函数极值与最值研究毕业论文
浅谈函数的极值与最值
浅谈函数的极值与最值玉溪师范学院理学院数学与应用数学专业 刘有燕 2005011115指导教师：张玮摘要：函数的极值与最值广泛应用于生产生活实际中,本文讨论了一元函数、二元函数的极值与最值,其结果可以推广到n 元函数,在此基础上阐述了函数的极值与最值的区别与联系． 关键词：一元函数；二元函数；n 元函数；极值；最值；Hessian 矩阵前言：函数的极值与最值广泛应用于生产生活实际中,生产实践和科学实验中所遇到的“最好”、“最省”、“最大”、“最小”等问题都可以归结为数学的极值、最值问题,因此,讨论函数的极值、最值问题具有现实意义.本文着重讨论一元函数、二元函数的极值与最值的求解方法,并把方法推广到n 元函数.在许多实际问题中,极值与最值结果往往相同,实际上它们之间是有区别的,因此,弄清楚函数的极值与最值的区别和联系是非常重要的．下面具体讨论一元函数、二元函数的极值与最值． 一、一元函数的极值与最值 ⒈一元函数的极值⑴一元函数极值的定义设函数()f x 在区间I 有定义,若0x I ∈,且存在0x 的某邻域()0U x I ⊂．()0x U x ∀∈,有()()()()()00f x f x f x f x ≤≥,则称0x 是函数()f x 的极大点（极小点）,()0f x 是函数()f x 的极大值（极小值）.极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值．[1]⑵费马定理：设函数()f x 在区间I 有定义,若函数()f x 在0x 可导,且0x 是函数()f x 的极值点,则()00f x '=．⑶稳定点：若函数()f x 可导,则方程()0f x '=的根0x 称为函数()f x 的稳定点． ⑷可导函数()f x 的极值点必在函数()f x 的稳定点的集合中,而稳定点却不一定是极值点.例如：函数()()1,12=-=x x x f 是稳定点也是极值点.函数()3f x x =,0x =是稳定点,但不是极值点. 从稳定点中找出极值点，有两个充分性的判别法：第一判别法：若函数()f x 在()U a 可导,且()0f a '=, 0δ∃>,有()f x '()()()()00,,00,,x a a x a a δδ><∀∈-<>∀∈+则a 是函数()f x 的极大点（极小点）,()f a 是极大值（极小值）．在稳定点a 的两侧,()f x '的符号左正右负,函数()f x 取得极大值；()f x '的符号左负右正, 函数()f x 取得极小值．第二判别法：若函数()f x 在a 存在n 阶导数,且()()()()10n f a f a f a -'''==== ,()()0n f a ≠．①n 是奇数,则a 不是函数()f x 的极值点； ②n 是偶数,则a 是函数()f x 的极值点；当()()0n f a >时,a 是函数()f x 的极小点,()f a 是极小值； 当()()0n f a <时,a 是函数()f x 的极大点,()f a 是极大值．⑸设函数()x f 有稳定点a ,且在点a 的邻域存在二阶导数()a f '',由第二判别法可知()a f ''分三种情况：()()()0,0,0f a f a f a ''''''>=<,点a 的Hessian 矩阵()()H f a ''=. ①当()0f a ''>时,函数()x f 在点a 的Hessian 矩阵H 是正定矩阵,a 是函数()x f 的极小点,()a f 是极小值.②当()0f a ''<时,函数()x f 在点a 的Hessian 矩阵H 是负定矩阵,a 是函数()x f 的极大点,()a f 是极大值.③当()0f a ''=时,函数()x f 在点a 的Hessian 矩阵H 是半正定矩阵,不能判断点a 是否是函数()x f 的极值点.注释：正定矩阵：正定的实对称矩阵简称为正定矩阵.实对称矩阵A 是正定的充要条件是A 的所有顺序主子式全大于零. n 级实对称矩阵A 是正定的当且仅当A 的特征值全大于零.n 级实对称矩阵A 是负定的充要条件是它的偶数阶顺序主子式全大于零,奇数阶顺序主子式全小于零.⑹对函数()x f 而言,稳定点可能是极值点,不可导点也可能是极值点,那么如何判定不可导点是否是极值点？[2]设不可导点0x 把函数()x f 的定义域(),a b 分成两个区间：()()1020,,,I a x I x b ==． 如果函数()x f 在0x 连续,那么：①1x I ∈时,()0f x '>；2x I ∈时,()0f x '<⇒0x 是()x f 的极大点,()0f x 是()x f 的极大值． ②1x I ∈时,()0f x '<；2x I ∈时,()0f x '>⇒0x 是()x f 的极小点,()0f x 是()x f 的极小值． ③1x I ∈及2x I ∈时,都有()0f x '>（或()0f x '<）⇒0x 不是()x f 的极值点．如果函数()x f 在0x 不连续,那么0x 可能是极值点也可能不是极值点,需要具体情况具体分析.函数的极值随极值点的确定而确定． ⒉一元函数的最值⑴一元函数最值的定义设函数()f x 在区间I 有定义,0x I ∃∈,对x I ∀∈,恒有()()()()()00f x f x f x f x ≥≤,则称0x 是函数()f x 的最大点（最小点）,()0f x 是函数()f x 的最大值（最小值）,最大点与最小点统称为最值点,最大值与最小值统称为最值．⑵闭区间可导函数的最值求法若函数()f x 在闭区间[],a b 连续,在开区间(),a b 可导,且12,,,n x x x 是函数()f x 在开区间(),a b 内的所有稳定点,则函数值()2n +个：()()()()()12,,,,,n f a f x f x f x f b 中最小者就是函数()f x 的最小值,最大者就是函数()f x 的最大值．所以,求可导函数的最值就归结为求可导函数在稳定点及区间端点函数值中的最值．注释：若存在不可导点,则还需考察这些点．⑶无限区间上连续函数的最值求法函数()f x 在区间I 有定义,如果区间I 是无限区间且()f x 在I 连续,则()f x 可能无最值．可以根据函数()f x 在相应开区间的极值,以及当x 趋于I 的端点（或±∞）时,()f x 的变化趋势来确定函数()f x 是否有最值．生产实践和科学实验中遇到的“最好”、“最省”、“最大”、“最小”等问题都可以归结为数学的最值问题．在求最值的某些应用问题时,根据问题的实际意义,能够判定它必能取到最大值（最小值）,而从实际问题抽象出来的可导函数()f x 在区间I 只有一个稳定点,这时就可断定,函数()f x 在此稳定点必取到最大值（最小值）． 二、二元函数的极值与最值 ⒈二元函数的极值⑴二元函数极值的定义 设函数(),fx y 在点(),P a b 的邻域G 有定义,若(),a h b k G ∀++∈,有()()()()(),,,,f a h b k f a b f a h b k f a b ++≤++≥,则称(),P a b 是函数(),f x y 的极大点（极小点）,(),f a b 称为函数(),f x y 的极大值（极小值）．[3] 关于二元函数的极值问题，一般可利用偏导数来解决． ⑵二元函数极值存在的必要条件定理⒈设函数(),f x y 在点(),P a b 存在两个偏导数,且(),P a b 是函数(),f x y 的极值点,则()(),0,,0x y f a b f a b ''==．⑶稳定点：满足方程组 ()(),0,0x y f x y f x y '='=的点称为函数(),f x y 的稳定点（偏导数为零的点）．可微函数(),f x y 的极值点一定是稳定点,反过来,稳定点不一定是极值点,下面给出极值点的判定定理：⑷二元函数极值存在的充分条件定理⒉设函数(),f x y 有稳定点(),P a b ,且在点(),P a b 的邻域G 存在二阶连续偏导数,令()()()2,,,,,,xxxy yy A f a b B f a b C f a b B AC ''''''===∆=-． ①若0∆<,则(),P a b 是函数(),f x y 的极值点：如果()00A C >>,那么(),P a b 是函数(),f x y 的极小点,(),f a b 是极小值． 如果()00A C <<,那么(),P a b 是函数(),f x y 的极大点,(),f a b 是极大值． ②若0∆>,(),P a b 不是函数(),f x y 的极值点．③若0∆=,(),P a b 可能是函数(),f x y 的极值点,也可能不是函数(),f x y 的极值点．定理⒊设函数(),f x y 有稳定点(),P a b ,且在点(),P a b 的邻域G 存在二阶连续偏导数；①若函数(),f x y 在点(),P a b 的Hessian 矩阵()H P 是正定矩阵,则(),P a b 是函数(),f x y 的极小点,(),f a b 是极小值．②若函数(),f x y 在点(),P a b 的Hessian 矩阵()H P 是负定矩阵,则(),P a b 是函数(),f x y 的极大点,(),f a b 是极大值．③若函数(),f x y 在点(),P a b 的Hessian 矩阵()H P 是不定矩阵（特征值有正有负）,则(),P a b 不是函数(),f x y 的极值点．④若函数(),f x y 在点(),P a b 的Hessian 矩阵()H P 是半正定或半负定矩阵,则不能判定(),P a b 是否是函数(),f x y 的极值点．[4]注释：函数(),f x y 在任意点的Hessian 矩阵xxxyyx yyf f H f f ''''⎛⎫=⎪ ⎪''''⎝⎭． ①证明：(),P a b 是函数(),f x y 的稳定点,所以()(),0,,0x y f a b f a b ''==． 由泰勒公式,有：()()()()()()()()()21,,,,,,,,2!T T x y f x y f a b f a b f a b x a y b x a y b H P x a y b x a y b ο⎛⎫''⎡⎤=++--+----+-- ⎪⎣⎦⎝⎭∴()()()()()()21,,,,,2!T T f x y f a b x a y b H P x a y b x a y b ο⎛⎫-=----+-- ⎪⎝⎭∵()()()()()2212,,,,T TT x a y b x a y b H P x a y b x a y b λλ--≤----≤--其中1λ,2λ分别为()H P 的最小和最大特征值,如果()H P 正定,则10λ>,所以()()()()()()22211,,,,,1022T T T f x y f a b x a y b x a y b x a y b λλοο⎛⎫⎛⎫-≥--+--=--+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()(),,f x y f a b ≥∴(),P a b 是函数(),f x y 的极小点,(),f a b 是极小值． ②证明：如果()H P 负定,则20λ<,所以()()()()()()22222,,,,,1022T TT f x y f a b x a y b x a y b x a y b λλοο⎛⎫⎛⎫-≤--+--=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()(),,f x y f a b ≤∴(),P a b 是函数(),f x y 的极大点,(),f a b 是极大值． 根据上述两个定理,可以解决一些二元函数的极值问题．例⒈求函数()()2222x y z x y e-+=+的极值．[5]解：解方程组()()()()()()22222222,210,210x y x y x y x y x x y ef x y y x y e-+-+'=--='=--=得到稳定点为()0,0及221x y +=上的点．①求二阶偏导数：()()()()()()()()()222222422223342222,410242,448,410242x y x y x y xxxyyyf x y x x y x y e f x y x y xy xy e f x y y y x x y e -+-+-+''=--++''=+-''=--++∴()()()0,02,0,00,0,02xxxy yy A f B f C f ''''''======, ∴240B AC ∆=-=-<,()0,0是极值点． 又∵20A =>,∴()0,0是极小值点,极小值是()0,00z =．②令22x y t +=,则t z te -=.()1t t z e t -'=-,当1t =时,0t z '=,所以221t x y =+=为稳定点． 又()2t t z t e -''=-, ()110t z e -''=-<,所以1t =是极大点,极大值是()11z e -=．例⒉求函数333z x y xy =+-的极值． 解：解方程组()()22,330,330x y x y x y x y y x '=-='=-=得到两个稳定点()0,0和()1,1,求二阶偏导数(),6xxf x y x ''=,(),3xy f x y ''=-,(),6yy f x y y ''=． ∴Hessian 矩阵()6336x H f y -⎛⎫= ⎪-⎝⎭．①()030,030f H -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()()()230,09333f I H λλλλλλ-==-=-+,I 为单位矩阵． ∴f H 的特征值是3,3-．∴()0,0f H 是不定矩阵,()0,0不是函数的极值点．②()631,136f H -⎛⎫= ⎪-⎝⎭一阶顺序主子式160∆=>,二阶顺序主子式2270∆=>, ∴()1,1f H 正定,()1,1是极小点,极小值是()1,11z =-．如果二元函数(),f x y 有稳定点(),P a b ,且在点(),P a b 的邻域G 存在二阶连续偏导数,那么求二元函数(),f x y 的极值可以用定理⒉和定理⒊（判定二元函数(),f x y 极值存在的充分条件）,定理⒉中第③种情况和定理⒊中第④种情况出现时需进一步考察是否取得极值,定理⒊在条件不变的情况下,其结论可以推广到n 元函数．⑸讨论函数(),f x y 的极值问题时,如果函数在所讨论的区域内有一阶偏导数,则由定理⒈可知,极值只可能在稳定点处取得.然而,如果函数在个别点处的一阶偏导数不存在,这些点当然不是稳定点,但也可能是极值点,例如：函数z =()0,0处一阶偏导数不存在,但该函数在点()0,0处却有极大值．⑹对函数(),f x y 有定义但一阶偏导数不存在的点,用极值的定义判断该点是否是极值点,如果是极值点,把它代入函数(),f x y ,就可以求出相应的极值． ⒉二元函数的最值⑴二元函数最值的定义设二元函数(),f x y 在定义域I 上有定义,()00,x y I ∃∈,对(),x y I ∀∈,恒有()()()()()0000,,,,f x y f x y f x y f x y ≥≤,则称()00,x y 是函数(),f x y 的最大点（最小点）,()00,f x y 称为函数(),f x y 的最大值（最小值）． ⑵在定义域I 上求函数(),f x y 最值的方法①判断(),f x y 在定义域I 上存在最大值、最小值．若I 为闭区域,(),f x y 在I 上连续,则(),f x y 在I 上必取得最大值和最小值．若I 为开区域,将(),f x y 在I 内的极值与函数趋于“边界”的极限放在一起比较,确定(),f x y 在I 上是否存在最大值和最小值． ②求出所有稳定点及偏导数不存在的点． ③计算(),f x y 在上述点的函数值．④计算(),f x y 在边界上的最大值、最小值．⑤比较上述函数值的大小,其中最大者为最大值,最小者为最小值．在很多实际问题中,根据实际意义,函数(),f x y 的最大（小）值必在区域I （I 可以是开区域、闭区域、无界区域）内某点取得,又函数在I 内只有一个稳定点,没有偏导数不存在的点,那么函数(),f x y 必在这个稳定点取得最大（小）值． 下面具体给出最值的应用：例⒊要制造一个无盖的长方体水槽,已知它的底面造价为每平方米18元,侧面造价为每平方米6元,设计的总造价为216元,问如何选取它的尺寸,才能使水槽容积最大？[6] 解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ,则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>． 由题设知 ()18622216xy xz yz ++= 即3122xy z x y-=⋅+ 所以223122xy x y V x y-=⋅+这个问题就是求函数V 在区域(){},|0,0D x y x y =>>内的最大值． 解方程组()()()()()()()()222222221221230212212302x y y xy x y xy x y V x y x x y x y xy x y V x y -+--'=⋅=+-+--'=⋅=+得到区域D 内的唯一稳定点()2,2．于是3z =．由问题的实际意义可知,函数(),V x y 在0,0x y >>时确实有最大值,且函数(),V V x y =只有一个稳定点,所以该稳定点就是最大点,()2,2就是函数(),V V x y =的最大点． ∴()3max 22312V m =⨯⨯=所以当长为2m ,宽为2m ,高为3m 时,水槽容积最大． 三、n 元函数的极值与最值 ⒈n 元函数的极值⑴n 元函数极值的定义设n 元函数()u f X =定义在开集n R Ω⊂上,如果0δ∃>,使()0,X B X δ∀∈⊂Ω恒有：()()0f X f X ≥,则称0X 点为()u f X =的极小点． ()()0f X f X ≤,则称0X 点为()u f X =的极大点． 与极大（小）点对应的值是极大（小）值．⑵判定n 元函数极值的必要条件定理⒋设n 元函数()u f X =在()0,B X δ内有定义,()f X 在点0X 存在n 个偏导数,且0X 是极值点,则()00,1,2,,i x f X i n '== ．⑶判定n 元函数极值的充分条件定理⒌设n 元函数()u f X =有稳定点0X ,且在点0X 的邻域()0,B X δ内存在二阶连续偏导数；①若n 元函数()f X 在点0X 的Hessian 矩阵()0H X 是正定矩阵,则0X 是()f X 的极小点,()0f X 是极小值．②若n 元函数()f X 在点0X 的Hessian 矩阵()0H X 是负定矩阵,则0X 是()f X 的极大点,()0f X 是极大值．③若n 元函数()f X 在点0X 的Hessian 矩阵()0H X 是不定矩阵,则0X 不是函数()f X 的极值点．④若n 元函数()f X 在点0X 的Hessian 矩阵()0H X 是半正定或半负定矩阵,则不能判定0X 是否是()f X 的极值点．注释：()11110n n n n x x x xx xx xf f H X f f ''''⎛⎫⎪= ⎪ ⎪''''⎝⎭，()()()()000012,,,Tn X x x x = ，0X X X =+∆，()12,,,Tn X x x x ∆=∆∆∆ .证明：0X 是()f X 的稳定点,所以()00,1,2,,i x f X i n '== ,于是()00i x f X X '∆=. 由泰勒公式：()()()()()()2000112!i nTx i f X f X f X X X H X X X ο='=+∆+∆∆+∆∑∴()()()()()20012!Tf X f X X H X X X ο-=∆∆+∆如果1,n λλ分别是()0H X 的最小和最大特征值, 二次型()()0TX H X X ∆∆满足：()()2210Tn X X H X X X λλ∆≤∆∆≤∆如果()0H X 正定,则10λ>,()()()()2221101022f X f X XXX λλοο⎛⎫-≥∆+∆=∆+≥ ⎪⎝⎭即()()0f X f X ≥,所以0X 是()f X 的极小点,()0f X 是极小值. 如果()0H X 负定,则0n λ<,()()()()222101022nf X f X XXX λλοο⎛⎫-≤∆+∆=∆+≤ ⎪⎝⎭即()()0f X f X ≤,所以0X 是()f X 的极大点,()0f X 是极大值.任意()1,2,,i i n = 元函数都可以根据Hessian 矩阵的正定、负定、不定来判定其极值. 下面用该定理来解决多元函数的极值问题.例⒋求()322,,62f x y z x y z xy z =++++的极值． 解：解方程组2360260220x y z f x y f y x f z '=+='=+='=+=得到两个稳定点()16,18,1P -，()20,0,1P - 二阶偏导数为：6,6,0,2,0, 2.xxxy xz yy yz zz f x f f f f f ''''''''''''======(),,f x y z 在任意点的Hessian 矩阵为()660620002x H P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是()13660620002H P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()2060620002H P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1H P 的各阶顺序主子式分别为：123360,360,720∆=>∆=>∆=>,它们均大于零,所以()1H P 是正定矩阵, 1P 是极小点,极小值()1106f P =-．∵()()()22606202236002I H P λλλλλλλ--=--=---- ∴()2H P的特征根为1232,110λλλ===<,()2H P 是不定矩阵,2P 不是极值点．⒉n 元函数的最值设n 元函数()u f X =定义在开集n R Ω⊂上,0X ∈Ω,如果X ∀∈Ω恒有()()0f X f X ≥,则称0X 点为()u f X =在Ω上的最小点．()()0f X f X ≤,则称0X 点为()u f X =在Ω上的最大点．与最大（小）点对应的值是最大（小）值.n 元函数是二元函数的推广,其极值与最值无论定义还是算法都与二元函数相似.五、函数的极值与最值的区别和联系极值与最值都是刻画函数度量性质的概念,它们之间有区别,也有联系,下面从多元函数的角度出发论述它们之间的区别和联系．⒈函数的极值与最值的区别①极值点必须是函数定义域的内点,而最值点可以是定义域上的任意点；当定义域为闭区域时,极值点不能是闭区域的边界点,而最值点可以是闭区域的边界点．②极值反映的是函数在定义域内部某个邻域内的局部性质,而最值反映的是函数在整个定义域上的整体性质．③函数在定义域内可能有很多极大值和极小值,但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）；极大值可以小于极小值,但最大值必定不小于最小值．⒉函数的极值与最值的联系①如果函数在定义域上只有唯一的极值,则此极值必定是最值．②如果函数的最值不在定义域的边界取得,并且函数在其定义域上的任何微小邻域内都不为定值,则最值必定是极值．函数可以有极值而无最值,可以有最值而无极值．在许多实际问题中,极值与最值结果往往相同,实际上它们是有区别的．结束语：函数的极值与最值都是刻画函数度量性质的概念,在讨论函数的极值与最值时,必须树立“定义域优先”的数学意识．对于一元函数的极值问题, 往往利用导数解决，当然,必须注意考察不可导点；二元函数的极值问题,一般用偏导数来解决,也可以用Hessian矩阵（由二阶偏导数构成）的正定、负定、不定来判定函数的极值点,进而求出极值；三元及三元以上的多元函数的极值用Hessian矩阵判定比较简便,解决问题的关键是稳定点及二阶偏导数．我们一般通过考察极值点、边界点、不可导点处的函数值来求最值,对于在有界闭区域上连续的函数,可先求出稳定点处的函数值,再求出边界上的最值,比较这些值就可以得到函数的最值；对于开区域上的函数最值除了比较极值,还需考虑在定义域内趋于边界时函数值的变化趋势．“求导法”是求函数的极值与最值的先进“武器”,有了这个先进“武器”,广泛应用于实际生活中的极值与最值问题也就迎刃而解了．致谢：衷心感谢张玮老师在论文写作过程中的指导与帮助！参考文献：[1] 刘玉琏.《数学分析讲义》（上册）.北京：高等教育出版社,2003年7月第4版．[2] 李克典，马云苓.《数学分析选讲》.厦门：厦门大学出版社,2006年6月第1版．[3] 刘玉琏.《数学分析讲义》（下册）.北京：高等教育出版社,2003年6月第4版．[4] 萧树铁.《多元微积分及其应用》.北京：高等教育出版社,2000年5月第4版．[5] 孙清华，孙昊.《数学分析内容、方法与技巧》（下）.武汉：华中科技大学出版社,2003年11月第1版．[6] 沈京一，张晓晞.《高等数学》.北京：科学出版社,2007年3月第1版．A Simple Discussion on Extremum、Maximal and Minimum of FunctionYuxi Normal University Major in mathematics and applied mathematicsName: Liu Youyan Number: 2005011115Instructor: ZhangweiAbstract:Extremum、maximal and minimum of function are widely used in every aspect of our life. This article discusses the extremum, maximal and minimum of univariate function and function of two variable. The result can extend through function of n variables. On the basis of this theory, it expatiate on the distinguish and affiliation of extremum and maximal、minimum.Keywords: univariate function; function of two variable; function of n variables; extremum; maximal and minimum; Hessian matrixes.。
大学毕业论文：关于函数最值问题的探讨
函数；最值；数形结合；条件极值；数学思想．
Abstract
The function is mathematics main body content, the function most value is the function condition key component, in life many questions must transform as the research function most value question．For better solution function most value question．Summaried has utilized the elementary mathematics knowledge and the higher mathematics knowledge separately solves the function most value many kinds of methods, has analyzed mathematics thought which each method utilized and is suitable the type topic．Specially the logarithm shape union method has made the key discussion, analyzed had the constraints quadratic function most value question which how to strive for to transform to discuss between two spots to be away from, the straight line slope, the straight line intercept, the conic section apex question to solve, explained through the typical sample question analysis each method's use skill and could solve type topic．Regarding asks the function the value territory question, integral estimate value question, some inequality mathematics questions and so on proof, through the analysis, transforms it as the solution function most value question, then the exploration knowledge's inner link, seeks for the problem solving rule．The erroneous zone which easy to walk into the use process has carried on the analysis in view of each method, enhanced each method utilization the accuracy．Meanwhile using the solution function most value's method, has solved in the life, the production the optimalizing or the superior plan question．
函数极值求法论文
分类号O174编号2012010152毕业论文题目函数极值求法及其在应用问题学院数学与统计学院姓名马富荣专业数学与应用数学学号281010152研究类型研究综述指导教师杨钟玄提交日期2012年5月原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名:年月日论文指导教师签名:函数极值求法及其应用马富荣（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741000）摘要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用The function extreme value method and its applicationMa Furong(School of Mathematics and Statistics Tianshui NormalUniversity,Tianshui 741001,China)Abstract:The function extreme value function Nature form is an important content of the state, in many math problems have applications. For this reason, this paper not only discusses the function and multiple function the extreme value of the method and its application, and the method of functional extreme value to a simple discussion, and give the relevant application.Key Words: The function extreme value, Conditional extreme, Functional extreme ,application目录引言 (1)1.一元函数的极值 (1)一元函数的极值第一充分条件 (1)一元函数的极值第二充分条件 (2)一元函数的极值第三充分条件 (2)2.多元函数的极值 (3)2.1.二元函数极值 (3)二元函数取极值的充分条件 (4)2.2 n元函数极值 (5)2.2.1.利用二次型求多元函数极值 (5)2.2.2.利用梯度及内积计算多元函数的极值 (6)利用方向导数判断多元函数的极值 (7)函数极值的应用(用极值的方法证明不等式) (8)3.条件极值 (9)条件极值的解法 (9)利用条件极值证明不等式 (12)4.泛函极值及其应用 (13)4.1泛函的定义 (13)4.2相对极值 (13)4绝对极值与相对极值的定义 (13)4相对极值的必要条件 (13)4.3 泛函极值的应用 (15)最小旋转面问题 (15)最速降线问题 (16)结束语 (17)参考文献 (18)致谢 (19)函数极值求法及其应用马富荣（天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000）摘 要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用问题,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用 引言函数的极值问题是高等数学中的一个重要内容.在导数应用中起着桥梁的作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微积分学中占有很重要的地位.在各类大型考试中,极值也是重要的考点,常以该知识点的证明及应用出现.函数极值问题也是培养发散思维与创新性思维的重要手段之一,能有效提高解题和应用能力.鉴于其解法较为灵活、综合性强、能力要求高.故在解决这类问题时,要求掌握很多数学知识,综合应用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.1．一元函数的极值定义 设函数()f x 在0x 的某领域U （0x 取心邻域U （0x ）内的任x ,有()f x ≤0()f x 或()f x ≥0()f x .那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值或极小值.(将≤改为<或将≥改为>,则称为严格极大值或严格极小值).1.1一元函数的极值第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续且在0x 的某去心邻域U （0x ）内可导.（1）若x ∈(0x δ-, 0x )时, '()f x >0,而x ∈(0x ,0x δ+)时,'()f x <0,则()f x 在0x 处极大.（2）若x ∈(0x δ-,0x )时, '()f x <0,而x ∈(0x ,0x δ+)时,'()f x >0,则()f x 在0x 处极小.（3）若x ∈U(x ,δ)时,'()f x 符号保持不变,则()f x 在0x 处没有极值.例1 求()f x =23(2)(1)x x +-的极值.解 先求导数 '322()2(2)(1)(2)3(1)f x x x x x =+-++- 2(2)(1)(54)x x x =+-+ 再求出驻点:当'()0f x =时,4215x =--、、. 判断函数的极值如下表所示:所以在x=-2时取极大值,在5-时取极小值. 一元函数的极值第二充分条件设函数()f x 在0x 点具有二阶导数,且'0()f x =0,''0()f x ≠0.则: （1）当''0()f x <0,函数()f x 在0x 点取极大值. （2）当''0()f x >0,函数()f x 在0x 点取极小值. （3）当''0()f x =0,其情形不一定. 例2. 求函数23()(1)1f x x =-+的极值. 解 '22()6(1)f x x x =- 由'()0f x =得()f x 的驻点为101x =-、、.''0()f x =226(1)(51)x x x --, ''(0)f 6=0>,''''(1)(1)0f f -==所以()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =,在1,1x x =-=处由第二充分条件无法判定, 由第一充分条件得:()f x 在1,1x x =-=处都没有极值.一元函数的极值第三充分条件设任意函数()f x 在0x 有n 阶导数,且直到1n -导数都为零,而n 阶导数不为零. （1）当n 为偶数时()f x 在0x 取极值,当 ()f n (0x )<0时取极大值,()f n (0x )>0时取极小值.（2）当n 为奇数时()f x 在0x 点不取得极值.上面给出了求函数极值的3种充分条件,第1充分条件适合于所有的连续函数,第3充分条件也就是第2充分条件的特殊情况,每种求极值的充分条件的方法和步骤都是一样的.结论 一元函数求极值的方法步骤 （1）求可疑点,可以点包括:（ⅰ）稳定点（亦称为驻点或逗留点,皆指一阶导数等于零的点）; （ⅱ）导数不存在的点; （ⅲ）区间端点.（2）对可疑点进行判断,其方法是: （ⅰ）直接利用定义判断; （ⅱ）利用实际背景来判断;（ⅲ）查看一阶导数的符号,当x 从左向右穿越可疑点0x 时,若()f x 的符号: a.由“正”变为“负”,则0()f x 为严格极大值; b.由“负”变为“正”,则0()f x 为严格极小值; c.'()f x 不变号,则0()f x 不是极值.(ⅳ)若'0()f x =0,''00''00()0,().()0,()f x f x f x f x ⎧>⎨<⎩则为严格极小值则为严格极大值（ⅴ）0()0,(1,2,k f x k ==…0,1),()0n n f x -≠若n 为偶数,则0()f x 为极值:0000()0,().()0,()n n f x f x f x f x ⎧>⎨<⎩则为严格极小值则为严格极大值若n 为奇数,则0()f x 不是极值.2.多元函数的极值 二元函数极值在现实的社会研究中,关系到二元函数极值的问题更为广泛,他与践联系的更紧密,所以研究二元函数的极值意义是重大的.定义 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个领域内有定义,对于该领域内异于00(,)x y 的点(,)x y ;如果适合不等式(,)f x y <00(,)f x y ,则称函数在点00(,)x y 有极大值00(,)f x y ;如果都适合不等式(,)f x y <00(,)f x y 则称函数在点00(,)x y 有极小值00(,)f x y .二元函数取极值的充分条件若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数,且00(,)x f x y =0,00(,)y f x y =0.令00(,)xx A f x y =,00(,)xy B f x y =,00(,)yy C f x y =则: （1）当20AC B ->时,有极值.0A <时取极大值,0A >时取极小值. （2）当20AC B -<时,没有极值. （3）当20AC B -=时,不能确定. 例4. 求333z x y xy =+-的极值. 解 设33(,)3f x y x y xy =+-,则''2(,)33x f x y x y =-,''2(,)33y f x y y x =-,''(,)6xx f x y x =,''(,)3xy f x y =-,''(,)6yy f x y y =解方程组 22330,330x y y x -=-=得驻点: (1,1)(0,0)、. 对于驻点(1,1)有''(1,1)6xx f =,''(1,1)3xy f =-,''(1,1)6yy f =,故 22(3)66270,60B AC A -=--⨯=-<=>.因此 33(,)3f x y x y xy =+-在点(1,1)取得极小值(1,1)1f =-. 对于驻点(0,0),有''(0,0)0xx f =,''(0,0)3xy f =-,''(0,0)0yy f =. 故 22(3)0090B AC -=--⨯=>.因此 33(,)3f x y x y xy =+-在点(0,0)不取得极值.n 元函数极值利用二次型求多元函数极值定义 设函数1,2()n y f x x x =在01,2()n x x x x =点有连续的二阶偏导,称矩阵222112221n f n n f f x x x H f f x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎪⎪= ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭为函数1,2()n y f x x x =在0x 点的海瑟矩阵.定理 1 ( 充分条件) 如果函数y =12(,,,)n f x x x , 12(,,,)n x x x ∈ E, 在驻点000012(,,,)n p x x x 的某邻域U(0p ) 内, 具有Hesse 矩阵A, 则( 1) 若A 为正定(或半正定) 矩阵时, f 在点0p 取严格极大(或极大) 值; ( 2) 若A 为负定(或半负定) 矩阵时, f 在点0p 取极小(或极小) 值; ( 3) 若A 为非定号阵, f 在点0p 不取极值. 求函数y = 12(,,,)n f x x x 的极值时, 应首先求出驻点或偏导数不存在的点, 然后对所有可能的极值点进行检验, 确定函数的极值点并求出函数极值. 总结 利用二次型求n 元函数极值的方法步骤第一步: 求出函数1,2()n f x x x 可能的极值点.首先, 求出函数1,2()n f x x x 的驻点, 根据极值存在的必要条件, 解方程组'112'12(,,,)0(,,,)0n n n f x x x x f x x x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,方程组的解即为驻点.再考虑一阶偏导数不存在的点.第二步: 对每一个可能的极值点000012(,,,)n p x x x 进行检验. 根据极值存在的充分条件, 首先, 计算1,2()n f x x x 在点000012(,,,)n p x x x 的Hesse 矩阵f H ,222112221n f n n f f x x x H f f x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎪⎪= ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭.再根据定理1判定000012(,,,)n p x x x 是否为极值点并求出极值.例5. 求函数3322(,)339f x y x y x y y y =++--的极值. 解 f 在2R 二阶偏导数连续且可微,先求稳定点,令222(,)360(,)33690x y f x y x xy f x y y x y ⎧=+=⎪⎨=+--=⎪⎩ 求得稳定点为 63(0,3),(0,1),(,)55--和(2,1)-.二阶偏导数为 66,xx f x y =+6xy f x =,66yy f y =-. ①在点(0,3)f H 为正定矩阵,所以f 在(0,3)处有极小值(0,3)f 27=-; ②在点(0,1)-f H 为负定矩阵,所以f 在(0,1)-处有极大值(0,1)f -5=;③在点63(,)55-和(2,1)-处,f H 为不定矩阵,所以它们都不是极值点.利用梯度及内积计算多元函数的极值定义 若1,2()n f x x x 在000012(,,,)n p x x x 点存在对所有自变量的偏导数,则称向量001[(),,()]nffp p x x ∂∂∂∂为函数1,2()n f x x x 在000012(,,,)n p x x x 的梯度,记作100((),,())n x x gradf f p f p =.引理1 设()f x 在点0x 连续,在00(,)U x δ内可微,（ⅰ）若00(,)x U x δ∈,有'0()()0x x f x -<,则()f x 在0x 点取极大值; （ⅱ）若00(,)x U x δ∈,有'0()()0x x f x ->,则()f x 在0x 点取极小值;对于有些多元函数我们也可以利用梯度及内积的方法求极值. 现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明. 定理2 设多元函数1,2()n f x x x 在000012(,,,)n p x x x 点连续,在00()U p 内可微,（ⅰ）1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,有0001122(,,,)0n n x x x x x x gradf ---⋅<,则1,2()n f x x x 在点0p 取得极大值;（ⅱ）1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,0001122(,,,)0n n x x x x x x gradf ---⋅>,则1,2()n f x x x 在点0p 取得极小值.由于极值只可能在稳定点或偏导数至少有一个不存在的点处取得,因此,定理2可对这样的两类点使用.例6. 求222(,,)32f x y z x y z xy x =++-+的极值.解:令232023020x y z f x y f y x f z =-+=⎧⎪=-=⎨⎪==⎩ 解得45650x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩对(,,)x y z 点有46(,,)55x y z --⋅4()5gradf x =-26(232)()(23)25x y y y x z -++--+2446664()[2()3()]()[2()3()]2555555x x y y y x z =----+----+222462()2()2055x y z =-+-+>所以46,,055x y z ===时,222(,,)32f x y z x y z xy x =++-+达到极小值45.利用方向导数判断多元函数的极值定义 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,0(),x U x ∀∈令0,x x ρ=-若00()()limf x f x ρρ→-存在,称此极限为函数()f x 在点0x 沿方向0l xx =的方向导数,记作'0()f x .引理2 设二元函数(,)f x y 在点00,0()p x y 的某邻域0()U p 内连续,在00()U p 内可微, 00(,)()p x y U p ∀∈,用l 表示方向0p p . （ⅰ）若'()l f p >0,则()f p 在点0p 取得极大值; （ⅱ）若'()l f p <0,则()f p 在点0p 取得极小值.与二元函数相类似,多元函数也可以利用方向导数来判断极大值和极小值.现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明.定理3 设多元函数1,2()n f x x x 在点000012(,,,)n p x x x 的某邻域0()U p 内连续,在00()U p 内可微, 1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,用l 表示方向0p p .（ⅰ）若'()l f p >0,则()f p 在点0p 取得极大值; （ⅱ）若'()l f p <0,则()f p 在点0p 取得极小值. 推论 设多元函数1,2()n f x x x 在点000012(,,,)n p x x x 的某邻域0()U p 内连续,在00()U p 内可微, 1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,用l 表示方向0p p .（ⅰ）若10011()()0,n x x n n f x x f x x -++-<则1,2()n f x x x 在点0p 取得极大值; （ⅱ）若10011()()0,n x x n n f x x f x x -++->则1,2()n f x x x 在点0p 取得极小值.例7. 讨论三元函数222(,,)246u f x y z x y z x y z ==++++-的极值. 解 先求三个一阶偏导数令它们为0.即 220240260x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩求得稳定点为(1,2,3)--.因为 (1)(22)(2)(24)(3)(26)x x y y z z ++++++-- 2222(1)2(2)2(3)0x y z =++++->由推论知222(,,)246u f x y z x y z x y z ==++++-在点(1,2,3)--处得极小值.u |0p 222(1,2,3)(1)(2)32(1)4(2)6314f =--=-+-++⨯-+⨯--⨯=函数极值的应用(用极值的方法证明不等式)要证明()()f x g x ≥,只要求函数()()()F x f x g x ≡-的极值,证明 min ()0F x ≥.这是证明不等式的基本方法.例11. 设a >㏑2-1 为任意常数,试证:221(0)x x ax e x -+<>当时证明 问题是证明:2()210x f x e x ax ≡-+->(0)x >当时, 因为(0)0,f =所以只要证明''0()220(0)min ()0x x f x e x a x f x >=-+>>>当时或令''()2x f x e =-o =,得到唯一的稳定点x =㏑2, 当x <㏑2时,''()0f x <, 当x <㏑2时,''()0f x >,所以''min ()x f x f >=（㏑2）=2-2㏑2+2a =2（1-㏑2）+2a 0>.3.条件极值 条件极值的解法在高等数学教材中,确定函数(,,)f x y z ,在条件(,,)0,(,,)0F x y z G x y z ==之下的条件极值问题,通常应用拉格朗日乘数法,可把以上条件极值问题转化为求函数 (,,)(,,)(,,)(,,)L x y z f x y z F x y z G x y z λμ=++的无条件极值问题. 由极值的必要条件知,需求解如下的方程组:(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)0(,,)0x x x x y y y y z z z z L f x y z F x y z G x y z L f x y z F x y z G x y z L f x y z F x y z G x y z F x y z G x y z λμλμλμ=++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪=⎪=⎪⎩（1） 一般教科书及参考教材的处理方法为两种:一种是直接由方程组（1）解出驻点0000,0(,,,),x y z λμ即在方程组（1）中,把,,,,x y z λμ当成未知量进行求解;另一种方法是从方程组（1）中消去参数λ及μ,仅对未知量,,x y z ,故以上两种办法的难易程度相当.方程组（1）是含有五个未知量,,,,x y z λμ的方程组,未知量的个数相对较多,以上两种方法求解均很不方便,尤其对于稍微复杂的函数,直接求解相当困难甚至是不可能的,为了简化计算,我们可以设计以下两种新的处理方法.（1）不考虑参数,λμ,仅求方程组（1）关于,,x y z 的解,这样可以把方程的个数减少到三个,这里给出以下的结果:如果0000,0(,,,)x y z λμ是方程组（1）的解,则000(,,)x y z 是方程组(,,)0(,,)0x x xyy y zzzf F G f F G f F G F x y z G x y z ⎧⎪=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩ （2） 的解.例1. 求2221,0u xyz x y z x y z =++=++=在之下的条件极值. 解 ()22()()()()z y x x yy z z y x z x z y y z--==-----故方程组（2）为2222()()()010y z z y x z x y z x y z ---=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（3） 由方程组（3）的第一个方程可得:x y x z y z ===或或由222121,0x y x y z p x y z =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩可得驻点p由222341,0x z x y z p x y z =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩可得驻点p由222561,0y z x y z p x y z =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩可得驻点p 而u |1p =u |3p =u |5p= u |2p =u |4p =u |6p故max u u ==（2）可根据题设条件,把方程组（1）化为仅对参数,λμ求解,而不考虑,,.x y z 这种解法常用于方程中含有字母常数的情况,可看以下的例子.例8. 求函数222222x y z u a b c=++在条件2221,x y z ++=222cos cos cos 0(,cos cos cos 1)x y z a b c αβγαβγ++=>>++=下的极值. 解:令222222222(,,,,)(1)(cos cos cos )x y z L x y z x y z x y z a b c λμλμαβγ=+++++-+++对关于,,x y z 求导可得方程组22212()cos 012()cos 012()cos 0xy zL x a L y b L z c λμαλμβλμγ⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=++=⎪⎩cos cos cos x y z L L L αβγ⨯+⨯+⨯得222cos cos cos 2()x y z a b cαβγμ=-++ 将μ分别代入,,x y z L L L 式,有222222222222sin cos cos cos cos ()0cos cos sin cos cos ()0cos cos cos cos sin ()0x y z a b c x y z a b c x y a b c ααβαγλαβββγλαγβγγλ⎧+--=⎪⎪⎪-++-=⎨⎪⎪--++=⎪⎩（4） 再x y z L x L y L y ⨯+⨯+⨯,注意到cos cos cos 0x y z αβγ++=可得:222222x y z a b cμλ=++=-△*λ (*λ>0)于是求222222x y z a b cμ=++的条件极值转化为求*λ在方程组（4）2221,x y z ++=故方程组（4）关于,,x y z 有非零解,可得其系数行列式为零,即有222222222222sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos 0cos cos cos cos sin ab c a b c a b c ααβαγλαβββγλαγβγγλ+---+-=--+展开化简可得22222232222222222sin sin sin cos cos cos ()()0a b c b c a c a bαβγαβλλλλ++++++= (5)10λ=是方程(7)的零解,由于222222x y z u a b cλ=++=-△*λ (*λ>0),故10λ=应舍去,由此可得2222222222222222sin sin sin cos cos cos ()()0a b c b c a c a bαβγαβλλλ++++++=即*λ满足二次方程222222*2*222222222sin sin sin cos cos cos ()()0a b c b c a c a bαβγαβλλλ++++++= 此方程有两个正根,**12,,λλ设**120,λλ>>可得**21max ,min u u λλ==.利用条件极值证明不等式若求得()u f p =在条件()p a ϕ=之下的最大值为()B a ,那么我们就获得了不等式()(())f p B p ϕ≤.例12. 求0,0,0x y z >>>时,函数(,,)f x y z =㏑x +2㏑y +3㏑z 在球面22226x y z r ++=上的极大值,证明,,a b c 为整实数时,226108()6a b c ab c ++<. 证明 设222223(6)L x y z r λ=+++++-㏑㏑㏑令'''0,x y z L L L ===解得,,.x r y z =因为f 在球面22226x y z r ++=位于第一卦限的部分上连续,在这部分的边界线上,,,x y z 分别为零. (,,)f x y z =㏑x +2㏑y +3㏑z 为负无穷大,故f 的最大值只能在这部分内达到,而()r 是唯一的可疑点,所以f 的最大值为6())f r =㏑ 于是2222263(,,)))]6x y z f x y z xy z ++=≤=㏑㏑㏑,故2222263)6x y z xy z ++≤= 两边同时平方,并用222,,a x b y c z ===代入得:226108()6a b c ab c ++< 4.泛函极值及其应用 4.1泛函的定义设{()}y x 是给定的某一类函数,如果对这类函数中每一个函数()y x 都有一个函数值[()]J y x 与之相对应,则称[()]J y x 是这类函数()y x 的泛函.4.2 相对极值4相对极值的定义设0()y x 属于某个可取函数类,()y x 是类中任意函数, 如果某个函数()y x 限于0()y x 的某一领域,且使得泛函0[()]J y x ≤[()]J y x (或0[()]J y x ≥[()]J y x ),这种极值称为相对极小值(或相对极小值).使泛函取得极值或稳定值的函数或曲线叫做极端函数. 4.相对极值的必要条件定理4 若果泛函[()]J y x 在0()y x 上实现相对极值,则泛函在0()y x 上的变分0J δ=(这里x 可以是单变量,也可以是多变量).证明 根据泛函极值的定义,如果[()]J y x 在0()y x 上实现相对极值,则存在0()y x 的一个领域,对于该领域内的任一函数()y x ,必然使得泛函增量0[()][()]J J y x J y x ∆=-10[()][()][(,,)(,,)]x x J J y x J y x F x y y y y F x y y dx δδ'''∆=-=++-⎰当(,,)F x y y '充分光滑时,上式可展成10221{[][()2()]}2!x y y y y yy yy y y y y y x J F F F y F F dx δδδδδδ'''''''∆=+++++⎰=23J J J δδδ+++,式中,10[]x y y y y x J F F dx δδδ''=+⎰,12221[()2()]2x yy yy y y y y y x J F y F F dx δδδδδ'''''=++⎰.如果令()y x δεη=,式中()x η是任意选定的函数,ε是一个实参数(一般取很小的值,例如可设1ε≤).则1[(,,)(,,)]x x J F x y y F x y y dx εηεη'''∆=++-⎰由于y 和η是确定的了,所以J ∆实际是数值变量ε的普通函数()I ε,将()I ε按ε展开得:23()(0)(0)(0),2!3!J I I I I εεεε''''''∆==+++其中,1(0)[][(,,)]x x dI J y F x y y dx d εεεηεηεηεε==∂'''=+=++∂⎰如果(0)0I '≠,则可把ε取得充分小,使J ∆的符号与(0)I ε'的相同,然后改变ε的正负号.这样一来,[]J y 就不可能在0()y x 上取的相对极值了,与已知矛盾,故必须(0)0I '=,即0J δ=.定理5 如果泛函10[](,,)x x J y F x y y dx '=⎰的定义域D 中每一元素都是一条光滑曲线()y x ,且满足边界条件:0011(),().y x b y x b ==在曲线0()y y x =达到极值,则0()y y x =必为微分方程0y y dF F dx'-= 的解.例13.求泛函0[]a a J y =⎰的极值曲线. 解因为它的欧拉方程为0d dx '=,于是有C =如果令tan y t '=,则有11sin sin x t C t C=== 又因dy y dx '=,所以11tan cos sin dy t C tdt C tdt =⋅=积分之,则得22221()x y C C +-=.这就是说,泛函[]J y 的极值曲线是一簇中心在纵坐标轴上的圆.4.3泛函极值的应用4最小旋转面问题例14. 在以点00(,)A x y ,点11(,)B x y (设1001,,0x x y y >>)为端点的所有光滑曲线中,求一曲线使它绕ox 轴旋转时所的旋转曲面的面积最小. 以()y y x =表示任一可取曲线,于是绕ox 轴所得旋转面面积11[()]2x x x x S y x Fdx π==⎰⎰.因F 中不显含x ,其欧拉方程降阶后如下21C =化减后,得到1C =现在令y sht '=,则1y C cht =,因为dy y dx '=,所以11.C shtdt dy dx C dt y sht===' 从而 12x C t C =+ 于是所求的极值曲线的参数方程为121x C t C y C cht =+⎧⎨=⎩ 消去参数t ,得211x C y C chC -= 这是一条悬链线,式中的常数C 、1C 由端点条件确定. 4最速降线问题在竖直平面Oxy 上将给定两点)0,0(A 和),(11y x B 用一条光滑的金属线相连,一质量为m 质点P 以初速度00=v 由A 点沿金属线滑动,问金属线为何种形状时,质点P到达B 点所需的时间最少？解 现在建立这个数学模型,取A 为平面直角坐标系的原点,x 轴置与水平位置,y A 点的坐标就是(0,0).设B 点的坐标为11(,)x y .取连接A 和B 的曲线方程为 ()y y x = 1(0)x x ≤≤ (1) 它在区间[]10,x 的两个端点满足条件11(0)0,()y y x y == (2) 则有能量守恒定理得v (3) 设()y y x =为曲线的运动方程,指点沿着该曲线有点A 运动到点B ,指点的运动速度表示为ds v dt == (4) 由式(3)﹑(4)消去v 并积分,得质点由A 运动到B 所需的时间为1x T =⎰显然, 是依赖于函数()y y x =的函数, ()y y x =取不同的函数, T 也就有不同的值与之对应.这样,最速降线问题在数学上就归结为在满足条件(2)的所有函数(1)中,求使得积分公式T 取最小值的函数.上述问题实际是求泛函1[()]x J y x =⎰满足边界条件11(0)0,()y y x y ==的极值曲线,因为F =x ,所以欧拉方程首次积分为21c =令2112c gc =,将上式化简,得 2(1)y y c '+=令cot y θ'=,则方程化为22sin (1cos 2)12c c y c y θθ===-'+ 又因sin 2sin cos (1cos 2)cot cot dy cd c d dx c d y θθθθθθθθθ====-' 积分,得 2(2sin 2)2c x c θθ=-+ 由边界条件(0)0y =,得20c =.令2t θ=则得到最速降限问题的解为(sin )2(1cos )2c x t t c y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 上述方程是摆线(也称旋轮线)的参数方程,其中c 是由边界条件11()y x y =来确定的.因此曲线是以半径为2c 的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描述的曲线中的一段. 结束语本文不仅给出了一元、多元函数极值及条件极值的求法和在不等式证明中的应用.此外还给出了泛函极值的定义及在求最小旋转曲面和最速降限问题中的应用.本文有利于初学者对函数极值的研究学习.泛函极值的应用非常广泛,但判断是否有解的条件相对复杂,本文没有涉及.参考文献[1] 杨守廉.《数学分析》[M]—165.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2002.[3] 钱伟长.变分法及有限元（上册）[M ] .科学出版社,1980.[4] 宁荣健.谈条件极值问题的充分条件[J].高等数学研究,2005,8(2):40-43.[5] 汪元伦.两类多元函数条件极值的简捷求法[J].绵阳师范学院学报,2008,27(2):14-15.[6] 唐军强.用方向导数法求解多元函数极值[J].科技创新导报,2008,(15):246-247.致谢经过半年的忙碌和工作,本次毕业论文设计已经接近尾声,作为一名本科生,由于经验的匮乏,难免有许多考虑不周全的地方,如果没有指导师的督促指导,以及一起学习的同学们的支持,想要完成这篇论文是难以想象的.在论文写作过程中,得到了杨老师的亲切关怀和耐心的指导.他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,杨老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.多少个日日夜夜,杨老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想上给我以无微不至的关怀,除了敬佩杨老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作.在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意! 最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母,谢谢你们!最后我还要感谢数学系和我的母校—天水师范学院四年来对我的栽培.。
研究函数的极值与最值问题
研究函数的极值与最值问题在数学中，研究函数的极值和最值问题是非常重要的。
通过研究函数的极值和最值，我们可以了解函数的性质，并解决许多实际问题。
一、极值问题函数的极值是指在一定范围内的最大值或最小值。
为了求得函数的极值，我们需要先求出函数的导数，然后令导数为零并解方程，得到极值对应的自变量值。
接下来，可以通过代入自变量值进入原函数来求得极值。
举个例子，考虑函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4 在区间 [-2, 3] 上的极值问题。
首先，我们求得导数 f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
令 f'(x) = 0，解方程可以得到x = -1 和 x = 2。
接着，我们将这两个值代入原函数 f(x) 中，可以得到 f(-1) = -7 和 f(2) = 6。
所以，在区间 [-2, 3] 上，函数 f(x) 的最小值为 -7，对应的自变量 x = -1，函数 f(x) 的最大值为 6，对应的自变量 x = 2。
二、最值问题函数的最值是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。
为了求得函数的最值，我们需要先求得函数的导数，并研究其在定义域内的增减性以及边界情况。
根据导数和边界的关系，可以找到函数在定义域内的最值。
以函数 g(x) = x^2 + 4x - 3 为例，我们可以求得导数 g'(x) = 2x + 4。
通过观察导数的符号，我们可以发现在 x < -2 时，导数为负数，表示函数 g(x) 单调递减；在 x > -2 时，导数为正数，表示函数 g(x) 单调递增。
由于函数 g(x) 是一个二次函数，我们可以知道当 x 趋近无穷大或无穷小时，函数的值无限增大，因此函数g(x) 在无穷大时没有最大值。
另外，函数 g(x) 在定义域内都是连续的，所以可以确定函数 g(x) 存在最小值。
为了找到函数 g(x) 的最小值，我们可以考虑其导数为零的情况。
浅谈函数极值的求法及应用毕业论文
本科毕业论文论文题目：浅谈函数极值的求法及应用目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、对一元函数极值问题的简单回顾 (2)（一）一元函数极值的定义 (2)（二）一元函数极值的必要条件 (2)（三）一元函数极值的充分条件 (2)（四）一元函数求极值的现实应用 (3)二、多元函数极值的求法 (4)（一）多元函数的简单介绍 (4)1.多元函数极值的定义 (4)2.多元函数极值的必要条件 (4)3.多元函数极值的充分条件 (4)4.多元函数极值的应用——“牧童”经济模型 (5)（二）多元函数条件极值 (7)grange数乘法 (7)grange数乘法的步骤 (8)3.多元函数条件极值的必要条件 (9)4.多元函数条件极值的充分条件 (9)grange法求多元函数极值的应用——一个价格决策模型 (10)参考文献 (15)附录 (16)浅谈函数极值的求法及应用于淼摘要：在日常的生产生活、经济管理以及经济核算中，我们往往要考虑到在前提条件一定的情况下，怎样才能保证以最小的投入获得最高回报的问题。
这些问题都可以转化为函数中求最大（小）的问题。
在求最值的问题中，我们就用到了函数极值的概念，所以函数极值的讨论具有非常重要的现实意义。
本文首先对一元函数极值做了简单回顾，然而现实生活中的问题往往是复杂的，所以本文进一步研究了多元函数极值的求法Lagrange数乘法，并相应地给出了具体的现实模型以及matlab程序对应用加以说明。
关键词：极值;多元函数;条件极值;极值应用中图分类号：O1Introduction to the calculational methods and application of absoluteextremes of functionYu MiaoAbstract: In daily production and life, economic management and accounting, we often have to think about how to get a maximum return at the minimum investment on issues such as profit maximization under certain circumstances. These problems can be converted to a function for the largest (smallest) problem. In seeking the absolute extremes of function, we used the concept of function extreme. So the discussions on function extreme hold a very important practical significance.At first, this passage made a simple review on calculational methods of extreme value of the function of one variable; the problem is often complicated in real life, however. So in this paper, further research on the extremes for multivariate function are given though laser number multiplication, and correspondingly gives the concrete reality model for application. Keywords:absolute extremes; multivariate function; extremes with a condition;application一、对一元函数极值问题的简单回顾（一）一元函数极值的定义定义1 设)(x f 是定义在),(b a 上的函数，),(0b a x ∈,若存在一点0x 的某个邻域),(),(0b a x O ⊂δ,使得,),(),()(00δx O x x f x f ∈≤,那么，称0x 是)(x f 的一个极大值点，)(0x f 就是其相应的极大值。
函数极值与最值研究毕业论文
函数极值与最值研究毕业论文
摘要
本文主要研究函数极值与最值的理论，该理论是微积分领域重要的分支，涉及到极值问题的研究，它可以解决实际问题中存在的最优化问题，
以及运筹学中解决其中一种特定条件下的最优解问题。
本文将从定义函数
极值和最值开始讨论，分析它们之间的区别和关系，然后详细介绍求解极
值最大化和最小化的求解步骤和例子，通过计算分析表示函数最值和极值
的方法，最后以简单题举例计算极和最值的步骤，以验证前面所讲的理论。
关键词：函数极值；最值；求解；最大化；最小化
1.绪论
函数极值与最值是数学分支学科微积分的重要研究内容，它是一种极
限方法，主要探讨函数在其定义域内什么时候达到极值和最值，又有什么
样的求解方法，可以使函数达到极大和最小值。
函数极值与最值常用在经
济学，工程，计算机科学，生物，运筹学，机器学习，决策等方向上，能
够帮助研究者们对最优解的求解，极大的提高了实际中的计算能力。
2.函数极值与最值的定义
函数极值是指函数在其定义域内的极大或者极小值，即函数值达到最
大或者最小时的x值，这种x值对应的函数值称为极值。
函数的极值与最值
函数的极值与最值在数学中，函数的极值和最值是一个非常重要的概念。
通过研究函数的极值和最值，我们可以了解函数在某个区间内的最大值和最小值，这对于实际问题的求解有着重要的指导意义。
本文将探讨函数的极值和最值的相关概念、求解方法以及与实际问题的应用。
一、函数的极值和最值的定义在讨论函数的极值和最值之前，我们需要先了解函数的极值点和最值的定义。
对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在一个点c，使得c在(a, b)的内部，并且满足对于a < x < c，有f(x) > f(c)，而对于c < x < b，有f(x) < f(c)（或者反之），则称c是函数f(x)在区间[a, b]上的一个极值点。
函数的最大值和最小值则分别是函数在区间[a, b]上的极大值和极小值。
如果在区间[a, b]上存在一个点c，使得对于任意x∈[a, b]，都有f(x) ≤ f(c)（或者f(x) ≥ f(c)），则称c是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值（或最小值）。
二、求解函数的极值和最值的方法接下来，我们将介绍一些常用的方法来求解函数的极值和最值。
1. 导数法导数法是求解函数极值和最值的一种常用方法。
首先，我们需要计算函数f(x)在[a, b]内的所有驻点。
驻点是指函数的导数f'(x)等于零的点。
其次，我们计算出[f(x)]''的值，并根据[f(x)]''的正负性来判断函数在驻点处的极值。
具体步骤如下：（1）求解导数f'(x)；（2）解方程f'(x) = 0，得到驻点；（3）计算[f(x)]''的值；（4）根据[f(x)]''的正负性来判断函数在驻点处的极值。
2. 边界法边界法是求解函数最值的一种方法。
如果函数f(x)在区间[a, b]上是连续的，那么最值一定在区间的边界上取得。
因此，我们只需要计算出f(x)在区间端点a和b处的函数值，并进行比较即可。
数学论文极值与最值
目录摘要 (1)引言 (2)一、极值与最值及其相关概念 (2)（一）极值与最值的概念 (2)（二）极值与最值的联系 (3)（三）极值与最值的区别 (4)（四）极值的必要条件和充分条件及其证明 (4)二、极值与最值的名人成就 (7)三、极值与最值问题在数学中的求法及应用 (10)（一）极值与最值的求法 (10)（二）高中求极值最值的方法应用 (12)（三）多元函数的极值与最值 (13)（四）极值与最值在高等数学中的应用 (15)（五）条件极值的解法 (16)（六）多元函数的极值、条件极值和最值的关系 (17)四、极值与最值的实际应用 (19)（一）极值与最值在经济学中的应用 (19)（二）极值与最值在物理中的应用 (21)小结 (22)参考文献 (23)极值与最值的解法与应用徐慧敏(渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国)摘要：本文首先对极值和最值的概念做了细致的解释，得知了两个概念的异同点，给出函数取得极值与最值的条件，同时对函数取得极值的必要条件进行了解和对充分条件加以证明。
然后对极值与最值的历史背景进行了简单阐述。
最后介绍了极值与最值问题在数学中的求法及应用。
通过例证让我们了解到了我们学习中会遇到的问题，也有实际生活中的问题。
当然我们研究的目的还是希望学以致用，本文最后深入到不等式的证明问题以及经济学中的问题，用基本的极值与最值理论作为指导进行分析和解决。
关键词：函数极值最值费马定理方法应用Function of Solving Extreme Value and Maximum ProblemXuhuimin(Department of Mathematics Bohai university liaoning jinzhou 121000 China)Abstract:In this paper, first, the concept of value and the most extreme did meticulous explanation, learned the differences and similarities between two concepts, give function getting solving extreme value and maximum of conditions, at the same time for function getting the extremum of necessary conditions for understanding and sufficient conditions to prove it. Then for solving extreme value and maximum of historical background of a simple elaboration. At last, the paper introduces the problems in solving extreme value and maximum in mathematics method and application. Through some examples to let us know about our study will meet problem, also have the problems of the real world. Of course, we study the purpose of application, and in the end the paper still hope into the inequality proof problems and in economics problems, with basic solving extreme value and maximum theory as guidance are analyzed and solved.Key words: function，Extreme value, Most value，Fermat’s principle，Method, Application.引言在各门科学数学化的趋势下，数学作为科学语言具有重要地位，数学因其本身所具有的特点，内容的抽象性，推理的严谨性，结论的明确性和应用的广泛性，正在而且将继续为人类的物质文明和精神文明飞跃作出越来越大的贡献。
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函数极值与最值研究摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。
求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。
求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。
求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。
求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。
对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等，关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧．Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number ofvariables,so that the more complicated the problem, find the function extreme value method mainly has: conditional extremum of multivariate Lagrange method, directional derivative, for multivariate function most value the most value problem with the function of one variable can be used to find the function extreme value is similar. The main methods are: vector method, the mean value inequality method, substitution, elimination method, the method of Cauchy inequality, the combination method,Keywords: function, extreme value, the value, extreme points, methods and techniques引言作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学与其他科学领域，如数学建模优化问题、概率统计等学科都有广泛应用。
不仅如此，函数极值理论在航海、保险价格策划、航空航天等众领域中也是最富变现性和灵和性，并起着不可替代的数学工具作用，许多实际问题最终都归结为函数极值和最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的方式，表示为函数形式，而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其他学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。
它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。
函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。
而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。
下面，就让我们做一些简单的归纳，研究函数的极值和最值，诠释一些方法和技巧，并附上具体的例子加以说明，让我们明白函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！目录摘要 (1)引言 (2)1 函数极值 (4)1.1 极值概述 (4)1.2 极值判断条件 (5)1.3 极值应用实例 (6)1.4 求极值思想方法总结 (10)2 函数最值 (11)2.1 函数最值概述 (11)2.2 函数最值求法................................. . (14)2.3 求函数最值思想方法总结.....................................（16）学习心得.. (17)致谢辞 (18)附录 (19)附录一组员名单 (19)附录二开题报告 (20)参考文献 (21)1 函数极值1.1 极值概述费尔马定理简单的描述就是：若函数)(x f y =在0x 点的某领域)(0x U 内有定义，且在0x 点可导，则0x 点为极值点0)(0'=⇒x f ．他的实质就是可导与极值点的必要条件是稳定点，但非充分。
1.2 极值判别条件1.2.1 一元极值判别条件(1)必要条件：费尔马定理 (2)充分条件.第一充分条件设函数)(x f y =在0x 点连续，在邻域),(00x x δ-和),(00δ+x x 内可导，则(i)在邻域),(00x x δ-上，0)('>x f ，在邻域),(00δ+x x 上，0)('<x f ，)287)(1(6)(22''+--=x x x x x f ,得0)0(,0)74(,0)1('''''=>=f f f ,8235436912)74(74-==f x 为极小点，极小值为所以又),4306035(6)(23'''-+-=x x x x x f 有非极值点所以1,0)1(,0)0(''''''=>=x f f ;再.0)0(0,0)0()4(==<f x f 为极大点，极大值为所以1.3.4 极值的第一充分条件例1.3.4 由一宽为cm 24的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解: 设折起来的边长为xcm ，倾斜角为α，那么梯形断面的下底长为x 224-，上底长为αcos 2224x x +-，高为αsin x ，则断面面积 ααsin )224cos 2224(21x x x x A ⋅-++-=即 ααααcos sin sin 2sin 2422x x x A +-=， D ：120<<x ，02πα<≤，下面是求二元函数),(αx A 在区域D ：120<<x ，02πα<≤上取得最大值的点),(αx 。
令 ⎩⎨⎧=-+-==+-=0)sin (cos cos 2cos 240cos sin 2sin 4sin 242222αααααααααx x x A x x A x 由于0sin ≠α，0≠x 上式为2122cos 0(1)24cos 2cos (2cos 1)0(2)x x x x αααα-+=⎧⎨-+-=⎩将212cos x x α-=代入（2）式得8x =，再求出1cos 2α=，则有0603==πα，于是方程组的解是0603==πα，cm x 8=在考虑边界，当2πα=时，函数2224x x A -=为x 的一元函数，求最值点，由0424=-='x A x ，得 6=x 。
所以722sin622sin 624)2,6(2=⨯-⨯=πππA ，833483cos 3sin 83sin 823sin 824)3,8(22≈=+⨯-⨯=πππππA 。
根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域D ：120<<x ，20πα<<内取得，通过计算得知2πα=时的函数值比060=α，cm x 8=时函数值为小，又函数在D 内只有一个驻点，因此可以断定，当cm x 8=，060=α时，就能使断面的面积最大。
1.3.5 偏导数法例1.3.5 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告．根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费1x （万元）之间的关系有如下经验公式：22212121528261415x x x x x x R ---++= ,广告费用无限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大。
解: 利润等于收入与费用之差，利润函数为：)()528261415(2122212121x x x x x x x x f +----++=22212121528251315x x x x x x ---++=根据极值存在的必要条件，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=--=∂∂01082504813212121x x x f x x x f得12351=x ，612=x ，即为驻点)61,1235(，利润函数在驻点处的Hesinn 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=10884222122212212x f x x f x x f x f A ，1.4 求极值思想方法总结.(1)求解函数极值的问题，由以上的例题求解一元函数，二元函数,以及多元函数极值的解答方法来看，求取极值的方法很多，但一般极值问题能用多种方法求解，具体极值问题得看具体情况，可以根据自己对方法掌握的程度来选择，由于求解极值的方法很多，我这里只是其中一部分，大多数的思想一致，少数思想比较特别。