第3节 解析函数的Taylor展式
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三角函数的泰勒展开解析与推导
三角函数的泰勒展开解析与推导泰勒展开是数学分析中常用的一种数列表示函数的方法。
其原理是将一个函数在某一点附近用多项式逼近，以便更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将会介绍三角函数的泰勒展开方法，并进行解析与推导。
一、正弦函数的泰勒展开我们首先来探讨正弦函数的泰勒展开。
正弦函数是一个周期为2π的函数，在0点附近有关键的特性。
我们将以0点为展开点进行泰勒展开。
我们知道正弦函数在0点处的函数值为0，因此，首先展开的项必须满足这个条件。
正弦函数的泰勒展开可以表示为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...其中，n!表示n的阶乘。
根据这个公式，我们可以推导出正弦函数的近似值，只需取其中前几项即可得到足够精确的结果。
二、余弦函数的泰勒展开接下来，我们将讨论余弦函数的泰勒展开。
余弦函数也是一个周期为2π的函数，在0点附近有关键的特性。
同样地，我们将以0点为展开点进行泰勒展开。
余弦函数在0点处的函数值为1，因此，首先展开的项必须满足这个条件。
余弦函数的泰勒展开可以表示为：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...根据这个公式，我们可以推导出余弦函数的近似值，只需取其中前几项即可得到足够精确的结果。
三、正切函数的泰勒展开最后，我们来研究正切函数的泰勒展开。
正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，因此可以通过泰勒展开的结果进行表示。
正切函数的泰勒展开可以表示为：tan(x) = x + (x^3)/3 + (2*x^5)/15 + (17*x^7)/315 + ...通过这个公式，我们可以计算正切函数的近似值，同样地，只需取其中前几项即可得到足够精确的结果。
总结：本文通过对三角函数的泰勒展开进行解析与推导，详细说明了正弦函数、余弦函数和正切函数的展开方式。
泰勒展开是一种重要的近似方法，可以用于更好地理解和计算函数的性质。
泰勒极数
2
i
f
(
(
) z0
)n1
(
z
z0
)n
f ( )
2 z0
n
z z0
z0
M
2
r
z z0 r
n
M qn,
2 r
其中,
q
z z0 r
1.
可知在C上是一致收敛
前面积分号下的级数可在C上逐项积分.
再根据 Cauchy导数公式
f (z)
1
2 i
c
定理f2.(6 n0 ( z0
2!
n!
并且收>>敛ta半yl径or(fR,z) %展. 开的默认值是6项
ans =
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式.
间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
负实轴>>向sy左m的s z射; 线的区域内解析.
>> f=log(1+z);
y
因为
>> taylor(f)
R1
lna(n1s=z) 1 ,
1 z
1 o 1
x
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5
1 1 z z2 (1)n zn
z 1 ,
1 z
所以
ln(1 z)
z 1 ,
1 z
逐项求导，得
1
(1 z)2
1 2z
3z2
(1)n(n 1)zn
z 1 .
第三节泰勒级数
2 n 1 z3 z5 z sin z z ( 1)n , 3! 5! ( 2n 1)!
( R )
2n z2 z4 z cos z 1 ( 1)n , 2! 4! ( 2n)!
( R )
19
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分 等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展
时弱得多; (想一想, 为什么?)
2.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.
3. 当 z0 0 时, 级数称为麦克劳林级数 ;
11
推论1：
函数f ( z)在z0解析
f ( z)在z0的某邻域内可展开为 z z0的幂级数
函数f ( z)在区域D解析
f ( z)在D内任一点处可展开为z z0的幂级数
14
推论3：
f ( z ) Cn ( z z0 ) n , 设函数f ( z)在z0解析，且有 T aylor 展开式：
n 0
是f ( z)的距z0最近的一个奇点， 则R z0 为其收敛半径。
例如：
1 f ( z) 2 C n z n , 则其收敛半径 R 2; z z 6 n 0
1 1 2 (1 z ) 1 z
1 2 z 3 z 2 ( 1)n1 nz n1 ,
z 1.
25
例2 求对数函数的主值ln(1 z ) 在 z 0 处的
泰勒展开式.
分析
ln(1 z ) 在从 1向左沿负实轴剪开的
22
z z n z 5) cos z 1 ( 1) , 2! 4! ( 2n)!
( R )
2n z2 z4 z cos z 1 ( 1)n , 2! 4! ( 2n)!
( R )
19
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分 等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展
时弱得多; (想一想, 为什么?)
2.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.
3. 当 z0 0 时, 级数称为麦克劳林级数 ;
11
推论1：
函数f ( z)在z0解析
f ( z)在z0的某邻域内可展开为 z z0的幂级数
函数f ( z)在区域D解析
f ( z)在D内任一点处可展开为z z0的幂级数
14
推论3：
f ( z ) Cn ( z z0 ) n , 设函数f ( z)在z0解析，且有 T aylor 展开式：
n 0
是f ( z)的距z0最近的一个奇点， 则R z0 为其收敛半径。
例如：
1 f ( z) 2 C n z n , 则其收敛半径 R 2; z z 6 n 0
1 1 2 (1 z ) 1 z
1 2 z 3 z 2 ( 1)n1 nz n1 ,
z 1.
25
例2 求对数函数的主值ln(1 z ) 在 z 0 处的
泰勒展开式.
分析
ln(1 z ) 在从 1向左沿负实轴剪开的
22
z z n z 5) cos z 1 ( 1) , 2! 4! ( 2n)!
复变函数第四章第三节解析函数的泰勒展式
第三节 泰勒级数
一、问题的引入 二、泰勒定理 三、将函数展开成泰勒级数 四、典型例题
一、问题的引入
问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？
如图:
.
. K
.
内任意点
2
由柯西积分公式 , 有
其中 K 取正方向.
则
3
由高阶导数公式, 上式又可写成 (1)
其中 给(1)式两端加上极限，可得
4
在K内 令 则在K上连续,
即存在一个正常数M,
5
在 内成立,
从而在K内 在 的泰勒展开式,
泰勒级数
圆周 的半径可以任意增大,只要 在 内成立.
由上讨论得重要定理——泰勒展开定理
6
泰勒(Taylor)定理
定理4.14 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析,a∈D, 只要K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级
例如， 故有
10
仿照上例 ,
11
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解
析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积 分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰 勒展开式. 间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
Died: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England
25
22
思考题
奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?
23
思考题答案
奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.
放映结束，按Esc退出.
24
泰勒资料
一、问题的引入 二、泰勒定理 三、将函数展开成泰勒级数 四、典型例题
一、问题的引入
问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？
如图:
.
. K
.
内任意点
2
由柯西积分公式 , 有
其中 K 取正方向.
则
3
由高阶导数公式, 上式又可写成 (1)
其中 给(1)式两端加上极限，可得
4
在K内 令 则在K上连续,
即存在一个正常数M,
5
在 内成立,
从而在K内 在 的泰勒展开式,
泰勒级数
圆周 的半径可以任意增大,只要 在 内成立.
由上讨论得重要定理——泰勒展开定理
6
泰勒(Taylor)定理
定理4.14 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析,a∈D, 只要K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级
例如， 故有
10
仿照上例 ,
11
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解
析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积 分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰 勒展开式. 间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
Died: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England
25
22
思考题
奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?
23
思考题答案
奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.
放映结束，按Esc退出.
24
泰勒资料
第三节 泰勒级数
第三节 泰勒级数
掌握将较简单的解析函数用适当方法 展开成泰勒级数
掌握求解泰勒级数的收敛半径 记住几个主要初等函数的泰勒展开式
例：把函数
1 z
表示成形如
n0
Cn
(
z
2)n的
幂级数.
代换(复合)运算在把函数展开成幂级数时
有广泛的应用；
具体步骤：首先对函数作代数变形，将其
写成 1 ，然后把 1 展开式中的z换成
展式，即
a0
f (z0 )，an
f (n) (z0 ) (n 0,1, 2,) n!
例1、求函数ez，sin z在z 0处的泰勒展式.
例2、求函数f (z) 1 在z 1的邻域 z2
内的泰勒展式.
例3、将函数f
(z)
1 (1 z)2
展开为z
i的
幂级数.
1- g(z)
1 z
g ( z ).
定理4.6 设函数f (z)在区域D内解析，
z0为D内一点，R为z0到D的边界上各点 的最短距离，则当 z - z0 R时，f (z) 可展开为幂级数
f (z) Cn (z z0 )n， n0
其中Cn
1 n!
f
(n) (z0 )，n
3、如果f(z)在D内有奇点，则使f(z)在z0处的 泰勒展开式成立的R等于从z0到f(z)的距z0 最近的奇点a之间的距离，即R=|a-z0|.
4、f(z)在z0处的泰勒展开式是唯一的.因此
用多种方法求一个函数的泰勒展式，所 得结果一定相同.
5、泰勒展式中的系数与z0有关. 6、函数f(z)在一点z0解析的充分必要条件
掌握将较简单的解析函数用适当方法 展开成泰勒级数
掌握求解泰勒级数的收敛半径 记住几个主要初等函数的泰勒展开式
例：把函数
1 z
表示成形如
n0
Cn
(
z
2)n的
幂级数.
代换(复合)运算在把函数展开成幂级数时
有广泛的应用；
具体步骤：首先对函数作代数变形，将其
写成 1 ，然后把 1 展开式中的z换成
展式，即
a0
f (z0 )，an
f (n) (z0 ) (n 0,1, 2,) n!
例1、求函数ez，sin z在z 0处的泰勒展式.
例2、求函数f (z) 1 在z 1的邻域 z2
内的泰勒展式.
例3、将函数f
(z)
1 (1 z)2
展开为z
i的
幂级数.
1- g(z)
1 z
g ( z ).
定理4.6 设函数f (z)在区域D内解析，
z0为D内一点，R为z0到D的边界上各点 的最短距离，则当 z - z0 R时，f (z) 可展开为幂级数
f (z) Cn (z z0 )n， n0
其中Cn
1 n!
f
(n) (z0 )，n
3、如果f(z)在D内有奇点，则使f(z)在z0处的 泰勒展开式成立的R等于从z0到f(z)的距z0 最近的奇点a之间的距离，即R=|a-z0|.
4、f(z)在z0处的泰勒展开式是唯一的.因此
用多种方法求一个函数的泰勒展式，所 得结果一定相同.
5、泰勒展式中的系数与z0有关. 6、函数f(z)在一点z0解析的充分必要条件
解析函数的泰勒展开
n=0
或者 : f (z)在圆 z − a < R 内的泰勒展开。
注意：a是f (z)的解析点。
∑ f (z)
+∞
n=0
f
(n)(a n!
)
(
z
− a)n。
推论1：f (z)在任一解析点 a 的泰勒展式是唯一的.
证明：假设f (z)在某个解析点a有两个泰勒展式：
∑ ∑ = f (z)
+∞
an(z − a)n ,= f (z)
=
∑ +∞
(1+ i)n −(1−i)n 2i(n!)
z
n=
+∞
(
n=0
n=0
2)n n!
(sin
nπ
4
)z
n
。
#
复合函数泰勒展开 例. 将 cos z3展为z 的幂级数.
∑ 解
cos
z
3
=
+∞
∑
n=0
(−1)n
( z3 )2n (2n)!
=
+∞
n=0
(−1)n
(2n)!
z 6 n。
#
例求
1 1+ z4
∑+∞
=
ea n!
(
z
−
a
)n，
z−a
<
n=0
+∞。
#
n=0
ez 在z = 0 的泰勒展式为
∑ ez
+∞
=
n=0
zn n!
=1 +
z
+
z2 2!
+
z3 3!
+
第三节解析函数在无穷远点的性质-精品文档
z
lim f (z)
本节结束
谢谢！
Complex Function Theory
Department of Mathematics
解析函数在无穷远点的性质
|z | 定理9.1 设函数f(z)在区域 R 内解析 ，那么 z 是 f(z) 的可去奇点、极点或本 性奇点的必要与充分条件是：
存在着极限 、无穷极限或不存在有限 f (z) 或无穷的极限 lim 。 z R |z | 系9.1 设函数 f(z)在区域 内解析， 是 f(z) 的可去奇点的必要与充分 那么 z R ) ，使得 f(z) 0( 条件是：存在着某一个正数 |z z | 在 内有界。 0 0
w
n
,
如果 w=0 是 ( z) 的可去奇点、（ m 阶）极 点或本性奇点，那么分别说 z 是 f(z) 的 可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。
n
解析函数在无穷远点的性质
（1）、如果当时n=1,2,3,…， n 0 ，那么
z 是f(z)的可去奇点。
（ 2 ）、如果只有有限个（至少一个）整数 n ，使得 ，那么 z 是 f(z) 的极点 n 0 。 m 0 ，而当n>m时， n 0 设对于正整数m， 那么我们称 z 是 f(z) 的 m 阶极点。按照 m=1 或 m>1 ，我们也称 z 是 f(z) 的单极 点或m重极点。 （3、如果有无限个整数n>0，使得 n 0 ， 那么我们说 z 是f(z)的本性奇点。
解析函数在无穷远点的性质
注解1、我们也称
n n z , z n n , n 0 n 1
分别为级数 n z n , 的解析部分和主要部分。
lim f (z)
本节结束
谢谢！
Complex Function Theory
Department of Mathematics
解析函数在无穷远点的性质
|z | 定理9.1 设函数f(z)在区域 R 内解析 ，那么 z 是 f(z) 的可去奇点、极点或本 性奇点的必要与充分条件是：
存在着极限 、无穷极限或不存在有限 f (z) 或无穷的极限 lim 。 z R |z | 系9.1 设函数 f(z)在区域 内解析， 是 f(z) 的可去奇点的必要与充分 那么 z R ) ，使得 f(z) 0( 条件是：存在着某一个正数 |z z | 在 内有界。 0 0
w
n
,
如果 w=0 是 ( z) 的可去奇点、（ m 阶）极 点或本性奇点，那么分别说 z 是 f(z) 的 可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。
n
解析函数在无穷远点的性质
（1）、如果当时n=1,2,3,…， n 0 ，那么
z 是f(z)的可去奇点。
（ 2 ）、如果只有有限个（至少一个）整数 n ，使得 ，那么 z 是 f(z) 的极点 n 0 。 m 0 ，而当n>m时， n 0 设对于正整数m， 那么我们称 z 是 f(z) 的 m 阶极点。按照 m=1 或 m>1 ，我们也称 z 是 f(z) 的单极 点或m重极点。 （3、如果有无限个整数n>0，使得 n 0 ， 那么我们说 z 是f(z)的本性奇点。
解析函数在无穷远点的性质
注解1、我们也称
n n z , z n n , n 0 n 1
分别为级数 n z n , 的解析部分和主要部分。
泰勒函数展开公式
泰勒函数展开公式泰勒函数展开是一个用于将函数在一些点附近进行近似的方法。
它基于泰勒级数，由苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里·泰勒在18世纪提出。
泰勒函数展开可以将一个光滑的函数在一些点处展开成一系列的无穷项幂级数，从而可以近似表示该函数在该点附近的性质。
首先，我们假设函数f(x)在x=a处可导，并且有定义。
那么，泰勒级数展开给出了一个函数f(x)在x=a处的无穷阶导数所确定的多项式序列的和。
泰勒级数展开可以使用下面的泰勒公式来表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...在这个公式中，f(a)表示函数在x=a处的函数值，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。
公式的右侧的后续项表示函数在x=a处的高阶导数在差值(x-a)的幂的影响。
泰勒函数展开的目的是通过使用较低阶的近似项来近似表示函数f(x)在一些点a附近的行为。
一般来说，通过增加级数中的项数，我们可以得到更精确的近似。
然而，在实际应用中，通常只需要使用前几项来获得足够准确的近似。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明泰勒函数展开的应用。
假设我们要近似计算函数f(x) = sin(x)在x=0附近的行为。
我们首先计算f(x)在x=0处的函数值和导数值。
在x=0处，sin(x)的函数值为0，一阶导数为cos(0)=1，二阶导数为-din(0)=-1，三阶导数为-sin(0)=0，以此类推。
根据泰勒公式，我们可以得到近似展开：sin(x) = sin(0) + cos(0)(x-0)/1! + (-sin(0))(x-0)²/2! + 0(x-0)³/3! + ...将具体的数值代入公式，我们可以得到简化形式的泰勒展开函数：sin(x) ≈ x - x³/3!这个近似展开函数表示了在x=0附近的sin(x)的近似行为。
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1 , ( n 0 , 1 , 2 ,)
2 n n
故有 e z 1 z z z z 2! n! n 0 n!
因为 e 在复平面内处处解析,
z
所以级数的收敛半径 R .
仿照上例 , 可得 sinz 与 cosz 在 z 0 的泰勒展开式.
(4.9)称为其Taylor系数, 而(4.8)等号右边的级数则称为Taylor级数.
f ( z ) cn ( z a) n ,
n 0
(4.8)
泰勒展开式
泰勒级数
1 f ( ) 1 (n) cn ( a)n1 d n! f (a), 2 i
(4.9)
3 刻划解析函数的第四个等价定理 定理4.15 函数f ( z )在区域D内解析的充要条件为 :
1 un u 1 za za 当 时, 1; 1 u n 0 a 1 za n ( ) , 在 上关于 一致收敛, 故 z a n 0 a 1 a
1 故由定理4.7, 上式两边沿 积分, 并乘以 得 2 i
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得
z 1 dz ( 1)n z ndz 0 1 z 0 n 0 z 2 z3 z n 1 ln(1 z ) z (1) n z 1 即 2 3 n 1 z
故收敛半径R 1.
三、一些初等函数的泰勒展式
由解析函数Taylor展式的唯一性, 要求解析函数f ( z ) 在z a的Taylor级数, 可以采用任何可能的方法去找一 个形如 cn ( z a)n的幂级数, 只要它在a的一个邻域内收 敛于f ( z ), 则这个幂级数就是所求的Taylor级数.
例3 求 sin z 在 z 0 的泰勒展开式. 1 iz iz 解 因为 sin z (e e ) 2i
(iz ) iz (iz ) e ,e , n! n0 n ! n 0 1 iz iz 所以 sin z (e e ) 2i n n
而
n n iz
' F ( z ) cn ( z a) n , z K ' : z a R ; n 0
但因在 z a R中F ( z ) f ( z ),
f ( z ) cn ( z a) n
n 0
' F ( z ) cn ( z a ) n n 0
n 0
1 设 cn z n ,求其收敛半径. 例1 1 z z 2 n 0 解 由 z z 2 0, 得z 1 5 ; 1 2 5 1 . 它们是和函数的两个奇点,故知收敛半径为 R 2
注2:即使幂级数在其收敛圆上处处收敛,其和函数 在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.
1 由 1 z z 2 (1)n z n z 1 1 z
上式两边逐项求导,
1 1 2 (1 z ) 1 z
1 2 z 3z 2 (1)n1 nz n1 , z 1.
例5 求对数函数的主值ln(1 z ) 在 z 0 处的 泰勒展开式. 分析 ln(1 z ) 在从 1向左沿负实轴剪开的 平面内是解析的, 1 是它的一个奇点,
z3 z5 z 2 n 1 n sin z z ( 1) , 3! 5! ( 2n 1)!
( R )
z2 z4 z 2n cos z 1 ( 1)n , 2! 4! ( 2n)!
( R )
2. 间接展开法 :
借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分 等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展 开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
f ( z )在D内任一点a的邻域内可展成z a幂级数, 即 Taylor级数
注
若f ( z )在 z a R解析, 则其Taylor系数cn
满足Cauchy不等式
cn
Max f ( z )
z a
n
, (0 R, n 0,1, 2,)
二 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况
注3 该定理一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂
数所代表函数的性质间的关系,同时,还表明幂级数的
理论只有在复数域内才能弄得完全明白.
如 为什么仅当 x 1时有展式 1 1 x2 x4 x6 2 1 x 在实数域内无法弄清,但在复数域上来讲 1 在复平面上有两个奇点z i, 2 1 z
(4.9)
1 f ( ) 1 (n) 其中 cn ( a)n1 d n! f (a), 2 i
积分形式 且展式是惟一的.
( : a , 0 R; n 0,1, 2,)
微分形式
1 un 证明 z K , 1 u n 0 : a , 0 R, 使z在 内;
z ;
1 ( iz ) ( iz ) 2i n 0 n! n! n 0
z ( 1) ( 2n 1)! n 0
n
2 n 1
z .
附: 常见函数的泰勒展开式
z2 zn zn 1) e z 1 z , ( z ) 2! n! n 0 n! 1 2) 1 z z 2 z n z n , ( z 1) 1 z n 0
定理4.16 如幂级数 cn ( z a) 的收敛半径R 0, 且
n
f ( z ) cn ( z a) n , z K : z a R;
则f ( z)在其收敛圆周C : z a R上至少有一个奇点.
n 0
n 0
即不可能有这样函数F ( z )存在, 它在 z a R内 与f ( z )恒等, 而在C上处处解析.
z z n z 5) cos z 1 ( 1) , 2! 4! ( 2n)!
2
4
2n
( z )
z2 z3 z n1 6) ln(1 z ) z ( 1)n , 2 3 n1
z n 1 n ( 1) n1 n0
第三节 解析函数的泰勒展式
Department of Mathematics
一、泰勒定理
1 定理4.14
设f ( z )在区域D内解析, a D, 只要圆
K : z a R含于D, 则f ( z )在K内能展成幂级数
f ( z ) cn ( z a) n ,
n 0
(4.8)
n 1
例 f ( z ) (1) n 1
z 在 z 1上绝对且一致收敛. n(n n 1) n 1 ' n 1 z f ( z ) (1) 但 1为f ( z )的奇点. n n 1 其实f ( z ) ( z 1) ln(1 z ).
u 1
1 f ( ) 由柯西积分公式 , 有 f ( z ) z d , 2 i 1 1 1 1 由于 z ( a) ( z a) a za 1 a K 内任意点 .z
. R a
K
D
圆周 a
f ( ) 以 上有界函数 乘上式两边得, a f ( ) f ( ) ( z a)n , z n 0 ( a) n 1 在 上关于 仍一致收敛,
1 f ( ) 1 f ( ) d ( z a) n f ( z) z d n0 2 i ( a)n1 2 i
cn ( z a) n
n 0
n 0
f ( n ) (a) ( z a) n ; n!
由z的任意性，定理前半部分得证。 下证唯一性,设另有展式
因此 cn ( z a) 也是F ( z )的Taylor级数,
n n 0
F ( n ) (a) f ( n ) (a) ' cn cn n! n!
而它的收敛半径不会小于R , 这与假设相矛盾. 注1:该定理给出了确定收敛半径R的方法.
设f ( z )在点a解析, b是f ( z )的奇点中距中心a最 近的一个奇点; n 则 b a R就为幂级数 cn ( z a) 的收敛半径.
1 3) 1 z z 2 ( 1)n z n ( 1)n z n , 1 z n 0 ( z 1) z3 z5 z 2 n1 n 4) sin z z ( 1) , 3! 5! ( 2n 1)! ( z )
所以它在 z 1 内可以展开成 z 的幂级数.
如图, 解
1 [ln(1 z )] 1 z n 0y源自R11o1
x
1 z z 2 ( 1)n z n ( 1)n z n
( z 1)
设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
1 在 z 0 的泰勒展开式. 例2 求 1 z
解 由等比级数的求和公式有 1 2 n 1 z z z , z 1 1 z
注:从上式有
1 1 z z 2 z 3 (1)n z n , z 1 1 z 1 1 z 2 z 4 z 6 (1)n z 2 n , z 1 1 z2
证明 倘若这样的F ( z )存在,
这时C上的每一点都是某圆O的中心, 而在圆O内F ( z )是解析的, 由有限覆盖定理, 我们可以在这些圆O中选取有限个圆将C覆盖,