多元函数取得极值的条件
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多元函数取得极值的条件
序列可行方向的性质 性 质 1 处可微， 设ci(x)在x处可微，则 ∀d ∈SFD(x, X )有 在 处可微
∇cj (x)T d ≥ 0, (∀j ∈I (x)) T ∇cj (x) d = 0, (∀j ∈E)
证明
∀d ∈SFD(x, X ), dk (k =1,2,L 和δk X, 且有dk →d和δk →0，则
由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关， 由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解
∀d ∈S*,则d ≠ 0,且d与∇ci (x*)(i ∈E)正交。
{∇c1(x*),L, ∇cme (x*), d} 成 e +1 空 ， 法 间 n − me −1 空 ， 生 m 维 间 其 空 是 为 间 在 空 中 取 组 准 交 di (i =1,2,L, n − me −1), 考 函 方 组 法 间 任 一 标 正 基 虑 数 程
∇f (x*) = 0
设 元 数 (x)存 二 连 偏 数 x*是 小 n 函 f 在 阶 续 导 ， 极
值点，则
∇f (x*) = 0,且∇2 f (x*)半正定
证明： f (x*) = 0显然。 ∇ ∀d ∈Rn , 令x = x *+αd，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 ≤ f (x) − f (x*) = α d ∇ f (x *+θαd)d 2
若函数z= 在点P(x 若函数 f(x,y) 在点 0,y0)的某邻域内连续且存在一 的某邻域内连续且存在一
f x′(x0 , y0 ) = 0
′′ ′′ ′′ A = f xx (x0 , y0 ), B = f xy (x0 , y0 ), C = f yy (x0 , y0 )
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数极值的充分条件
多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院 数学系）我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。
若0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值点）对于多元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。
定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12,,,Tn f ff x x x ⎛⎫∂∂∂⎪∂∂∂⎝⎭为()f X 的梯度，记作gradf 。
引理 设n 元函数()f X ，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()f X 在点000012(,,,)n X x x x =取得极值的必要条件是：0112(),,,0Tn n X X f ff gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。
定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶连续偏导数，000012(,,,)n X x x x =是()f X 的驻点，现定义()f X 在点0X 处的矩阵为：222000211212222000202122222000212()()()()()()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎭由于各二阶偏导数连续，即22(,1,2,,)i j j if fi j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂，所以0()f H X 为实对称矩阵。
第八章第六节多元函数的极值
50
H h 2 3 3V , 才能使制作材料最省。
50
总结求实际问题的最值步骤如下：
第一步：建立函数关系式，确定定义域；
第二步：求出所有驻点；
第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。
三 条件极值
先看如下的例子：
在 x y 1 的条件下，求函数 z xy 的极值。
解：从 x y 1 中解出 y 1 x, 并代入 z xy
若固定 y y0, 则 z f (x, y0 ) 是 一个一元函数，则该
函数在 x x0处取得极值，又因为 z f (x, y0 ) 对
x x0处可导，故 z
df (x, y0 )
0
x x x0 y y0
dx
x x0
同理可证
z 0 y x x0
y y0
将二元函数的两个偏导数为零的点称为驻点， 则必要条件可叙述为：
是否为极值点。 总结：求极值的步骤：
第一步：确定定义域（若未给出）；
第二步：解方程组 f x( x, y) 0, f y( x, y) 0 求得一切实数解，可得一切驻点。
第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数的值A， B，C。
第四步：定出 B2 AC 的符号，按充分条件的 结论做出结论。
例1 求函数 z x2 ( y 1)2 的极值。 解：此函数的定义域为{(x, y) | x R, y R}
（1） 当 B2 AC 0, 点 P0 ( x0, y0 ) 是极值点， 且 A 0 时，点 P0 ( x0, y0 ) 是极大值点，且 A 0 时， 点 P0 ( x0 , y0 ) 是极小值点。
（2） 当 B2 AC 0时，点 P0 ( x0, y0 ) 不是极 值点。
（3）当 B2 AC 0 时，不能确定点 P0 ( x0, y0 )
H h 2 3 3V , 才能使制作材料最省。
50
总结求实际问题的最值步骤如下：
第一步：建立函数关系式，确定定义域；
第二步：求出所有驻点；
第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。
三 条件极值
先看如下的例子：
在 x y 1 的条件下，求函数 z xy 的极值。
解：从 x y 1 中解出 y 1 x, 并代入 z xy
若固定 y y0, 则 z f (x, y0 ) 是 一个一元函数，则该
函数在 x x0处取得极值，又因为 z f (x, y0 ) 对
x x0处可导，故 z
df (x, y0 )
0
x x x0 y y0
dx
x x0
同理可证
z 0 y x x0
y y0
将二元函数的两个偏导数为零的点称为驻点， 则必要条件可叙述为：
是否为极值点。 总结：求极值的步骤：
第一步：确定定义域（若未给出）；
第二步：解方程组 f x( x, y) 0, f y( x, y) 0 求得一切实数解，可得一切驻点。
第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数的值A， B，C。
第四步：定出 B2 AC 的符号，按充分条件的 结论做出结论。
例1 求函数 z x2 ( y 1)2 的极值。 解：此函数的定义域为{(x, y) | x R, y R}
（1） 当 B2 AC 0, 点 P0 ( x0, y0 ) 是极值点， 且 A 0 时，点 P0 ( x0, y0 ) 是极大值点，且 A 0 时， 点 P0 ( x0 , y0 ) 是极小值点。
（2） 当 B2 AC 0时，点 P0 ( x0, y0 ) 不是极 值点。
（3）当 B2 AC 0 时，不能确定点 P0 ( x0, y0 )
多元函数条件极值
多元函数条件极值本文讨论的是多元函数条件极值问题。
极值是指函数的极大值和极小值，而条件极值是函数在某特定条件下的极大值或极小值。
多元函数条件极值是指在多个变量的条件限制下，函数的极大或极小值。
例如，f（x，y）= x2 + y2，其中x = 1，y = 2。
这意味着我们已经将变量x和y约束在特定的值之内，这样就可以求出条件极值。
因此，在这种情况下，条件极值为5。
多元函数条件极值的求解原理也与一元函数条件极值的求解原理相同，即要找到函数在约束条件下的极大/极小值，就必须找到当前函数极大/极小处的偏导数为0的解。
举例来说，假设我们有函数f（x，y）= x2 + y2，其中x = 1，y = 2。
我们首先要求函数的偏导数，得到：f/x = 2xf/y = 2y现在，我们必须将上述偏导数置于0，得到：2x = 02y = 0将x = 1，y = 2带入此方程，得到：2*1 = 02*2 = 0显然，这两个方程都是不成立的，这说明此处没有极值。
因此，在x = 1，y = 2处，f（x，y）= x2 + y2的极值为5。
另一种情况，我们考虑函数f（x，y）= x2 + y2，其中x = 3，y = -2。
此时，我们求得偏导数为：f/x = 2xf/y = 2y将偏导数置于0，得到：2x = 02y = 0将x = 3，y = -2带入此方程，得到：2*3= 02*（-2）= 0此时，这两个方程都成立，这说明此处有一个极值，称为条件极值。
因此，在x = 3，y = -2处，f（x，y）= x2 + y2的条件极值为13。
总之，多元函数条件极值是指在多个变量的条件限制下，函数的极大或极小值。
它的求解方法是将函数的偏导数等于0，并将满足条件的变量值带入方程，以计算极大极小值。
多元函数的极值与最值
令
2
2
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 , x 8 (cm) 解得: 3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
第六节
多元函数的极值与最值
第六节 多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一 多元函数的极值
二 多元函数的最值 三 条件极值
-1-
第六节
多元函数的极值与最值
一、 多元函数的极值
第 八 章
定义: 若函数
的某邻域内有
多 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 元 函 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 数 例如 : 微 分 在点 (0,0) 有极小值; 法 及 在点 (0,0) 有极大值; 其 应 用 在点 (0,0) 无极值.
正
负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
当 x y 0 时, z ( x y ) z ( 0,0 ) 0
2 2
2
2 2
因此
-7-
为极小值.
第六节
多元函数的极值与最值
二 多元函数的最值
依据
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
( D : 0 x 12 , 0 2)
x
x
2
2
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 , x 8 (cm) 解得: 3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
第六节
多元函数的极值与最值
第六节 多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一 多元函数的极值
二 多元函数的最值 三 条件极值
-1-
第六节
多元函数的极值与最值
一、 多元函数的极值
第 八 章
定义: 若函数
的某邻域内有
多 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 元 函 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 数 例如 : 微 分 在点 (0,0) 有极小值; 法 及 在点 (0,0) 有极大值; 其 应 用 在点 (0,0) 无极值.
正
负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
当 x y 0 时, z ( x y ) z ( 0,0 ) 0
2 2
2
2 2
因此
-7-
为极小值.
第六节
多元函数的极值与最值
二 多元函数的最值
依据
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
( D : 0 x 12 , 0 2)
x
x
多元函数的极值
y ( P0 ) = 0 , 则称 P0 为 f 的驻点。 驻点未必是极值点。
定理 2. 若函数z = f (x, y)在某 U ( P0 ) 内存在连续的二阶 偏导数, 且 f x ( P0 ) = f y ( P0 ) = 0, 记 A = f xx ( P0 ), B = f xy ( P0 ), C = f yy ( P0 ), 则当 AC B 2 0 时, 若 A 0 , P0 为极小值点; 若 A 0 , P0 为极大值点。 AC B 2 0 时, P0 非为极值点。
AC B 2 = 0 时, P0 是否极值点需进一步讨论。
f ( x , y ) = (1 e y ) cos x y e y 的极值。 例 1. 求
f x = (1 e y ) sin x = 0 解： 由 解得驻点 (2n , 0) , y f y = e (cos x 1 y ) = 0 (( 2n 1) , 2) , 其中 n Z . 那么 A = f xx = (1 e y ) cos x ,
2 2 2
在点 P1 (1, 1, 2) 的某邻域内方程可确定一个隐函数,此时， 1 1 A = z xx | P1 = = 0 . B = z xy | P1 = 0, 2 z z = 2 4 1 1 1 2 0. C = z yy | P1 = = . AC B = 16 2 z z = 2 4 因此 (1, 1) 为隐函数的极小值点, 极小值为 z = 2 . 在点 P2 (1, 1, 6) 的某邻域内方程也可确定一个隐函数。 对应地, A = z xx | P2 = 1 4 0, B = z xy | P2 = 0, C = z yy | P2 = 1 4 . AC B 2 = 1 16 0 . 因此 (1, 1) 为隐函数的极大值点, 极大值为 z = 6 .
定理 2. 若函数z = f (x, y)在某 U ( P0 ) 内存在连续的二阶 偏导数, 且 f x ( P0 ) = f y ( P0 ) = 0, 记 A = f xx ( P0 ), B = f xy ( P0 ), C = f yy ( P0 ), 则当 AC B 2 0 时, 若 A 0 , P0 为极小值点; 若 A 0 , P0 为极大值点。 AC B 2 0 时, P0 非为极值点。
AC B 2 = 0 时, P0 是否极值点需进一步讨论。
f ( x , y ) = (1 e y ) cos x y e y 的极值。 例 1. 求
f x = (1 e y ) sin x = 0 解： 由 解得驻点 (2n , 0) , y f y = e (cos x 1 y ) = 0 (( 2n 1) , 2) , 其中 n Z . 那么 A = f xx = (1 e y ) cos x ,
2 2 2
在点 P1 (1, 1, 2) 的某邻域内方程可确定一个隐函数,此时， 1 1 A = z xx | P1 = = 0 . B = z xy | P1 = 0, 2 z z = 2 4 1 1 1 2 0. C = z yy | P1 = = . AC B = 16 2 z z = 2 4 因此 (1, 1) 为隐函数的极小值点, 极小值为 z = 2 . 在点 P2 (1, 1, 6) 的某邻域内方程也可确定一个隐函数。 对应地, A = z xx | P2 = 1 4 0, B = z xy | P2 = 0, C = z yy | P2 = 1 4 . AC B 2 = 1 16 0 . 因此 (1, 1) 为隐函数的极大值点, 极大值为 z = 6 .
多元函数微分法应用-极值与最值
2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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例3. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
2( x y 2 z 2) 2 x 0 Fx
令
2( x y 2 z 2) 2 y 0 Fy
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y )
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定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 A<0 时取极大值;
2
A>0 时取极小值.
2
结束
二、 多元函数的极值的一般步骤
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组
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一阶条件 必要条件
设f (x)，ci (x)(i E I )连续可微。设x *是问题（1）的局部最优解，
且ci (x*)(i A(x*) E I (x*))线性无关，则必存在i (i 1,2,, m),
？ 极值的条件
设n元函数f (x) f (x1, x2,, xn ) 具有偏导数，
点x* (x1*, x2*,, xn*) Rn
梯度
f (x) [ f , f ,, f ]T x1 x2 xn
Hesse矩阵
2 f
x12
2 f
2
f
(x)
两边除k，取极限得cj (x)T d 0
i E, ci (x) 0，等价于ci (x) 0且 ci (x) 0,故，ci (x)T d 0
同样可证性质2 设fi(x)在x*处可微，且取得局部极小值，则
d SFD(x*, X )，有f (x*)T d 0
令
A f xx (x0 , y0 ), B fxy (x0 , y0 ), C f yy (x0 , y0 )
则 (1) AC B2 0 时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0
时有极小值。
(2) AC B2<0时没有极值
(3)AC B2 0 不能确定
n元函数取得
可方行向使： 得
x*kdk X
且有dk d和k 0，则称d是X在x *处的序列可行方向
X在x*处的所有序列可行方向的集合记为SFD(x*, X )
序列可行方向的性质
性 设ci(x)在x处可微，则 d SFD(x, X )有
Hale Waihona Puke 质 1ccj (jx)T d 0, (j I (x)T d 0, (j
( x)) E)
证明 d SFD(x, X ), dk (k 1,2,)和k 0(k 1,2,)，
使得x k dk X ,且有dk d和k 0，则
j I(x),由Taylor公式，有
0 c j (x kdk ) c j (x) kcj (x)T dk o(k )
x *td X , t [0, ]
则称d是X在x*处的可行方向。X在x*处的所有可行方向集合记为FD(x*, X )
指 设x X，令 E {1,2,, me}
标 集
I {me 1,, m}
I (x) { j | c j (x) 0, j I}
起作用集 x X，集合A(x) E I(x)称为在x处的起作用集。
必要条件
若 函 数 f(x,y) 在 点 P(x0,y0) 存 在 两 个 偏 导 数 ， 且
P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则
驻点
fx(x0, y0 ) 0 与 f y(x0, y0 ) 0
充分条件 若函数z= f(x,y) 在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一
阶及二阶偏导数，又 fx(x0, y0 ) 0 与 f y(x0, y0 ) 0
c j (x) 0, j me 1,, m
几个概念：
其中，x Rn , f (x), ci (x)都是n元函数
可行域：X {x | x Rn,ci (x) 0,cj (x) 0,i 1,2,, me; j me 1,, m}
可行方向： 设x* X ,0 d Rn ,如果存在 0，使得
二阶条件 设n元函数f (x)存在二阶连续偏导数，x*是极小
值点，则 f (x*) 0,且2 f (x*)半正定
证明：f (x*) 0显然。
d Rn ,令x x * d，由Taylor公式有 0 f (x) f (x*) 1 2d T2 f (x * d )d
x2x1 2 f
xnx1
2 f x1x2
2 f
x1xn
2 f
x22 2 f
2 f
x2xn 2 f
xnx2
xn2
必要条件 一阶条件
若n元函数f(x)在存在偏导数，且x*是函数f(x)的极值
点，则 f (x*) 0
起作用约束在x的领域限制了可行点的范围。当点沿某些方向稍微 离开x时，仍能满足约束条件；而沿另一些方向离开x时，不论步长 多么小，都将违背这些约束。
对于非起作用约束（ci(x)>0），x是否是局部最优解与这些非起作 用约束无关。
序列设x* X , d Rn ,如果存在序列dk (k 1,2,)和k 0(k 1,2,
证明: 设x是x *邻域内任意一点，不妨设x x *d，则
f (x) f (x*) 1 2d T2 f (x * d )d 2
由于函数f (x)二阶连续偏导数，且2 f (x*)正定,则可选择, 使得x*d U (x*,)，且dT2(x*d)d 0
所以 f (x) f (x*)，即x*是f (x)的严格极小值点。
对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出Lagrange乘子法。 Lagrange乘子法只给出可能极值点，没有给出判别这些点究竟是否 是极值点的方法，也没有给出判别是极大值点还是极小值点的方法。
问题： 对于一般的有约束极值问题，取得极值的条件是什么？
一般的 (1) 约束极 值问题：
min f (x) st. ci (x) 0,i 1,2,me
2
两边同除 1 2，取极限得 2
d T2 f (x*)d 0,d Rn
二阶充分条件
设n元函数f (x)存在二阶连续偏导数，f (x*) 0,则
(1)当2 f (x*)正定时，x*是f (x)的严格极小值点； (2)当2 f (x*)负定时，x*是f (x)的严格极大值点； (3)当2 f (x*)不定时，x*不是f (x)的极值点；