三角函数诱导公式
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2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的三角函数 之间的关系是什么？
公式一： sin( 2k ) sin
cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan k Z
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？
对比sinα ，cosα ，tanα 的值，π ＋ α 的三角函数与α 的三角函数有什么关 系？
减区间：
[ 2kπ ，3π 2kπ]
2
2
（k Z）
正弦函数.余弦函数的图象和性质
想一想?
1. sinα、cosα、tanα的几何意义.
y
T
1P
正弦线MP
o M 1A
余弦线OM
x 正切线AT
三角问题
几何问题
正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
(1) 列表
2
正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象
定义域为R
值域为[-1,1]
y
1
y=1
4
3
2
7 2
5 - 3 21 2
0
2
2
-1
x 2kπ （k Z）
2
x 2kπ （k Z）
2
2
3
4
3 y 1 5
7
x
2
2
2
y= -1
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
o
2
6
3
2
3
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
5
6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
22
x
-1 -
-
-
正弦函数.余弦函数的图象和性质
2
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
x0
6
y0
1 2
y sin x, x 0,2
3
2 5
236
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2) 描点 y
1-
-
0
2
1 -
(3) 连线
3 2
2
x
正弦函数.余弦函数的图象和性质
1 函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
性质二：周期性
正弦函数y sin x的周期2kπ(k Z, k 0)
T 2
y Asin（ω x φ ）（A 0，ω 0, x R) 的周期为T 2π
ω
正弦函数 y=sinx 的单调性和奇偶性
增区间：
[ 2kπ ，π 2kπ]
2
2
（k Z）
2kπ ＋α （k∈Z），π ＋α ，－α ，π －α 的三角函数值，等于α 的同名函数 值，再放上原函数的象限符号.
函数同名，象限定号！
1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意 义时恒成立.
2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα ，
sin（3π －α ）=sinα 等.
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan(2k ) tan 。
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
公式六： 2
cos( ) sin
2
思的三考角：函诱数导与公式α的可三统角一函为数之k2间的 (关k 系Z)， 你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限.
例 化简：
sin(2 - )cos( )cos( )cos(11 - )
2
2
cos( - )sin(3 - )sin(- - )sin( 9 )
sin( ) sin
公式二： cos( ) cos
tan( ) tan
该公式有什么特点，如何记忆？
思考3：根据三角函数定义，－α 的三角
函数与α 的三角函数有什么关系？
α 的终边
y
P(x,y)
o
P(x,-y)
x
-α 的终边
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
思考：利用π －α ＝π ＋(－α )，结合 公式二、三，你能得到什么结论？
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
tan( ) tan
思考：公式一～四都叫做诱导公式，他 们分别反映了2kπ ＋α （k∈Z），π ＋ α ，－α ，π－α的三角函数与α的三角 函数之间的关系，你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗？
O
P1(x，y)
x
公式五：
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
思考： 与 有什么内在联系？
2
2
( )
2
2
பைடு நூலகம்
思考：根据相关诱导公式推导，
sin( ) ，cos( ) 分别等于什么？
2
2
sin( ) cos
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
利用诱导公式一～四，可以求任意角 的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
思P1（考x：，设y）角，α 则的终边2与单的位终圆边的与交单点位为 圆的交点为P2（y，x），根据三角函数 的定义，你能获得哪些结论？
y 的终边
2
P2(y，x)
α 的终边
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
3余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-
-1
o 6
-1 -
简图作法
-
4 关键五点 (五点作图法)
公式一： sin( 2k ) sin
cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan k Z
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？
对比sinα ，cosα ，tanα 的值，π ＋ α 的三角函数与α 的三角函数有什么关 系？
减区间：
[ 2kπ ，3π 2kπ]
2
2
（k Z）
正弦函数.余弦函数的图象和性质
想一想?
1. sinα、cosα、tanα的几何意义.
y
T
1P
正弦线MP
o M 1A
余弦线OM
x 正切线AT
三角问题
几何问题
正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
(1) 列表
2
正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象
定义域为R
值域为[-1,1]
y
1
y=1
4
3
2
7 2
5 - 3 21 2
0
2
2
-1
x 2kπ （k Z）
2
x 2kπ （k Z）
2
2
3
4
3 y 1 5
7
x
2
2
2
y= -1
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
o
2
6
3
2
3
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
5
6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
22
x
-1 -
-
-
正弦函数.余弦函数的图象和性质
2
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
x0
6
y0
1 2
y sin x, x 0,2
3
2 5
236
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2) 描点 y
1-
-
0
2
1 -
(3) 连线
3 2
2
x
正弦函数.余弦函数的图象和性质
1 函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
性质二：周期性
正弦函数y sin x的周期2kπ(k Z, k 0)
T 2
y Asin（ω x φ ）（A 0，ω 0, x R) 的周期为T 2π
ω
正弦函数 y=sinx 的单调性和奇偶性
增区间：
[ 2kπ ，π 2kπ]
2
2
（k Z）
2kπ ＋α （k∈Z），π ＋α ，－α ，π －α 的三角函数值，等于α 的同名函数 值，再放上原函数的象限符号.
函数同名，象限定号！
1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意 义时恒成立.
2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα ，
sin（3π －α ）=sinα 等.
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan(2k ) tan 。
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
公式六： 2
cos( ) sin
2
思的三考角：函诱数导与公式α的可三统角一函为数之k2间的 (关k 系Z)， 你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限.
例 化简：
sin(2 - )cos( )cos( )cos(11 - )
2
2
cos( - )sin(3 - )sin(- - )sin( 9 )
sin( ) sin
公式二： cos( ) cos
tan( ) tan
该公式有什么特点，如何记忆？
思考3：根据三角函数定义，－α 的三角
函数与α 的三角函数有什么关系？
α 的终边
y
P(x,y)
o
P(x,-y)
x
-α 的终边
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
思考：利用π －α ＝π ＋(－α )，结合 公式二、三，你能得到什么结论？
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
tan( ) tan
思考：公式一～四都叫做诱导公式，他 们分别反映了2kπ ＋α （k∈Z），π ＋ α ，－α ，π－α的三角函数与α的三角 函数之间的关系，你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗？
O
P1(x，y)
x
公式五：
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
思考： 与 有什么内在联系？
2
2
( )
2
2
பைடு நூலகம்
思考：根据相关诱导公式推导，
sin( ) ，cos( ) 分别等于什么？
2
2
sin( ) cos
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
利用诱导公式一～四，可以求任意角 的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
思P1（考x：，设y）角，α 则的终边2与单的位终圆边的与交单点位为 圆的交点为P2（y，x），根据三角函数 的定义，你能获得哪些结论？
y 的终边
2
P2(y，x)
α 的终边
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
3余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-
-1
o 6
-1 -
简图作法
-
4 关键五点 (五点作图法)