf,'Type','line');
set(h,'LineWidth', 3);
得到图：
图25
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
可对消偶极子
取增加的极点p=-1和零点s=组成一对开环偶极子。那么可以得到的闭环传递函数为：
Matlab指令：
num=[1,];
set(h, 'LineWidth', 3);
得到图：
图16 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
4.2.3当p=1的阶跃响应
当p=1时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令：
num=[1];
den=[1,,,];
当p=10时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令：
num=[1];
den=[,,,Leabharlann ;step(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
set(h, 'LineWidth', 3);
图18 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
3.系统参数的变化有可能是随着p值的增加而震荡，但是数据量偏少，不能下结论；
4.同时可以预见，当零点与原点的距离趋近于无穷远时，系统性能受到的影响趋近于0。
5.偶极子对系统性能影响的验证
相距很近的闭环零点极点常被称为偶极子，经验指出，如果闭环零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则这一对闭环零极点就构成偶极子。偶极子中，远离原点的偶极子，其影响基本可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。出于本报告只是验证该规律，所以不可对消偶极子和可对消偶极子各取一对。
当p=1时，开环传递函数G2(s)的表达式为
Matlab指令：
num=[1];
den=[1,,,];
rlocus(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
set(h, 'LineWidth', 3);
得到图：
图14原函数G0(s)的根轨迹
根据G(s)的根轨迹可得：根轨迹均在左半平面，只是多了一个极点，系统仍然是稳定的，并且可以推知，只要极点在实轴的负半轴上，系统都是稳定的。
3.2.4当a=10的阶跃响应
当a=10时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令
num=[,1];
den=[1,,];
step(num,den)
grid on
得到图
图7 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
由图可知，曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
增加零点后对系统性能的影响分析
根据图2，图4，图5，图6，图7，图8，可以得到原函数以及在原开环传递函数上增加一个零点s=a，a分别取,,1,10,100的系统性能参数。如以下表1所示：
表1
根据表1可画出lga与各个指标的关系曲线，如以下图9，图10，图11，图12和图13。因为原函数中的lga的值为负无穷，所以无法在图中直接反映，所以图9，图10，图11，图12和图13五个图反映的是，零点距离原点的远近对系统性能的影响。
为了分析开环传递函数的零点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个零点S=-a,并改变a值大小，即离虚轴的距离，分析比较系统性能的变化。所以增加零点后的开环传递函数为：开环传递函数表达式：
G1（s）的根轨迹
因为后面利用阶跃响应来分析时将取的零点均在实轴的负半轴，那么只要了解其中一个开环传递函数稳定，那么其它的稳定也可以推知。所以取a=1画出根轨迹来观察系统的稳定性。
根据图2，图24以及图25的可以的得到的数据如表3。
表3
由表3可以看出，增加距离原点远的偶极子（可对消偶极子）比增加距离原点近的偶极子（不可对消偶极子）的对各个参数的影响都要小。并且可对消偶极子消去后对系统系能几乎没有影响，在工程计算中，完全可以忽略。
参考文献
[1] 胡寿松,自动控制原理(第六版).北京：科学出版社，2013
图15 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
4.2.2当p=的阶跃响应
当p=时，对应的闭环传递函数为
num=[1];
den=[10,9,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
step(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
set(h, 'LineWidth', 3);
图17 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=50s，
超调量 =%
4.2.4当p=10的阶跃响应
图19 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=10s，
超调量 =%
增加极点后对系统性能的影响分析
根据图2，图15，图16，图17，图18，图19，可以得到原函数以及在原开环传递函数上增加一个零点s=-p，p分别取,,1,10,100的系统性能参数。如以下表2所示：
3.随着a的增加（或者说随着零点渐渐远离零点），曲线峰值受到的影响（取绝对值来看）和超调量受到的影响均是先增后减；上升时间受到的影响，超调时间受到的影响，调节时间受到的影响均是先减后增再减；
4.当a=100时，也就是零点距离原点最远时，增加的零点对系统的影响最小，可以预见，当零点与原点的距离趋近于无穷远时，系统性能受到的影响趋近于0。
图9曲线峰值Mr与lg（a）的关系
图10上升时间tr与lg（a）的关系
图11 超调时间与lg（a）的关系
图12调节时间与lg（a）的关系
图13 超调量与lg（a）的关系
结论：
1.增加不同的零点对系统参数有不同的影响；
2.曲线峰值与超调量受到影响后的值与原值没有重合，上升时间，超调时间与调节时间与原值有重合；
3.2.5当a=100的阶跃响应
当a=10时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令
num=[,1];
den=[1,,];
step(num,den)
grid on
得到图
图8 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
由图可知，曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
3.2.1当a=的阶跃响应
当a=时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令：
num=[100,1];
den=[1,,];
step(num,den)
grid on
得到图
图4 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=197s，
超调量 =%
表2
根据表1可画出lgp与各个指标的关系曲线，如以下图20，图21，图22，图23和图24。因为原函数中的lga的值为负无穷，所以无法在图中直接反映，所以图20，图21，图22，图23和图24五个图反映的是，极点距离原点的远近对系统性能的影响。
图20曲线峰值Mr与lg（p）的关系
图21上升时间tr与lg（p）的关系
当a=1时，开环传递函数的表达式为：
Matlab指令：
num=[1,1];
den=[1,,];
rlocus(num,den)
得到图
图3G1（s）的根轨迹曲线
根据G1（s）的根轨迹可得：根轨迹均在左半平面，只是多了一个零点，系统仍然是稳定的，并且可以推知，只要零点在实轴的负半轴上，系统都是稳定的。
增加不同零点时G1（s）的阶跃响应
4.综合数据，分析零点对系统性能的影响
5.在G0（s）上增加极点，使开环传递函数为G2（s），绘制系统的根轨迹，分析系统的稳定性；
6.取不同的开环传递函数G2（s）极点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）；