多元函数的极值与最值例题极其解析
第八节多元函数的极值及其求法
f (x, y)在点( 3, 0 )没有极值
在点( 3 , 2 )处， A fxx( 3 , 2 ) 12
B fxy ( 3 , 2 ) 0 C f yy (3,2 ) 6
(12) (6) 02 = 72 > 0 又 A 0
f (x, y)在点( 3 , 2 )有极大值 f (3 , 2 ) 31
(极小值) 的某个去心邻域内必有：
f(x,y)<f(x0,y0) 所以，在点(x0 ,y0)的某个邻域内，点(x0 ,y0 , f(x0 ,y0)) 为曲面的最高点.
(最低点)
定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具 有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有：
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0
fx (x0, y0) = [ f (x, y0) ]'|xx0 = 0
同理可证: f y (x0, y0) 0
说明
(1) 几何上,定理1意味着: 在曲面 z f (x, y) 上, 极值点 (x0, y0)所对应的点 (x0, y0, f (x0, y0)) 处的
切平面平行于 xoy 坐标平面.
(2) 定理1的逆命题不成立. 反例: f (x, y) xy, 经计算得: fx (0,0) 0, f y (0,0) 0 但 点 (0,0)不是 f (x, y) 的极值点.
(3) 使 fx (x, y) 0, f y (x, y) 0 同时成立的点
(x0, y0) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
多元函数求极值及其应用的题
多元函数求极值及其应用的题1、求多元函数$f(x,y)=2x^2-3xy+4y^2$在$D={(x,y)|x^2+y^2leq1}$上的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的点。
2、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数 $f(x,y)=x^3-3xy^2$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。
3、已知函数 $f(x,y)=x^2-2xy+3y^2$，求它在椭圆区域$D={(x,y)|frac{(x-1)^2}{4}+frac{(y-2)^2}{9}leq 1}$ 上的最大值和最小值。
4、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数$f(x,y)=ln(x^2+y^2-2x-6y+10)+2x+y-5$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。
5、已知函数 $f(x,y)=2x-3y+xy^2$，求它在三角形区域 $Delta ABC$ 上的最大值和最小值，其中 $Delta ABC$ 的三个顶点分别为$A(0,2)$，$B(2,0)$，$C(0,-2)$。
6、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数 $f(x,y)=e^{xy}-x^2-y^2$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。
7、已知函数 $f(x,y)=frac{sin x}{x}+frac{sin y}{y}$，求它在 $D={(x,y)|x,y>0}$ 上的最大值和最小值。
8、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数$f(x,y)=sqrt{x^2+y^2}-xy$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。
9、已知函数 $f(x,y)=cos(x-y)-sinfrac{x+y}{2}$，求它在矩形区域 $D=[-pi,pi]times[-pi,pi]$ 上的最大值和最小值。
10、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数$f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。
多元函数极值问题的答案详解
x x0 y y0
方法 2：对
f x, y y
x x0 y y0
的理解.
①先求
f x, y ，再将点 x0 , y0 代入，这个方法不能帮助解题； y
②求
f x, y 是将 x 看做常数，所以先将 x x0 代入 f x, y 得 f x0 , y ，则 y
0
充分条件 2：设 则点 多 元 函 数 极值
0
x , f x 是曲线 y f x 的拐点.
驻点 一 元 函 数 极值 多 元 函 数 极值
一元函数可能极值点 一元函数可能拐点 多元函数可能极值点
一元函数驻点或不可导点 一元函数二阶导为 0 点或二阶导不存在点 多元函数驻点或不可偏导点
2
1 无条件极值 多元函数的极值 2 条件最值 3 闭区域最值
2-1
1 定义 2 必要条件 多元函数极值 3 充分条件 4 驻点
2-1-1 定义 一元函 数极值
一元函 数拐点
多元函 数极值
必要条件 一元函数 极值 一元函数 拐点 多元函数 极值 设点
x , f x 为曲线 y f x 的拐点，且 f x 存在，则 f x =0
x x 2 重点 （2015 数二） 已知函数 f x, y 满足 f xy x, y =2 y 1 e , f x x, 0 = x 1 e , f 0, y y 2 y ，
求 f x, y 的极值.
……
……
重点（2008 数二）求函数 u 小值.
注：方程①②关于 x,y 具有轮换对称 性，作减法后不止 x y 能求解.
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
§7多元函数Taylor公式和极值问题练习参考解答
887§7 多元函数Taylor 公式和极值问题练习参考解答1. 下列函数极值（1） )2(),(22y y x e y x f x ++=； （2） )4)(6(),(22y y x x y x f −−=； （3） )0(333>−−=a y x axy z ； （4）2. 都很小时，将超越函数当z y x , ,z y x z y x z y x f cos cos cos )cos(,,(−++=）.,y x,的多项式近似表示z解 二阶偏导数），有展成马克劳林公式（到将函数),,(z y x f）），，（0,0,0()0,0,0()0,0,0(000),,('z y x f z f y f x f z y x f ′+′+′+= []0,0,0( )0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(20,0,0()0,0,0(0,0,0(''21222=′′+′′+′′+′′+′′++）））！f f zx f yz f xy f z f y f x zx yz xy zz yy xx []()[]()0cos cos cos )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0cos cos sin )sin()0,0,0( 0,0,00,0,0=+++−=′=′=′=+++−=′z y x z y x f f f z y x z y x f xxz y x ）同样[]())(),,( 10,0,0( 1)0,0,0( 1cos sin sin )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0,0,0zx yz xy z y x f f f z y x z y x f f f zx yz xyzz yy ++−=−=′′−=′′−=−++−=′′=′′=′′于是，）同样，）同样，即 )(cos cos cos cos(zx yz xy z y x z y x ++−=−++） 3. 求函数x y x y x y x f 933),(2233−++−=的极值。
多元函数的极值与最值
（2） B AC
2
B C 0 时没有极值；
正定
B 2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值， （3）
还需另作讨论．
13
例4 求函数 f ( x, y) x 3 y 3 3 x2 3 y2 9 x 的极值.
f x 3 x 2 6 x 9 0 x 3, 1 解 令 f y 3 y 2 6 y 0 y 0, 2 求得驻点： (3,0), (1,0), (3,2), (1,2) ,
其中 为参数， Fx f x ( x , y ) ( x , y ) 0 x 令 F y f y ( x , y ) ( x , y ) 0 , y F ( x , y ) 0 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区 域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往
可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若
函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就 是最大值点或最小值点.
26
例9 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解 设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
注意到 x 0, sin 0 ,化简后解得 x 8, , 3
由实际问题可知,S 必有最大值,且内部唯一驻点,故当
x 8,
3
时,槽的截面积最大, S最大 48 3 .
18
例7
已知某产品的需求函数为 Q 200000 1.5 x 0.1 y 0.3 ， p
解出 x , y , z ，就是可能的极值点的坐标 .
多元函数微分法应用-极值与最值
2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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例3. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
2( x y 2 z 2) 2 x 0 Fx
令
2( x y 2 z 2) 2 y 0 Fy
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y )
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定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 A<0 时取极大值;
2
A>0 时取极小值.
2
结束
二、 多元函数的极值的一般步骤
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组
高等数学第九章多元函数极值典型问题
1 设函数22(,)22f x y xax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常数a ,并确定极值的类型．2 求函数22z xxy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．3〔04研〕设(,)z z x y =是由2226102180xxy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值．4 求函数23u xy z =在条件x y z a ++=〔其中,,,a x y z R +∈〕下的条件极值．1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常数a ,并确定极值的类型．分析 这是二元函数求极值的反问题, 即知道(,)f x y 取得极值,只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在,因此点(1,1)-必为驻点, 则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩, 因此有410a ++=,即5a =-． 因为22(1,1)4f A x-∂==∂,2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂, 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂,2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>,40A =>,所以,函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．分析这是多元函数求最值的问题．只需要求出函数在区域内可能的极值点与在区域边界上的最大值和最小值点,比较其函数值即可．解由20zx y x∂=-=∂,20z y x y ∂=-=∂解得0x =,0y =,且(0,0)0z =． 在边界1,0,0x y x y +=≥≥上,22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+,它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和14； 同理,在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果． 在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上,22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++,在[0,1]上最大值和最小值为1和34； 同理,在边界1,0,0x y x y -=≥≤上有相同的结果．综上所述,函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值分别为 max 13max 0,,,1144z ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, min 13min 0,,,1044z ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭．注 求多元连续函数在有界闭区域上的最大值和最小值时,求出可能的极值点后,并不需要判别它是否为极值点．另外,求函数在边界上的最大值和最小值时,一般是将问题化为一元函数的最值问题或用其他方法,比如用条件极值的方法或不等式的技巧．3〔04研〕设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值．分析 本题考查由方程确定的隐函数的极值问题,应先求出驻点．再求出二阶偏导数,利用充分条件判定是否为极值点．解因为2226102180x xy y yz z -+--+=,所以方程两边分别对x 与y 求偏导,得 令 303100z x y x y z z x y z yy z ∂-⎧==⎪∂+⎪⎨∂-+-⎪==⎪∂+⎩,解之得303100x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即3x yz y =⎧⎨=⎩． 将3x y =,z y =代入2226102180x xy y yz z -+--+=可得933x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或933x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩, 即点(9,3)与点(9,3)--是可能的极值点,下面判定是否为极值点．在〔1〕式两边对x 求偏导,得2222222220z z z y z x x x ∂∂∂⎛⎫---= ⎪∂∂∂⎝⎭,在〔1〕式两边对y 求偏导,得22622220z z z z zy z x x y y x x y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂,在〔2〕式两边对y 求偏导,得2222220222220z z z z zy z y y y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-----= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭,所以22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,623zz zA B C xx yy∂∂∂====-==∂∂∂∂． 故21036AC B -=>,又106A =>,从而点(9,3)是(,)z x y 的极小值点,且极小值为 (9,3)3z =．类似地由22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,.623z z zA B C xx yy---------∂∂∂==-====-∂∂∂∂．故21036AC B -=>,又106A =-<,所以点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点,且极大值为(9,3)3z --=-．综上所述,点(9,3)是(,)z x y 的极小值点,且极小值为(9,3)3z =；点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点,且极大值为(9,3)3z --=-．4 求函数23u xy z =在条件x y z a ++=〔其中,,,a x y z R +∈〕下的条件极值． 分析条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值,或用拉格朗日乘法来求． 解法1将x a y z =--代入函数23u xy z =,得23()u a y z y z =--, 于是由 解得32a y a z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则2432,32,322(3)8a a a a u a A z a y z y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂,242,32,32(698)12a a a a u a B yz a y z y z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂∂,2422,32,326(2)9a a a a u a C y z a y z z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂,2444820,08912144a a a a AC B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----=>< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以,当,,32326a a a a ay z x a ===--=时,函数取得极大值,且极大值为236,,632632432a a a a a a a u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解法2 令23(,,)()(,,,)F x y z xy z x y z a x y z a R λ+=+++-∈,于是由解得632a x a y a z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,即(,,)632a a a 为可能的极值点,将x a y z =--代入函数23u xy z =,得23()u a y z y z =--, 则(,)32a a为可能的极值点,余下解法同解法1,求出,,A B C ．知,6a x =,3a y =2az =时,函数取得极大值6432a u =．。
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多元函数的极值与最值
1.求函数z=x3+y3−3xy的极值。
步骤：
1)先求驻点(另偏导数等于0，联立)
2)再求ABC
A=f xx(x0, y0)
B=f xy(x0, y0)
C=f yy(x0, y0)
3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值，
且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o);
(2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值;
(3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论.
=3x2−3y=0
解：∂z
∂x
∂z
=3y2−3x=0
∂y
联立得驻点为(0,0),(1,1)
A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导)
B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导)
C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导)
在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处
无极值。
在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为
A>0,故在此处为极小值点，极小值为
F (1, 1) =x3+y3−3xy=−1
2.求函数f(x, y)=x2+(y−1)2的极值。
解：f x’=2x=0
F y’=2y-2=0
联立得驻点为(0,1)
A=f xx(x0, y0) =2
B=f xy(x0, y0) =0
C=f yy(x0, y0) =2
在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为
F (0, 1) = 0
3.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？
解：另长宽高分别为x, y, z
故xyz=a, z=a
xy
S=xy+2(x a
xy +y a
xy
)=xy+2(a
y
+a
x
)
S x’=y+2(−a
x2
)=0
S y ’= x+2(−a
y2
)=0
解得当X=Y=Z=3√2a的时候用料最少。