高一年级上学期期末考试数学试卷

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河北省邯郸市2023-2024学年高一上学期期末质量检测试题数学(含答案)

邯郸市2023-2024学年第一学期期末质量检测高一数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1B x x =≥，则()RB A ⋂=ð（）A.{}1 B.{}1,0- C.{}1,1- D.{}1,22.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为（）A.()0,x ∃∈+∞，e ln x x >B.()0,x ∀∈+∞，e ln x x <C.()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤D.()0,x ∃∈+∞，e ln x x≤3.已知函数()sin f x x =，则“π6x =”是“()12f x =”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知正实数x ，y 满足22x y +=，则81y x+的最小值为（）A.7B.8C.9D.105.已知角α的终边经过点()3,4tan P α-，则cos α=（）A.2B.2-C.2±D.2±6.已知函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象先向右平移个ϕ单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能取值是（）A.π4 B.π2C.πD.2π7.已知函数()f x =在区间[]1,2-上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.(),0∞- B.[)1,0-C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8.已知函数()21213221xxf k k x +=-+---有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（）A.4,9⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.()0,∞+ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.()f x =()g x x= B.()23f x x x =-与()23g t t t=-C .()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩ D.()0f x x =与()1g x =10.已知0a b c d >>>>，则下列不等关系成立的是（）A.22ac bc >B.a d b c ->-C.ad bc< D.11a cb c>--11.已知函数()()tan f x A x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的定义域为ππ{|,Z}28k x x k ≠+∈C.点3π,08⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D.()f x 在3π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2121f x f x --=--，且当1224x x <<<时，()()21210f x f x x x ->-恒成立．则下列说法正确的是（）A.函数()1f x -为奇函数B.()()202310f f +-=C.()520232f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭D.函数()f x 的图象关于点()3,0对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()213log 12xx xf x -=+++的定义域为_____________．14.已知幂函数()2133m y m m x+=+-的图象不经过原点，则实数m =_____________．15.已知函数()2xf x =，则()()223f x f x ->+的解集为_____________．16.某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB 区域（如图所示）测量得知，其半径为2km ，圆心角为弯，规划局工作人员在 AB 上取一点C ，作CD ∥OA ，交线段OB 于点D ，作CE ⊥OA ，垂足为E ，形成三角形CDE 健步跑道，则跑道CD 长度的最大值为_____________km ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求解下列问题：（1）计算：10381272023π-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（2）若e 2a =，e 3b =，求32a b +的值．18.已知()()()()()3πsin πcos cos 2π23πsin sin cos 14π2f ααααααα⎛⎫+--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．（1）化简()f α；（2）若()2fα=-，求212sin sin 212αα+-的值．19.已知定义在R 上的函数()21x b f x a =++，是奇函数，且()3210f =-．（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明．20.已知函数()2π4cos cos 4sin 33f x x x x ωωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（1）求()f x ；（2）已知π2π33α<<，()65f α=，求cos 2α．21.2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg 的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入()f x 万元，且()2120,05240330,5101x x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x 万元，全年利润为()F x 万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）（1）求函数()F x 的解析式；（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？22.已知不等式20x mx n ++<的解集为{}21x x -<<-，函数()1xg x n λλ=--（0n >，且1n ≠），()()()2log 1log m m x x h x λ=-++（0m >，且1m ≠）．（1）求不等式20mx x n +-≥的解集；（2）若对于任意的[]11,1x ∈-，均存在2x ⎤∈⎦，满足()()12g x h x ≤，求实数λ的取值范围．邯郸市2023-2024学年第一学期期末质量检测高一数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1B x x =≥，则()RB A ⋂=ð（）A.{}1 B.{}1,0- C.{}1,1- D.{}1,2【答案】B 【解析】【分析】根据集合的交集，补集的概念运算求解即可.【详解】 {}1,0,1,2A =-，{}1B x x =≥∴{}R 1B x x =<ð，(){}R 1,0B A ⋂=-ð.故选：B ．2.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为（）A.()0,x ∃∈+∞，e ln x x >B.()0,x ∀∈+∞，e ln x x <C.()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤D.()0,x ∃∈+∞，e ln x x≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为“()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤”.故选：D ．3.已知函数()sin f x x =，则“π6x =”是“()12f x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件进行判断充分条件与必要条件，确定选项.【详解】因为ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当1sin 2x =时，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，k ∈Z ，所以“π6x =”是“()12f x =”的充分不必要条件.故选：A ．4.已知正实数x ，y 满足22x y +=，则81y x+的最小值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【详解】由22x y +=，得212x y+=，所以81812116110109222x y y xy x y x x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当16y x x y =即43y =，13x =时，等号成立，所以81y x+的最小值为9，故选：C ．5.已知角α的终边经过点()3,4tan P α-，则cos α=（）A.2B.22-C.22±D.32±【答案】A 【解析】【分析】由已知条件利用任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】角α的终边经过点()3,4tan P α-，则4tan tan 3αα-=，解得tan 1α=，则点P 坐标为()3,3，则cos 2α==.故选：A ．6.已知函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象先向右平移个ϕ单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能取值是（）A.π4 B.π2C.πD.2π【答案】B 【解析】【分析】写出变换后的函数解析式，利用正弦型函数函数的对称性得出ϕ的表达式再判断各选项．【详解】函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象先向右平移ϕ个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数()πsin 22g x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，由题知，()g x 为奇函数，ππ2k ϕ=+，Z k ∈，B 选项满足条件，故选：B7.已知函数()f x =在区间[]1,2-上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.(),0∞- B.[)1,0-C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】利用换元法求出定义域后求解参数即可.【详解】根据题意，设1t ax =-，则y ，因为y =在[)0,t ∞∈+上单调递增，所以1t ax =-在区间[]1,2-上单调递增，则有010a a ->⎧⎨+≥⎩，解得10a -≤<，故选：B ．8.已知函数()21213221xxf k k x +=-+---有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（）A.4,9⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.()0,∞+ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，令210xt =-≠，转化为方程()232120t k t k -+++=有两个不等实根1t ，2t ，零()()23221h t t k t k =-+++，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()21213221xxf k k x +=-+---，令210xt =-≠，则0x ≠，则()2132g k t k t t+=+--，令()0g t =，可得()232210t k t k -+++=，函数21(0)x tx =-≠的图象，如图所示，由题意，方程()232120t k t k -+++=有两个不等实根1t ，2t ，不妨设12t t <，则101t <<，21t ≥，令()()23221h t t k t k =-+++，则()()021010h k h k ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩，此时解得0k >，或()()02101023012h k h k k⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，此时无解，综上所述，实数k 的取值范围是()0,∞+.故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.()f x =()g x x= B.()23f x x x =-与()23g t t t=-C.()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩ D.()0f x x =与()1g x =【答案】BC 【解析】【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果.【详解】A 选项中：()f x x ==与()g x x =对应关系不同，故不是同一函数，故A 不正确；B 选项中：()23f x x x =-与()23g t t t =-定义域都为R ，且对应关系相同，故是同一函数，故B 正确；C 选项中：当0x >时，()1x f x x ==，当0x <时，()1xf x x-==-，所以()1,01,0x x f x x x >⎧==⎨-<⎩，故()x f x x=与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩是同一函数，故C 正确；D 选项中：函数()0f x x =的定义域为{}0x x ≠，函数()1g x =的定义域为R ，两个函数定义域不同，故不是同一函数，故D 不正确.故选：BC ．10.已知0a b c d >>>>，则下列不等关系成立的是（）A.22ac bc >B.a d b c ->-C.ad bc <D.11a cb c>--【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式的性质逐一分析判断ABC ，再举反例排除D 即可得解.【详解】对于A ，因为0a b c d >>>>，所以20c >，0a b >>，则22ac bc >，故A 正确；对于B ，因为c d >，所以d c ->-，又a b >，所以a d b c ->-，故B 正确；对于C ，因为0d c <<，所以0d c ->->，又0a b >>，所以ad bc ->-，故ad bc <，故C 正确；对于D ，取2,1,1a b c ===-，则111132a c b c=<=--，故D 错误，故选：ABC.11.已知函数()()tan f x A x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的定义域为ππ{|,Z}28k x x k ≠+∈C.点3π,08⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D.()f x 在3π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由图象知3πππ2884T =-=，所以函数()f x 的最小正周期为2π，故A 不正确；因为函数的最小正周期ππ2T ω==，可得2ω=，所以3π3πtan 2088f A ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3ππ4k ϕ+=，k ∈Z ，即34πφkπ=-，k ∈Z ，因为π2ϕ<，所以当1k =时，3ππ44ϕπ=-=，则()tan 24f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为()01f =，所以()0f A =πtan 14=，则1A =，所以()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由ππ242x k π+≠+，Z k ∈，可得ππ28k x ≠+，k ∈Z ，所以()f x 的定义域为ππ{|,}28k x x k ≠+∈Z ，所以B 正确；因为3πππ2842⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，可得点3π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，所以C 正确；当3π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π7π9π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得[]πtan 21,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以D 正确.故选：BCD ．12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2121f x f x --=--，且当1224x x <<<时，()()21210f x f x x x ->-恒成立．则下列说法正确的是（）A.函数()1f x -为奇函数B.()()202310f f +-=C.()520232f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭D.函数()f x 的图象关于点()3,0对称【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性以及单调性对选项逐一分析即可.【详解】∵()()2121f x f x --=--，可得()()11f x f x --=--，∴函数()1f x -为奇函数，故A 正确；∵()()2121f x f x --=--，当0x =时，()()11f f -=--，()10f -=，又函数()f x 为偶函数，()()f x f x -=，由A 知()()11f x f x --=--，∴()()11f x f x +=--，可得()()2f x f x +=--()f x =-，则()()4f x f x +=，函数()f x 的周期为4，且()()110f f -==，∴()()202345053f f =⨯+()()310f f ==-=，∴()()202310f f +-=，故B 正确；∵1224x x <<<时，()()21210f x f x x x ->-恒成立，∴函数()f x 在()2,4上单调递增，由()520232f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可得()532f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，矛盾，故C 不正确；因为()1f x --()1f x =--，∴函数()f x 的图象关于点()1,0-对称，∵函数()f x 的周期为4，函数()f x 的图象关于点()3,0对称，故D 正确，故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()213log 12x x xf x -=+++的定义域为_____________．【答案】()()2,11,3--⋃-【解析】【分析】依据对数型复合函数定义域求解即可.【详解】由题意可得10302x x x+≠⎧⎪-⎨>⎪+⎩，则123x x ≠-⎧⎨-<<⎩，即23x -<<且1x ≠-，所以函数()f x 的定义域为()()2,11,3--⋃-．故答案为：()()2,11,3--⋃-14.已知幂函数()2133m y m m x +=+-的图象不经过原点，则实数m =_____________．【答案】4-【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，再由幂函数图象性质，判断m 的值.【详解】根据幂函数的定义可得2331m m +-=，解得4m =-或1m =，当4m =-时，3y x -=不经过原点，符合题意；当1m =时，2y x =过原点，不符合题意，故4m =-．故答案为：4-15.已知函数()2xf x =，则()()223f x f x ->+的解集为_____________．【答案】15,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意，求得函数()f x 的单调性与奇偶性，把不等式转化为223x x ->+，即可求解.【详解】由函数()2xf x =，可得其定义域为R ，且()()||22xx f x f x --===，所以()2xf x =为偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2xf x =，可得()2xf x =在[)0,∞+上单调递增，根据偶函数的性质，不等式()()223f x f x ->+，即为()()223fx f x ->+，可得223x x ->+，整理得231650x x ++<，解得153x -<<-，所以()()223f x f x ->+的解集为15,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故答案为：15,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．16.某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB 区域（如图所示）测量得知，其半径为2km ，圆心角为弯，规划局工作人员在 AB 上取一点C ，作CD ∥OA ，交线段OB 于点D ，作CE ⊥OA ，垂足为E ，形成三角形CDE 健步跑道，则跑道CD 长度的最大值为_____________km ．【答案】3【解析】【分析】过点O 作CD 的垂线，连接OC ，设COA θ∠=，分别求得2sin CE OF θ==，2cos OE CF θ==，且23sin 3DF θ=，求得πsin 33CD CF DF θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】如图所示，过点O 作CD 的垂线，垂足为F ，连接OC ，设COA θ∠=（π0θ3<<），则2sin CE OF θ==，2cos OE CF θ==，又tansin 63DF OF πθ==，所以1π2cos sin sin cos sin 332233CD CF DF θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π0θ3<<，所以ππ2π333θ<+<，当ππ32θ+=，即π6θ=时，CD取到最大值km 3．故答案为：433.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求解下列问题：（1）计算：10381272023π-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（2）若e 2a =，e 3b =，求32a b +的值．【答案】17.1418.ln 72【解析】【分析】（1）根据指数幂运算求解;（2）指对互化求解【小问1详解】11033381239111272023π3244--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦【小问2详解】∵e 2a =，e 3b =，∴ln 2a =，ln 3b =，∴323ln 22ln 3ln 8ln 9ln 72a b +=+=+=．18.已知()()()()()3πsin πcos cos 2π23πsin sin cos 14π2f ααααααα⎛⎫+--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．（1）化简()f α；（2）若()2fα=-，求212sin sin 212αα+-的值．【答案】（1）()tan f αα=-（2）1【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及sin tan cos ααα=对其化简即可；（2）应用二倍角公式对212sin sin 212αα+-化简，将弦转换成切求解即可.【小问1详解】()()()()()()()()3πsin πcos cos 2πsin sin cos 2tan 3πcos sin cos sin sin cos 14π2f αααααααααααααα⎛⎫+--- ⎪--⎝⎭===--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）得tan 2α=，所以22222221sin sin cos cos 2sin sin 21sin sin cos cos 2sin cos αααααααααααα+-+-=+-=+22tan tan 142111tan 14ααα+-+-===++．19.已知定义在R 上的函数()21xb f x a =++，是奇函数，且()3210f =-．（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明．【答案】（1）实数a 的值为12-，实数b 的值为1（2）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合()00f =和()3210f =-，联立方程组，即可求解；（2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证.【小问1详解】解：因为定义在R 上的函数()21x bf x a =++是奇函数，可得()00f =，即02b a +=，又因为()3210f =-，所以3510b a +=-，联立方程组，可得12a =-，1b =，所以()()1112221221x x x f x -=-+=++，又由()()()()2121221212x x x xf x f x ---+--===-++，符合题意，所以,a b 的值分别为12-和1.【小问2详解】解：函数()f x 在R 上单调递减，证明：在R 上任取12x x <，则()()()()21121212121111112222122121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=-+--+=-= ⎪++++++⎝⎭，因为12x x <，所以21220x x ->，又2210x +>，1210x +>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在R 上单调递减．20.已知函数()2π4cos cos 4sin 33f x x x x ωωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（1）求()f x ；（2）已知π2π33α<<，()65f α=，求cos 2α．【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）310-【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换的公式，化简得到()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数的性质，即可求解；（2）根据题意，求得π3sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而得到π4cos 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合两角和的余弦公式，即可求解.【小问1详解】由函数()()41cos 214cos cos sin 3222x f x x x x ωωωω⎛⎫-=++- ⎪⎪⎝⎭222cos 22cos 23x x x ωωω=++--π2cos 21232sin 26x x x ωωω⎛⎫=-++-=- ⎪⎝⎭，因为0ω>，函数()f x 的最小正周期2ππ2T ω==，可得1ω=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()π62sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得π3sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为π2π33α<<，所以ππ7π2,626α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以πcos 206α⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以π4cos 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210-=-⨯-⨯=．21.2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg 的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入()f x 万元，且()2120,05240330,5101x x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x 万元，全年利润为()F x 万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）（1）求函数()F x 的解析式；（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()25120,052905240,51012x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪-⎩（2）当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．【解析】【分析】（1）根据已知函数模型得出函数解析式；（2）分别利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数两段的最大值，然后比较可得．【小问1详解】由题意得()() 2.5F x f x x =-，∵()2120,05240330,5101x x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，∴当05x <≤时，()225120 2.51202F x x x x x =+-=-+，当510x <≤时，()2403309052.5240112x F x x x x x -=-=----，综上所述，函数()F x 的解析式为()25120,052905240,51012x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪-⎩．【小问2详解】由（1）得()25120,052905240,51012x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪-⎩，当05x <≤时，()2255251201202416F x x x x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，∴()F x 在50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在5,54⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，∴()()max 225255120132.51616F x F ==+-=；当510x <≤时，()()905905552402401240207.5121222F x x x x x ⎡⎤⎡⎤=--=-+-+≤-+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，当且仅当()905112x x =--，即7x =时，()max 207.5F x =，∵132.5207.5<，∴()F x 的最大值为207.5，故当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．22.已知不等式20x mx n ++<的解集为{}21x x -<<-，函数()1xg x n λλ=--（0n >，且1n ≠），()()()2log 1log m m x x h x λ=-++（0m >，且1m ≠）．（1）求不等式20mx x n +-≥的解集；（2）若对于任意的[]11,1x∈-，均存在2x ⎤∈⎦，满足()()12g x h x ≤，求实数λ的取值范围．【答案】（1）{|1x x ≤-或2}3x ≥；（2）5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式与方程的关系及一元二次不等式的解法，求出解集;（2）由函数恒成立问题和存在性问题，得到()()max max g x h x ≤，利用换元转化进行分类讨论求解λ的范围.【小问1详解】不等式20x mx n ++<的解集为{}21x x -<<-，即2,1--是20x mx n ++=的两个根，故3m =，2n =，∴20mx x n +-≥，即为2320x x +-≥，解得1x ≤-或23x ≥，∴不等式20mx x n +-≥的解集为{|1x x ≤-或2}3x ≥．【小问2详解】由题意可知()()max max g x h x ≤，()()()233log 1log h x x x λ=-++，x ⎤∈⎦，令3log t x =，则()21y t t λ=-++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为12t λ+=，①若1122λ+<，即0λ<时，当12t =时，max 1124y λ=+，即()max 1124h x λ=+，此时()21x g x λλ=--在[]1,1-上单调递减，()()max 1111122g x g λλλ=-=--=--，由11112240λλλ⎧--≤+⎪⎨⎪<⎩，得504λ-≤≤；②若11222λ+≤≤，即03λ≤≤时，当12t λ+=时，()2max 114y λ=+，即()()2max 114h x λ=+，此时()21x g x λλ=--在[]1,1-上单调递增，()()max 11g x g λ==-，由()2111403λλλ⎧-≤+⎪⎨⎪≤≤⎩，得03λ≤≤；③若122λ+>，即3λ>时，当2t =时，max 22y λ=-，即()max 22h x λ=-，此时()21x g x λλ=--在[]1,1-上单调递增，()()max 11g x g λ==-，由1223λλλ-≤-⎧⎨>⎩，得3λ>，综合①②③可知54λ-≥，即实数λ的取值范围是5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。

浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含解析)

高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合[]2,2A =-，集合{}230B x x x =-≥，则()RA B ⋂=ð（）A.[]2,0-B.[]2,3-C.(]0,2 D.(][),23,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得()R A Bð【详解】()2330x x x x -=-≥，解得0x ≤或3x ≥，所以{|0B x x =≤或}3x ≥，所以{}R |03B x x =<<ð，所以()R A B ⋂=ð(]0,2.故选：C2.函数()3log 5f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.()4,5 D.()5,6【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】()f x 在()0,∞+上单调递增，()()3310,4log 410f f =-<=->，所以()f x 的零点在区间()3,4.故选：B3.已知a ，b 为非零实数，则“01ab<<”是“a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】当01ab<<时，,a b 同号且非零，则01a b <<，所以a b <.当a b <时，如1,2a b =-=，则0b a<，无法得到01a b <<.所以“01ab<<”是“a b <”的充分不必要条件.故选：A4.函数π2tan 36y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是（）A.ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ B.ππ,Z 12x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.ππ,Z 63k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D.ππ,Z 93k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由ππ3π62x k +≠+，解得ππ93k x ≠+，所以函数的定义域是ππ,Z 93k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：D5.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，则()2022f =（）A.-1 B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()()()()2111f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()202200f f ==.故选：B6.已知tan 3α=，则()()sin π2cos ππ3πsin cos 22αααα-++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.12-B.14C.54D.12【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】()()sin π2cos πsin 2cos tan 2321π3πcos sin 1tan 134sin cos 22αααααααααα-++---====+++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B7.已知,x y ∈R ，221x y xy ++=，则（）A.22x y+的最大值为23且x y +的最大值为3B.22x y +的最大值为23且x y +的最小值为0C.22x y +的最小值为23且x y +的最大值为3D.22x y+的最小值为23且x y +的最小值为0【答案】C 【解析】【分析】利用222x y xy +≥可求出22xy +的最小值，利用2()4x y xy +≥可求出x y +的最大值.【详解】利用222x y xy +≥，则22222212x x y xy x y y ++++=≤+，整理得2223x y +≥，当且仅当x y =，即2213x y ==时取得等号，即22x y +的最小值为23；利用2()4x y xy +≥，2221()x y xy x y xy ++==+-，即22()()14x y xy x y +=+-≤，整理得24()3x y +≤，即33x y -≤+≤，当且仅当3x y ==时取得等号，故x y +的最大值为3.故选：C 8.若关于x 的方程()()2221161x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则()12311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为（）A.-6B.-4C.-3D.-2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】依题意可知0x ≠，由()()2221161x m x x x +-+=+整理得114201x m m x x x++--⋅=+①，即关于x 的方程恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，令1t x x=+，则2t ≤-或2t ≥，则①转化为1420t m m t+--⋅=，即()()222420,48160t m t m m m m +--=∆=-+=+>，根据对勾函数的性质可知1112t x x =+=-是方程()2420t m t m +--=的一个根，所以()()()224220,3m m m -+-⨯--==，所以260t t --=，解得2t =-或3t =，所以23,x x 是方程13x x+=的根，即2310x x -+=的根，所以233x x +=，所以()()12311236x x x x ⎛⎫++=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的有（）A.若θ是锐角，则θ是第一象限角B.π1rad 180︒=C.若sin 0θ>，则θ为第一或第二象限角D.若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】ABD 【解析】【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.【详解】A 选项，θ是锐角，即π02θ<<，所以θ是第一象限角，A 选项正确.B 选项，根据弧度制的定义可知π1rad 180︒=，B 选项正确.C 选项，当π2θ=时，πsin 12=，但θ不是象限角，C 选项错误.D 选项，θ为第二象限角，即πππ2π2ππ,ππ,Z 2422k k k k k θθ+<<++<<+∈，所以2θ为第一或第三象限角，D 选项正确.故选：ABD10.关于函数()11cos f x x=+，下列说法正确的是（）A.函数()f x 定义域为RB.函数()f x 是偶函数C.函数()f x 是周期函数D.函数()f x 在区间()π,0-上单调递减【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于cos π1,1cos π0=-+=，所以()f x 的定义域不是R ，A 选项错误.由1cos 0x +≠得cos 1x ≠-，所以2ππ,Z x k k ∈≠+，所以()f x 的定义域是{}|2ππ,Z x x k k ≠+∈，()f x 的定义域关于原点对称，()()()111cos 1cos f x f x x x-===+-+，所以()f x 是偶函数，B 选项正确.()()()112π1cos 2π1cos f x f x x x+===+++，所以()f x 是周期函数，C 选项正确.当2ππ,Z x k k ∈≠+时，1cos 0x +>恒成立，1cos y x =+在()π,0-上单调递增，所以()11cos f x x=+在区间()π,0-上单调递减，D 选项正确.故选：BCD11.已知0a >且1a ≠，函数()()0axf x x ax =->的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】AD 【解析】【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】依题意0a >且1a ≠，0010a a -=-<，B 选项错误.()11f a=-当10,01a a -><<时，()10f >，且()=-axf x x a 在()0,∞+上递增，A 选项符合题意.当10,1a a -<>时，()10f <，在CD 选项中，C 选项错误，则D 选项正确.故选：AD12.已知实数a ，b 满足33log log 3log log 4b a a b +=+，则下列关系式可能正确的是（）A.(),0,a b ∃∈+∞，使1a b ->B.(),0,a b ∃∈+∞，使1ab =C.(),1,a b ∀∈+∞，有2b a b <<D.(),0,1a b ∀∈，有2b a b <<【答案】ABCD 【解析】【分析】由原方程可得333411log log log log b a b a-=-，构造函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A;令1ab =，代入原方程转化为判断2ln 3ln12(ln )2b ⋅=是否有解即可判断B ，条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出,a b 大小，判断CD ，【详解】对于A ，由33log log 3log log 4b a a b +=+得333411log log log log b a b a-=-，令331()log log f x x x =-，则()f x 分别在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，令341()log log g x x x=-，则()g x 分别在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，当(0,1)x ∈时，()f x 的值域为R,当(2,)x ∈+∞时，()g x 的值域为3(log 22,)-+∞，所以存在(0,1),(2,)b a ∈∈+∞，使得()()f b g a =；同理可得，存在(2,),(0,1)b a ∈+∞∈，使得()()f b g a =，因此,(0,)a b ∃∈+∞，使1a b ->，A 正确；对于B ，令1ab =，则方程33log log 3log log 4b a a b +=+可化为3log 3log 42log b b b +=，由换底公式可得2ln 3ln12(ln )02b ⋅=>，显然关于b 的方程在(0,)+∞上有解，所以(),0,a b ∃∈+∞，使1ab =，B 正确；对于C ，当(),1,a b ∈+∞时，因为333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-，所以()()f b f a <，又()f x 在()1,+∞上单调递增，所以b a<.又334344111log log log log log log b a a b a a -=->-，令1()h x x x=-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，因为34(log )(log )h b h a >，所以34log log b a >，从而可得4233log log log log b a >=>，所以b >．综上所述可得2b a b <<，C 正确；对于D ，当(),0,1a b ∈时，因为333343111log log log log log log b a a b a a-=->-，所以()()f b f a >，又()f x 在()0,1上单调递增，所以b a>.又333444111log log log log log log b a a b a a -=-<-，令1()h x x x=-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，因为34(log )(log )h b h a <，所以34log log b a <，从而3423log log log log b a <=<，所以b <．综上所述可得2b a b <<，所以D 正确．故选：ABCD【点睛】关键点点睛：对于CD 选项的关键在于变形、放缩，恰当放缩后不等式两边可看做同一函数的两个函数值，据此构造函数，利用函数的单调性，建立自变量的大小关系，化繁为简，得出34log ,log b a 的关系，再利用对数性质放缩即可判断结论，本题难度较大，技巧性较强，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简求值：()439log 3log 2log 2⨯+=______.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.【详解】()4394332311log 3log 2log 2log 3log 2log 2log 3log 22⎛⎫⨯+=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭3221lg3lg 13log 22lg 2lg324=⨯⨯=⨯=.故答案为：3414.已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，当[]2,2x ∈-时，值域为[]22-,，且在[]22-,上有两个零点，请写出一个满足上述条件的()f x =______.【答案】22x -（答案不唯一，如22x -亦可）【解析】【分析】根据函数的自变量、值域、零点在学过函数中找到满足条件的函数即可.【详解】根据函数自变量[]2,2x ∈-时，函数值域为[]22-,，可考虑二次函数2()2f x x =-，根据二次函数性质可知[]2,2x ∈-时，min ()(0)2f x f ==-，max ()(2)(2)422f x f f ==-=-=，令()0f x =，解得x =[]22-,上有两个零点.故答案为：22x -（答案不唯一，如22x -亦可）15.炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC 面积为22100πcm ，则当该纸叠扇的周长最小时，AB 的长度为______cm.【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为cm r ，弧长为cm l ，根据扇形ABC 的面积得到rl ，纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解即可.【详解】设扇形ABC 的半径为cm r ，弧长为cm l ，则扇形面积12S rl =.由题意得21100π2rl =，所以2200πrl =.所以纸叠扇的周长240πC r l =+≥==，当且仅当22,200π,r l rl =⎧⎨=⎩即10πr =，20πl =时，等号成立，所以此时AB 的长度为10πcm .故答案为：10π16.已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，若函数()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点，则实数ω的最大值是______.【答案】173【解析】【分析】化简函数解析式，先求出π6x ω+整体的范围，由在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内没有零点得出不等式，解出ω的范围，再结合k 的取值，即可求解.【详解】()πcos 2sin(6f x x x x ωωω=+=+，由ππ,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得ππππ36626x ωωπω+<+<+，又()f x 在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内没有零点，则()πππ36,ππ1π26k k k ωω⎧≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩Z ，解得6165,23k k k ω-+≤≤∈Z ，又6165236102k k k -+⎧≤⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得11366k <<，又k ∈Z ，所以1k =或2k =，当1k =时，51123ω≤≤；当2k =时，111723ω≤≤；综上：ω的最大值为173.故答案为：173.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①x A ∈是x B ∈的充分不必要条件；②A B ⊆；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}11A x m x m =-≤≤+，集合{}2B x x =≤.（1）当2m =时，求A B ⋃；（2）若______，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[]2,3A B =-U （2）答案见解析【解析】【分析】（1）解绝对值不等式求得集合B ，由此求得A B ⋃.（2）通过选择的条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】222x x ≤⇔-≤≤，所以[]2,2B =-.当2m =时，[]1,3A =，所以[]2,3A B =-U .【小问2详解】由（1）得[]2,2B =-，选①，x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则1212m m +≤⎧⎨-≥-⎩且等号不同时成立，解得11m -≤≤.选②，A B ⊆，则1212m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得11m -≤≤.选③，A B ⋂=∅，则12m ->或12m +<-，解得3m >或3m <-.18.已知函数()sin cos f x x x =+，且()15f α=-，()0,πα∈.（1）求()f α-的值；（2）若()1cos 3αβ-=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β.【答案】（1）75-（2）415【解析】【分析】（1）利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【小问1详解】由题意()1sin cos 5f ααα=+=-，()0,πα∈，由于sin 0α>，所以cos 0α<，故由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩可解得3sin 5α=，4cos 5α=-.所以()7sin cos 5f ααα-=-+=-.【小问2详解】由（1）可知：π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,παβ-∈因为()1cos 3αβ-=，所以()sin 3αβ-==，所以()()()()624cos cos cos cos sin sin 15βααβααβααβ-=--=⋅-+⋅-=.19.已知函数()()2213f x ax a x a =-+-+，a ∈R .（1）若()()()213g x f x a x a =--+-在()0,3上有零点，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求实数a 的值.【答案】（1）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）12a =或1a =【解析】【分析】（1）根据二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围.（2）根据()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦端点或对称轴（二次函数时）处取得最小值进行分类讨论，由此求得a 的值.【小问1详解】()()()22121g x x a x x x a =-+=-+⎡⎤⎣⎦在()0,3上有零点，所以()()3210,3,10,2x a a ⎛⎫=+∈+∈ ⎪⎝⎭，所以11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由于二次函数在闭区间上的最小值只可能在端点或对称轴处取到，所以只需考虑一下三种情况并检验即可：①若172224f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴167a =.()f x 的图象开口向上，对称轴2316x =，而231162>，不成立，舍.②若()3232f a =-=-，∴12a =.此时()f x 的图象开口向上，对称轴3x =，成立.③若111122f a a a ⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭，∴12a =或1a =.此时()f x 的图象开口向上，对称轴11x a =+，而此时111,32a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，成立.综上可知，12a =或1a =.20.已知函数()()()1sin 03f x x ωϕω=+>的图象如图所示.（1）求函数()f x 的对称中心；（2）先将函数()y f x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象.若()1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）ππ,0424k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z （2）[]0,1【解析】【分析】（1）根据函数图象求得()f x 的解析式，然后利用整体代入法求得()f x 的对称中心.（2）利用三角函数图象变换的知识求得()g x 的解析式，根据()g x 在区间5π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域转化不等式()1g x t -≤，由此求得t 的取值范围.【小问1详解】由图可知：πππ23124T =-=，所以π2π2T ω==，所以4ω=，()()1sin 43f x x ϕ=+，又π1π1πππsin ,sin 1,2π12333332f k ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2π6k ϕ=+，k ∈Z .所以()1π1πsin 42πsin 43636f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π4π6x k +=，k ∈Z ，则ππ424k x =-，k ∈Z .所以()f x 的对称中心为ππ,0424k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z .【小问2详解】由题()ππ5sin 2sin 2π366g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当5π5π5π,0,20,1266x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()[]0,1g x ∈.因为()1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()()max min11g x t g x t ⎧≤+⎪⎨≥-+⎪⎩.所以[]0,1t ∈.21.近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()f x （单位：元）与时间x （单位：天）()*130,N x x ≤≤∈的函数关系满足()10kf x x=+（k 为常数，且0k >），日销售量()g x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x 15202530()g x 105110105100设该文化工艺品的日销售收入为()M x （单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()g x ax b =+；②()g x a x m b =-+；③()xg x a b =⋅；④()log b g x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量()g x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()g x ，求()M x 的最小值.【答案】（1）1k =（2）选择函数模型②()g x a x m b =-+，()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N（3）961【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得k 的值.（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得,,a b m ，从而求得()g x 的解析式.（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.【小问1详解】因为第15天的日销售收入为1057元，所以()()()15151510105105715k M f g ⎛⎫==+⨯= ⎪⎝⎭，解得1k =.【小问2详解】由表中的数据知，当时间x 变化时，()g x 先增后减.而函数模型①()g x ax b =+；③()x g x a b =⋅；④()log b g x a x =都是单调函数，所以选择函数模型②()g x a x m b =-+.由()()()()152515*********g g g a b g b ⎧=⎪=+=⎨⎪==⎩，解得1a =-，110b =，20m =.所以日销售量()g x 与时间x 的变化关系为()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N.【小问3详解】由（2）知()**90,120,N 20110130,2030,Nx x x g x x x x x ⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩所以()()()()**110(90),120,110130,2030,x x x x M x f x g x x x x x ⎧⎛⎫++≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N 即()**9010901,120,130101299,2030,x x x x M x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩N N .当120x ≤≤，*x ∈N 时，由基本不等式得，()9010901901961f x x x =++≥+=当且仅当9010x x=，即3x =时，等号成立.当20x 30<≤，*x ∈N 时，()130101299f x x x=-++单调递减，所以()()133********f x f ≥=+>.综上所述：当3x =时，()f x 取得最小值，最小值为961.22.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)1,x k ∈+∞，都存在唯一的()2,x k ∈-∞，使得()()21f x f x =，则称函数()f x 是“()V k 型函数”.（1）判断()21f x x =+是否为“()1V -型函数”?并说明理由；（2）若存在实数k ，使得函数()()22log 1g x x ax =++始终是“()V k 型函数”，求k 的最小值；（3）若函数()1,1,1a x x h x x x a x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-<⎩，是“()1V 型函数”，求实数a 的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析（2）1（3）1,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据“()V k 型函数”的定义，结合特殊值进行判断.（2）根据()g x 的定义域求得a 的范围，结合“()V k 型函数”的定义以及函数的单调性求得k 的取值范围.（3）对a 进行分类讨论，根据“()V k 型函数”的定义列不等式，由此求得a 的取值范围.【小问1详解】()21f x x =+是偶函数，且在(),0∞-递减，()0,∞+递增.当[)1,x ∈-+∞时，()[)1,f x ∈+∞；当(),1x ∈-∞-时，()(),2f x ∈-∞.若取10x =，则不存在()2,1x ∈-∞-，使得()()211f x f x ==.所以()21f x x =+不是“()1V -型函数”.【小问2详解】首先函数()()22log 1g x x ax =++定义域为R ，则240a ∆=-<，解得22a -<<.由复合函数单调性可知：()g x 在,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭a 单调递减，在,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a 单调递增.所以只需2a k >-对()2,2a ∀∈-恒成立即可.所以1k ≥，即k 的最小值为1.【小问3详解】由题()1,1,1a x x h x x x a x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-<⎩是“()1V 型函数”.当1a <时，()h x 在[)1,+∞上单调递增，()[)1,h x a ∈+∞.而()[)20,h x ∈+∞，要使2x 存在且唯一，则有01a a a≥⎧⎨-≤⎩，解得12a ≥.所以1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.当1a ≥时，()h x在(递减，)+∞递增，()11,h x ⎡∈-+∞⎣.而()()21,h x a ∈-+∞，要使2x 存在且唯一，则有11a -<-，解得4a <.所以[)1,4a ∈.综上可知：1,42a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中.。

完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)

完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)高一第一学期期末考试试卷考试时间：120分钟注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R，集合A={x|3≤x<7}，B={x|x^2-7x+10<0}，则(A∩B)的取值为A。

(−∞,3)∪(5,+∞)B。

(−∞,3)∪[5,+∞)C。

(−∞,3]∪[5,+∞)D。

(−∞,3]∪(5,+∞)2.已知a⋅3^a⋅a的分数指数幂表示为A。

a^3B。

a^3/2C。

a^3/4D。

都不对3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是A。

e=1与ln1=0B。

8^（1/3）=2与log2^8=3C。

log3^9=2与9=3D。

log7^1=0与7^1=74.下列函数f(x)中，满足“对任意的x1,x2∈(−∞,0)，当x1f(x2)”的是A。

x^2B。

x^3C。

e^xD。

1/x5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=logx，则f(f(100))的值等于A。

log2B。

−1/lg2C。

lg2D。

−lg26.对于任意的a>0且a≠1，函数f(x)=ax^−1+3的图像必经过点(1,4/5)7.设a=log0.7(0.8)，b=log1.1(0.9)，c=1.10.9，则a<b<c8.下列函数中哪个是幂函数A。

y=−3x^−2B。

y=3^xC。

y=log_3xD。

y=x^2+1是否有模型能够完全符合公司的要求？原因是公司的要求只需要满足以下条件：当x在[10,1000]范围内时，函数为增函数且函数的最大值不超过5.参考数据为e=2.L，e的8次方约为2981.已知函数f(x)=1-2a-a（a>1），求函数f(x)的值域和当x 在[-2,1]范围内时，函数f(x)的最小值为-7.然后求出a的值和函数的最大值。

浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题含答案

金华十校2023—2024学年第一学期调研考试高一数学试题卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin3π=（）A.12B.12-C.32D.【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果.【详解】sin 32π=.故选：C.2.已知集合{}1,2,3A =，{}2,,4B a =，若{}2A B ⋂=，则实数a 可以为（）A.1 B.3C.4D.7【答案】D 【解析】【分析】由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解.【详解】由{}2,,4B a =，知4a ≠，C 不可能；由{}2A B ⋂=，知1a ≠且3a ≠，否则A B ⋂中有元素1或者3，矛盾，即AB 不可能；当7a =时，{}2A B ⋂=，符合题意，因此实数a 可以为7.故选：D3.若对于任意[]1,2x ∈，不等式220m x +-≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A .1m ≤- B.0m ≤C.1m £D.m ≤【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数2()2f x m x =+-在[1,2]上的最大值即得.【详解】令函数2()2f x m x =+-，显然()f x 在[1,2]上单调递减，max ()(1)1f x f m ==+，因为任意[]1,2x ∈，不等式220m x +-≤恒成立，于是10m +≤，所以1m ≤-.故选：A4.哥哥和弟弟一起拎一重量为G 的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为1F ，弟弟用力为2F ，若12F F =，且12,F F 的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时1F 与重物重力G 之间的夹角为（）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】结合物理相关知识，利用三角形和向量夹角的知识即可解答.【详解】根据力的平衡，12,F F 的合力为CA，如图所示：由于12F F =，且12F F ，的夹角为120 ，则ACB 为等边三角形，则60ACB ∠= ，则1F 与重物重力G 之间的夹角为18060120-= .故选：C5.“44a -≤≤”是“函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R 则240x ax -+>恒成立求解a 的取值范围判断即可.【详解】函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R则240x ax -+>恒成立，即2440a -⨯<，解得44a -<<，故“44a -≤≤”是“函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R ”的必要不充分条件.故选：B 6.已知函数()()216f x x a b x =-++，a ，b 是正实数．若存在唯一的实数x ，满足()0f x ≤，则223a b +的最小值为（）A.46B.48C.52D.64【答案】B 【解析】【分析】根据函数()()216f x x a b x =-++，,a b 是正数，且存在唯一的实数x ，满足()0f x ≤，可得240b ac -=，利用()()()22222a bc d ac bd ++≥+，可得223a b +的最小值.【详解】根据函数()()216f x x a b x =-++，,a b 是正数，且存在唯一的实数x ，满足()0f x ≤,可得240b ac -=，即()264a b +=，由()()()()2222220a b c d ac bd ac bd ++-+=-≥，则()()()22222ab c d ac bd ++≥+，所以()()2221313a b a b ⎛++≥ ⎪⎝+⎫⎭，故22348a b +≥，故选：B7.某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量Q （单位：mg/L ）与时间r （单位：h ）之间的关系为0ektQ Q -=，其中0Q 是原有废气的污染物含量（单位：mg/L ），k 是正常数．若在前4h 消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（）参考数据：ln0.2 1.609≈-，ln0.80.223≈-，40.80.4096=，60.80.26≈A.19h B.29h C.39h D.49h【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出方程和不等式即可求解.【详解】由题有400(120%)kQ Q e --=，设t 小时后污染物含量不超过20%，则0020%ktQ eQ -≤，解得28.8t ≥，即至少经过29小时能达到排放标准.故选：B.8.若实数ππ,,44x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，满足2sin 2sin2x x x y y =+，则（）A.2x y ≥B.2x y ≤C.2x y ≥ D.2x y≤【答案】C 【解析】【分析】构造函数()ππsin ,,22f x x x x ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭，可得()f x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，且为偶函数，再根据()()02f x f y -≥结合偶函数性质判断即可.【详解】设()ππsin ,,22f x x x x ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭，则()f x 为偶函数，设12π02x x <<<，则因为,sin y x y x ==在π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上均为增函数，故120sin sin 1x x <<<，故()()11121222sin sin sin f x x x x x x x f x =<<=，故()f x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，且()f x 为偶函数.又2sin 2sin2x x xy y =+，则20sin 2sin 2x x y y x -≥=，即()()02f x f y -≥，当且仅当0x y ==时取等号.故()()2f x f y ≥，故2x y ≥.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.在ABC 中（）A.若A B ≥，则cos cos A B ≤B.若A B ≥，则tan tan A B ≥C.()sin sin A B C +=D.sincos 22A B C+=【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据余弦函数的单调性判断；对B ，举反例判断；对CD ，根据三角形内角和为π结合诱导公式判断.【详解】对A ，在ABC 中π0A B >≥>，由余弦函数单调性可得cos cos A B ≤，故A 正确；对B ，若A 为钝角，B 为锐角，则tan 0tan A B <<，故B 错误；对C ，()()sin sin πsin A B C C +=-=，故C 正确；对D ，πsinsin cos 2222A B C C +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD10.已知()f x x α=（R α∈）（）A.当1α=-时，()f x 的值域为RB.当3α=时，()()π3f f >C.当12α=时，()2f x 是偶函数 D.当12α=时，()2f x 是奇函数【答案】BC 【解析】【分析】根据幂函数的性质即可求解AB ，结合函数奇偶性的定义即可判断CD.【详解】当1α=-时，()1f x x=，此时()f x 的值域为{}0y y ≠，故A 错误，当3α=时，()3f x x =在R 上单调递增，所以()()π3f f >，B 正确，当12α=时，R x ∀∈，()()()()222f x f x f x =-=，所以()2f x 是偶函数，C 正确，当12α=时，()12f x x =，()0x ≥，则()2f x x =，()0x ≥，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D 错误，故选：BC11.已知函数()22cos 21f x x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为π，则（）A.2ω=B.函数()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数C.π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D.函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称【答案】BD 【解析】【分析】对A ，根据辅助角公式，结合最小正周期公式求解即可；对B ，根据πππ2,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭判断即可；对C ，根据π23f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭判断即可；对D ，化简π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断即可.【详解】对A ，()π2cos 22sin 26f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又()f x 最小正周期为π，故2ππ2ω=，则1ω=，故A 错误；对B ，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，为正弦函数的单调递增区间，故B 正确；对C ，ππ2sin 2032f ⎛⎫⎛⎫-=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，故C 错误；对D ，πππ2sin 22cos 2666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，图像关于y 轴对称，故D 正确.故选：BD12.已知函数()()()11cos π22121x x x f x -⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++，则（）A.函数()f x 是周期函数B.函数()f x 有最大值和最小值C.函数()f x 有对称轴D.对于11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增【答案】BC 【解析】【分析】利用函数对称性的定义可判断C 选项；判断函数()f x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，结合函数最值的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断D 选项；利用反证法结合B 选项中的结论可判断A 选项.【详解】因为()()()()()11πcos πsin π221212121x x x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎝⎭==++++，对于C 选项，因为()()()()()()()1111sin π1sin π121212121xx x xx xf x f x -----⎡⎤⎣⎦-===++++，所以，函数()f x 的图象关于直线12x =对称，C 对；对于D 选项，因为()10f -=，()00f =，故函数()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，D 错；对于B 选项，因为函数()f x 的图象关于直线12x =对称，要求函数()f x 的最大值和最小值，只需求出函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值和最小值即可，设()()()12121xx g x -=++，当112x ≤≤时，()()()122121322x x x x g x -=++=++，令2xt ⎤=∈⎦，因为函数2x t =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，函数23y tt =++在⎤⎦上单调递增，所以，函数()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当1x ≥时，()()()121321212212xx x x g x --=++=+⋅+，因为函数212x y -=、3212xy =⋅+在[)1,+∞上均为增函数，所以，函数()2132212x x g x -=+⋅+在[)1,+∞上为增函数，所以，函数()()()12121xx g x -=++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，由对称性可知，函数()g x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，故函数()g x 在12x =处取得最大值，且())2max 112g x g ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，故函数()1g x 在12x =处取得最小值，且最小值为())22111=+，当1322x ≤≤时，则π3ππ22x ≤≤，则函数()sin πh x x =在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，对任意的1x 、213,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x <，则()()12h x h x >，()()210g x g x >>，则()()12110g x g x >>，由不等式的基本性质可得()()()()()()112122h x h x h x g x g x g x >>，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又因为当12x =时，函数()sin πh x x =取得最大值，故函数()f x 仅在12x =处取得最大值，对任意的3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()32h x h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()1132g x g ≤⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()0h x ≥，则()()32032h h x g x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥>⎛⎫⎪⎝⎭，若()0h x <，则()32h x h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则()()03h x h <-≤-，则()()3232h h x g x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭-≤-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()()3232h h x g x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，对任意的3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()32f x f ⎛⎫≥⎪⎝⎭，又因为函数()f x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故当12x ≥时，()f x 在32x =处取得最小值，综上所述，函数()f x 既有最大值，也有最小值，C 对；对于A 选项，由C 选项可知，函数()f x 仅在12x =处取得最大值，若函数()f x 是以()0T T >为周期的周期函数，则1122f T f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与题意矛盾，故函数()f x 不可能是周期函数，A 错.故选：BC.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.sin 2______0（填＞或＜）．【答案】＞【解析】【分析】判断角所在象限，然后根据正弦函数在每个象限的符号分析即可.【详解】π2π2<<，故2对应的角度终边在第二象限，则sin 20>；故答案为：>.14.函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =______时，游客流量最大．【答案】8【解析】【分析】根据余弦函数性质求出函数()f n 的最大值及取最大值时n 的值，由此可得结论.【详解】因为{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅，所以π2π5π7π4π3π5π11π13π7π5π8π,π,,,,,,2π,,,,636632366323n ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭，所以当π2π2π63n +=，即8n =时，π2πcos 63n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最大值1，所以8n =时，()f n 取最大值，又游客流量越大所需服务工作的人数越多，所以8n =时，游客流量最大．15.已知函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩则方程()()2f f x =的所有根之积为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】解方程()()2ff x =，可得出该方程的根，再将所有根全部相乘，即可得解.【详解】令()t f x =，由()()2ff x =可得()2f t =，当0t ≤时，由()222f t t t =--=，即2220t t ++=，则4420∆=-⨯<，即方程2220t t ++=无解；当0t >时，由()2log 2f t t ==，可得14t =或4t =.（1）当14t =时，当0x ≤时，由()2124f x x x =--=可得21204x x ++=，解得122x -+=，222x -=，当0x >时，由()21log 4f x x ==可得1432x =，1442x -=；（2）当4t =时，当0x ≤时，由()224f x x x =--=可得2240x x ++=，4440∆=-⨯<，方程2240x x ++=无解，当0x >时，由()2log 4f x x ==可得452x =，462x -=，因此，方程()()2f f x =的所有根之积为12345614x x x x x x=.故答案为：14.16.若函数()()22ln 1k f x x k x x +⎛⎫=+++⋅+ ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，则实数k 的最小值为______．【答案】2-【解析】【分析】结合题意由值域为()0,∞+转化221x k x +>-+，结合基本不等式求出最值即可.【详解】根据题意，函数()()22ln 1k f x x k x x +⎛⎫=+++⋅+ ⎪⎝⎭的定义域为()()1,00,-⋃+∞，因为()f x 的值域为()0,∞+，所以()()22ln 10k f x x k x x +⎛⎫=+++⋅+> ⎪⎝⎭在()()1,00,-⋃+∞上恒成立，当10x -<<时，则011x <+<，则()ln 10x +<，此时必有220k x k x ++++<，变形可得221x k x +>-+，当0x >时，则11x +>，则()ln 10x +>，此时必有220k x k x ++++>，变形可得221x k x +>-+，综合可得：221x k x +>-+在()()1,00,-⋃+∞上恒成立，设()21x g x x =+，()()1,00,x ∈-⋃+∞，则()()2211111121111x x g x x x x x x x -+===-+=++-++++，因为()()1,00,x ∈-⋃+∞，所以10,x +>且11x +≠，由基本不等式可得()()112201g x x x =++->=+，即()0g x >，所以()201x g x x -=-<+，因为221x k x +>-+在()()1,00,-⋃+∞上恒成立，所以20k +≥，解得2k ≥-，故实数k 的最小值为2-.故答案为：2-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用参变分离得到221x k x +>-+，再运用函数及基本不等式的思想研究不等式.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）2log 3333log 2log 52log 2+-；（2）()()222164121248818x xxx x x x---⎛⎫-+-++++ ⎪+⎝⎭．【答案】（1）3（2）4【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案；（2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案.【小问1详解】结合题意可得：2log 3333log 2log 52log 2+-+()333log 25log 103log 133=⨯-+=+=;【小问2详解】结合题意可得：()()()()()232218181641212488128281818x x x x x x x x xxxx x --------+⎛⎫-⎡⎤+-+++++-+++ ⎪⎢⎥=⎣⎦++⎝⎭18188284x x x x --=-+-+++=.18.已知向量()1,2a =r，b = ．（1）若a b ∥，求b的坐标；（2）若()()52a b a b -+⊥+ ，求a 与b 的夹角．【答案】（1）()2,4b = 或()2,4b =--（2）π3．【解析】【分析】（1）设(),2b a λλλ==r r，结合向量的模长公式求解即可；（2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】由题意，设(),2b a λλλ==r r．b ==，2λ∴=±，()2,4b ∴=或()2,4b =--．【小问2详解】()()52a b a b -+⊥+ ，()()520a b a b ∴-+⋅+=，225320a ab b ∴--⋅+= ，即2532200a b --⋅+⨯= ，5a b ∴=⋅ ．设a 与b的夹角为θ，则1cos2a a b bθ⋅===．又[]0,πθ∈，π3θ∴=，a ∴r 与b 的夹角为π3．19.已知函数()22cossin sin 22x x f x x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期与对称轴方程；（2）当()00,πx ∈且()05f x =时，求0π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）最小正周期为2π，对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z（2）10【解析】【分析】（1）利用三角恒等化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可得出函数()f x 的最小正周期，利用正弦型函数的对称性可得出函数()f x 的对称轴方程；（2）由已知条件可求出0πsin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值，利用同角三角函数的基本关系求出0πcos 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正弦公式可求得0π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】解：由题设有()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的最小正周期是2πT =，由()πππ42x k k +=+∈Z ，可得()ππ4x k k =+∈Z ，所以，函数()f x 的对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z .【小问2详解】解：由()05f x =0π3245x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即0π3sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()00,πx ∈，所以0ππ5π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．若0πππ,442x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则0πsin 42x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭与0π3sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，矛盾则0ππ,π42x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．从而0π4cos 45x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．于是000πππππ64646f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦00ππππsin cos cos sin 4646x x ⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦33413642525210⎫-=⨯-⨯=⎪⎪⎝⎭．20.如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角π3POQ ∠=，A 是扇形弧上的动点，过A 作OP 的平行线交OQ 于B ．记AOP α∠=．（1）求AB 的长（用α表示）；（2）求OAB 面积的最大值，并求此时角α的大小．【答案】（1）3cos sin 3AB αα=-（2）π6α=时，面积的最大值为312．【解析】【分析】（1）过A ，B 作OP 的垂线，垂足分别为C ，D ，由AB OD OC =-求解；（2）由11cos sin sin 223S AB BC ααα⎛⎫=⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭33sin 26612πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求解．【小问1详解】解：过A ，B 作OP 的垂线，垂足分别为C ，D，则cos OD α=，sin BC α=，OC ∴cos sin 3AB CD αα∴==-．【小问2详解】()11313cos sin sin sin 21cos 2223412S AB BC ααααα⎛⎫=⨯=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，31333sin 2cos 2sin 222126612πααα⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭．03πα<<，52666πππα∴<+<，262ππα∴+=，即6πα=时，61212S =-=最大，因此，当6πα=时，面积的最大值为12．21.已知函数()()e 1exxf x a -=-+．（1）当1a =-时，讨论()f x 的单调性（不必给出证明）；（2）当1a =时，求()f x 的值域；（3）若存在1x ，()2,0x ∈-∞，使得()()120f x f x ==，求1222e e x x +的取值范围．【答案】（1）()f x 在R 上单调递减（2）[)1,+∞（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据函数之差的单调性判断即可；（2）根据基本不等式求解即可（3）令()e 0,1x t=∈，再根据二次函数的零点存在性问题列式可得4a >，再根据韦达定理求解即可.【小问1详解】当1a =-时，()ee 1xx f x -=-+，因为e x y -=为减函数，e x y =为增函数，故()f x 在R 上单调递减；【小问2详解】当1a =时，()e e 111x x f x -=+-≥=，当且仅当0x =时取等号；所以()f x 的值域为[)1,+∞．【小问3详解】令()e 0,1x t=∈，则问题等价于存在1t ，()20,1∈t ，使得210at at -+=令()21gt at at =-+，因为()g t 在()0,1t ∈有两个零点，故()()200010101240a g g a a >⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎪->⎩，即201010101240a a a >⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎪->⎩解得4a >．由韦达定理和根的定义可知：121t t +=，121t t a=．()12222221212122e e 21x x t t t t t t a∴+=+=+-=-又因为4a >，故1222e e x x +的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用换元法，设()e 0,1x t =∈，将指数方程转化为一元二次方程，最后利用二次函数根的分布从而得到范围.22.二次函数()f x 的最大值为34，且满足()()22f x f x -=-，()114f =-，函数()()0k g x k x=≠．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若存在[]01,1x ∈-，使得()()00f x g x =，且()()f x g x -的所有零点构成的集合为M ，证明：[]1,1M ⊆-．【答案】（1）()234f x x =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知函数()f x 为偶函数，根据题意设()234f x ax =+，其中a<0，由()114f =-可求出a 的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）由()()0f x g x -=可得()22000304x x xx x x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，令()220034x x x x x ϕ=++-，分01x =、01x =-、()()01,00,1x ∈- 三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，直接利用零点存在定理可证得结论成立，综合可得出结论.【小问1详解】解：令2t x =-，由()()22f x f x -=-可得()()f t f t =-，所以，函数()f x 为偶函数，又因为二次函数()f x 的最大值为34，可设()234f x ax =+，其中a<0，则()31144f a =+=-，解得1a =-，所以，()234f x x =-.【小问2详解】解：因为()()00f x g x =，即20034k x x -=，所以30034k x x =-+，其中[)(]01,00,1x ∈- ．由()()0f x g x -=，化简可得330033044x x x x --+=即()22000304x x xx x x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭．令()220034x x x x x ϕ=++-，由判别式222000343304x x x ⎛⎫∆=--=-≥ ⎪⎝⎭，可知()0x ϕ=在R 上有解，①当01x =时，()2220031044x x x x x x x ϕ=++-=++=，此时[]1,11,12M ⎧⎫=-⊆-⎨⎬⎩⎭；②当01x =-时，()2220031044x x x x x x x ϕ=++-=-+=，此时[]1,11,12M ⎧⎫=⊆-⎨⎬⎩⎭；③当()()01,00,1x ∈- 时，()x ϕ的对称轴是011,222x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，因为2222000003330242444x x x x x ϕ⎛⎫-=-+-=-< ⎪⎝⎭，()22200000311110442x x x x x ϕ⎛⎫-=-+-=-+=-≥ ⎪⎝⎭，()22200000311110442x x x x x ϕ⎛⎫=++-=++=+≥ ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()x ϕ在区间01,2x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦、0,12x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上各有一个零点，不妨设函数()x ϕ在区间01,2x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦、0,12x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的零点分别为1x 、2x ，此时{}[]012,,1,1Mx x x =⊆-．综合①②③，[]1,1M⊆-成立．【点睛】关键点点睛：考察二次函数的零点，一般需要考虑以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号.。

陕西省高一上学期期末数学试题(解析版)

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册．考试时间：120分钟分值：150一、单选题1. “”是“”成立的（）,k k αβ=π+∈Z tan tan αβ=A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.【详解】当时，一定有，即必要性满足； tan tan αβ=,k k αβ=π+∈Z 当时，其正切值不存在，所以不满足充分性； 3,22ππαβ==所以“”是“”成立的必要不充分条件， ,k k αβ=π+∈Z tan tan αβ=故选：B.【点睛】关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切值不存在的情况. 2. 若，则下列不等式中，正确的是（） 110a b<<A. B. a b <22a b >C. D. a b ab +<11a b a b-<-【答案】C 【解析】【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】由，得，即，故A 错误； 110a b <<110,0,0a b a b abb a <<--=<0b a <<则，则，即，故B 错误； 0b a ->->()()22b a ->-22a b <则，，所以，故C 正确； 0a b +<0ab >a b ab +<则，所以，故D 错误； 11b a -<-11b a b a-<-故选：C3. 下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（）A.B. C. D.y =211x y x +=-121x y =-lg 10x y =【答案】D 【解析】【分析】求出各选项中函数的定义域与值域，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数的定义域为，值域为；y =[)1,+∞[)0,∞+对于B 选项，函数，定义域为，值域为； ()2132132111x x y x x x -++===+---{}1x x ≠{}2y y ≠对于C 选项，对于函数，有，可得，该函数的定义域为， 121xy =-210x -≠0x ≠{}0x x ≠当时，，则，此时， 0x <021x <<1210x -<-<1121x y =<--当时，，则，， 0x >21x >210x ->1021xy =>-故函数的值域为； 121x y =-()(),10,-∞-⋃+∞对于D 选项，函数的定义域为，值域也为. lg 10x y x ==()0,∞+()0,∞+故选：D.4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（）()22xy xx R =-∈A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项BD ，再通过计算确定答案. (0)10=>f 【详解】解：设，()222()2()22()xx xf x xR f x x x f x -=-∈∴-=-=-=，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项BD. ()f x y 当时，，所以排除C ，选择A. 0x =02(0)2010=-=>f 故选：A5. 已知点是第三象限的点，则的终边位于（） ()tan ,sin P θθθA. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．【详解】因为点是第三象限的点，所以，故的终边位于第四象限． ()tan ,sin P θθtan 0sin 0θθ<⎧⎨<⎩θ故选：D ．6. 已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是()()log 8a f x ax =-1a >()1f x >[]1,2a（） A. B.C.D.()4,+∞8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即()21f >可.【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递()()log 8a f x ax =-1a >8y ax =-log a y x =增，所以在定义域上单调递减，()()log 8a f x ax =-因为在区间上恒成立，所以恒成立，()1f x >[]1,2()()2log 821log a a f a a =->=所以，解得，即；821a a a ->⎧⎨>⎩813a <<81,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：C7. 设，，，则（）21log 3a =0.412b ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.C.D.c b a <<a b <a b c <<b a c <<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解. 【详解】是增函数，2log y x = ， 221log log 103a ∴=<=是减函数，在上是增函数，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 0.5y x =(0,)+∞0.40.50.51110223b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=>>=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cb ∴<<故选：B8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范()2020sin ,01log ,1x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩,,a b c ()()()f a f b f c ==a b c ++围是（）A. B.C.D.()1,2020()1,2021()2,2021[2]2021,【答案】C 【解析】【分析】在同一个坐标系内作出和y=m ,根据有三个交点，判断0<m <1，分析出的范围.()y f x =a b c ++【详解】如图示，由的图像关于对称，知，而由，得： sin x π12x =1a b +=()2020log 01c m m =<<，所以.12020c <<2a b c <++故选：C【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、多选题9. 下列各式中，值可取的是（） 1A. 22cos 15sin 15- B.2sin cos(3x x π-C.1sin cos cos sin 662ππ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x xD. tan10tan 35tan10tan 35++ 【答案】BD 【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式化简可判断A ；由两角和与差的正弦公式化简可判断BC ；. 由正切的两角和的展开公式化简可判断D. 【详解】，故A 错误；22cos 15sin 15cos30-==212sin cos 2sin cos sin cos 32⎛⎫π⎛⎫-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x x x x x11sin 22sin 2223π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭x x x 由得1sin 213π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭x 1sin 213π⎛⎫-≤-≤+ ⎪⎝⎭x 可得B 正确；.，故C 错误；11sin cos cos sin sin 066262πππ⎛⎫⎛⎫+-++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x ， ()tan10tan 35tan10tan 35tan 451tan10tan 35tan10tan 351++=-+= 故D 正确. 故选：BD.10. 下列结论正确的是（）A. 若，则0,0a b >>2112a b ab+≤+B. 函数的最小值为2πsin ((0,))sin 2y x x x =-∈C. 函数的值域为，则实数m 的取值范围是 222023()log (1)f x mx m x m ⎡⎤=-++⎣⎦R R D. 若函数，则在区间上单调递增. 27()f x x -=()f x (,0)-∞【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项利用差比较法判断；B 选项利用换元法以及函数的单调性进行判断；C 选项利用判别式进行判断；D 选项根据幂函数的单调性进行判断.【详解】A 选项，，，0a >0b >()()242211222a b aba b a b ab a b a b a b+-++-=-=+++，当且仅当时等号成立，所以，故A 选项正确.()()202a b a b -=≥+a b =2112a ba b+≤+B 选项，令，则， πsin ,0,2t x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()0,1t ∈函数在区间上递增，没有最小值.所以B 选项错误. 2y t t=-()0,1C 选项，函数的值域为， 222023()log (1)f x mx m x m ⎡⎤=-++⎣⎦R 当时，，值域为，符合题意. 0m =()()2023log f x x =-R 当时，，所以的值域为，符合题意.0m ≠()()2222422142110m m m m m ∆=+-=-+=-≥()f x R 综上所述，实数的取值范围是，C 选项正确. m R D 选项，函数，定义域是，，27271)(f xxx-==={}|0x x ≠()()f x f x -===是偶函数，在上递减，所以在区间上单调递增，D 选项正确.()f x ()0,∞+(,0)-∞故选：ACD11. 已知函数，则下列结论正确的是（）()()23log 2f x x x =-A. 函数的单调递增区间是 B. 函数的值域是 ()f x [)1,+∞()f x R C. 函数的图象关于对称 D. 不等式的解集是()f x 1x =()1f x <()1,3-【答案】BC 【解析】【分析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对A ：令，解得或，故的定义域为， 220x x ->2x >0x <()f x ()(),02,I ∞∞=-⋃+∵在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 3log y u =22u x x =-(),0∞-()2,∞+故在上单调递减，在上单调递增，A 错误；()f x (),0∞-()2,∞+对B ：∵，即的值域，()222111x x x -=--≥-22y x x =-[)1,M =-+∞∵，故函数的值域是，B 正确；()0,M +∞⊆()f x R 对C ：∵，即， ()()()()()32232log 222log 2f x x x x x f x ⎡⎤-=---=⎣-=⎦()()2=f x f x -故函数的图象关于对称，C 正确；()f x 1x =对D ：，且在定义域内单调递增，()()233log 21log 3f x x x =-<=3log y x =可得，解得或， 2023x x <-<23x <<10x -<<故不等式的解集是，D 错误.()1f x <()()1,02,3- 故选：BC.12. 已知函数，，则下列结论正确的是（）()2|1|22x a f x x x +=+++R a ∈A. 函数图象为轴对称图形 ()f x B. 函数在单调递减()f x (),1-∞-C. 存在实数，使得有三个不同的解m ()f x m =D. 存在实数a ，使得关于x 的不等式的解集为 ()5f x ≥(][),20,-∞-+∞ 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的对称性、单调性、方程的解、不等式的解等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】，()()212|1|22121x x x f x x a x a ++=+++=+++-，，()2121xf x x a -+=++-()()21211xf x x a f x --=++-=-+所以的图象关于直线对称，A 选项正确. ()f x =1x -由于函数在区间上递减，在区间上递减，()21y x =+(),1-∞-12x y +=(),1-∞-所以函数在单调递减，B 选项正确.()()21121x x x a f +=+++-(),1-∞-由上述分析可知：的图象关于直线对称，在区间上递减，在区间上()f x =1x -()f x (),1-∞-()1,-+∞递增，所以不存在实数使得有三个不同的解，C 选项错误.m ()f x m =有上述分析可知：的图象关于直线对称，在区间上递减，在区间上()f x =1x -()f x (),1-∞-()1,-+∞递增，令，解得， ()()112121501215f a f a ⎧-=++-=⎪⎨=++-=⎪⎩3a =此时不等式的解集为，D 选项正确. ()5f x ≥(][),20,-∞-+∞ 故选：ABD三、填空题13. 已知命题p ：，若命题P 为假命题，则实数a 的取值范围是___．2R,0x x ax a ∃∈-+<【答案】[0，4] 【解析】【分析】命题P 为假命题，则为真命题，进而求出a 的范围.p ⌝【详解】根据题意，恒成立，所以.2R,0x x ax a ∀∈-+≥[]2Δ400,4a a a =-≤⇒∈故答案为：. []0,414. 已知函数的最小正周期为，则的值为___________. πtan (0)6y ax a ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭π2a 【答案】 2±【解析】的值.a 【详解】解：函数的最小正周期为，所以. πtan (0)6y ax a ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭ππ2a =2a =±故答案为：.2±15. 已知，满足，，，，则αβπ04α<<π4π34β<<3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin αβ-=______．【答案】 5665-【解析】【分析】根据题意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结,ππs o 4s 4in c αβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭果.【详解】因为，则， π04α<<πππ442α<+<因为，则，π4π34β<<πππ24β<+<所以， 445πsin α⎛⎫+==⎪⎝⎭，5413πcos β⎛⎫+==- ⎪⎝⎭则 ()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππcos cos sin 444sin 4αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 453125651351365⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭故答案为: 5665-16. 定义为，中的最大值，函数的最小值为，如果函数{}max ,a b a b (){}1max 2,2x f x x -=-c 在R 上单调递减，则实数的取值范围为___________． ()()321,4,x m x x c g x m x c⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩m 【答案】 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据图象，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得()f x c ，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案． ()()321,14,1x m x x g x m x ⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩()()210013214m m m m⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-+≤⎩＜＜＜m【详解】由题意，在同一坐标系下画出的图象，可知12,2x y y x -==-，且 ()12,12,1x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩(1)1c f ==则，因为为减函数， ()()321,1g 4,1x m x x x mx ⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩()g x 必有，()()210013214m m m m ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-+≤⎩＜＜＜解可得：，即m 的取值范围为； 104m ≤＜10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为． 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦四、解答题17. 计算下列各式的值．（1）．121log 20.1lg511log 2+--（2）．()sin501⋅+ 【答案】（1）2+（2）1【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则、对数恒等式及对数运算性质，化简求解；（2）利用同角关系式、辅助角公式得到，再利用诱导公式及二倍角公式，化简求解． 2sin40sin50cos10⋅【小问1详解】解：，121log 20.1lg511log 2+--，()1211log 22lg51212log lg2=+++，l lg5g 12++=；2=+【小问2详解】，()sin501⋅ ，sin501⎛=⋅+ ⎝ ，sin50=⋅， 2sin40sin50cos10=⋅， 2sin40cos40cos10=． sin80cos101cos10cos10===18. 已知，函数的一个零点为1. (),0,a b ∈+∞()2f x ax x b =-+（1）求的最小值； 41a a b++（2）解关于的不等式x ()0f x ≤【答案】（1）10（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数零点可得，又，结合基本不等式即可求得的最小1a b +=(),0,a b ∈+∞41a a b++值；（2）解含参一元二次不等式不等式，由方程的两根，，比较两根大小，即可()0f x =11x =21a x a-=求得不等式的解集.【小问1详解】函数的一个零点为1，得即，又， ()2f x ax x b =-+()10f =1a b +=(),0,a b ∈+∞所以， ()414141411141610a b a a b a b a b a b a b +⎛⎫+=++=+++=++++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为10； 4b a a b =23a =13b =41a a b++【小问2详解】由整理得，因为，方程的两根，()0f x ≤()()110x ax a ⎡⎤---≤⎣⎦(),0,a b ∈+∞()0f x =11x = 21a x a-=①当时，原不等式为，则其解集为； 12a =()210x -≤{}1②当时，则，所以不等式的解集为； 112a <<11a a -<1,1a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦③当时，则，原不等式的解集为. 102a <<11a a ->11,a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦19. 某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>2πϕ<时，列表并填入了部分数据，见下表： x ωϕ+0 2ππ 32π 2π x 12π712π()sin A x ωϕ+0 0 2-（1）根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调()f x ()f x []0,2π递减区间.（2）求在区间上的最大值和最小值. ()f x 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）答案见解析（22-【解析】【分析】（1）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论, 进一步利用函数的定义域求出函数的值域, 进一步求出最大值和最小值.【小问1详解】根据五点法的表格，所以 ()2sin 32f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以的最小正周期 ()f x 22T ππ==令， 3222232k x k πππππ+≤+≤+Z k ∈解之得 7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈又，所以或 []0,2x π∈71212x ππ≤≤13191212x ππ≤≤即在上的单调递减区间为， ()f x []0,2π7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问2详解】由于 203x π-≤≤所以 233x πππ-+≤≤所以 1sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以 22sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭当即时，函数的最小值为; 232x ππ+=-512x π=-()f x 2-当即233x ππ+=0x =20. 设．()2cos sin cos 1f x x x x =++（1）求使不等式成立的的取值集合； ()32f x ≥x （2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向()f x 4π下平移个单位得到函数的图象．若不等式在上恒成立，求实数32()h x ()21cos 03h x x m +->0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭m 的取值范围．【答案】（1）；（2）． 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭13m ≤【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，因此等价于()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()32f x ≥，利用正弦函数的性质可求不等式的解集. sin 204x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭（2）根据图象变换可得，从而原不等式可化为在，()h x x =2111cos cos 232x x m -++>0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭换元后利用二次函数的性质可求的取值范围.m【详解】解：. ()cos 2111133sin 21sin 2cos 222222242x f x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭（1） ()32f x ≥332sin 204224x x ππ⎛⎫⎛⎫++≥⇔+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3222488k x k k x k k Z ππππππππ⇔≤+≤+⇔-+≤≤+∈所以原不等式的解集为：. 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,得()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；再向右平移个单位，得；最后向下平移个单位得到函数342y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4π32y x =+32， ()h x x =∴. ()222111111cos sin cos cos cos 323232h x x x x x x +=+=-++设，由可得：， cos t x =0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1t ∈则原不等式等价于：在上恒成立； 2111232t t m -++>()0,1设，，则在递增，在递减，所以， ()2111232g t t t =-++()0,1t ∈()g t 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()()113g t g >=所以． 13m ≤【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++将其化为的形式，再根据正弦函数的性质求与相关的不等式或方程的()()sin 2f x A x B ωϕ''=++()f x 求解问题．另外，含的二次式的恒成立问题，常通过换元转化为一元二次不等式在相应范围上的恒cos x 成立问题.21. 在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x 千件需另投入成本，当年产量不足60千件时，（万元），当()C x ()21102C x x x =+年产量不小于60千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期()6400511000C x x x=+-间，该公司生产的药品能全部售完．（1）写出利润（万元）关于年产量 x （千件）的函数解析式；()L x （2）该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？【答案】（1）； ()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.【解析】【分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本，可得出年利润060x ≤<60x ≥=-()L x（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；x （2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数的最大值及其对应的值，由此可得出结论.()L x x 【小问1详解】由题意可知，()()50200L x x C x =-+⎡⎤⎣⎦当时，， 060x ≤<()221110200402500220L x x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭=-当时，， 60x ≥()6400640050511000200800L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故有； ()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当时，， 060x ≤<()()21406006002L x x =-⋅-+≤即时，，40x =max 600y =当时，有， 60x ≥()6400800800640L x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭=-+-=当且仅当时，,80x =max 640y =因为，所以时，，640600>80x =max 640y =答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.22. 已知，函数 a ∈R ()()22log f x x x a =++（1）若函数过点，求此时函数的解析式；()f x ()1,1()f x （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求0a >1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x [],1t t +a 的取值范围.【答案】（1）()()22log f x x x =+（2） 94a ≥【解析】【分析】（1）将点代入可求出，进而得到解析式； ()1,1()()22log f x x x a =++a （2）由复合函数的单调性知在区间上单调递增，进而得到最大值与最小()()22log f x x x a =++[],1t t +值，再由已知得到问题的等价不等式对任意恒成立，构造新函数，求最值可得出22t t a -++≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦答案. 【小问1详解】解：因为函数过点，()f x ()1,1即，()()21log 21f a =+=解得，0a =故； ()()22log f x x x =+【小问2详解】因为是复合函数，设，， ()()22log f x x x a =++2()u x x x a =++()2log ()f x u x =，在区间单调递增，单调递增， 1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2()u x x x a ∴=++[],1t t +()2log ()f x u x =故函数在区间上单调递增，()f x [],1t t +， ()()()()2222min max ()log ,(1)log 32f x f t t t a f x f t t t a ∴==++=+=+++由题意对任意恒成立， (1)()1f t f t +-≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即对任意恒成立， ()()2222log 32log 1t t a t t a +++-++≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即对任意恒成立， 2232222t t a t t a +++≤++1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即对任意恒成立， 22t t a -++≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设，，只需即可，2()2g t t t =-++1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦max ()g t a ≤因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线， 2()2g t t t =-++12t =故在单调递减， 2()2g t t t =-++1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故， max 19()(24g t g ==故.94a ≥。

浙江省衢州市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检测试题数学含答案

衢州市2024年1月高一年级教学质量检测试卷数学（答案在最后）考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，22小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.选择题部分（共60分）一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,2A B =-=--，则A B ⋃=（）A.{}1- B.{}1,0,1,2- C.{}2,1,1,2-- D.{}2,1,0,1,2--2.“ln 0x ≤”是“1x ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数()()3e e x x f x xa -=-为偶函数，则a =（）A.-1B.0C.1D.e 4.31sin20cos20-= （）A.-4B.-2C.2D.45.已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()35cos ,sin 55αβα+==，则cos β=（）A.5-B.25C.5D.256.函数()()()()11132,,e ,ln 1x f x x g x x h x t x x -====+在[)1,∞+的图象如图所示，则曲线,,,a b c d 对应的函数分别为（）A.()()()(),,,h x f x t x g xB.()()()(),,,h x t x f x g xC.()()()(),,,h x t x g x f xD.()()()(),,,t x h x f x g x 7.根据气象部门提醒，在距离某基地正北方向588km 处的热带风暴中心正以21km /h 的速度沿南偏东45 方向移动，距离风暴中心441km 以内的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴中心影响的时长为（）A.7hB.14hC.()7hD.()7h 8.已知实数,x y 满足23log 4,42y x x y +=+=，则2x y +=（）A.2B.C.3D.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于直线π6x =-对称C.函数()f x 在区间ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减D.函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象向左平移π3个单位长度得到（）10.已知0,0,3a b a b ab >>+=，则（）A.49ab ≥ B.2289a b +≤C.43a b +≥ D.43a b +≥11.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意,x y ∈R ，都有()()()2f x y f x f y +=，当0x >时，()2f x >，则（）A.()02f =B.()f x 为奇函数C.()f x 的值域为()0,∞+ D.()f x 在R 上单调递增12.已知函数()()()121,0,lg ,0,x x f x g x f x m x x +⎧-≤⎪==-⎨>⎪⎩，则（）A.若函数()y g x =有3个零点，则()0,1m ∈B.函数()y f f x ⎡⎤=⎣⎦有3个零点C.m ∃∈R ，使得函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦有6个零点D.m ∀∈R ，函数()y g f x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数都不为4非选择题部分（共90分）三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.tan125sin223 __________0（填“>”或“<”）.14.213log 30270.228⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________.15.已知函数()22sin (1)1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=__________.16.已知12,x x 为方程()21120tan tan 3x x βαβ⎡⎤--+=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦的两个实数根，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，123x x =，则tan α的最大值为__________.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知集合{}{}2,112,20U A xa x a B x x x ==-≤≤+=+-≤R ∣∣.（1）若1a =，求()U A B ⋂ð；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且2cos 3α=-，终边上有两点()()1,,2,A a B b --.（1）求a b -的值；（2）若()0,πα∈，求()πcos 1sin22sin cos αααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值.19.（本小题满分12分）某汽车公司生产某品牌汽车的固定成本为48亿元，每生产1万台汽车还需投入2亿元，设该公司一年内共生产该品牌汽车x 万台并全部销售完，每万台的销售额为()R x 亿元，且()210,050,103947200,50.x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （亿元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（2）当年产量为多少万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.20.（本小题满分12分）函数()()π2cos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()ππ88g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.21.（本小题满分12分）已知函数()212,0,2,0.x x x f x a x x x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩（1）若函数()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()12f x x a ≥+在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()()12f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2-上单调递增，求a 的取值范围；（2）若0b >，关于x 的方程()2210f x x +-=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，满足123411114x x x x +++=，求36421b a ++的最小值.衢州市2024年1月高一年级教学质量检测试卷数学参考答案一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.>14.5215.216.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：由题意得[]2,1B =-（1）若1a =，则[]()()U 0,3,,21,A B ∞∞==--⋃+ð，所以()(]U 1,3A B ⋂=ð；（2）由A B A ⋃=知B A ⊆，所以12121a a -≤-⎧⎨+≥⎩，得3a ≥.18.（本小题满分12分）解：（1）法一：因为2cos 3α=-，所以tan 2α=±，所以()5tan 212a b α-==---法二：因为22cos ,cos 33αα==-==-，所以225,54a b ==，所以52a b -=（2）因为()0,πα∈，所以5sin 3α=，所以cos (1sin 2)sin (1sin 2)2sin cos sin cos παααααααα⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=++()sin sin cos ααα=+59-=19.（本小题满分12分）解：（1）当211050,102488481010x W x x x x x ⎛⎫<≤=---=-+- ⎪⎝⎭，当23947200720050,2483462x W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>=---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21848,050,1072003462,50x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当21050,84810x W x x <≤=-+-，当40x =时，W 最大，最大利润为()40112W =；当720050,3462x W x x ⎛⎫>=-+⎪⎝⎭，当72002x x =时，即60x =时，72002x x +最小为240，此时W 最大为106，因为106112<，所以当年产量为40万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大，最大利润为112亿元.20.（本小题满分12分）解：（1）设()f x 的周期为T ，区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为()f x 的112623T T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22π2π0233ωω⋅=-⇒=，由()0f =π2cos 6ϕϕ=⇒=，所以()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()πππ5π4cos 2cos 2881212g x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()5ππ5π2cos 2cos 212212g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π5π5π4sin 2cos 22sin 412126x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5π5π11π4666x ≤+≤，则5π1sin 41,62x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()g x 的值域为[]2,1-.21.（本小题满分12分）解：（1）当(],0x ∞∈-时，()31,16f x ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，由()f x 的值域为R 知0a <.（2）先考虑()12f x x a ≥+对()0,x ∞∈+恒成立.①若0a <，则当(x ∈时，()0f x <，不满足②若()10,2a f x x x ==≥对()0,x ∞∈+恒成立，满足③若()1110,0222a a f x x a x a x a x >≥+=+⇔+-≥对()0,x ∞∈+恒成立令()()1,0,2a g x x a x x∞=+-∈+，则只需min ()0g x ≥由于()12a g x x a a x =+-≥-所以0a ≥，解得02a <≤综上得02a ≤≤再证当02a ≤≤时()12f x x a ≥+对(],0x ∞∈-恒成立由于02a ≤≤，故当(],0x ∞∈-时，()211222f x x x x a =++≥+由220x x ++≥得()21112222f x x x x x a =++≥-≥--所以()12f x x a ≥+.所以a 的取值范围是[]0,2.22.（本小题满分12分）解：（1）由题意可知()f x 需在区间()1,2-上单调递减，所以22a -≥，则4a ≤-（2）设()0f x =的两根分别为,()αβαβ<，不妨设1234x x x x <<<，则()()()2222121210f x x x x x x αβ+-=+--+--=，所以14,x x 为2210x x β+--=的两个根，23,x x 为2210x x α+--=的两个根，由韦达定理得：141423231,2,1,2x x x x x x x x βα⋅=--+=-⋅=--+=-，所以231412341423111122411x x x x x x x x x x x x αβ+++=+=+=++++，所以()22224111αβαβαβαβ+++==+++++，再由韦达定理得,b a αβαβ=+=-，所以221a b a -+=-+，所以20a b =>，所以36364411112141b b a b +=++-≥++，当且仅当55,24a b ==时取等号.又因为此时()25524f x x x =++在()2,x ∞∈-+有两个不同的根，。

高一数学期末考试试卷及答案2023

高一数学期末考试试卷及答案2023高一上学期数学期末考试试卷及答案考号班级姓名一、选择题(每小题5分，共60分)1.已知a=2，集合A={x|x≤2}，则下列表示正确的是( ).A.a∈AB.a/∈ AC.{a｝∈AD.a⊆A2.集合S={a，b｝，含有元素a的S的子集共有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知集合M={x|x3｝，N={x|log2x1｝，则M∩N=( ).A. B.{x|04.函数y=4-x的定义域是( ).A.[4，+∞)B.(4，+∞)C.-∞，4]D.(-∞，4)5.国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x (km) 0邮资y (元) 5.00 6.00 7.00 8.00 …如果某人在南京要快递800g的包裹到距南京1200km的某地，那么他应付的邮资是( ).A.5.00元B.6.00元C.7.00元D.8.00元6.幂函数y=x(是常数)的图象( ).A.一定经过点(0，0)B.一定经过点(1，-1)C.一定经过点(-1，D.一定经过点(1，1)7.0.44，1与40.4的大小关系是( ).A.0.4440.41B.0.44140.4C.10.4440.4D.l40.40.448.在同一坐标系中，函数y=2-x与y=log2x的图象是( ).A. B. C. D.9.方程x3=x+1的根所在的区间是( ).A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)10.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是( ).A.y=-1xB.y=xC.y=x2D.y=1-x11.若函数f (x)=13-x-1 +a是奇函数，则实数a的值为 ( ).A.12B.-12C.2D.-212.设集合A={0，1｝，B={2，3｝，定义集合运算：A⊙B={z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，则集合A⊙B中的所有元素之和为( ).A.0B.6C.12D.18二、填空题(每小题5分，共30分)13.集合S={1，2，3｝，集合T={2，3，4，5｝，则S∩T= .14.已知集合U={x|-3≤x≤3｝，M={x|-115.如果f (x)=x2+1(x≤0)，-2x(x0)，那么f (f (1))= .16.若函数f(x)=ax3+bx+7，且f(5)=3，则f(-5)=__________.17.已知2x+2-x=5，则4x+4-x的值是 .18.在下列从A到B的对应： (1)A=R，B=R，对应法则f：x→y=x2 ; (2) A=R，B=R，对应法则f：x→y=1x-3; (3)A=(0，+∞)，B={y|y≠0}，对应法则f：x→y=±x;(4)A=N__，B={-1，1}，对应法则f：x→y=(-1)x 其中是函数的有 .(只填写序号)三、解答题(共70分)19.(本题满分10分)计算：2log32-log3329+log38- .20.(本题满分10分)已知U=R，A={x|-1≤x≤3｝，B={x|x-a0｝.(1)若A B，求实数a的取值范围;(2) 若A∩B≠，求实数a的取值范围.21.(本题满分12分)已知二次函数的图象如图所示.(1)写出该函数的零点;(2)写出该函数的解析式.22.(本题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x)，g(x)=lg(2-x)，设h(x)=f(x)+g(x).(1)求函数h(x)的定义域;(2)判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由.23.(本题满分12分)销售甲、乙两种商品所得利润分别是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金t(万元)的关系有经验公式P=35t，Q=15t.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x(万元).求：(1)经营甲、乙两种商品的总利润y(万元)关于x的函数表达式;(2)总利润y的最大值.24.(本题满分14分)已知函数f (x)=1x2.(1)判断f (x)在区间(0，+∞)的单调性，并用定义证明;(2)写出函数f (x)=1x2的单调区间.试卷答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.A2.B3. D4.C5.C6.D7.B8.A9.B 10.D 11.A 12.D[二、填空题(每小题5分，共30分)13.{2，3｝14.[-3，-1]∪[1，3] 15.5 16.11 17.23 18.(1)(4)三、解答题(共70分)19.解原式=log34-log3329+log38-3=log3(4×932×8)-3=log39-3=2-3=-1.20.解(1)B={x|x-a0｝={x|xa｝.由A B，得a-1，即a的取值范围是{a| a-1｝;(2)由A∩B≠，则a3，即a的取值范围是{a| a3｝.21.(1)函数的零点是-1，3;(2)函数的解析式是y=x2-2x-3.22.解(1)由2+x0，2-x0，得-2(2) ∵h(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=h(x)，∴h(x)是偶函数.23.解(1)根据题意，得y=35x+15(3-x)，x∈[0，3].(2) y=-15(x-32)2+2120.∵32∈[0，3]，∴当x=32时，即x=94时，y最大值=2120.答：总利润的最大值是2120万元.24.解(1) f (x)在区间(0，+∞)为单调减函数.证明如下：设0因为00，x2-x10，x2+x10，即(x2-x1)( x2+x1)x12x220.所以f (x1)-f (x2) 0，即所以f (x1) f (x2)，f (x)在区间(0，+∞)为单调减函数.(2) f (x)=1x2的单调减区间(0，+∞);f (x)=1x2的单调增区间(—∞，0).高一数学知识点总结大全一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

高一上学期期末考试数学试卷

高一上学期数学期末试卷一、选择题(5′×12=60′）1．设集合},2,1,0,2{}2,0,2{},1,0{}1,0,1{-=-⋃=-⋂A A 则满足上述条件的集合A 的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若)21(),0(1)]([,21)(22g x x x x f g x x f 则≠-=-=的值为（）A ．1B ．3C ．15D ．303．奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+=+∞的表达式为 f (x )= （） A ．x x +- B ．x x -- C ．x x -+- D ．x x --- 4．设f(x)是定义在R 上的偶函数，它在)(log ,0)31(,),0[81>>+∞x f f 则不等式且上为增函数的解集为（）A ．)21,0(B ．（2，+∞）C ．),2()1,21(+∞⋃D ．),2()21,0(+∞⋃5．已知a x ax y a则的减函数上为在,]1,0[)2(log -=的取值范围为（）A ．（0,1)B ．（1，2）C ．(0，2)D ．),2[+∞6．在等差数列｛a n ｝中，公差4231731,,,,0a aa aa a a d ++≠则成等比数列且的值为（） A ．43B ．32C ．65D ．1 7．等差数列｛a n }中，a 10〈0， a 11〉0， a 11〉｜a 10｜， S n 为前n项和，则有（）B ．S 1，S 2，…，S 19都小于0,S 20,S 21,…都大于0C ．S 1，S 2，…，S 5都小于0，S 6,S 7，…都大于0D ．S 1，S 2,…，S 20都大于0，S 21，S 22，…都小于08．某商品零售价2000年比1999年上涨25%，欲控制2001年比1999年上涨10%，则2001年比2000年应降价 ( )A ．15%B ．12%C ．10％D ．5%9．设)()()(,0,0,0,,,,)(3211332213213x f x f x f x x x x x x R xx x x x x f ++>+>+>+∈--=则且的值（） A ．一定大于零 B ．一定小于零 C ．小于等于零D ．正负均有可能10．一等比数列｛a n }的首项a 1=2-5，前11项的几何平均数为25，现从这11项中抽去一项，下余的十项的几何平均数为24,则抽去的一定是（）A ．第8页B ．第9页C ．第10页D ．第11页11．从1998年到2001年期间,甲每年5月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄,若年利率为t 保持不变且计复利，到2002年5月1日，甲仅去取款,则可取回本息共（）A ．元4)1(t m + B ．元5)1(t m + C ．元)]1()1[(4t t t m +-+ D ．元)]1()1[(5t t tm +-+12．设函数f （x ）是实数集上的奇函数,且满足),1(log )(,)1,0(),()1(21x x f x x f x f -=∈-=+时当则f （x )在（1，2）上是 ( ）A ．增函数且f (x ）〈0B ．增函数且f （x )〉0C ．减函数且f （x ）<0D ．减函数且f (x )〉013．已知函数⎩⎨⎧<+≥=)4()2()4(2)(x x f x x f x，那么)3(log 21f 的值为 .14．已知y =f （x )为偶函数，且在),0[+∞上是减函数，则f （1－x 2）的增函数区间为。

浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷

镇海中学2023学年第一学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2024πcos 3=（）A.12-B.12C. D.322.已知OA = ，1OB = ，且OA ，OB 的夹角为3π4，则AB = （）A.1B.C.2D.3.为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A.向左平移π15个单位长度 B.向右平移π15个单位长度C.向右平移π3个单位长度 D.向左平移π3个单位长度4.已知a =，且满足5π,6a = ，则a 在b 上的投影向量为（）A.B. C.3b D.3b -5.已知π1tan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2sin 22αα++=（）A.75B.85C.95D.26.若 1.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22ππcossin 1212b =-，23π2tan83π1tan 8c =+，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.c a b << D.c b a<<7.在ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足3EC BE =，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 作一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM mCA =，CN nCB =，则m n +的最小值为（）A.435+B.45+ C.75D.1658.已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα︒-+︒+=︒-，求tan α=（）A.3B.3-C.D.二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.9.已知函数()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.相位为π26x +B.对称中心为()ππ,012k -+，k ∈ZC.函数()f x 的单调递减区间是πππ,π36k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.将函数()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数π2sin 16y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象10.下列说法正确的是（）A.已知a ，b为平面内两个不共线的向量，则{},3a b a b +-+ 可作为平面的一组基底B.//a b ，则存在唯一实数λ，使得a bλ=C.两个非零向量a ，b ，若2323a b a b +=-+ ，则a 与b共线且反向D.ABC 中，12AB AC AB AC ⋅= ，()()0AB AC AB AC -⋅+=，则ABC 为等边三角形11.已知函数()4cos 2cos f x x x=+，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 为偶函数C.()f x 的图象关于()π,1对称D.()f x 的值域为][(),35,∞∞--⋃+12.已知函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()g x f x t =-（0t >）有2n 个零点，记为1x ，2x ，…，21n x -，2n x ，且12212n n x x x x -<<⋅⋅⋅<<，则下列结论正确的是（）A.()0,2t ∈B.()12,2x x ∞+∈--C.345512,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D.()3452122182n n x x x x x -+++⋅⋅⋅++=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知一个扇形的面积和弧长均为π，则该扇形的圆心角为______.14.设1e ，2e 为两个单位向量，且212π,3e e = ，若12e e λ+ 与1234e e + 垂直，则λ=______.15.已知5πsin 2245x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且(),2x ∈ππ，则3πcos 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.16.函数()()()sin 32sin cos 2f x x x ωϕϕωϕ=+-+（0ω>，0πϕ<<），设T 为函数()f x 的最小正周期，142T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数()f x 在()π,2π上单调，则ω的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.单位向量a ，b 满足()()223a b a b +⋅-=- .（1）求a 与b夹角的余弦值：（2）若ka b + 与3a b +的夹角为锐角，求实数k 的取值范围.18.已知()()()()()()()πsin 3πcos cos 2πtan π23πcos πsin sin tan π2f ααααααααα⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且满足()()1103f f αα+=-，求cos 2π4αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.19.如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形ABCD 所示），其中O 为生活区入口.已知有三条路AB ，BC ，AD ，路AD 上有一个观赏塘T ，其中300m AT =，路BC 上有一个风雨走廊的入口L ，其中200m BL =.现要修建两条路OT ，OL ，修建OT ，OL 费用成本分别为2/m λ，3/m λ.设TOA α∠=.（1）当600m AO =，200m BO =时，求张角TOL ∠的正切值；（2）当OT OL ⊥时，求当α取多少时，修建OT ，OL 的总费用最少，并求出此的总费用.20.已知向量()1,2a =r，()cos ,sin b αα= ，()1,0c =- .（1）求b c +的最大值，并求此时α的值；（2）若0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求⋅ a b 的取值范围.21.如图是函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象,其中0ω>,0πϕ<<.其中B 为图象最高点,,C D 为图象与x 轴的交点,且BCD △为等腰直角三角形,2CD =,______.（从下面三个条件中任选一个,补充在橫线处并解答）①1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数；③()202f =（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()21π2g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,不等式()2sin 46m x g x m -≤-对于x ∀∈R 恒成立,求m 的取值范围.22.函数()2sin 222sin 24f x x x t t π⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭，最大值为()M t ，最小值为()m t .（1）设()()()g t M t m t =-，求()g t ；（2）设s R ∈，若()6f x s +≤对x R ∈恒成立，求s t +的取值范围.。

高一数学第一学期期末考试试卷(共5套,含参考答案)

高一第一学期期末考试数学试卷满分：150分时间: 120分钟一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|27,|1,A x x B x x x N =-<<=>∈，则AB 的元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( ) A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α⊂3.方程的1xe x =的根所在的区间是（）． A.)21,0( B.)1,21( C.)23,1( D.)2,23(4.函数y=x （x 2-1）的大致图象是( )5.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（） A.90°B.60°C.45°D.30°6.长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =3AD =，则长方体1111ABCD A B C D - 的外接球的直径为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.57.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240°8.如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( ) A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1角为60°9.若方程1ln 02xx a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有两个不等的实数根，则a 的取值范围是（）A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞10.某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积是（）A.65B.6C.2D.511.已知函数()22log f x x x =+，则不等式()()120f x f +-<的解集为（）A. ()(),13,-∞-⋃+∞B. ()(),31,-∞-⋃+∞C. ()()3,11,1--⋃-D. ()()1,11,3-⋃12.已知()()()2,log 0,1x a f x ag x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是( )二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知不等式062<-+px x 的解集为{|32}x x -<<，则p = .14.2lg 2＝ _________15.函数()lg 21y x =+的定义域是______________________. 16.函数x21f x =-log x+23⎛⎫⎪⎝⎭（）（）在区间[－1,1]上的最大值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）全集R U =，函数()lg(3)f x x =+-的定义域为集合A ，集合{}02<-=a x x B ．（1）求U A ð；（2）若A B A = ,求实数a 的取值范围．18.（本题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=)0(,1)1(log )0(,2)21()(2x x x x f x（1）求)(x f 的零点；（2）求不等式()0f x >的解集.19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠A ＝90°，BD ⊥DC ，将△ABD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面BDC. (1) 求证:平面EBD ⊥平面EDC ； (2) 求ED 与BC 所成的角．20．(1２分)一块边长为10 cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．(1)试把容器的容积V 表示为x 的函数； (2)若x ＝6，求图2的正视图的面积．21.（本小题满分12分）在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，1AB =，1AA ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 侧面11A ABB .（Ⅰ）证明：1AB BC ⊥；（Ⅱ）若OA OC =，求点1B 到平面ABC 的距离.1A A1B B1C COD22．（本小题满分12分）已知函数4()log (41)x f x kx =++(k ∈R )，且满足(1)(1)f f -=．（1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求a 的取值范围；（3）若函数1()2()421f x xx h x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m 使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.高一第一学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 1 14. 2 15. 16. 316.解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.答案：3三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：(1)∵⎩⎨⎧>->+0302x x ∴23x -<<…………………………………3分∴A=(-2,3) ∴(][)23u C A =-∞-+∞，，……………………………5分（2）当0≤a 时，φ=B 满足A B A = ……………………………6分当0>a 时，)(a a B ，-= ∵AB A = ∴A B ⊆[]∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-32a a ， ∴40≤<a ……………………………9分综上所述：实数a 的范围是4≤a ……………………………………10分18.解：（1）由0)(=x f 得，⎪⎩⎪⎨⎧=-≤02)21(0x x 或⎩⎨⎧=-+>01)1(log 02x x ，解得1-=x 或1=x .所以，函数)(x f 的零点是—1，1..................................6分（2）由()0f x >得，01()202xx ≤⎧⎪⎨->⎪⎩或20log (1)10x x >⎧⎨+->⎩，解得1x <-或1x >.所以，不等式1)(>x f 的解集是{x |1x <-或1x >}.................................12分19.(1) 证明：∵平面EBD ⊥平面BDC ，且平面EBD ∩平面BDC ＝BD ，CD ⊥BD ， ∴CD ⊥平面EBD ， ∵CD 平面EDC ，∴平面EBD ⊥平面EDC.……………………………6分 (2) 解：如答图，连接EA ，取BD 的中点M ，连接AM ，EM ， ∵AD ∥BC ，∴∠EDA 即为ED 与BC 所成的角．又∵AD ＝AB ，∴ED ＝EB. ∴EM ⊥BD ，∴EM ⊥平面ABCD.设AB ＝a ，则ED ＝AD ＝a ，EM ＝MA ， ∴AE ＝a ，∴∠EDA ＝60°.即ED 与BC 所成的角为60°……………………………１２分20.(12分)解 (1)设所截等腰三角形的底边边长为x cm. 在Rt △EOF 中，EF ＝5 cm ，OF ＝12x cm ，所以EO ＝25－14x 2.于是V ＝13x225－14x 2(cm 3)．依题意函数的定义域为{x|0<x<10}．……………………………６分(2)正视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长＝AB ＝6，底边上的高为四棱锥的高＝EO ＝25－14x 2＝4，S ＝4×62＝12(cm 2)．……………………………１２分21.解：(1),由得又即又又BD 与CO 交于O 点，又……………………………６分(2),,又AB=1，可得，由得……………………………１２分22．解析：（1）(1)(1)f f -=，即144log (41)log (41)k k -+-=++444512log log 5log 144k ∴=-==- ∴12k =- ………………………………………………………………………… ………5分（2）由题意知方程411log (41)22x x x a +-=+即方程4=log (41)x a x +-无解, 令4()log (41)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点444411()log 41)log log (1)44x x x xg x x +=+-==+（任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12044x x <<，121144x x ∴>. 12124411()()log 1log 1044x x g x g x ⎛⎫⎛⎫∴-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴在(),-∞+∞上是单调减函数.1114x +>， 41()log 104xg x ⎛⎫∴=+> ⎪⎝⎭. ∴a 的取值范围是(],0.-∞ ……………………………………………………………… 9分注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分。

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知三个数－2，x，3成等差数列，则x＝（）。

A．21 B．21 C．－1 D． 1
2、不在623yx表示的平面区域内的点是（）。
A．（0，0） B．（1，1） C．（1，2） D．（0，2）

3、若ab，则下列各式中正确的是（）。
A．22ab B．11ab C．33ab D．a-b<0

4、已知△ABC中，a=2，b=3，B=60°，那么角A＝（）。
A．30° B．45° C．90° D．135°

5、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 ＝（）。
A．15 B．16 C．17 D．18

6、在△ABC中，有sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为（）。
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形

7、已知x＞0，当16xx 取最小值时x的值为（）。
A.2 B.3 C.4 D.16
8、已知数列{an}的前n项为12,3 ,112,8,212...的通项公式为（）。

A. an＝542n B. an＝322n C. an＝652n D. an＝1092n
9、已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，则{an}的通项公式为（）。
A. an＝2n B. an＝n＋1 C. an＝3n－1 D. an＝3n

10、已知x、y满足约束条件 226xyxy，则2 x＋4y的最大值为（）。
A.12 B.16 C.20 D.30
11、在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若2223acbac，则角B
的值为（）。
A．6或56 B．3或23 C．3 D.
6



12、关于x的方程02coscoscos22CBAxx有一个根为1，则△ABC一定是（）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知{na}为等比数列，112a，224a，则3a 。
14 、不等式023xx的解集为。
15、在各项都为正数的等比数列{na}中，252645324aaaaaa，则
53aa
。

16、已知钝角三角形ABC的最大边长是2，其余两边长分别是ba,，则集合
,|),{(axyxP
}by
所表示的平面图形的面积是。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）
一个等比数列的第2项是10，第3项是20，且它的前n项和为Sn，求：

（1）该数列的通项公式；（2）5S的值。

18、（本小题满分10分）
已知332)(2xxxf，23)(2xxxg。
（1）解不等式()gx＜0；（2）用比较法比较()fx与()gx的大小。

19、（本小题满分12分）
等差数列{na}中，a4＝－15，公差d＝3，求：
（1）{na}的通项公式；（2）数列{na}的前n项和nS的最小值。
20、（本小题满分12分）
在△ABC中，已知53cosA，ABAC＝3，（1）求△ABC的面积；（2）若b＋c＝6，求a。

21、（本小题满分13分）
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c－a=2bcos A。

(1)求角B的大小; (2)若b=23 错误！未找到引用源。,求a+c的最大值。

22、（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2 n＋a（a为常数，n∈N*）。
（1）求a1，a2，a3；（2）若数列{an}为等比数列，求常数a的值及an；
（3）对于（2）中的an，记f (n)＝λ·a2n＋1―4λ·an＋1―3，若f (n)＜0对任意的正整数n恒
成立，求实数λ的取值范围。
《数学参考答案》
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C B A A C A A C D D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
（13） 48 （14）{ x | x＜－3或x＞2} （15）5 （16） π－2

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）

解： (1) q＝2 ∴a1＝5 an＝5·2n－1 （2） S5＝21)21(55＝155
18、（本小题满分10分）
解：（1）解集为{ x | 1＜x＜2}；（2） ∵()fx－()gx＝x2＋1＞0 ∴()fx＞()gx

19、（本小题满分12分）
解：（1）由已知可得a1＝5 ∴ an＝3n－27

（2） (法1)：令3n－27≤０  n≤9 ∴（Sn）max＝S8＝S9＝－108

(法2)：由等差数列前n项和公式得 Sn＝)17(232nn （*Nn）
∵ 该函数的对称轴为5.8217n ∴（Sn）min＝S8＝S9＝－108
20、（本小题满分12分）
解：（1） ∵ AABACABACcos||||53||||ABAC＝3

∴ ||||ABAC＝5 3分
又由53cosA，),0(A得54sinA
∴ S△ABC＝21 |AC| |AB| sinA＝2 6分
（2）由（1）可知bc＝|AC| |AB|＝5
∴ 根据余弦定理可得 a2＝b2＋c2－2bc·cosA 9分
＝（b＋c）2―2bc―2bc·cosA
＝20 11分

∴52a 13分
21、（本小题满分13分）
解:(1)∵2c-a=2bcos A, ∴根据正弦定理,得2sin C-sin A=2sin Bcos A.① ......................2分
∵A+B=π－C, ∴sin C=sin(A+B)=sin Bcos A+cos Bsin A,
代入①式,得2sin Bcos A=2sin Bcos A+2cos Bsin A-sin A, 化简得(2cos B－1)sin A=0.

∵A是三角形的内角,∴sin A>0, ∴2cos B-1=0,解得cos B=12 错误！未找到引用
源。, .......................5分
∵B∈(0,π),∴B=3 错误！未找到引用
源。. .......................7分
(2)（法1）由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得12=a2+c2-ac.即(a+c)2-3ac=12, .......................9分

∴12≥(a+c)2－34 错误！未找到引用源。(a+c)2,当且仅当a=c=23错误！未找到
引用源。时取等号, .........................11分
∴a+c≤4错误！未找到引用源。, 即a+c的最大值为4错误！未找到引用
源。. ........................13分

（法2）由（1）可知A＋C＝23 ，∴C=23－A，且A∈（0，23）
又由正弦定理得a＋c＝sinbB （sinA＋sinC）＝4[sinA＋sin(23－A)]
＝43sin（A＋6） ......................10分
又∵A∈（0，23） ∴A＋6∈（6，56）
∴sin（A＋6）∈（12 ，1]， ∴（a＋c）max＝43 ........................13分

21、（本小题满分13分）
解：（1） a1＝2＋a， a2＝2， a3＝4； 3分
（2） ∵ 数列{an}为等比数列
∴ a1 a3＝a22 即（2＋a）4＝4； ∴ a＝－1； 4分

∴ a1＝1 q＝12aa＝2
∴ an ＝2 n－1 （n∈N*） 6分

（3）由（2）可知f (n)＝λ·a2n＋1―4λ·an＋1―3＝λ·2 2n―4λ·2 n―3 （n∈N*）
令t＝2 n (t≥2， t∈N*)
则f (n)＜0对任意的正整数n恒成立，可转化为
不等式 λ t 2―4λ t―3＜0 对t≥2（ t∈N*）恒成立。 8分
① 当λ＝0时，不等式可化为―3＜0，是恒成立的，∴ λ＝0 10分
② 当λ≠0时，令g ( t )＝λ t 2―4λ t―3 (t≥2， t∈N*)
则有 λ＜0
g ( t )max＝g ( 2 )＝―4λ
―3 ＜0
∴ 43＜λ＜0 12分
综上所述 λ∈]0,43( 13分