优化工具箱之求函数极小值
scipy 计算极值
scipy 计算极值
在Python的SciPy库中，可以使用`scipy.optimize.minimize`函数来找到函数的极值。
这个函数使用了一种优化算法来找到函数的最小值或最大值。
以下是一个简单的例子，假设我们有一个函数`f(x) = x**2`，我们想要找到这个函数的极小值：
如果你想要找到函数的极小值，你可以定义一个负的函数，然后使用同样的方法来找到最小值。
例如，对于函数`f(x) = -x**2`，它的极小值就是它的最大值。
注意，`minimize`函数默认是寻找最小值。
如果你想要寻找最大值，你需要提供一个额外的参数`method='BFGS'`。
例如：如果你想要找到函数的极值，你需要先定义一个目标函数，然后使用`scipy.optimize.minimize`函数来找到函数的极值。
这个函数默认是寻找最小值，如果你想要寻找最大值，你需要提供一个额外的参数`method='BFGS'`。
如果你的函数有多个局部最小值或最大值，
`minimize`函数可能无法找到全局的最小值或最大值，而只能找到局部的最小值或最大值。
在这种情况下，你可能需要尝试不同的初始猜测值，或者使用不同的优化算法来找到全局的最小值或最大值。
matlab极值点
MATLAB极值点一、引言MATLAB是一种强大的数学建模和仿真软件，广泛应用于科学研究、工程设计和数据分析等领域。
在MATLAB中，寻找极值点是一项常见的任务，它对于优化问题的求解和函数的分析具有重要意义。
本文将详细介绍MATLAB中寻找极值点的方法和应用。
二、MATLAB中的极值点寻找方法2.1 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过迭代的方式逐步逼近函数的极小值点。
在MATLAB中，可以使用fminunc函数来实现梯度下降法。
该函数需要提供一个目标函数和初始点，然后通过迭代计算来寻找极小值点。
2.2 全局优化方法全局优化方法是一种寻找函数全局极小值点的算法。
MATLAB中提供了fmincon函数来实现全局优化。
该函数需要提供一个目标函数和约束条件，然后通过迭代计算来寻找全局极小值点。
2.3 网格搜索法网格搜索法是一种简单但有效的寻找函数极值点的方法。
在MATLAB中，可以使用gridsearch函数来实现网格搜索法。
该函数需要提供一个目标函数、搜索范围和步长，然后通过遍历搜索来寻找极值点。
三、MATLAB中极值点的应用3.1 函数优化在许多实际问题中，需要寻找一个函数的最优解。
例如，在工程设计中，需要找到一个函数的最小值点来满足设计要求。
MATLAB中的优化工具箱提供了丰富的函数和方法来解决这类问题。
3.2 数据分析在数据分析中，寻找极值点可以帮助我们理解数据的特征和趋势。
例如，我们可以通过寻找时间序列数据的极大值点来找到数据的峰值。
MATLAB中的统计工具箱提供了各种函数和方法来进行数据分析和极值点的寻找。
3.3 图像处理在图像处理中，寻找图像的极值点可以帮助我们定位图像的边缘和特征点。
例如，在边缘检测中，我们可以通过寻找图像的极小值点来找到图像的边缘。
MATLAB中的图像处理工具箱提供了各种函数和方法来进行图像处理和极值点的寻找。
四、总结本文介绍了MATLAB中寻找极值点的方法和应用。
优化设计-Matlab优化工具箱的介绍及8种函数的使用方法
计算结果 截面高度h x(1)=192.9958mm 斜边夹角θ x(2)=60.0005度 截面周长s f=668.5656mm
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminbnd(@fun,x0,options,P1
3.例题：
3.2.3函数fminunc
解：(1)建立优化设计数学模型 (2)编写求解无约束非线性优化问题的M文件
2 优化工具箱 （Optimization Toolbox）
• 优化工具箱主要应用 ①求解无约束条件非线性极小值； ②求解约束条件下非线性极小值，包括目标 逼近问题、极大-极小值问题； ③求解二次规划和线性规划问题； ④非线性最小二乘逼近和曲线拟合； ⑤求解复杂结构的大规模优化问题。
• 优化工具箱的常用函数
初始点
各分目标期望值 各分目标权重 线性不等式约束的常数向量 线性不等式约束的系数矩阵 设置优化选项参数 非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩阵
目标函数在最优解的海色矩阵
无定义时以空矩阵 符号“[ ]”代替
三、例题
3.5.1 函数fgoalattain
x1
x2
3.例题：
64516 2x 1 解：(1)建立优化设计数学模型 f ( X) x1 x1ctgx 2 sin x 2
MATLAB优化工具箱
MATLAB优化工具箱MATLAB（Matrix Laboratory）是一种常用的数学软件包，广泛用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
MATLAB优化工具箱（Optimization Toolbox）是其中一个重要的工具箱，提供了一系列用于求解优化问题的函数和算法。
本文将介绍MATLAB优化工具箱的功能、算法原理以及使用方法。
对于线性规划问题，优化工具箱提供了linprog函数。
它使用了线性规划算法中的单纯形法和内点法，能够高效地解决线性规划问题。
用户只需要提供线性目标函数和约束条件，linprog函数就能自动找到最优解，并返回目标函数的最小值和最优解。
对于整数规划问题，优化工具箱提供了intlinprog函数。
它使用分支定界法和割平面法等算法，能够求解只有整数解的优化问题。
用户可以指定整数规划问题的目标函数、约束条件和整数变量的取值范围，intlinprog函数将返回最优的整数解和目标函数的最小值。
对于非线性规划问题，优化工具箱提供了fmincon函数。
它使用了使用了一种称为SQP（Sequential Quadratic Programming）的算法，能够求解具有非线性目标函数和约束条件的优化问题。
用户需要提供目标函数、约束条件和初始解，fmincon函数将返回最优解和最优值。
除了上述常见的优化问题，MATLAB优化工具箱还提供了一些特殊优化问题的解决方法。
例如，对于多目标优化问题，可以使用pareto函数找到一组非劣解，使得在目标函数之间不存在改进的解。
对于参数估计问题，可以使用lsqnonlin函数通过最小二乘法估计参数的值，以使得观测值和模型预测值之间的差异最小化。
MATLAB优化工具箱的使用方法非常简单，只需按照一定的规范格式调用相应的函数，即可求解不同类型的优化问题。
用户需要注意提供正确的输入参数，并根据具体问题的特点选择适应的算法。
为了提高求解效率，用户可以根据问题的特点做一些必要的预处理，例如，选择合适的初始解，调整约束条件的松紧程度等。
优化工具箱
六．优化工具箱（Optimization Toolbox ）简介6．1 优化工具箱的功能及应用步骤1． 基本功能（1） 求解线性规划和二次规划问题；（2） 求解无约束条件非线性的极小值问题；（3） 求解带约束条件非线性的极小值问题；（4） 求解非线性方程组；（5） 求解带约束的线性最小二乘问题；（6） 求解非线性最小二乘逼近和曲线拟合问题。
2． 应用步骤（1） 根据所提出的最优化问题，建立数学模型，确定变量、约束条件合目标函数；（2） 对数学模型进行分析研究，选择合适的最优求解方法；（3） 根据最优化方法的算法，选择最优化函数，编程计算。
6．2优化工具箱的函数使用方法求解线性规划问题（1） 基本模型1122min ..T C xA x b s t A x b lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩其中x 为向量，A 1, A 2为常数矩阵，C, b 1, b 2 ,lb, ub 均为常数向量。
（2） 数linprog 调用x=linprog(C,A1,b1); %决策变量无上下约束条件，并且只含有“≤“约束条件； x=linprog(C,A1,b1,A2,b2); %决策变量无上下约束条件；x=linprog(C,A1,b1,A2,b2,lb,ub); %决策变量有上下约束条件；[x,fv]=linprog(…); %要求在迭代中同时返回目标函数值； [x,fv,ef]=linprog(…); %要求返回程序结束标志；[x,fv,ef,out]=linprog(…); ％要求返回程序的优化信息；（3） 例子例1 求线性规划问题123min 546z x x x =---subject to首先输入系数C=[-5; -4; -6]A= [1 -1 1;3 2 4;3 2 0]b=[20; 42; 30]lb=zeros(3,1)调用linprog函数[x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,[],[],lb) 输出结果：>> [x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,[],[],lb) Optimization terminated successfully. x =0.000015.00003.0000fv =-78.0000ef =1out =iterations: 6cgiterations: 0algorithm: 'lipsol'例1 求线性规划问题max z=2x1+3x2-5x3s.t. x1+x2+x3=72x1-5x2+x3>=10,x1,x2,x3>=0.首先输入系数C=[-2; -3; 5]A=[-2 5 1]b=-10Aeq=[1 1 1]beq=7lb=zeros(3,1)调用linprog 函数[x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb)输出结果：>> [x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated successfully.x =6.42860.57140.0000fv =-14.5714ef =1out =iterations: 7cgiterations: 0algorithm: 'lipsol'求解二次规划问题（4） 基本模型 11221min2..T T x Hx C x A x b s t A x b lb x ub +≤⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩ 其中x 为向量，H,A 1, A 2为常数矩阵，C, b 1, b 2 ,lb, ub 均为常数向量。
机械优化设计Matlab-优化工具箱基本用法
Matlab 优化工具箱x = bintprog （f ， A, b, Aeq, Beq ， x0, options ） 0—1规划 用MATLAB 优化工具箱解线性规划命令：x=linprog(c ，A ，b ） 2、模型：命令：x=linprog(c ，A ，b ，Aeq ，beq ） 注意：若没有不等式：存在，则令A=［ ]，b=[ ］. 若没有等式约束， 则令Aeq=［ ]， beq=[ ].min z=cX1、模型：3、模型：命令：［1］x=linprog（c，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB）[2］x=linprog（c，A，b，Aeq,beq，VLB，VUB, X0）注意：［1] 若没有等式约束，则令Aeq=[ ］，beq=［]. [2]其中X0表示初始点4、命令:［x,fval]=linprog（…）返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.例1 max解编写M文件小xxgh1。
m如下：c=［-0.4 —0。
28 —0.32 —0.72 -0.64 -0。
6］；A=[0。
01 0.01 0.01 0.03 0。
03 0.03;0。
02 0 0 0。
05 0 0;0 0。
02 0 0 0。
05 0;0 0 0.03 0 0 0。
08］；b=[850；700；100;900]；Aeq=[]; beq=［];vlb=[0；0；0;0;0;0]；vub=[］；[x，fval］=linprog(c,A，b，Aeq，beq,vlb,vub)例2解: 编写M文件xxgh2.m如下：c=[6 3 4］；A=[0 1 0]；b=[50];Aeq=［1 1 1］；beq=［120];vlb=[30,0,20］;vub=［];［x，fval]=linprog（c,A,b,Aeq，beq,vlb，vub例3 (任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求,又使加工费用最低？解设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。
OptimizationToolboxMATLAB优化工具箱
OptimizationToolboxMATLAB优化工具箱Optimization Toolbox－－求解常规和大型优化问题Optimization Toolbox 提供了应用广泛的算法集合，用于求解常规和大型的优化问题。
这些算法解决带约束、无约束的、连续的和离散的优化问题。
这些算法可以求解带约束的、无约束的以及离散的优化问题。
工具箱中包含的函数可以用于线性规划、二次规划、二进制整数规划、非线性优化、非线性最小二乘、非线性方程、以及多目标优化等。
用户能够使用这些算法寻找最优解，进行权衡分析，在多个设计方案之间平衡，以及将优化算法集成到算法和模型之中。
主要特点交互式工具用于定义、求解优化问题，并能监控求解过程求解非线性优化和多目标优化问题求解非线性最小二乘，数据拟合和非线性方程提供了解决二次方程和线性规划问题的方法提供了解决二进制整数规划问题的方法某些带约束条件的非线性求解器支持并行运算使用Optimization Toolbox 中的基于梯度的求解器寻找峰值函数（peaks function）的局部最小解。
运用优化工具箱提供的大型线性最小二乘法修复一张模糊的照片。
定义，求解以及评定优化问题优化工具箱提供了解决极小极大值问题的最常用方法。
工具箱包含了常规和大型优化问题的算法，使用户可以利用问题的稀疏结构来求解问题。
用户可以通过命令行或图形用户界面Optimization Tool调用工具箱函数和求解器选项。
通过命令行运行的优化程序(左，调用了定义指标函数（右上）和限定条件方程（右下）的MATLAB文件。
Optimization T ool 是一个将一般优化工作简单化的图形用户界面。
通过该图形用户界面，用户能够完成以下操作：定义自己的优化问题并选择求解器配置，检验优化选项和所选求解器的默认设置运行优化问题，显示中间以及最终结果在可选择的快速帮助窗口中查看特定求解器的文档在MATLAB 的工作空间和优化工具之间导入和导出用户问题的定义，算法配置和结果保存用户工作和使工作自动化，自动生成M 语言代码调用Global Optimization Toolbox中的求解器使用Optimization Tool 设置并求解的一个优化程序(左)。
【精品】数学建模Matlab优化工具箱汇编
fmin命令用于求一元函数极小点
使用格式:fmin(‘f’,x1,x2) 例如:fmin(‘cos’,3,4) 将得到ans=3.1416 这是介于3和4之间的函数cos x 的最小值点
例.求函数f(x)=2e-x sin x 的极大和极小值点
function y=f3(x)
function y=f4(x)
s.t. 1.5x1x2x1x20
x1x210
funf='f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)
+ 2*x(2) + 1);';
fung='g=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];';
fun = [funf fung];
x0=[1 1 1]; fsolve('xyz',x0)
q(2)=3*x+2^y-z^3+1;
计算结果: ans=
q(3)=x+y+z-5;
0.5991, 2.3959, 2.0050
一个完整的命令格式可得更多信息
x0=[1 1 1];
%给出初始值(猜测值)
options=[];
%置参数向量为默认值
fmins命令用于求多元函数极小值点 命令使用格式为:fmins(‘f’,x0)
f是目标函数文件名,x0是极小值点的猜测值
例.求函数的极小值 z10 (y 0 x2)2(1x)2
function z=f5(p) x=p(1);y=p(2); z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;
绘二元函数图 形,观察极小值 点
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• X=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,Beq) • 同前一调用格式相比，约束条件中增加 了等式约束 Aeq*X = Beq. • (若无丌等式约束，取A=[] 、B=[])
• X=fmincon(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB, UB) • 若设计变量X有上下限UB、LB用此格式 • 若X无取值限制，LB不UB为空矩阵[]。 • 若X（i）的下限为负无穷，则LB(i)=-Inf。 • 若X（i）的上限为正无穷，则UB(i)=Inf
优化 工具箱
——函数极小值
一、一元函数极小（fminbnd）
二、无约束极小值
（fminunc, fminsearch） 三、约束极小值(fmincon) 四、极大极小（fminimax）
极小值点
一元函数极小值
• [x,fval,exitflag,output]=fmin bnd (@fun,x1,x2,options)
有约束极小值
min f （X） s.t. AX≤b （线性丌等式约束） AeqX=beq （线性等式约束） C(X)≤0 （非线性丌等式约束条件） Ceq(X)=0（非线性等式约束） Lb ≤X ≤Ub （边界约束条件）
约 束 条 件
• • • •
x=fmincon(fun,x0,A,b) 给定初值x0，求解fun函数的极值点x. 约束条件为线性约束A*x<=b。 x0可以是标量、矢量或矩阵
附加参数 设置优化选项参数 调用目标函数的函数文件名 初始点 线性丌等式约束的常数向量 线性丌等式约束的系数矩阵 非线性约束条件的函数名
目标函数在最优解的海色矩阵
无定义时以空矩阵 符号“[ ]”代替
设计数矩阵
极大极小
• • • • • • • • • 目标函数： f1(X)=x1*x2 f2(X)=- x1 * (x2^2)/6 约束条件： h(x)= x1^2+x2^2=1 g1(X)=-x1<=0 g2(X)=x1 -1 <=0 g3(X)=-x2<=0 g4(X)=x2 -1 <=0
目标函数 在（x1,x2） 上的最小 值
终止迭 代条件
优化 参数
关于优 化算法 的信息
均为局 部解
无约束极小值
• [x,fval,exitflag,output,grad,hessi an]=fminunc(@litifun,x0)
梯度 Hessia n矩阵 从x0起，寻找x的局部 最小值。可以是向量、 标量、矩阵
返回目标函数的最优解
返回目标函数的最优值
返回算法的终止标志 优化算法信息的一个数据结构 返回目标函数在最优解的梯度
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)
• X=fmincon(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB, UB,NONLCON) • NONLCON是包含函数名的字符串，该函 数可以是M文件、内部文件。 • 例如，若NONLCON=’mycon’， • 则M文件mycon.m具有如下内容： • Function [C,Ceq]=mycon(X) • C=…..%计算X处的非线性丌等式 • Ceq=…%计算X处的非线性等式