多元函数微分学6.7多元函数的极值
《数学分析》第十七章多元函数微分学
06 曲线积分与曲面积分在多 元函数中的应用
曲线积分计算及其在电磁学中的应用
曲线积分的定义与计算方法
包括第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念、性质及计算 方法。
曲线积分在电磁学中的应用
通过曲线积分可以计算电场强度、磁场强度等物理量，进而 研究电磁场的分布和变化规律。
曲面积分计算及其在流体力学中的应用
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，且$lim_{(x,y) to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称 函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 不连续，则称$P_0(x_0,y_0)$为函数 $f(x,y)$的间断点。
全微分概念与计算
全微分的定义
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，表示函数在某一点附 近的变化量可以近似地用一个线性函数来表示。
全微分的计算
全微分可以通过偏导数来计算，具体为将函数的增量表示为各自变 量增量的线性组合，系数即为偏导数。
全微分的几何意义
全微分表示函数在某一点附近的变化量，可以用来近似计算函数值 的增量。
多元反函数微分法
多元反函数存在定理
若函数$f: D subseteq mathbb{R}^n to mathbb{R}^n$在点$x_0$处可逆，即存在反函数$f^{-1}$，则$f^{1}$在点$f(x_0)$处也可微。
多元反函数微分法
设$y = f(x)$在点$x_0$处可微，且$f'(x_0)$可逆，则反函数$x = f^{-1}(y)$在点$y_0 = f(x_0)$处也可微，且其 导数为$[f^{-1}]'(y_0) = [f'(x_0)]^{-1}$。
高等数学上下册完整版教材
高等数学上下册完整版教材高等数学是大学数学的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
下面是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述：第一章导数与微分1.1 导数的定义与几何意义1.2 基本求导法则1.3 函数的微分1.4 高阶导数与高阶微分1.5 隐函数与参数方程的导数1.6 微分中值定理与导数的应用第二章不定积分2.1 定积分的概念2.2 不定积分与不定积分的性质2.3 基本不定积分法2.4 特殊函数的不定积分2.5 不定积分的应用第三章定积分3.1 定积分的定义与几何意义3.2 定积分的性质3.3 定积分的计算方法3.4 牛顿-莱布尼茨公式3.5 定积分的应用第四章微分方程4.1 微分方程的概念与分类4.2 一阶微分方程4.3 高阶线性微分方程4.4 变量可分离的方程4.5 齐次线性微分方程4.6 非齐次线性微分方程4.7 常系数线性齐次微分方程4.8 微分方程的应用第五章多元函数的微分学5.1 多元函数的极限5.2 多元函数的偏导数5.3 多元复合函数的偏导数5.4 隐函数与参数方程的偏导数5.5 高阶偏导数5.6 多元函数的全微分5.7 多元函数的极值与最值第六章重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 极坐标下的二重积分6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 曲线积分的概念与性质6.7 曲线积分的计算方法6.8 曲线积分在物理学中的应用第七章曲面积分与格林公式7.1 曲面积分的概念与性质7.2 曲面积分的计算方法7.3 散度与无源场7.4 格林公式的推广与应用第八章空间解析几何与向量代数8.1 空间直角坐标系与向量8.2 空间曲线与曲面8.3 向量的运算与坐标表示8.4 点、直线与平面的方程8.5 空间向量的夹角与投影8.6 空间点、直线与平面的位置关系8.7 空间曲线与曲面的位置关系第九章广义与特殊函数9.1 广义积分的概念9.2 常数项一般项相消法9.3 幂函数、指数函数与对数函数9.4 三角函数与反三角函数9.5 常见特殊函数第十章数项级数10.1 级数概念与性质10.2 收敛级数的判定方法10.3 常见级数的和10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数与泰勒展开10.6 常见函数的泰勒展开第十一章函数级数11.1 函数列与函数项级数11.2 函数列极限与函数项级数的一致收敛11.3 函数列极限的性质11.4 一致收敛级数的和函数的性质11.5 函数项级数的逐项积分与逐项求导11.6 Fourier级数以上是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述。
多元函数的极值及其求法
求函数f ， 例1 求函数 (x，y)= x3－y3+3x2+3y2－9x的极值 的极值
f x (x, y) = 3x2 + 6x − 9 = 0, 解 先解方程组 f y (x, y) = −3y2 + 6y = 0. 求得驻点为( ， ),( ),(1， ),( ),(－ ， ),( ),(－ , ). 求得驻点为(1，0),( ，2),(－3，0),(－3,2).
为最小值. f (4,2) = −64为最小值
某厂要用铁板做成一个体积为2m 例3 某厂要用铁板做成一个体积为 3的有盖长 方体水箱。问长、 高各取怎么样的尺寸时， 方体水箱。问长、宽、高各取怎么样的尺寸时，才 能使用料最省。 能使用料最省。 2 m 设水箱的长为xm，宽为ym， 解 设水箱的长为 ，宽为 ，则其高应为 xy 此水箱所用材料的面积 A = 2(xy + y ⋅ 2 + x 2 ), xy xy 2 2 A = 2(xy + + ) (x > 0, y > 0). 即 x y 可见材料面积A是 和 的二元函数 的二元函数， 可见材料面积 是x和y的二元函数，这就是目标函 下面求使函数取得最小值的点(x， 。 数，下面求使函数取得最小值的点 ，y)。
得区域 D 内唯一驻点( 2,1), 且 f ( 2 ,1) = 4 ,
边界上的最值， 再求 f ( x , y ) 在 D 边界上的最值，
在边界 x = 0 和 y = 0 上 f ( x , y ) = 0 ,
y
在边界 x + y = 6 上，即 y = 6 − x
于是 f ( x , y ) = x ( 6 − x )( −2) , x ∈ [0,6] o
多元函数的极值与最值的求法
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程（1）对x求偏导: ,得 ， .
方程（1）对y求偏导: ,得 .
方程（2）对y求偏导: ,得 ，
在点（1，-1,6）有 ，且A<0，所以 是极大值。
在点（1，-1,2）处有 ,且A>0，所以 是极小值。
综上所述,知由方程 在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数, 是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数， 是极小值.
第9讲多元函数的极值
定理（n 元可微函数取极值的必要条件）
若 u f (X ) 在点 X 0 具有偏导数, 且在 X 0 处取极值, 则必有 f ( X 0 ) 0 (i 1,2,,n).
xi
该结论还可写为
Jf (X0 ) 0, f (X0 ) 0, grad f (X0 ) 0.
处的切平面方程为
f x(x0 , y0 )( x x0 ) f y(x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0
由可微函数取极值的必要条件：
f x(x0 , y0 ) f y(x0 , y0 ) 0
故切平面方程实际为 z z0.
此时, 切平面平行于 xy 平面.
目标函数: f (x, y) 3x2 3y2 2x 2y 2
最值问题: max f (x, y) D
min f (x, y) D
max f (x, y) : D
min f (x, y) : D
f (1, 0) 3 f (0,1) 3
f
(
1 3
,
1 3
)
4 3
所求最值点为：……
使函数 u f (X ) 的一阶偏导数全为 零的点 X 0 称为函数的驻点.
函数的驻点以及使函数的一阶偏导数 不存在的点, 称为函数的极值可疑点.
函数在其极值可疑点处, 可能取极值, 也可能不取极值.
这就产生了一个问题: 如何判断函数在 极值可疑点处是否取极值.
定理 (可微的二元函数极值判别法)
区域： D { (x, y)| x 0, y 0, x y 1}
目标函数： f (x, y) 3x2 3y2 2x 2 y 2
高等数学d类教材目录
高等数学d类教材目录第一章：函数与极限1.1 实数与数集1.2 函数的概念1.3 函数的性质与运算1.4 映射与反函数1.5 极限的概念1.6 极限的运算法则1.7 无穷小与无穷大1.8 无穷大的比较与等价1.9 极限存在准则第二章：导数与微分2.1 切线与割线2.2 导数的定义与性质2.3 基本导数公式2.4 高阶导数与函数的近似2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与计算2.7 导数在几何与物理中的应用2.8 铺垫篇：练习与思考第三章：微分中值定理3.1 极值与最值3.2 高阶导数与函数的凹凸性3.3 Rolle定理3.4 中值定理与拉格朗日中值定理3.5 洛必达法则与高阶导数的应用3.6 弧长与曲率3.7 泰勒公式与展开式3.8 微分中值定理的证明与扩展3.9 铺垫篇：练习与思考第四章：不定积分4.1 原函数与不定积分4.2 不定积分的基本性质4.3 简单的不定积分法4.4 第一类换元法4.5 第二类换元法4.6 分部积分法4.7 有理函数的积分4.8 特殊函数的积分4.9 定积分与无穷积分第五章：定积分与其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 可积性与测度零函数5.3 函数的求积与积分区间5.4 牛顿-莱布尼兹公式5.5 定积分中值定理与平均值定理5.6 积分的应用：几何与物理5.7 主体思想解决问题5.8 微积分的历史渊源与思考第六章：多元函数微分学6.1 二元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 多元函数的链式法则6.4 隐函数与方程组的求导6.5 方向导数与梯度6.6 多元函数的极值与条件极值6.7 多元函数的二阶导数与Taylor公式第七章：重积分与曲线积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 二重积分的性质7.3 二重积分的应用7.4 三重积分的概念与计算7.5 三重积分的性质7.6 三重积分的应用7.7 曲线积分的概念与计算7.8 曲线积分的应用7.9 广义积分的问题与思考第八章：曲面积分与散度定理8.1 曲面积分的概念与计算8.2 曲面积分的性质8.3 曲面积分的应用8.4 散度的概念与计算8.5 散度定理的推导与应用8.6 高斯定理的特殊情况8.7 广义积分的问题与思考第九章：曲线积分与环量定理9.1 曲线积分的概念与计算9.2 曲线积分的性质9.3 Green公式的推导与应用9.4 环量的概念与计算9.5 环量定理与Green公式的关系9.6 有向曲线积分的计算与应用9.7 广义积分的问题与思考第十章：无穷级数与幂级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 正项级数的审敛法10.3 一般级数的审敛法10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数的概念与性质10.6 幂级数的收敛半径10.7 幂级数的求和与展开10.8 项项可求和级数的特点10.9 广义积分的问题与思考结束语：本教材力求将高等数学的知识条理清晰地呈现给读者。
8-8第八节 多元函数的极值及其求法#
4. f(x,y)>f(x0,y0))，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值(极 小值)
5. 极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极 值点.
6.
例1 z x2 y2 在点(0,0)处有极小值.因为在任何不 同于(0,0)的点处的函数值都大于函数在(0,0)处的 值.从几何图形上看这是显然的.因为点(0,0)是圆锥 z x2 y2 在（0，0）处的顶点。
0 x ,0 y ,0 x y .
f(x ,y ) sx isn y isnix n y )(
由于在边界上,函数值为0.在闭区域内函数值≥0.所以最大值
一定 在区域内得到.解方程组
f coxssinysinx(y)sinxsinycosx(y)0 x
,
L x2y2zy z0
Ly2x2zx z0,
L z 2 y 2 xy x 0 .
L ( x , y , z , ) 2 ( xy yz zx ) ( xyz 2 ).
Lx2y2zy z0,
Ly2x2zx z0,
L z2y2xy x0.
x2
x y y2
(0 ,0 ) A 8 ,B 2 ,C 2
B2AC 1 20,A80有极大 z=0 值 B2 AC120,不是极. 值点
二 最大值和最小值
由连续函数性质知,函数在有界闭区域D上连续,则函数在D上 一定有最大值和最小值.和一元函数一样,多元函数的最大值和 最小值可能在D内取得,也可能在D的边界上取得.因此,求可微 函数的最值的一般方法是:求出函数f(x,y)在D内所有的驻点处 的函数值及在D的边界上的最大值和最小值,把它们加以比较, 其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.有时根据问题的实 际意义或性质,知道函数的最大值(最小值)一定在区域D内取得,
高等数学 多元函数微分学
高等数学多元函数微分学
多元函数微分学是高等数学中的重要学科，它探讨的是多元函数的微分。
主要内容包括了定义偏导数、向量偏导数、局部变换与偏导数的关系、一阶多元函数的极值点与极值线、曲面的渐近线及局部曲率，以及多元函
数的极大值、极小值的确定方法等内容。
此外，多元函数微分学还讨论了
多元函数的极值处的特性，如局部极大值、局部极小值、拐点、拐点与可
微曲线的关系、拐点分类等内容。
此外，还介绍了多元函数微积分的基本
概念，如多元积分、曲面积分、椭圆积分、康托尔积分及多元分析中常用
的应用。
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题时，除了考虑函数的驻点外，还要
考虑偏导数不存在的点．
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现在来考虑多元函数的最值问题. 函数 f (x,y)在有界闭区域D上连续
函数 f (x,y)在有界闭区域D上可取到最大、最小值 使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内 部，也可能在D的边界上． 驻点 最值可疑点 偏导数不存在的点 边界上的最值点
f x( x, y) 0， f y ( x, y ) 0.
求得一切实数解，即可求出一切驻点． 第二步 对于每个驻点(x0,y0) ，求出二阶偏导数 的值A，B和C． 第三步 定出 B 2 AC 的符号，按定理6-9的结论 判定f(x0,y0)是不是极值，是极大值还是极小值．
首页 上页 下页 返回 －3,0)处，A=－12，B=0，C=6，B2－AC=72>0， 所以函数在(－3,0)处无极值 ．
在点(－3,2)处，A=－12，B=0，C=－6，B2－AC=－72<0，
又A<0，所以函数在(－3,2)处有极大值f(－3,2)=31 ．
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6.7 多元函数的极值
在管理科学、经济学和许多工程、科技 问题中，常常需要求出一个多元函数的最大 值或者最小值． 与一元函数的情形类似，多 元函数的最大值、最小值与极大值、极小值 有密切联系，因此我们以二元函数为例来讨 论多元函数的极值问题．
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6.7 多元函数的极值
多元函数的极值及最大值、最小值 条件极值
无极值．
怎样判定一个驻点是不是极值点？ 有如下定理： 定理6-9
设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具 f y ( x0 , y0 ) 0， 有一阶及二阶连续偏导数， 又 f x( x0 , y0 ) 0， 记
( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) C. ( x0 , y0 ) B， f yy f xx
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ).
这表明一元函数f(x,y0)在x=x0处取极大值，因而必有
f x( x0 , y0 ) 0.
类似可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
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和一元函数类似，凡是能使 f x( x0 , y0 ) 0，
讨论二元函数的极值问题时，如果函数在所讨论 的区域内具有偏导数，则由定理6-8可知，极值只可能 在驻点处取得． 然而，若函数在个别点处的偏导数不 存在．这样的点当然不是驻点，但也有可能是极值点．
2 2 z x y 例如前面提到过的函数 在点(0,0)处
的偏导数不存在，但它在该点却取得极小值0． 所以，在考虑多元函数的极值问
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6.7.1
多元函数的极值及最大值、最小值
设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有
定义6-6
定义，如果对该邻域的一切(x,y)，都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) （或 f ( x, y) f ( x0 , y0 )） 则称 f(x,y)在点(x0,y0) 取得极大值（或极小值）f(x0,y0) 并称(x0,y0)是函数f(x,y)的极大值点（或极小值点）． 函数的极大值和极小值统称为 极值． 极大值点和 极小值点统称为 极值点．
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容易判断 函数 z 1 ( x y ) 在点(0,0)处有极大值1；
2 2
函数 z 函数 得极小值．
x y 在点(0,0)处有极小值0；
2 2
z xy 在点(0,0)处既不取得极大值也不取
对于可导的一元函数f(x)，在点x0处有极值的必要 条件是 f ( x0 ) 0. 多元函数也有类似的结论． 定理6-8 设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数， 且在点(x0,y0)处有极值，则必有：
( x, y ) 6 y 6. ( x, y ) 0， f yy ( x, y) 6 x 6， f xy f xx
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在点(1,0)处，A=12，B=0，C=6，B2－AC=－72<0，
又A>0，所以函数在(1,0)处有极小值f(1,0)=－5 ． 在点(1,2)处，A=12，B=0，C=－6，B2－AC=72>0，
f x( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0.
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证明
不妨设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)取极大值，
由极大值的定义，对点(x0,y0) 的某邻域内的点(x,y)，有
f ( x, y) f ( x0 , y0 ).
特殊地，在该邻域内的点(x,y0)≠(x0,y0) ，也有
f y ( x0 , y0 ) 0 同时成立的点 (x0,y0)称为函数z=f(x,y)的
驻点．
从定理 6-8可知， 具有偏导数的函数的极值点一
定是驻点． 但是，反过来讲，函数的驻点却不一定是极值 点， 例如 点(0,0)是函数
z xy 的驻点， 但函数在该点并
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3 3 2 2 f ( x , y ) x y 3 x 3 y 9x 例6-31 求函数
的极值． 解 解方程组
2 f x ( x, y ) 3x 6 x 9 0, 2 f ( x , y ) 3 y 6 y 0, y
求得驻点为(1,0)、(1,2)、(－3,0)、(－3,2)． 再求出二阶偏导数：
(1)
则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
B 2 AC 0 时具有极值，且当A<0时有极大
值，当A>0时有极小值； (2) B 2 AC 0 时没有极值；
B 2 AC 0 时可能有极值，也可能没有极 值，还需另作讨论．
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(3)
利用上面的两个定理，我们把具有二阶连续偏 导数的函数z=f(x,y)的极值求法叙述如下： 第一步 解方程组