高一年级下学期期中考试数学试卷及答案
高一年级下学期期中考试数学试卷及答案
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分） 1．sin34sin 26cos34cos26??-??= ( )
A ．12
B ．12
-
C ．
32
D ．32
-
2．在△ABC 中，若a =2，b =2
，B =60°，则角A 的大小为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．30°或150°
D ．60°或 120°
3．在等比数列{a n }（n ∈N *
）中，若8
1
=,1=41a a ，则该数列的前10项和为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知4sin 5x =
，(,)2x ππ∈，则tan()4
x π
-=（ ） A.17
B ．1
7
-
C ．7
D ．7-
5．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则 △ABC 的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
6．设等差数列{a n }的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（ ）
A.52
B.78
C.104
D.208
7．已知函数R x x x x f ∈,sin )2cos +1(=)(2,则)(x f 是( )
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为2π
的奇函数
C. 最小正周期为π的偶函数
D. 最小正周期为2
π
的偶函数
8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c =，3
C π=，且3a b +=,则ABC ?的面积为（ ）
A 133
B 53
C ．
12
5
D 53
9．两个等差数列的前n 项和之比为
510
21n n +-，则它们的第7项之比为（ ） A ．2
B ．3
C ．4513
D ．
2
5
10．已知数列{a n }中，n n a n na a )1+(=2,1=1+1，则数列{a n }的通项公式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.设a =sin 14°+cos 14°，b =sin 16°+cos 16°，
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜b ＜a
D ．a ＜c ＜b
12．在ABC ?中，a x = 2b =，45B ∠=o ．若该三角形有两个解，则x 的取值范围是( )
A ．2x >
B ．02x <<
C ．222x <<
D ．223x <<
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13.在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝
10
9
，则BC ＝________． 14．已知等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项为5，a 3与a 7的等差中项为7，则a n =______. 15．已知2)4
tan(=+
π
α，则
α
αα
αcos 2sin cos 2sin -+的值是 .
16．已知三角形△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角
形的周长是_______________.
三、解答题（本题共6道题，其中第17题10分，18—22题每题12分，共70分）
17．(本小题满分10分）已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．
（1）求函数()y f x =的最小正周期；
（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程. 18． (本小题满分12分）已知数列{a n },a 1=1,以后各项由)2≥(1-(1
+=1-n n n a a n n ）
给出. （1）写出数列{a n }的前5项； （2）求数列{a n }的通项公式.
19.(本小题满分12分）在△ABC 中,a,b ，c 分别为内角A ,B,C 的对边，且2asinA =（2b +c ）sinB +（2c +b ）sinC ． （1）求角A 的大小； （2）求sinB +sinC 的最大值．
20．（本小题满分12分）已知5
1
=cos +sin x x ，且π<<0x .
（1）求x 2sin ； （2）求x sin -x cos ； （2）求x 3sin -x 3cos .
21.（本小题满分12分）如图，甲船以每小时215海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里；当甲船航行40分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距210海里．问乙船每小时航行多少海里？
22.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 中，)(3
,1*11N n a a a a n n
n ∈+==+ （1）求2a ，3a ；
（2）求证：???
???+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；
（3）（仅限3—9班做）数列{}n b 满足n n n n a n
b ??-=2
)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式 1
2
)1(-+<-n n n n T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.
数学答题卡 一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5
6
7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、_______________________ 14、 15、_______________________
16、
三、解答题（本题共6道题，其中第17题10分，18—22题每题12分，共70分） 17．(本小题满分10分）已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为
常数．
（1）求函数()y f x =的最小正周期； （2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.
18.(本小题满分12分）已知数列{a n },a 1=1,以后各项由)2≥(1-(1
+
=1-n n n a a n n ）
给出. （1）写出数列{a n }的前5项； （2）求数列{a n }的通项公式.
考 号 装 班 级
订
姓名 线 装 订 线 内 不 得 答 题
19.(本小题满分12分）在△ABC中,a,b，c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求角A的大小；
（2）求sinB+sinC的最大值．
20．（本小题满分12分）已知5
1
=
cos +sin x x ，且π<<0x . （1）求x 2sin ； （2）求x sin -x cos ； （3）求x 3sin -x 3cos .
21.（本小题满分12分）如图，甲船以每小时215海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里；当甲船航行40分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距210海里．问乙船每小时航行多少海
里？
22.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，)(3
,1*1
1
N n a a a a n n
n ∈+==+ （1）求2a ，3a ；
（2）求证：???
???+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；
（3）（仅限3—9班做）数列{}n b 满足n n
n n a n
b ??-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式 1
2)1(-+
<-n n n n T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.
数学答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
B A B
C A C
D D B B D C
13、4或5 14、2n-3 15、57
-
16、15 三、解答题 17.
18.
验证当n=1时a 1=1也符合上式，故a n =2-*∈,1
N n n
19.解：（Ⅰ）由=2R 得a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC
∵2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC ∴2a 2=（2b+c ）b+（2c+b ）c 整理得a 2=b 2+c 2+bc
∵由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA 故cosA=-2
1
，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin （60°-B ）
=
故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1
20.解：（1）51=cos +sin x x ，两边平方得：251=cos +cos sin 2+sin 2
2x x x x
25
24
-=cos sin 2∴x x 即25
24
-=2sin x
（2）25
49
=
2524+
1=cos sin 2-cos +sin =cos -sin 222
x x x x x x ）（
0
5
7
=cos -sin ∴x x
（3）)cos +cos sin +)(sin cos -(sin =cos -sin 2233x x x x x x x x 125
91
=
)2512-1(57= 连结A 1B 2，由已知，
21.解答： 如图，
，
∴A 1A 2=A 2B 2，
又∠A 1A 2B 2=180°﹣120°=60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴
，
由已知，A 1B 1=20，∠B 1A 1B 2=105°﹣60°=45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，
=
=200．
∴
．
因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
22.【解析】
(2)由31+=+n n n a a a 得n
n n n a a a a 3
1311+=+=+ 即
)2
11(32111+=++n n a a 又
23
2111=+a , 所以?
?????+211n a 是以23为首项,3为公比的等比数列.
所以233232111n
n n a =?=+- ,即1
32-=n n a ……………………………6分 (3)1
2-=
n n n b
1
221021
21)1(213212211--?
+?-++?+?+?
=n n n n n T Λ =2
n T n n n n 2121)1(212211121?+?-++?+?-Λ
两式相减得
n n n n n n T 2
22212121212121210+-=?-++++=-Λ 1
2
2
4-+-
=n n n T ………………………………………………9分
1
2
24)1(--
<-∴n n λ
若n 为偶数,则32241
<∴-
<-λλn
若n 为奇数,则222
241
->∴<-∴-
<--λλλn
32<<-∴λ………………………………………………12分