多元函数的极值与最优化问题汇编
一些典型的多元函数极值问题
一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。
本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。
在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。
下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。
假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。
现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。
根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。
即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的基础上建立起来的函数，其中每个自变量可以取不同的取值范围。
函数中的每个自变量都有可能对因变量产生影响，因此在寻找该类函数的极值和最值时，需要使用二元函数求导以及极值的方法进行研究分析。
本文将详细阐述多元函数的极值与最值的相关概念和定理，并探讨如何应用这些方法进行问题解决。
一、多元函数的极值和最值1. 极值极值是指一个函数在可定义范围内的自变量取值中，使得该函数取得最大值或者最小值的某个特定点。
当函数在该点处的导数为0时，这个点被称为函数的驻点；如果在该点处导数变号，那么该点就是函数的极值点。
因此，求多元函数的极值就需要用到多元函数求导的技巧，从而找到导函数为0的点。
2. 最值最值是指一种特殊的极值，它是多元函数在所有可定义自变量取值范围内所取得的最大值或最小值。
一般来说，函数的最值不一定是在驻点处取得，而是可能在该函数的可定义区间的极点或边界处取得。
二、多元函数的求导方法多元函数的求导方法一般可以通过偏函数求导的方式实现。
即，将多元函数转化为一组由每个自变量为变量的一元函数，再对每个一元函数分别求导。
由于多元函数的求导方法较为复杂，因此需要有以下几个步骤：1. 将多元函数转化为一系列一元函数可以将多元函数按照自变量分别取值范围确定的函数写成形如f(x1,x2,...,xn) = y的形式。
其中，x1,x2,...,xn表示自变量，y为因变量。
2. 对每一个自变量求偏导数在多元函数中，并不是所有自变量对函数的影响都是一样的。
因此，我们必须分别计算每个自变量的导数，即偏导数。
在对每个自变量求偏导数时，其他变量都被视为常量，只对当前变量进行求导操作。
3. 求出最终导数表达式在求出所有的偏导数之后，需要根据求导规则求出最终的导数表达式。
为了求出多元函数的驻点，需要将各个偏导数求出的结果联立，并得到所有自变量为未知数的方程组。
4. 解方程组求得极值或最值最后，我们可以使用解线性方程组的方法，从而求得多元函数的极值或最值点。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数的极值和最优化问题
多元函数的极值和最优化问题多元函数是指同时含有两个或更多个变量的函数。
在数学中，研究多元函数的极值和最优化问题是一项重要的工作。
通过寻找函数取得最大值或最小值的点，可以在各种实际问题中找到最优解。
对于多元函数，极值点可以是极大值或极小值。
极值点可以通过求偏导数和解方程组来求解。
在求解时，首先需要计算函数的偏导数，然后令偏导数等于零，解此方程组可以得到极值点。
为了更好地理解多元函数的极值问题，下面以一个简单的例子进行解释。
假设有一个函数 f(x, y) = x^2 + y^2 ，我们的目标是找到这个函数的极值点。
首先，我们计算函数 f(x, y) 对 x 和 y 的偏导数。
偏导数是指在其他变量保持不变的情况下，对某一变量求导。
对于本例中的函数 f(x, y)，我们有以下偏导数：∂f/∂x = 2x∂f/∂y = 2y接下来，我们令偏导数等于零，并解这个方程组：2x = 02y = 0从方程组可以得到 x = 0，y = 0。
因此，函数的极值点为 (0, 0)。
同时，我们还需要判断这个极值点是极大值还是极小值，或者是鞍点。
为了做出判断，我们可以利用二阶偏导数的判定方法。
通过计算二阶偏导数的行列式，判断其正负性来确定。
在本例中，我们计算函数 f(x, y) 的二阶偏导数：∂²f/∂x² = 2∂²f/∂y² = 2二阶偏导数的行列式为H = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = (2)(2) - 0 = 4由于 H 大于零，所以函数的极值点 (0, 0) 是极小值点。
除了求取多元函数的极值点外，最优化问题也是多元函数的重要应用之一。
最优化问题的目标是找到函数取得最大值或最小值的点，并且通常还需要满足一些约束条件。
最常见的最优化问题是线性规划和非线性规划问题。
在线性规划问题中，目标函数和约束条件都是线性的。
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (9)
1 1 1 , y = , z = − , 代入式(8)解得 λ λ 2λ
λ=
当λ =
3 3 或λ = − , 2 2
3 1 2 2 时, 可得 x = − , y = , z = − , 2 3 3 3
3 1 2 2 当 λ = − 时, 可得 x = , y = − , z = . 2 3 3 3
第九节
多元函数的极值与最优化问题
习题 8-9
1. (1) 解
求下列函数的极值: f ( x, y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) ; (1) 先求函数的驻点. (2) f ( x, y ) = e 2 x ( x + y 2 + 2 y ) .
2 ⎧ ⎪ f x = (6 − 2 x)(4 y − y ) = 0, 求得五组解 解方程组 ⎨ 2 f = (6 x − x )(4 − 2 y ) = 0, ⎪ y ⎩
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 (1 ≤ y ≤ 2) ,
由 f ′( x, y ) = −2 + 6 y = 0 , 得 y =
1 (舍去). 3
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 对应于 y = 1, y = 2 处的值分别为 2,9.
因此通过比较可知, f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值为 11, 最小值为 2. 注意 如果二元函数在有界闭区域 D 上连续, 在 D 内可微分, 且只有有限个驻 点, 那么求二元函数在 D 上的最值的一般方法是, 先求函数在 D 内的所有驻点处的 函数值, 再考虑函数在 D 的边界上的最大值和最小值, 把它们加以比较, 其中最大 的就是最大值, 最小的就是最小值.
8-8多元函数极值和最值-PPT文档资料
z
O
y
x
回忆
一元函数极值的必要条件
如果函数 f(x)在x0处可导,且f(x)在x0 处取得极值, 那么 f(x0)0.
一元函数极值(第二)充分条件
如f果 (x0)0,f ( x0 ) 0 ( 0),则f (x0)为
极大值 (极小值).
二元函数极值的必要条件
定理 设 zf(x,y)在 (x0 点 ,y0)具有 偏导数, 且在(x点 0,y0)处有极值, 则
函数的极大值与极小值统称为 极值. 函数的极大值点与极小值点统称为 极值点.
z
例 函数 z3x24y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值). O y
xz
例 函数 z x2y2 下半圆锥面
O
x
y
在(0,0)点取极大值. (也是最大值).
例 函数 zxy 马鞍面
在(0,0)点无极值.
8.8 多元函数的极值与最值
8.8.1 多元函数的极值 8.8.2 多元函数的条件极值 8.8.3 Lagrange(拉格朗日)乘数法 8.8.4 多元函数的最值及其应用
8.8.1 多元函数的极值(extremum)
极大值和极小值的定义 和一元函数一样，极值是局部概念
定义 设在点P0的某个邻域, f(P)f(P0),则称 点P0为函数的极大值点.f (P0) 为极大值(relative maximum). 类似可定义极小值点和极小值(relative minimum).
③定出 ACB2的符号, 判定是否是极值.
例 求 f( x 函 ,y ) 3 a 数 x x 3 y 3 ( a 0 )的极值.
解
①解方程组
fx fy
多元函数的极值与最优化
多元函数的极值与最优化多元函数是指具有多个自变量的函数，它在数学及实际问题中都扮演着重要的角色。
在求解多元函数的极值及最优化问题中，需要运用一系列数学方法和工具，如导数、梯度、约束条件等。
本文将简要介绍多元函数的极值和最优化，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、多元函数的极值多元函数的极值是指在一定范围内，函数取得最大值或最小值的点。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，常用的求得其极值的方法是求导。
假设函数的各个偏导数存在，则需要解方程组∂f/∂xi = 0 (i = 1, 2, ..., n)来求得驻点。
进一步，可以通过二阶偏导数的符号来判断该点是否为极值点。
通过求解多元函数极值问题，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值，从而指导实际问题的决策。
例如，在经济学中，利润函数可以看作是一个多元函数，通过求解其极值，可以帮助企业寻找最佳的经营策略。
二、多元函数的最优化多元函数的最优化问题是指在一定范围内，寻找使得函数取得最大值或最小值的自变量的值。
在最优化问题中，除了极值点外，还需要考虑约束条件。
最优化问题可以通过无约束最优化和约束最优化两种情况来进行求解。
无约束最优化问题是指在没有约束条件下，寻找函数的最大值或最小值。
常用的求解方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步接近最优解。
约束最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找函数的最大值或最小值。
常用的求解方法有拉格朗日乘数法、KKT条件等。
这些方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数，从而转化为无约束最优化问题进行求解。
最优化问题在现实中有着广泛的应用，如在工程设计中，需要优化设备的性能指标，可以利用最优化方法找到最佳的设计参数值。
三、多元函数的极值与最优化的实际应用多元函数的极值和最优化在实际中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：在经济学中，通过求解效用函数的最大值问题，可以帮助消费者做出最优的消费决策；求解利润函数的最大值问题，可以帮助企业找到最佳的生产策略。
多元函数的极值与最优化问题
设每张CD 28 元，每个U盘 80 元，问他如何分配这 2000 元以达到最佳效果．
一般地，所谓条件极值，就是求 在附加条件： 问题的实质：求
求条件极值的方法主要有两种：
01
的无条件极值.
02
拉格朗日乘数法
03
将条件极值转化为无条件极值
04
下的可能极值点.
05
步骤：
1 构造函数
)
,
(
)
,
求函数
解 第一步 求驻点.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步
解方程组
的极值.
求A、B、C的值，并列表判别
12
0
6
极小，
72
-5
解
例5
P
即
01
驻点为
02
(
03
1
04
1
05
)
06
函数在 P 有极值 故
二、多元函数的最值
依据 (这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件方程)
要设计一个容量为
则问题为求
令
解方程组
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积
最小.
x , y , z 使在条件
试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
的长方体开口水箱,
例8-4
得唯一驻点
因此 , 当高为 思考: 提示: 利用对称性可知, 提示: 长、宽、高尺寸相等 .
由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
2x,
故长方体的体积
2y,
h - z.
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一、多元函数的无条件极值
二、多元函数的最值 三、多元函数的条件极值—— 拉格朗日乘数法
第八章
一、 多元函数的无条件极值
观察二元函数 z xy
2 y2 x e
的图形
1. 极值定义 定义8.10 若函数
的某
邻域内有定义且满足 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ( ( x , y ) U ( P ))
事实上，
z x y, z y x ,
z x ( 0, 0 ) 0 z ( 0, 0 ) 0 y
( 0,0)是 z xy 的驻点.
但当 xy 0 （一、三象限的点）时 ，z( x , y ) z(0,0) 0 当 xy 0 （二、四象限的点）时 ，z( x , y ) z(0,0) 0
解 1º求驻点
2 z 3 x 3ay 0 x 2 z 3 y 3ax 0 y
① ②
当 a=0 时，有唯一驻点：(0,0) 当 a 0 时，
① – ②： ( x 2 y 2 ) 0
设函数
且在该点取得极值，则有
具有偏导数，
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0.
证 即
不妨设 z f ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 处有极大值,
f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ,
( ( x , y ) U ( P ))
( 0,0)不是 z xy 的极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理8.11(充分条件) 若函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 某邻域内 具有二阶连续偏导数, 且 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 记 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) 2 则 1)当 AC B 0 时, A<0 时是极大值; A>0 时是极小值.
点； 1 求极值可疑点：驻点、偏导数不存在的
2 判断 (1) 利用极值的充分条件判 定,
( 2) 若充分条件不满足，则 利用极值的定义.
例4
z x 2 y2
z x (0,0), z y (0,0)均不存在，
但z
x 2 y 2 在(0,0)处取得极小值 z (0,0) 0.
例5 求 z x 3 y 3 3axy ( a为常数)的极值.
f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 ) ( ( x , y0 ) U ( P ))
令 ( x ) f ( x , y0 ), 则
( x ) ( x0 ) ( x U ( x0 ))
( x ) f ( x , y0 )在x x0处可导
( f ( x , y ) f ( x0 , y0 ))
则称函数在点
f极小值 ( x 0 , y0 ) ). f ( x0 , y0 ). 取得极大值 (
极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点
称为极值点.
推广：n 元函数 f (P ), 极小值 f ( P0 )：f ( P0 ) f ( P )
( 0, 0 )
9a 2 0
( a, a )
27 a 2 0 6a ( a 0) ( a 0)
x ya 0
x y
得
否则 x y a 0 z x 3[ x 2 a( x a )] 3( x 2 ax a 2 ) 0
代入①，
xa 2 z x 3 x 3ay 0 ① 有驻点： (0 ,2 0), (a , a ) 0 ② z 3 y 3 ax
f x ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
2º 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为多元函数的驻点. 驻点 可导函数的极值点
例如: 点( 0,0) 是函数 z xy 的驻点， 但不是极值点.
2 2) 当 AC B 0 时,
不是极值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能判定 , 需另行讨论.
即有
0 0
0
f ( x0 , y0 )
A 0, 极小值
A 0, 极大值
是极值
非极值 不定(需用其他方法确定)
( AC B 2 )
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
( P U ( P0 ), P0 , P R n )
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
2 2 函数 z x y 例2
(1)
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
2. 多元函数取得极值的条件 定理8.10 (必要条件)
x 2 ax 0, x 0,
y
2º 判断 z x 3 x 2 3ay , z y 3 y 2 3ax A z xx 6 x , B z xy 3a, C z yy 6 y, AC B 2 36 xy 9a 2 (1) 当a 0 时， 驻点
( x0 ) 0
即
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0 .
注 1º 推广： 如果三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 处有极值的必要条件为: