高一年级下学期期中考试数学试卷及答案
2024年一年级数学(下册)期中试卷及答案(完美版)
2024年一年级数学(下册)期中试卷及答案（完美版）(时间：60分钟分数：100分)班级：姓名：分数：一、计算小能手（20分）1、直接写出得数．30＋50＝ 38＋20＝ 15－7＝ 40－30＝ 9＋6＝14－7＝ 100－60＝ 62－2＝ 17＋8＝ 13－7＝25－5＝ 4＋9＝ 51＋8＝ 33－3＝ 50＋21＝8＋12＝ 57－8＝ 4＋30＝ 9＋71＝ 6＋54＝二、填空题。
（共20分）1、100是由（）个十组成的．2、最大的两位数是（），最小的两位数是（）。
3、人民币的单位有（）、（）、（）．4、1张可以换（）张。
5、小红做了14朵花，送给小明5朵，自己还剩下（）朵花。
6、个位上是2，十位上是1的数是（）．7、用20元钱，正好可以买（）辆玩具汽车，也正好可以买（）条裙子，最多可以买（）顶帽子。
8、50添上（）个十是80．9、与70相邻的两个数是（）和（）。
10、笔算加、减法应注意：（）对齐，从（）位算起。
三、我会选。
（10分）1、用4个摆两位数，能摆出（）个。
A．3 B．4 C．52、看图列式计算，正确的是（）。
A．8－5＝3 B．13－8＝5 C．8＋5＝133、小玲画了一排小花，其中一朵黄花从左数在第2个，从右数在第3个，这一行花有（）朵．A．3 B．4 C．54、下面（）的钱数最多．A．1 张10元B．5 张1 元C．1 张5 元5、下面说法正确的是（）。
A．苹果宝宝既在西瓜的上面，又在梨宝宝的左面。
B．梨宝宝既在西瓜的上面，又在苹果宝宝的右面。
C．柚子宝宝既在梨宝宝的下面，又在西瓜的左面。
四、数一数，填一填。
（10分）1、.(1)有_____个，有_____个．(2)_____比_____多，_____比_____少．(填“”或“”)(3)如果添上_____个，和同样多．(4)如果去掉_____个，和同样多．五、看图列式计算。
（16分）1、.2、.（个）六、解决问题。
2022-2023学年福建省厦门市高一年级下册学期期中考试数学试题【含答案】
福建省厦门市2022—2023学年度第二学期期中考试高一年数学试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数22iz i +=-，则复数z 的模为（）．A.2B.5C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算，先化简z ；再由复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为复数()222342555i i z ii ++===+-，所以91612525z =+=．故选：C ．2.已知平面向量()1,a m = ，(),2b n = ，()3,6c = ，若a c ∥ ，b c ⊥，则实数m 与n 的和为()A.6B.6- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据a c ∥ 、b c ⊥分别求出m 和n 即可．【详解】a ∥c，1236mm ∴=⇒=；b c ⊥ ，0b c ∴⋅=，31204n n ∴+=⇒=-；242m n ∴+=-=-．故选：D ．3.已知圆锥PO ，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，顶角为2π3的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（）A.26πmB.263πm C.233πm D.2123πm 【答案】B 【解析】【分析】运用圆锥侧面积公式计算即可.【详解】如图所示，设圆锥的半径为r ，母线为l ，由题意知，132r OB AB ===，在Rt POB △中，112ππ2233BPO BPA ∠=∠=⨯=，所以323π3sin 32OB l BP ====，所以圆锥侧面积为2ππ32363πm rl =⨯⨯=.故选：B.4.中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为（）A.360πsin 2n n︒≈B.180πsinn n ︒≈ C.360π21cos n n ︒⎛⎫≈- ⎪⎝⎭ D.180π1cos 2n n︒≈-【答案】A 【解析】【分析】设圆的半径为r ，由题意可得221360πsin2r n r n ︒≈⋅⋅⋅，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面即可得：221360πsin2r n r n︒≈⋅⋅⋅，解得：360πsin 2n n ︒≈.故选：A .5.在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABC 的面积为3，则sin aA为（）．A.8381B.2393C.2633D.27【答案】B 【解析】【分析】由已知条件，先根据三角形面积公式求出c 的值，然后利用余弦定理求出a 的值，即可得sin aA的值.【详解】解：在ABC 中，因为60A ∠=︒，1b =，ABC 的面积为3，所以113sin 12223ABC bc A S c ==⨯⨯⨯= ，所以4c =，因为2222212cos 14214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以13a =，所以13239sin 332a A ==.故选：B.6.已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//,//,//m n αβαβ，则//m nB.若//,//,m m n αβαβ⋂=，则//m nC.若//,//αβn n ，则//αβD.若//,m n n α⊂，则//m α【答案】B 【解析】【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断//m n 或,m n 异面；B ：结合线面平行的性质可判断//m n ；C ：结合线面的位置关系可判断//αβ或,αβ相交；D ：结合线面的位置关系可判断//m α或m α⊂.【详解】A ：若//,//,//m n αβαβ，则//m n 或,m n 异面，故A 错误；B ：因为//m α，所以在平面α内存在不同于n 的直线l ，使得//l m ，则l //β，从而//l n ，故//m n ，故B 正确；C ：若//,//αβn n ，则//αβ或,αβ相交，故C 错误；D ：若//,m n n α⊂，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，棱柱的侧面均为矩形，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.3B.2C.5D.7【答案】D 【解析】【分析】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解AC '即可.【详解】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1C AP PC AP PC A '++'=≥，如图，当,,A P C '三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：2212cos 332323AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=,所以112A C =，即12A C '=,在三角形1A AB 中，11AA =，3AB =，由勾股定理可得：2211132A B AA AB =+=+=,且160AA B ∠=︒.同理可求：12C B =，因为11112A B BC A C ===，所以11A BC V 为等边三角形，所以1160BA C ∠=︒，所以在三角形1AAC '中，111120AA C AA B BA C ''∠=∠+∠=︒,111,2AA A C '==,由余弦定理得：11421272AC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D.8.已知ABC 中，π3A ∠=，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD DC =，BAE CAE ∠=∠，192AD =，635AE =，则BC 长度为（）A.19 B.23 C.7 D.6319-【答案】C 【解析】【分析】由BAE CAE ABCS S S +=△△△可得出56b c bc +=，由1()2AD AB AC =+ 两边平方可求得,,bc b c +然后在ABC 中利用余弦定理可求得答案.【详解】如图，记,,BC a AC b AB c ===,BAE CAE ABC S S S += △△△，π6BAE CAE ∠=∠=，635AE =，1631631sin sin sin 25625623πππc b bc ∴⨯⨯+⨯⨯=，333()104b c bc ∴+=，即56b c bc +=，1()2AD AB AC =+ ，192AD =，()()2222211244AD AB AB AC AC b c bc ∴=+⋅+=++ 2211125119()()4443644b c bc bc bc =+-=⨯-=，即225()366840bc bc --=，(6)(25114)0bc bc -+=，6,5,bc b c ∴=∴+=在ABC 中，2222222cos()32513π87a b c bc b c bc b c bc =+-=+-=+-=-=,7BC a ∴==.故选：C.二、选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O 与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）A.圆台的母线长为4B.圆台的高为4C.圆台的表面积为26πD.球O 的表面积为12π【答案】ACD 【解析】【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，连接,,OD OE OA ，利用平面几何知识得到2123R r r ==，即可逐项计算求解．【详解】设梯形ABCD 为圆台的轴截面，则内切圆O 为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则12,,O O O 共线，且1212,O O AB O O CD ⊥⊥，连接,,OD OE OA ，则,OD OA 分别平分,DAB ADC ∠∠，故12,r r E AE D ==，,,22ππODA DOA OE D OA A D +∠=∠=⊥∠，故2E O A E DE =⋅，即2123R r r ==，解得3R =，母线长为124r r +=，故A 正确；圆台的高为223R =，故B 错误；圆台的表面积为22π1π3π(13)426π⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；球O 的表面积为24π12πS R ==，故D 正确.故选：ACD.10.已知1z 与2z 是共轭虚数，则（）A.2212z z < B.2122z z z =C.12R z z +∈ D.12R z z ∈【答案】BC 【解析】【分析】设出复数12,z z ，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断.【详解】由题意，复数1z 与2z 是共轭虚数，设1i z a b =+、2i z a b =-，R a b ∈、且0b ≠，对于A 项，22212i z a b ab =-+，22222i z a b ab =--，当0a ≠时，由于复数不能比较大小，故A 项不成立；对于B 项，因为2212z z a b ⋅=+，2222||z a b =+，所以2122||z z z ⋅=，故B 项正确；对于C 项，因为122R z z a +=∈，所以C 选项正确；对于D 项，由222122222()2()(i i i i)i i z a b a b a b abz a b a b a b a b a b ++-===+--+++不一定是实数，故D 项不成立.故选：BC.11.对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）A.若22sin sin A B =，则ABC 为等腰三角形B.若sin cos A B =，则ABC 为直角三角形C.若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D.若3,1,30AB AC B === ，则ABC 的面积为34或32【答案】ACD 【解析】【分析】A.根据条件得到,A B 的关系，由此进行判断；B.利用诱导公式直接分析得到,A B 的关系并判断；C.利用正弦定理得到222,,a b c 的关系，结合余弦定理进行判断；D.先利用正弦定理计算出sin C 的值，由此可求,C A 的值，结合三角形面积公式进行计算并判断.【详解】对于A ：22sin sin ,A B A B ABC =∴=⇒ 是等腰三角形，A 正确；对于B ：sin cos ,2A B A B π=∴-=或,2A B ABC π+=∴ 不一定是直角三角形，B 错误；对于C ：2222222222sin sin 1cos ,sin ,cos 02A B C C a a abb bc C c ++<--==∴+∴<< ，ABC ∴ 为钝角三角形，C 正确；对于D ：由正弦定理，得sin 3sin .2AB B C AC ⋅==而,60AB AC C >∴= 或120,C = 90A ∴= 或30,A =当90,60A C =︒=︒时，131322ABCS =⨯⨯=，当30,120A C =︒=︒时，1311sin12024ABC S =⨯⨯⨯︒=，32ABC S ∴=或3,4D 正确.故选：ACD.12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知2AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A.该半正多面体的体积为203B.该半正多面体过,,A B C 三点的截面面积为332C.该半正多面体外接球的表面积为8πD.该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2V F E +-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据几何体的构成可判断A ，由截面为正六边形可求面积判断B ，根据外接球为正四棱柱可判断C ，根据顶点，面数，棱数判断D.【详解】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.对于A ，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故正确；对于B ，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以()2362334S =⨯⨯=，故错误；对于C ，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积2244(2)8S R πππ==⨯=，故正确；对于D ，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足1214242+-=，故正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.i 是虚数单位，已知22i ωω-=-，写出一个满足条件的复数ω．______．【答案】1i ω=+（答案不唯一，满足i a a ω=+（R a ∈）均可）【解析】【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.【详解】设i a b ω=+，（,R a b ∈），则22|2||(2)i |(2)a b a b ω-=-+=-+，22|2i ||(2)i |(2)a b a b ω-=+-=+-，因为|2||2i |ωω-=-，所以2222(2)(2)a b a b -+=+-，解得：a b =，所以i a a ω=+，（R a ∈）所以可以取1i ω=+.故答案为：1i ω=+（答案不唯一，满足i a a ω=+（R a ∈）均可）.14.在矩形ABCD 中，已知2AB =，1BC =，点P 是对角线AC 上一动点，则AP BP ⋅的最小值为___________.【答案】45-##0.8-.【解析】【分析】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求出AP BP ⋅，进而结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，又因为2AB =，1BC =，所以()()()()0,0,2,0,2,1,0,1,A B C D 则直线AC 的方程为12y x =，所以设()2,P m m ，且01m ≤≤，而()()2,,22,AP m m BP m m ==-,所以()2222AP BP m m m ⋅=-+ 254m m=-结合二次函数的性质可知，当25m =时，AP BP ⋅ 有最小值，且最小值为222454555⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：45-.15.太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.【答案】36【解析】【详解】如图所示，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km ，△ABC 中，BC=00sin15sin 60，△CBD 中，CD=BCcos15°=001sin 302sin 60=36km ．故填36．16.如图，平面四边形ABCD 中，其中3os 4c DAB ∠=，BAC DAC ∠=∠，AD AB <，且5AB =，14AC BD ==，若(),R AC AB AD λμλμ=+∈，则λμ+=______．【答案】75##1.4【解析】【分析】运用余弦定理求得AD 的值，在AB 上取点E ，使得2AE AD ==，结合角平分线性质可得AF D E ⊥，再运用向量加法可求得结果.【详解】在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠，即：231425254AD AD =+-⨯⨯，解得：2AD =或112AD =，又因为5AD AB <=，所以2AD =.在AB 上取点E ，使得2AE =，连接DE ，交AC 于点F ，如图所示，又因为AC 为DAB ∠的角平分线，所以AF D E ⊥，F 为DE 的中点，在ADE V 中，由余弦定理得：22232222224DE =+-⨯⨯⨯=，所以2211141()42222AF AE DE AC =-=-==，所以225AC AF AE AD AB AD ==+=+，所以2=5λ，1μ=，所以75λμ+=.故答案为：75.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z 满足2z z ⋅=，且z 的虚部为-1，z 在复平面内所对应的点在第四象限．（1）求z ；（2）若z ，2z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，O 为坐标原点，求∠OAB ．【答案】（1）1i z =-（2）π2OAB ∠=【解析】【分析】（1）运用复数几何意义设出z ，再结合共轭复数定义写出z ，再运用复数乘法运算求得结果.（2）运用复数几何意义、两点间距离公式及勾股定理可求得结果.【小问1详解】由题意知，设i z a =-（0a >），则i z a =+，所以222i 12z z a a ⋅=-=+=，解得：1a =，所以1i z =-.【小问2详解】由（1）知，1i z =-，所以22(1i)2i z =-=-，所以(1,1)A -，(0,2)B -，如图所示，所以(1,1)AO =- ，(1,1)AB =--，22||(1)12AO =-+= ，22||(1)(1)2AB =-+-= ，所以11cos 02||||AO AB OAB AO AB ⋅-∠===.所以π2OAB ∠=.18.如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB PC 、的三等分点（M 靠近B ，N 靠近C ）；（1）求证：//MN 平面PAD ．（2）在PB 上确定一点Q ，使平面//MNQ 平面PAD ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，证得证得四边形AMNE 为平行四边形，得到//MN AE ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，证得//MQ PA ，得到//MQ 平面PAD ，结合（1）中//MN 平面PAD ，利用面面平行的判定定理，证得平面//MNQ 平面PAD ．【小问1详解】证明：过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，因为N 为PC 的三等分点，可得23NE CD =，又因为M 为AB 的三等分点，可得23AM AB =，因为//AB CD 且AB CD =，所以//AM NE 且AM NE =，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又由MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//MN 平面PAD .【小问2详解】证明：取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，即点Q 为PB 上靠近点B 的三等点，在PAB 中，因为,M Q 分别为,AB PB 的三等分点，可得MB BQAB BP=，所以//MQ PA ，因为MQ ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//MQ 平面PAD ；又由（1）知//MN 平面PAD ，且MN MQ M ⋂=，,MN MQ ⊂平面MNQ ，所以平面//MNQ 平面PAD ，即当点Q 为PB 上靠近点B 的三等点时，能使得平面//MNQ 平面PAD ．19.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+ ，ABC 的面积为332，（1）求t 的值；（2）求AP的最小值.【答案】（1）13t =（2）2【解析】【分析】（1）利用,,C P D 三点共线，可设DP mDC =，推出1(1)2AP mAC m AB =+- ，结合13AP t AC AB =+ ，即可求得t 的值；（2）利用（1）的结论可得2221(2)9A AC AB A PC AB ++=⋅ ，利用三角形面积得出||||6AC AB ⋅=，结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】在ABC 中，D 为AB 中点，则,,C P D 三点共线，设,()DP mDC AP AD m AC AD =∴-=- ,故1(1)(1)2AP mAC m AD mAC m AB =+-=+- ，又13AP t AC AB =+ ，故11(1)23m t m =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得13m t ==，即13t =.【小问2详解】由（1）知1133AP AC AB =+，所以2222211()(2)1339AC AB AC AP AP AB AC AB +=+=+⋅=221(||||2||||cos )9AC AB AC AB BAC =++⋅∠1(2||||2||||cos )9AC AB AC AB BAC ≥⋅+⋅∠ ，当且仅当||||AC AB = 时取等号，又332ABC S =△，则133||||sin 22AC AB BAC ⋅∠= ,即1π33||||sin ,||||6232AC AB AC AB ⋅=∴⋅= ，故21π(2626c 2os )2,93AP AP ≥⨯+⨯=≥∴ ，即AP 的最小值为2，当且仅当||||6AC AB ==时取等号.20.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求C ；（2）若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅= ，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）π6；（2）312+.【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出3tan 3C =，进而根据角的范围得出答案；（2）解法一：由已知可推出BC CD ⊥，然后根据正弦定理可求出22R =，进而求出2BD =，3AD =.设BC x =，CD y =，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC CD ⊥，然后同解法一求得3AD =.设CBD θ∠=，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得3AD =，设点C 到BD 的距离为h ，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD 是O 的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.【小问1详解】因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，在ABC 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin sin cos 31222A C A C C A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin cos si 30n sin A C C A -=，因为sin 0A ≠，故cos 3sin C C =，即3tan 3C =.又因为()0,πC ∈，所以π6C =.【小问2详解】解法一：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥，故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，223AD BD AB =-=.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△11312222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅+2231312222x y +≤+⋅=+，当且仅当2x y ==时，等号成立.所以四边形ABCD 面积最大值为31 2+.解法二：如图1设ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，BD在BA上的投影向量为BAλ，所以()2BA BD BA BA BAλλ⋅=⋅=.又22BA BD BA BA⋅==，所以1λ=，所以BD在BA上的投影向量为BA，所以DA BA⊥.故BD是O的直径，所以BC CD⊥.在ABC中，1c=，122πsin sin6cARBC=∠==，所以2BD=，在ABD△中，223AD BD AB=-=.设四边形ABCD的面积为S，CBDθ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cosCBθ=，2sinCDθ=，所以ABD CBDS S S=+△△1122BAD CDAB C=⋅⋅+3sin22θ=+，当π22θ=时，S最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.解法三：如图1设ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅= ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，223AD BD AB =-=.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=32h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.解法四：设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC 外接圆O 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则13,22A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()10B ,.因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以13,22BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos 1,sin BD ββ=- ，代入2BA BD BA ⋅= ，即1BA BD ⋅=，可得113cos sin 1222ββ-++=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则1313sin sin 2222ABD CBD S S S BD BD αα=+=⋅+⋅=+△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.21.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2AB =，2PA PB ==．M 是棱PD 上的点，O 是棱AB 的中点，PO 为四棱锥P ABCD -的高，且四面体MPBC 的体积为36．（1）证明：PM MD =；（2）若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交PA 于点Q ，求多面体DMC AQB -体积．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】（1）由题意AD 平面PBC ，求得体积关系：12M PBC D PBC V V --=，即可得出答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面α的法向量为n，设()0,,AQ AP λλλ== ，由0n CQ ⋅= 得23λ=，求出ACQ 面积，平面ACQ 的法向量1n ，利用向量法求出M 到平面ACQ 的距离d ，进而求得M ACQ V -，Q ABC V -，M ADC V -，相加即可得出答案.【小问1详解】因为2PA PB ==，2AB =，AB 中点O ，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =.又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，3CO =.因为AD BC ∥，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD 平面PBC ，所以11131233323A D PBC A PBC P ABC BC V V V P S O ---====⨯⨯⨯⨯=⋅△.因为3162M PBC D PBC V V --==，所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =.【小问2详解】因为PO ⊥平面ABCD ，,BO CO ⊂平面ABCD ，所以PO BO ⊥，PO CO ⊥，又BO CO ⊥，如图，以O 为坐标原点，OC ，OB ，OP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()3,0,0C，()3,2,0D-，()0,0,1P ，所以31,1,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，()3,1,0BC =-，()3,3,0BD =-，()0,1,1AP = ，31,1,22CM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面α的法向量为(),,n x y z = ，则00n BD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33031022x y x y z ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,5=n .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==，则()3,1,CQ AQ AC λλ=-=-- ，因为3150n CQ λλ⋅=-+-+= ，所以23λ=，23AQ AP =，所以123,,33CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()22212423333CQ ⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222223332AQ ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ACQ 中，2221cos 822422332242233AQC ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯∠==,0πAQC <∠<,2137sin 188AQC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭，1224237733831sin 22ACQ S AQ CQ AQC =⨯⨯⨯⨯⨯∠⨯==△,设平面ACQ 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100n AQ n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112203323033y z y z x ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩.取11x =，得()11,3,3n =-.设M 到平面ACQ 的距离为d ，又31,1,22CM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则()()()()1222131113322133217d CM n n ⎛⎫-⨯+-⨯-+⨯ ⎪===+⋅⎝⎭-+，11219733337M ACQ ACQ V S d -=⨯⨯⨯=⨯=△，∵23AQ AP = ，∴Q 到平面ABC 的距离为2233PO =，又12332ABC S =⨯⨯= ，∴1223339Q ABC ABC V S -=⨯⨯=△,∵PM MD =，∴M 到平面ADC 的距离为1122PO =，又3ADC ABC S S ==△△，∴113326M ADC ADC V S -=⨯⨯=△,多面体DMC AQB -体积为323339962M ACQ Q ABC M ADC V V V V ---=++=++=.22.如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km 的圆形区域，道路1l ，2l 成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB ，点A ，B 分别在1l 和2l 上，修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成三角地块OAB ．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．（1）当OAB 为正三角形时求修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积；（2）若OAB 的面积103S =，求木栈道AB 长；（3）如图2，设CAB α∠=，①将木栈道AB 的长度表示为α的函数，并指定定义域；②求木栈道AB 的最小值．【答案】（1）2273km（2）3km 3（3）①33π0πtan 3tan 3AB ααα⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，②63km 【解析】【分析】（1）运用等面积法可求得等边三角形的边长，进而求得等边三角形的面积.（2）方法1：运用内切圆性质及三角形面积公式可求得结果.方法2：运用两个三角形面积公式可得a b c ++，ab 的值，再结合余弦定理可得22()3c a b ab =+-，联立可求得AB 的长.（3）①运用内切圆性质可得π3CBM α∠=-，进而运用直角三角形中的正切公式可表示出AB .②方法1：运用分离常数法、“1”的代换及基本不等式可求得结果.方法2：运用切化弦、和角公式、积化和差公式化简AB 表达式，再结合三角函数在区间上求最值即可.方法3：运用切化弦、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式化简，再结合三角函数在区间上求最值即可.【小问1详解】如图所示，设三角地块OAB 面积为S ，等边△OAB 边长为a ，所以由等面积法得：211π33sin 223S a a =⨯⨯=，解得63a =，所以221π3sin (63)273234OAB S a ==⨯=△.故修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积为273平方千米.【小问2详解】方法1：设圆C 分别与OB 、OA 、AB 相切于点N 、E 、M ，如图所示，则3NC =，NC OB ⊥，1π26NOC BOA ∠=∠=，所以在Rt ONC △中，33πtan6NCON ==，所以33OE ON ==，设BM BN m ==，AE AM n ==，所以12(33)31032AOB S m n =⨯⨯++⨯=△，解得：33m n +=，即：33AB =.故木栈道AB 长为3km 3.方法2：设三角地块OAB 面积为S ，OB a =，OA b =，AB c =，3r =，由等面积法可得：()11sin 22S ab BOA r a b c =∠=++，即：()()13103103242433r a b c ab a b c ab =++=⇒=++=，所以3203a b c ++=①，40ab =②，在△OAB 中，由余弦定理得2222222cos 2cos60c a b ab BOA c a b ab ︒=+-∠⇒=+-222()3a b ab a b ab =+-=+-，即：22()3c a b ab =+-③，由①②③解得：33c =.故木栈道AB 长为3km 3.【小问3详解】如图所示，①由题意知，2π3OBA OAB ∠+∠=，由内切圆的性质可知，π3CBA CAB ∠+∠=，设直线AB 和圆C 相切点M ，CAB α∠=，则π3CBM α∠=-，因为00π003CAB CBA αα>⎧∠>⎧⎪⇒⎨⎨∠>->⎩⎪⎩，解得：π03α<<，又因为tan CM AM α=，πtan 3CMBM α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 3AM α=，πn 33ta BM α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以33π0πtan 3tan 3AB AM BM ααα⎛⎫=+=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.即：33π0πtan 3tan 3AB ααα⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.②方法1：3tan 1312333πtan tan tan 3tan 3tan ta 3331n AB ααααααα⎛⎫+=+=+=+- ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭- ⎪⎝⎭()143tan 4tan 3tan 3tan 333533tan tan 3tan 3tan αααααααα⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=++--=++- ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭3(54)3363≥⨯+-=，当且仅当π6α=时等号成立，故木栈道AB 的长度最小值为63km .方法2：πππcos()cos sin()sin cos()33333πππtan sin sin()sin sin()33cos tan 333AB αααααααααααα⎛⎫--+- ⎪=+=+=⨯ ⎪⎛⎫ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin[()]sin333333π11ππ1ππcos(2)cos[()]cos[()]cos(2)cos 32233233αααααααα-+=⨯=⨯=⎡⎤⎡⎤-----+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为π03α<<，所以πππ2333α-<-<，所以1πcos(2)123α<-≤，所以3363π1cos(2)32AB α=≥--，故木栈道AB 的长度最小值为63km .方法3：πππcos()cos sin()sin cos()33333πππtan sin sin()sin sin()33cos tan 333AB αααααααααααα⎛⎫--+- ⎪=+=+=⨯ ⎪⎛⎫ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin[()]sin333333π13131sin(2)sin (cos sin )sin 2(1cos 2)622244αααααααα-+=⨯=⨯=+----，因为π03α<<，所以ππ5π2666α<+<，所以1πsin(2)126α<+≤，所以3363π1sin(2)62AB α=≥+-，故木栈道AB 的长度最小值为63km .【点睛】方法点睛：解三角形的应用问题的要点（1）从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；（2）利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．解三角形中最值（范围）问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）．。
2021-2022学年上海市嘉定区高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一下学期期中数学试题一、填空题1．已知角的终边与角终边关于轴对称，则的关系是_____．αβy ,αββ=【答案】##π2π,Z k k α-+∈180360,Zk k α︒︒-+⋅∈【分析】利用角与终边关于y 轴对称的关系及周期性求解αβ【详解】因为角的终边与角的终边关于y 轴对称，在一个周期中，αβ[)0,2π，即，所以由周期性知，．παβ+=πβα=-π2πk βα=-+Z k ∈故答案为：，．π2πk βα=-+Z k ∈2．若______.cos α=cos 2=α【答案】12【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..【详解】因为cos α=所以.221cos 22cos 12(12αα=-=⨯-=故答案为：12【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力.3．已知，，若在方向上的数量投影是2，则与的夹角的余弦值是3OA = 4OB = OA OB OA OB ______.【答案】23【分析】写出数量投影的定义，以及向量夹角公式，即可计算结果.【详解】由条件可知，2OA OB OB⋅= 设与的夹角为，则.OA OB θ222cos 3OB OA OB OA OB OA OB OA θ⋅====故答案为：234．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘t h 米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动______次.2sin 6h t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞【答案】12π【分析】求正弦型函数的频率.【详解】函数，的周期，故频率为.2sin 6h t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞2T π=12π所以每秒钟小球能振动次.12π故答案为：.12π5．在中，若，则的最大值是____．ABC 222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅A 【答案】π3【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解222bc b c a ≤+-【详解】结合正弦定理得，即，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅222a b c bc +-≤222bc b c a ≤+-所以，2221cos 222b c a bc A bc bc +-=≥=因为，所以，则的最大值是．0πA <<π03A <≤A 3π故答案为：π36．已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令()sin f x x ω=0ω>()f x 2πω()g x ，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则()()()h x f x g x =+m x ()()(1)h m h x h m ≤≤+的最小值为________ω【答案】π【详解】由题意可知：()sin sin cos 22g x x x xππωωωω⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()() sin cos 4h x f x g x x x x πωωω⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭又对任意的实数，都有成立，x ()()()1h m h x h m ≤≤+∴为的最小值，为的最大值()h m ()h x ()1h m +()h x ∴，，，121n 2πω=⨯⨯n πω=n N ∈0ω>∴的最小值为ωπ二、单选题7．设，若是角的终边上一点，则下列各式恒为负值的是（ ）1a <()21,1P a a -+αA ．B ．C ．D ．sin cos αα+tan sin αα+cos tan αα-sin tan αα-【答案】B【分析】利用三角函数的定义，求出角的三角函数值，再根据确定正负性.α1a <选项A 可根据进行判定；选项C 可由正切的范围进行判定；选项B ，D 可由三角函数值的正1a <负性进行判定.【详解】由题知，，，，.21sin 0a OP α+=>1cos 0a OP α-=<21tan 01a a α+=<-1a <其中为点到原点的距离.OP P O ，2sin cos a aOP αα++=因为，所以的取值可正可负可为0，故的取值可正可负可为0.1a <2a a +sin cos αα+故选项A 错误；，()tan sin tan 1cos αααα+=+因为，，所以恒成立.t an 0α<1cos 0α+>tan sin 0αα+<故选项B 正确；因为，当时，有.t an 0α<tan 1α≤-cos tan cos 10ααα-≥+>又时，，.0a =tan 1α=-cos tan cos 10ααα-=+>故选项C 错误；因为，，所以.sin 0α>t an 0α<sin tan 0α-α>故选项D 错误.故选：B.8．函数的图像可以由的图像（ ）个单位得到.4y x π=-4y x π=+A ．向左平移B ．向右平移2π2πC ．向左平移D ．向右平移4π4π【答案】D 【分析】由，可以确定函数图象之间的变换，即可求解.22(444x x πππ-=-+【详解】因为，)]444y x x πππ=-=-+所以只需由的图像向右平移个单位得到.)4y x π=+4π故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移，关键要找到两个函数解析式的差异，确定图象的变换方式，属于容易题.9．若O 为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）ABC ()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=ABC A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.【详解】依题意，()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=,()CB OB OA OC OA ⋅-+-=，()()22AB AC AB AC AB AC -⋅+=-= 所以，所以三角形是等腰三角形.AB AC c b=⇒=ABC 故选：A 10．设函数，则（ ）()cos sin y x =A ．它的定义域是[-1，1]B ．它是偶函数C ．它的值域是D ．它不是周期函数[]cos1,cos1-【答案】B【分析】根据三角函数的性质和复合函数的定义得到定义域，根据偶函数的定义结合三角函数的性质判定为偶函数，根据正弦函数的值域和余弦函数的单调性对称性求得值域；根据正弦函数的周期性得到函数的周期性.【详解】记，定义域为R,故A 错误；()()cos sin f x x =,()()()()()cos sin()cos sin cos sin f x x x x f x -=-=-==∴是偶函数，故B 正确；()f x ∵,∴,故C 错误；[]sin 1,1x ∈-()[]cos sin cos1,1x ∈,()()()()2πcos sin(2π)cos sin f x x x f x +=+==∴是函数的周期，故D 错误.2π()f x 故选：B.11．给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭α3sin cos 2αα+=是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴方程；,αβαβ<tan tan αβ<8x π=5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的图象关于点成中心对称图形其中正确的个数是（ ）sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,012π⎛⎫⎪⎝⎭A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】对于①，先化简，再判断厅偶性；对于②，利用辅助解公式化简后判断；对于③，举例判断；对于④，代入验证即可【详解】解：对于①，因为（），22cos sin 323y x xπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭x R ∈，所以此函数是奇函数，所以①正确；22()sin()sin ()33f x x x f x -=--==-对于②，因为，所以②错误；sin cos 4πααα+=+≤对于③，若，此时③错误；13,36ππαβ==13tan tan tan tan 36ππαβ=>==对于④，当时，，所以是函数的一条8x π=53sin 2sin 1842y πππ⎛⎫=⨯+==- ⎪⎝⎭8x π=5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对称轴方程；当时，，所以函数的图象不关于12x π=sin 2sin 11232y πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭点成中心对称图形，所以④错误，,012π⎛⎫⎪⎝⎭故选：A12．已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（ ）A B A ．B ．1co sin s BA >cos cos 1AB>C ．D ．cos log cos 1A B >sin log cos 1A B <【答案】A【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定.【详解】由题意得，所以，2A B π+>22B A ππ>>->所以，即，A 正确；1sin sin cos 02B A A π⎛⎫>>-=> ⎪⎝⎭1co sin s B A >因为，所以，B 不正确；0cos 1B <<cos 0cos cos 1AB B <=当时，，C 不正确；60A B ︒==cos log cos 1A B =由，所以，所以，2A B π+>22A B ππ>>->0cos sin 1B A <<<所以，D 不正确.sin sin log cos log sin 1A A B A >=故选：．A 三、解答题13．已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为.1e 2e α1cos 3α=1232a e e =- 123b e e =- β（1）求，；a b（2）求的值.cos β【答案】（1），2=3a=2b【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算求解；（2）利用数量积的运算求得，结合（1）中求得的模，利用向量的夹角余弦值公式计算即得.a b ⋅【详解】（1，3===b ====；（2），()()22121212123239291138a b e e e e e e e e ⋅=-⋅-=+-⋅=-=所以.cos β=14．如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现ABC 2ACB π∠=6ABC π∠=AC a 要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、DEF D E F BC AC 上．设．AB DEC θ∠=（1）若，求的边长；3πθ=DEF （2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．θDEF 【答案】（1）千米；（2）当千米.23a2πθ=-DEF 【分析】（1）由题意易得为等边三角形，从而可求；AEF △（2）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解．【详解】解：（1）设的边长为千米，由得，，DEF x 3πθ=12CE x =12AE a x =-中，，，AEF △33FEA πππθ∠=--=3A π∠=为等边三角形，，AEF ∴ 12AE x a x ==-故，23a x =即的边长为；DEF 23a（2）设的边长为千米，DEF x 所以，，cos CE x θ=cos AE a x θ=-中，，，，AEF ∆23FEA πθ∠=-3A π∠=EFA θ∠=由正弦定理得，，cos sin sin3xa x θπθ-=故x =当，即．2πθ=-x =DEF 【点睛】方法点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.15．已知函数的最小正周期为.()()22sin cos cos 0f x x x x x ωωωωω=+->π（1）求的值；ω（2）将图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的解析()f x π4()y g x =()g x 式；（3）在（2）的条件下，若对于任意的，，当时，1x 2ππ,88x ϕϕ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭12x x >恒成立，求的取值范围.()()()()1221f x f x g x g x ->-ϕ【答案】（1）1；（2）；（3）.()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0,6⎛⎤ ⎝⎦【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得．1ω=（2）由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．sin()y A x ωϕ=+（3）令，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，()()()h x f x g x =+【详解】解：（1）()22sin cos cos f x x x x xωωωω=+-π2cos 22sin 26x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为函数的最小正周期为且，所以，解得，所以的值()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0ω>2ππ2ω=1ω=ω为1.（2）因为图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像()f x π4()y g x =又，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πππ2π2sin 22sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以的解析式为()g x ()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）令()()()π2π5ππ2sin 22sin 24sin 2cos63124h x f x g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5π212x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为对于任意的，，当时，恒成立，1x 2ππ,88x ϕϕ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭12x x >()()()()1221f x f x g x g x ->-所以在严格单调递增，()h x ππ,88ϕϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭由，整理可得，π5ππ2π22π2122k x k -≤-≤+Z k ∈π11πππ2424k x k -≤≤+Zk ∈所以严格单调递增区间是，()5π212h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π11ππ,π2424k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈所以，解得πππ11πππ248824k k ϕϕ-≤-<+<+π06ϕ<≤所以的取值范围是.ϕπ0,6⎛⎤⎥⎝⎦16．对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是()f x 0x t 00()()()f x t f x f t +=+()f x “跃点”函数，并称是函数的“跃点”．t 0x ()f x t (1)求证：函数在上是“1跃点”函数；2()3x f x x =+[0,1](2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；32()3g x x ax =--(0,)+∞a (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存m n ()cos 2h x x m =-[0,]n ππ4在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由．m n 【答案】(1)证明见解析(2)9[,)2+∞(3)存在，或或(1011m n ⎧∈⋃⎪⎨=⎪⎩2022m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩2022m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明；00000()(1)()(1)2323x F x f x f x f x =+--=⋅+-（2）由题意可得，可整理得，然后用基2(1)()(1)3(32)30g x g x g x a x +--=+-+=13(33)2a x x =⨯++本不等式求解即可；（3）根据题意可得到，然后分，，π4m x =+(m ∈ 1m =m m =种情况进行讨论即可【详解】（1），001220000(1)3(1)3321x x f x x x x ++=++=⋅+++所以，，0200()3x f x x =+(1)4f =令，00000()(1)()(1)2323x F x f x f x f x =+--=⋅+-因为，，所以由零点存在定理可得在有解，(0)10F =-<(1)50F =>0()0F x =[0,1]所以存在，使得，0[0,1]x ∈00(1)()(1)f x f x f +=+即函数在是“1跃点”函数．2()3x f x x =+[0,1]（2）由题意得(1)()(1)g x g x g +--3232(1)(1)332x a x x ax a=+-+--++++，23(32)30x a x =+-+=因为，,()0x ∈+∞所以，当且仅当取等号，1319(33)3)222a x x =⨯++≥⨯=1x =所以的取值范围为．a 9[,)2+∞（3），即，ππππ(()(cos(2)cos2cos 04422h x h x h x m x m m +--=+--+-+=sin 2cos20x x m --+=化简得的最小正周期为，π)4m x =+π)4x +π当；当（为正整数）；0x =π0)14⨯+=πx n =n ππ14n ⨯+=在上的值可得)4x π+[0,π]n ①当时，在有个“跃点”，(m ∈ [0,π]n 2n π4故，所以；22022n =1011n =②当时，在有个“跃点”，故，无解；1m =[0,π]n21n +π4212022n +=③当上有个“跃点”，故，mm =[0,π]n n π42022n =综上，或或．(1011m n⎧∈⋃⎪⎨=⎪⎩2022m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩2022m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
山西省长治市沁县2022-2023学年一年级下学期期中数学试卷
2022-2023学年山西省长治市沁县一年级（下）期中数学试卷一、动脑筋，想一想。
1．2．一个两位数，个位上是8，十位上的数比个位上的数小4，这个两位数是，与它相邻的数是和。
3．个一是十，一百里面有个十。
4．至少要个同样大小的小正方体才能拼成一个大正方体，至少要个同样大小的小正方形才能拼成一个大正方形．5．从3、7、9三个数中，任选两个数组成两位数，最大的是，最小的是。
6．比39大且比42小的数有个，分别是、。
7．有61个珠子，10个穿一串，能穿串，还剩个，如果再穿一串，还差个。
二、仔细比较，选一选。
8．如图军军可能跳了（）下。
A．43B．12C．919．下面的图形能拼成正方形的是（）A．B．C．10．这个墙面有一个破洞，需要用一些长方形的砖块补上，下面（）可以补好墙。
A．B．C．三、我会算。
11．看谁算得又对又快。
20+9＝19﹣8＝16﹣4＝19﹣9＝6+7﹣5＝2+40＝12﹣3＝13﹣7＝6+60＝14﹣8+6＝14﹣8＝47﹣7＝16﹣7＝17﹣9＝9+4﹣10＝11﹣4＝56﹣50＝49﹣40＝6+30＝8﹣3+30＝12．看图列式计算。
四、数一数，填一填。
13．数一数，填一填。
形状个数五、我会解决问题。
14．体育课上小红比小梦多踢了多少下毽子？答：小红比小梦多踢了下。
15．有16只小动物在一起玩捉迷藏的游戏。
小白兔还要捉多少只小动物？答：小白兔还要捉只小动物。
16．一年级（2）班有学生和老师共43人．这两辆车能坐得下吗？2022-2023学年山西省长治市沁县一年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、动脑筋，想一想。
1．【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数；根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数。
【解答】解：如图：【点评】本题考查整数的写法和读法，解决本题的关键是明确各数位上的数字。
2022-2023学年河南省信阳市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题一、单选题1．复平面内表示复数（）的点位于（ ）()z i a i =-a<0A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】先化简复数，即可判断表示的点所在的象限.z 【详解】表示的点为，()1z i a i ai=-=+()1,a 因为，所以点位于第四象限，a<0()1,a 故选：D.2．已知向量，且，则实数等于（ ）()()241a m b ==- ，，，()()a b a b-⊥+ mA ．2B ．C ．8D ．12【答案】D 【分析】根据，由求解.()()a b a b -⊥+()()a b a b +⋅-= 【详解】解：因为向量，()()241a m b ==- ，，，所以，()()2,1,6,1a b m a b m -=-++=-因为，()()a b a b -⊥+ 所以，()()()()()26110a b a b m m +⋅-=-⨯++-=解得，即213=m m =故选：D3．“为第一象限角”是“”的（ ）αtan 0α>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.【详解】若为第一象限角则必有；αtan 0α>反之，若，则为第一或第三象限角.tan 0α>α4．在中，若，，则形状为（ ）ABC3sin b B =cos cos A C =ABC A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出sin A A C =，进而可得正确选项.B ∠【详解】因为,3sin b B =所以,3sin sin B A B =因为0180B <<所以，sin 0B ≠所以或，sin A =60A =120 又因为，,cos cos A C =0180A <<0180C << 所以A C∠=∠所以，，，60A ∠= 60C ∠= 180606060B ∠=--=所以为等边三角形.ABC 故选：C.5．已知，，则（ ）3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=A ．B ．C ．D ．35-354535±【答案】B 【分析】由的范围判断的符号，再由展开计算即可.π4α+πsin(4α+()ππcos cos 44αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦【详解】因为，所以，则，3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,π44α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 04α⎛⎫+>⎪⎝⎭所以πsin 4α⎛⎫+==⎪⎝⎭所以，ππππππ3cos cos cos cos sin sin 4444445αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．再把所得曲线向左平移()y f x =13个单位长度，得到函数的图象，则（ ）π4πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x =A ．B ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数图象变换规律求解析式.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4πππsin sin 4312y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到.3()πsin 312x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：A.7．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中ACD O 间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（ ）A B AB AO ⋅A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【分析】利用转化法得，展开利用向量数量积的定义并代入相关数()()·AB AO AD DB AD DO⋅=++ 据即可.【详解】如图所示：连接，OD因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得，，4ADO ODB π∠=∠=||OD = ||4AD = 2ADB π∠=则，()()··AB AO AD DB AD DO =++ 23cos cos44AD AD DO DB AD DB DO ππ=++⋅+.244214⎛=++= ⎝故选：C.8．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.【详解】当时，即时，函数有最小值，π3π2π(Z)42x k k ω+=+∈5π2π4(Z)k x k ω+=∈令时，有，，，，1,0,1,2k =-34πx ω=-5π4x ω=13π4x ω=21π4x ω=因为函数在内恰有两个最小值点，，()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭0ω>所以有：，π5π4413π7π1334477π21π44ωωωω⎧<⎪⎪⎪<⇒<≤⎨⎪⎪≤⎪⎩故选：B二、多选题9．已知中，，若三角形有两解，则x 不可能的取值是（ ）ABC ,2,45a x b B ===︒A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】ACD【分析】若三角形有两解，则，结合正弦定理即可求解,sin 1a b A ><【详解】解：因为中，，且三角形有两解，ABC ,2,45a x b B ===︒所以，,sin 1a b A ><由正弦定理得，sin sin a bA B =所以，解得sin sin 1a B A b ===<x <因为，所以，a b >2x >所以，2x <<故选：ACD10．若复数，则（ ）z i =A ．|z |=2B ．|z |=4C ．z 的共轭复数iD ．z 24z =-【答案】AC【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.，故A 选项正确，B 选项错误.2=，C 选项正确.z i =，D 选项错误.)22232z ii ==-+=-故选：AC11．下列关于平面向量的命题正确的是( )A ．若∥，∥，则∥a b b c a cB ．两个非零向量垂直的充要条件是：,a b 0a b ⋅= C ．若向量，则四点必在一条直线上AB CD =,,,A B C D D ．向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠b λb aλ= 【答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ，根据向量垂直的性质判断B ，根据向量相等和向量概念判断C ，根据向量共线定理判断D ．【详解】对于，当时，不一定成立，A 错误；A 0b =∴对于，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B ,a b ,a b 0a b ⋅= 0a b ⋅= ,a b B 正确；∴对于C ，若向量与方向和大小都相同，但四点不一定在一条直线上，,AB CD AB = CD,,,A B C D 错误；C ∴对于D ，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠ bλD 正确．,b a λ=∴故选：BD ．12．关于函数 有以下四个选项，正确的是（ ）()()cos sin 0f x x a x a =+≠A ．对任意的都不是偶函数()0a f x ≠，B ．存在使是奇函数0a ≠，()f x C ．存在使0a ≠，()()πf x f x +=D ．若的图像关于对称，则()f x π4x =1a =【答案】AD【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.()f x【详解】因为，其中，，()()cos sin f x x a x x ϕ=+=+1tan a ϕ=ππ22ϕ-<<对于A ，要使为偶函数，则，且，则无解，()f x ππ,2k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<即对任意的a ，都不是偶函数，故正确；()f x 对于B ，要使为奇函数，则，且，又，所以不存在a ，使()f x π,k k ϕ=∈Z ππ22ϕ-<<1tan a ϕ=是奇函数，故错误；()f x对于C ，因为，故错误；()()()()ππf x x x f x ϕϕ+=++=+≠对于D ，若的图像关于对称，则，，()f x π4x =πππ42k ϕ+=+k ∈Z 解得，且，所以，即，故正确.ππ,4k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<π4ϕ=π1tan 114a a ==⇒=故选：AD三、填空题13．______．cos112.5︒=【答案】【分析】首先由诱导公式求出，再利用二倍角公式计算可得；cos 225︒【详解】解：因为()cos 225cos 18045cos 45︒=︒+︒=-︒=又()2cos 225cos 2112.52cos 112.51︒=⨯︒=︒-=所以2cos 112.5︒=cos112.5︒=因为，所以90112.5180︒<︒<︒cos112.5︒=故答案为：14．已知函数，若，则=__________________() ³sin 2022f x ax b x =++22021f =（）()2f -【答案】2023【分析】由条件可得，即可算出答案.()()4044f x f x -+=【详解】因为，所以，()3sin 2022f x ax b x -=--+()()4044f x f x -+=因为，所以，22021f =（）()22023f -=故答案为：.202315．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A 处测得山顶C 处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m 的M 处（即），观测到山顶C 处的仰400MD =角为15°，山脚A 处的俯角为45°，则山高___________m.BC=【答案】600【分析】确定，，在中，利用正弦定理计算得到AM =45ACM ∠=︒75MAC ∠=︒MAC △答案.【详解】，则，,，45AMD ∠=︒AM ==451560CMA ∠=︒+︒=︒60CAB ∠=︒故，，18060MAC ∠=︒-︒4575-︒=︒180756045ACM ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得，即MAC △sin sin AC MA AMC ACM =∠∠sin60AC =︒解得.AC =sin60600BC AC =︒=故答案为：60016．在中，若，，则的最大值为__________．ABC ∆3B π=AC =2AB BC +【答案】【详解】设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，最大值为2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭【解析】解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式()sin cos a b θθθϕ+=+四、解答题17．已知复数满足：.z i 13iz z +=+(1)求复数；z (2)化简：.61i zz +--【答案】(1)34iz =+(2)97i 22+【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方()i ,z m n m n =+∈R 程组，求出，从而可得出答案；,m n （2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.【详解】（1）解：设复数，()i ,z m n m n =+∈R，()i i 13im n +=+，i 13i n m +=+则，41,33n n m m =⎧=⇒⎨==⎩⎪⎩；34i z ∴=+（2）解：由（1）得，34i z =+则34i 634i 61i 1i z z ++-=+----()()()()34i 1i 34i1i 1i ++=+---+17i 52-+=+.97i 22=+18．已知向量满足.,a b123a b a b ==-= ，，(1)求向量与向量的夹角；a b(2)求向量在向量方向上的投影的模.ba b - 【答案】(1)2π3【分析】（1）根据向量模的计算公式以及夹角公式即可求出；（2）根据投影向量的求解公式即可解出.【详解】（1）由可得，，3a b -=3a b -==229619a a b b -⋅+= 而，所以，，，而，12a b == ，1a b ⋅=-1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==-0,πa b ≤〈〉≤所以，向量与向量的夹角为．a b2π3（2）向量在向量方向上的投影的模为：ba b - cos b b a-,=19．已知.22sin 2sin 12αα=-(1)求的值；sin cos cos 2ααα+(2)若，求的值.1(0,),(0,tan()23παπβαβ∈∈+=-2αβ+【答案】(1)15(2)74π【分析】（1）先根据降幂公式得，再对原式构造齐次式结合即可求解.1tan 2α=-1tan 2α=-（2）先求出，再根据角的范围即可确定的值.tan(2=tan(++)1αβααβ+=-）2αβ+【详解】（1）由已知得，所以2sin cos αα=-1tan 2α=-所以2222sin cos cos sin sin cos cos 2sin cos ααααααααα+-+=+.22tan 1tan 1tan 15ααα+-==+（2）因为tan +tan(+)tan(2=tan(++)11tan tan()ααβαβααβααβ+==--+）又，13tan ,0,24πααπαπ=-<<∴<< 同理33,2242ππαβπαβπ<+<∴<+<所以.724παβ+=20．在①，②这两个条件中任选一个，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-sin cos 2sin sin cos C C B A A =-补充在下面的横线上，并解答．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足ABC ______．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边BC 上的一点，且AD =3，，，求的面积．BD =AB ACD 【答案】(1)3C π=【分析】(1)分别选择条件①和②，运用正弦定理和余弦定理即可求解；(2)作图，先求 ，再求 ，运用面积公式即可.ADB ∠DAC ∠【详解】（1）选①，因为，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-所以，2221sin (1sin )sin sin sin B C A A B ----=-即，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理得，222a b c ab +-=由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以；(0,)C π∈3C π=选②，因为，sin cos 2sin sin cos C C B A A =-所以，(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅所以，，sin cos sin cos 2sin cos C A A C B C ⋅+⋅=⋅sin 2sin cos B B C =⋅因为，所以，所以，(0,)B π∈sin 0B ≠1cos 2C =因为，所以；(0,)C π∈3C π=（2）由第一问可知，作图如下：3C π=在 中，由余弦定理，ABD△222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-===⨯∠所以，，34ADB π∠=4ADC π∠=在中，由正弦定理，ADC △sinsin AC AD ADC C =∠∠=解得，，AC =54312DAC ππππ=--=∠，5sin sin sin sin cos cos sin 1243434343ππππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；11sin 322ADC S AD AC DAC =⨯⨯∠=⨯=△综上，，三角形ADC .3C π=21．已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ (1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；),4(3c =- ()π,0,π4x θ=∈a c cos θ(2)若函数，求的最小值.π3θ=，()f x a b=⋅ ()fx 【答案】(1)；(1,(-⋃(2)12【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出范围作答.cos θ（2）利用数量积的坐标表示求出函数，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.()f x【详解】（1）当时， ，与的夹角为钝角，π4x =)2cos a θ= a c 于是，且与不共线，0a c ⋅< a c则 ，解得，即，8cos 0a c θ⋅=-< cos θ<()0,πθ∈()cos 1,1θ∈-则有，又当与共线时，，解得1cos θ-<<a c 6cos 0θ=cos θ=因此与不共线时，，a c cos θ≠所以的取值范围是.cos θ(1,(-⋃（2）依题意，当时，π3θ=()()1sin cos ,1sin 2)2f x a b x x x =⋅=+⋅，1sin 2cos )sin cos 2x x x x x x x =+=++令，则，πsin cos [4t x x x =+=+∈21sin cos 2t x x -=于是，而函数在上为增函数，()(2211222t f x t -=+=-(2122y t =+-t ⎡∈⎣则当y 有最小值，t =12所以的最小值为()f x 1222．已知函数的部分图像如图所示，若，()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭288AB BC π⋅=- B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 123x x x <<数m 的取值范围，并求出的值．123 cos (2)x x x ++【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)，m ⎡∈⎣12【分析】（1）化简函数为，设函数的周期为T ，得到，()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，再根据求解；,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 288AB BC π⋅=- （2）将问题转化为曲线与在上有且仅有三个不同的交点，设，由()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦26t x π=+与求解；再由，，得到求解.2sin y t =y m =12t t π+=233t t π+=12324t t t π++=【详解】（1）解：，)()2cos cos 1f x x x x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭设函数的周期为T ，则，，()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则，228888T AB BC π⋅=-=- 所以．故，故，T π=22T ππω==1ω=所以．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 即曲线与在上有且仅有三个不同的交点．()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦设，当时，．则，，26t x π=+130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin y t =7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，，，m ⎡∈⎣12t t π+=233t t π+=所以，即，12324t t t π++=12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，123523x x x π++=所以．12351cos(2)cos 32π++==x x x。
2021人教版一年级下册数学《期中考试试题》及答案
人教版一年级下学期期中考试数学试题一、口算（20分）1．口算12﹣9＝14﹣5＝4+9＝9+8＝15﹣5＝18﹣10＝59﹣9＝50+8＝10+40＝45﹣5＝30+5＝75﹣30＝57﹣40＝10+9＝20+5＝73﹣40＝19﹣9+3＝39﹣9+8＝15﹣9+2＝11﹣8+4＝二、填空（33分）2．个十和个一合起来是．3．里面有个十和一．4．根据计数器先写出得数，再比较大小．〇5．在计数器上先画出珠子，45〇1006．一个数从右边起第一位是位，第二位是位，第三位是位．7．最大的两位是，最大的一位数是，它们的差是．8．50里面有个十，10个一是，10个十是．9．46里面有个十和个一．10．个位上是2，十位上是8的数是．11．与70相邻的两个数是和．12．比91小，比88大的数是和．13．一个两位数的个位上是9，十位上是5，这个数写作是，读作是．14．选择合适的数填在圈里．48，76，45，64，49，83三、在正确答案下面画“√”（4分）15．在正确答案下面画“√”的价钱比30元少一些．多少元？10元27元32元16．在正确答案下面画“√”用同样长的小棒摆出1个长方形，最少要用多少根小棒？8根6根4根四、数图形．（8分）17．数图形．这辆小火车里有□，有△，有个〇，有个．五、看图列式．（16分）18．看图列式．（1）（2）（3）（4）六、解决问题（19分）．19．我养了8条小金鱼，我养的和你同样多．他们一共养了多少条小金鱼？20．一共要种86棵树，还剩6棵没有种，已经种了多少棵树？21．小伟有30本，小红有35本，小红比小伟多多少本？22．学校乒乓球队有16人，足球队有13人，篮球队有10人．（1）乒乓球队和篮球队一共有多少人？（2）请你再提出一个问题，并解答．答案与解析一、口算1．【分析】根据整数加减法的计算方法计算即可．整数加法计算法则:相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一；整数减法计算法则:相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减．整数四则混合运算的顺序:同级运算时，从左到右依次计算；含有两级运算时，先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的．【解答】解:12﹣9＝314﹣5＝94+9＝139+8＝1715﹣5＝1018﹣10＝859﹣9＝5050+8＝5810+40＝5045﹣5＝4030+5＝3575﹣30＝4557﹣40＝1710+9＝1920+5＝2573﹣40＝3319﹣9+3＝1339﹣9+8＝3815﹣9+2＝811﹣8+4＝7【点评】此题考查了整数加减法的计算方法，属于基本的计算，要注意运算符号和数据，然后再进一步计算．在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性．二、填空（33分）2．【分析】1捆小棒是10，3捆即3个十，然后与4个一合起来，就是34．【解答】解:3个十和4个一合起来是34．故答案为:3，4，34．【点评】本题是考查整数的组成，关键是掌握数位顺序表．3．【分析】计数器标的是63，是由6个十和3个一组成．【解答】解:63里面有6个十和3个一；故答案为:6，3．【点评】此题考查的是数的组成，能够根据计数器说出各数，并能明确该数的组成．4．【分析】左图:十位上是6个珠子，个位上是3个珠子，按从高位到低位顺序即可写出这个数；右图:十位上是3个珠子，个位上是6个珠子，按从高位到低位顺序即可写出这个数．比较两个整数的大小，首先看这两个整数的位数是否相同，如果位数不同，位数多的大于位数少的，如果位数相同，从高位比较，高位上的数大则这个数大，高位上的数相同，就比较下一位．【解答】解:十位上是6个珠子，个位上是3个珠子，这个数是63；十位上是3个珠子，个位上是6个珠子，这个数是36．63＞36．故答案为:63，＞，36．【点评】此题考查了学生对计数器的认识，以及用计数器表示数的能力．5．【分析】45的十位上的数是4，所以十位上拨4个珠子，个位上的数是5，所以个位上拨5个珠子；100的百位上的数是1，所以百位上拨1个珠子，十位数和个位数都是0，不用拨珠子．再根据三位数大于两位数即可比较大小．【解答】解:故答案为:45＜100．【点评】此题考查了学生对计数器的认识，以及用计数器表示数的能力．6．【分析】根据整数数位顺序表进行解答即可．【解答】解:一个数从右边起第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位；故答案为:个，十，百．【点评】解答此题的关键是熟练掌握整数数位顺序表．7．【分析】最大的两位是99，最大的一位数是9，进而根据题意，用“99﹣9”解答即可．【解答】解:最大的两位是99，最大的一位数是9，它们的差:99﹣9＝90；故答案为:99，9，90．【点评】解答此题的关键:应明确最大的两位数和最大的一位数分别是多少，进而根据题意进行解答即可．8．【分析】根据十进制计数法，两个相邻单位间的进率都是十，据此即可解答．【解答】解:50里面有5个十，10个一是10，10个十是100．故答案为:5，10，100．【点评】本题考查了十进制计数法，每相邻的两个计数单位之间的进率都为十，注意相邻二字．9．【分析】根据数位顺序表中数位和它们对应的计数单位以及十进制的定义可以解决问题．【解答】解:4在十位上，表示4个十；6在个位上，表示6个一．故答案为:4；6．【点评】此题考查了数的组成．10．【分析】个位上是2，十位上是8，按从高位到低位顺序即可写出这个数．【解答】解:个位上是2，十位上是8的数是82．故答案为:82．【点评】本题是考查整数的读法和写法．整数的读、写都是从高位到低位．11．【分析】根据自然数的排列规律:相邻的自然数相差1，与70相邻的两个数分别是70﹣1、70+1．据此解答．【解答】解:70﹣1＝6970+1＝71答:与70相邻的两个数是69和71．故答案为:69，71．【点评】此题考查的目的是理解自然数的意义，掌握自然数的排列规律．12．【分析】根据相邻的两个自然数相差1进行数数即可得出结果．【解答】解:从88开始一个一个的数，数到91，即88、89、90、91．所以比91小，比88大的数是90、89．故答案为:90、89．【点评】本题主要考查了整数的读写，熟知相邻的两个自然数相差1是解答本题的关键．13．【分析】一个两位数的个位上是9、十位上是5，按从高位到低位顺序即可写出这个数；读这个数时按照从高位到低位的顺序读出即可．【解答】解:一个两位数的个位上是9，十位上是5，这个数写作是59，读作是五十九．故答案为:59、五十九．【点评】本题是考查整数的读法和写法．整数的读、写都是从高位到低位．14．【分析】找到十位是4的数填写即可；找到比50大的数填写即可．【解答】解:【点评】考查了整数的认识和整数大小的比较，解题的关键是看清题目的要求．三、在正确答案下面画“√”15．【分析】根据整数大小比较的分，当几个数的位数相同时，从最高位开始比较，最高位上大的数就大，如果最高相同，再比较次高位，依此类推．【解答】解:因为32大于30，所以排除32 元；又因为30比10大很多，所以排除10元，因为30比27大一些，所以书包的价格是27元．故答案为:10元27元32元√【点评】此题考查的目的是理解掌握整数大小比较的方法及应用．16．【分析】用同样长的小棒摆出1个长方形，最少是长2宽1，即需要（2+1）×2＝6根小棒．【解答】解:（2+1）×2＝6（根）8根6根4根√【点评】解答此题的关键是明确长方形的特征．四、数图形．17．【分析】正方形、长方形都是由四条线段围成的图形，所以都是四边形，圆是由曲线围成的封闭图形；由3条首尾相连的线段围成的图形叫做三角形，据此即可解答．【解答】解:根据分析可得，这辆小火车里有6□，有5△，有6个〇，有5个．故答案为:6、5、6、5．【点评】本题主要考查平面图形的分类及识别，熟练掌握正方形、长方形、三角形与圆的特征是解答本题的关键．五、看图列式．18．【分析】（1）根据图文中的信息，用8+5计算，即可得到一共有多少只大雁；（2）根据图文中的信息，用12﹣3计算，即可得到盒子中的苹果数量；（3）根据图文中的信息，用15﹣3﹣4计算，即可得到盒子中的苹果数量；（4）根据图文中的信息，用40+5计算，即可得到一共有多少根铅笔．【解答】解:（1）8+5＝13（只）答:一共有13只大雁；（2）12﹣3＝9（个）答:盒子中有9个苹果；（3）15﹣3﹣4＝12﹣4＝8（个）答:袋子中有8个苹果；（4）40+5＝45（根）答:一共有45根铅笔．【点评】本题是一道图文应用题，明确题意，从图文中获取解答问题的信息是解答本题的关键．六、解决问题（19分）．19．【分析】我养了8条小金鱼，我养的和你同样多，所以你养了8条小金鱼．求一共养了多少条小金鱼，用加法计算即可．【解答】解:8+8＝16（条）答:他们一共养了16条小金鱼．【点评】此题考查了整数加法的应用，要根据题意准确找出两个加数．20．【分析】一共要种86棵树，还剩6棵没有种，求已经种了多少棵树，用减法计算，是86﹣6＝80（棵）．【解答】解:86﹣6＝80（棵）答:已经种了80棵树．【点评】此题考查了整数减法的应用，要根据题意准确找出被减数和减数．21．【分析】用小红的本数减去小伟的本数，列式计算可求小红比小伟多多少本．【解答】解:35﹣30＝5（本）答:小红比小伟多5本．【点评】考查了整数的减法，关键是根据题意正确列出算式进行计算求解．22．【分析】（1）把乒乓球队和篮球队的人数相加即可求解；（2）问题:足球队比篮球队多多少人？把足球队和篮球队的人数相减即可求解．【解答】解:（1）16+10＝26（人）答:乒乓球队和篮球队一共有26人．（2）足球队比篮球队多多少人？13﹣10＝3（人）答:足球队比篮球队多3人．【点评】考查了整数的加法和减法，关键是根据题意正确列出算式进行计算求解．。
一年级数学下-一年级下册数学期中测试卷(1)
一年级下册数学期中测试卷 多套试卷一、 直接写出得数（20分）17 – 8 = 11– 3 = 24 + 5 = 60 + 22 –2 = 41 + 20 = 7 + 62 = 68 – 5 = 78 – 50 + 30 = 89 – 7 = 6 + 8 = 16－9 = 65 –60+ 80 = 90 – 10= 50 + 38 = 54 – 40 = 78 – 5 – 30 = 29 + 40 = 15 – 8 = 30 + 60 = 32+ 50 –40 = 二、填空（36分） 1、（6分）（ ）个十和（ ）个一 （ ）里面有（ ）个十 合起来是（ ）。
和（ ）个一。
290 703、50里面有（ ）个十，10个十（ ）。
46里面有（ ）个十和（ ）个一。
个位上是2，十位上是8的数是（ ）。
4、比70小1的数是（ ），70比（ ）小1。
最大的两位数是（ ）。
最小的两位数是（ ）。
5（4分）45+2 63－20 63－6、（1）根据计数器先写出得数， （2）在计数器上先画出算珠， 再比较大小。
（3分） 再比较大小。
（3分）（ ） （ ） 45 10048 52 54百 十 个百 十 个 百 十 个 百 十 个 百 十 个7、选择合适的数填在圈里。
（6分）48 76 45 64 49 83十位上是4的数单数比50大的数三、数一数，填一填。
（10分）四、在正确答案下面画“√”（8分）（1）用两个可以拼成下面哪个图形？（2）的价钱比30元少一些。
一个书包多少元？10元29元32元（3）草莓80个苹果可能有多少个？( )个( )个( )个( )个( )个20个 65个 90个（4）小明有连环画37本，故事书比连环画多一些，故事书有多少本？33本 41本 78本五、解决实际问题（6分＋20分）1、 ？个15个 ？个 2、白兔有20只，黑兔有多少只？3、原来有多少本书？（ ） 借走24本书还剩30本书 白兔和黑兔一共有26只4、已经栽了多少棵树？5、小兔和小猪一共跳了多少下？（ ）（ ）一共要栽86棵树还要栽4棵 正好栽完。
浙江省浙里特色联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学含答案
绝密★考试结束前2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}24A x x =≤<，集合{}2560B x x x =-+>，则集合A B = （）A ．()2,4B ．()2,3C ．()3,4D ．[)2,32．已知i 是虚数单位，则复数202433i 2i z =+在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设,,αβγ是三个不同平面，且l αγ= ，m βγ= ，则“l m ∥”是“αβ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若命题00:,0p x y ∃>，有220000x y x y +=且00x y ≠，则命题p ⌝为（）A ．22,0,x y x y xy ∀>+≠且x y =B ．22,0,x y x y xy ∀>+≠或x y =C ．22,0,x y x y xy ∀≤+≠且x y=D ．22,0,x y x y xy ∀≤+≠或x y=5．已知向量,a b，满足5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,a a b += （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19356．已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的周期为πB ．()f x 的图象关于直线π2x =对称C ．1π,4⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D ．()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器绕边BC 倾斜．随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误．．的是（）（1）（2）（3）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．棱11A D 始终与水面所在平面平行C ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值D ．当容器倾斜如图（3）所示时，BE BF ⋅是定值8．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则ABC △面积的最大值为（）A ．4B ．2C ．94D ．92二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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高一年级下学期期中考试数学试卷及答案一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分） 1．sin34sin 26cos34cos26︒︒-︒︒= ( )A ．12B ．12-C ．32D ．32-2．在△ABC 中，若a =2，b =2，B =60°，则角A 的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或 120°3．在等比数列{a n }（n ∈N *）中，若81=,1=41a a ，则该数列的前10项和为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知4sin 5x =，(,)2x ππ∈，则tan()4x π-=（ ） A.17B ．17-C ．7D ．7-5．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则 △ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6．设等差数列{a n }的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（ ）A.52B.78C.104D.2087．已知函数R x x x x f ∈,sin )2cos +1(=)(2,则)(x f 是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c =，3C π=，且3a b +=,则ABC ∆的面积为（ ）A 133B 53C ．125D 539．两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ） A ．2B ．3C ．4513D ．2510．已知数列{a n }中，n n a n na a )1+(=2,1=1+1，则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．11.设a =sin 14°+cos 14°，b =sin 16°+cos 16°，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b12．在ABC ∆中，a x = 2b =，45B ∠=o ．若该三角形有两个解，则x 的取值范围是( )A ．2x >B ．02x <<C ．222x <<D ．223x <<二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13.在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 14．已知等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项为5，a 3与a 7的等差中项为7，则a n =______. 15．已知2)4tan(=+πα，则ααααcos 2sin cos 2sin -+的值是 .16．已知三角形△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是_______________.三、解答题（本题共6道题，其中第17题10分，18—22题每题12分，共70分）17．(本小题满分10分）已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程. 18． (本小题满分12分）已知数列{a n },a 1=1,以后各项由)2≥(1-(1+=1-n n n a a n n ）给出. （1）写出数列{a n }的前5项； （2）求数列{a n }的通项公式.19.(本小题满分12分）在△ABC 中,a,b ，c 分别为内角A ,B,C 的对边，且2asinA =（2b +c ）sinB +（2c +b ）sinC ． （1）求角A 的大小； （2）求sinB +sinC 的最大值．20．（本小题满分12分）已知51=cos +sin x x ，且π<<0x .（1）求x 2sin ； （2）求x sin -x cos ； （2）求x 3sin -x 3cos .21.（本小题满分12分）如图，甲船以每小时215海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里；当甲船航行40分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距210海里．问乙船每小时航行多少海里？22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+ （1）求2a ，3a ；（2）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；（3）（仅限3—9班做）数列{}n b 满足n n n n a nb ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式 12)1(-+<-n n n n T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.数学答题卡 一、选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 567 8 9 10 11 12 答案二、填空题（每小题5分，共20分）13、_______________________ 14、 15、_______________________16、三、解答题（本题共6道题，其中第17题10分，18—22题每题12分，共70分） 17．(本小题满分10分）已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．（1）求函数()y f x =的最小正周期； （2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.18.(本小题满分12分）已知数列{a n },a 1=1,以后各项由)2≥(1-(1+=1-n n n a a n n ）给出. （1）写出数列{a n }的前5项； （2）求数列{a n }的通项公式.考 号 装 班 级订姓名 线 装 订 线 内 不 得 答 题19.(本小题满分12分）在△ABC中,a,b，c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（1）求角A的大小；（2）求sinB+sinC的最大值．20．（本小题满分12分）已知51=cos +sin x x ，且π<<0x . （1）求x 2sin ； （2）求x sin -x cos ； （3）求x 3sin -x 3cos .21.（本小题满分12分）如图，甲船以每小时215海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里；当甲船航行40分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距210海里．问乙船每小时航行多少海里？22.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+ （1）求2a ，3a ；（2）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；（3）（仅限3—9班做）数列{}n b 满足n nn n a nb ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式 12)1(-+<-n n n n T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.数学答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案B A BC A CD D B B D C13、4或5 14、2n-3 15、57-16、15 三、解答题 17.18.验证当n=1时a 1=1也符合上式，故a n =2-*∈,1N n n19.解：（Ⅰ）由=2R 得a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC∵2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC ∴2a 2=（2b+c ）b+（2c+b ）c 整理得a 2=b 2+c 2+bc∵由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA 故cosA=-21，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin （60°-B ）=故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值120.解：（1）51=cos +sin x x ，两边平方得：251=cos +cos sin 2+sin 22x x x x2524-=cos sin 2∴x x 即2524-=2sin x（2）2549=2524+1=cos sin 2-cos +sin =cos -sin 222x x x x x x ）（0<cos sin x x Θ，而π<<0x ，0>cos -sin ∴,0<cos ∴,0>sin ∴x x x x 57=cos -sin ∴x x （3）)cos +cos sin +)(sin cos -(sin =cos -sin 2233x x x x x x x x 12591=)2512-1(57=连结A 1B 2，由已知，21.解答： 如图，，∴A 1A 2=A 2B 2，又∠A 1A 2B 2=180°﹣120°=60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴，由已知，A 1B 1=20，∠B 1A 1B 2=105°﹣60°=45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，==200．∴．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里．22.【解析】(2)由31+=+n n n a a a 得nn n n a a a a 31311+=+=+即)211(32111+=++n n a a又232111=+a , 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是以23为首项,3为公比的等比数列. 所以233232111nn n a =⨯=+- ,即132-=n n a ……………………………6分(3)12-=n n nb122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T Λ =2n T n n n n 2121)1(212211121⨯+⨯-++⨯+⨯-Λ 两式相减得n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=-Λ 1224-+-=n n n T ………………………………………………9分1224)1(--<-∴n n λ若n 为偶数,则32241<∴-<-λλn 若n 为奇数,则222241->∴<-∴-<--λλλn32<<-∴λ………………………………………………12分。