多元函数的极值及求法

注意：
驻点
偏导存在的极值点
如例 3， 点(0,0)是函数 z xy的唯一驻点， 但不是极值点.
如何判定驻点是否为极值点？（稍后回答）
与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，
偏导数不存在的点也可能是极值点。 如例2，显然函数 z
x2 y2
在(0, 0) 处取得极小值.
但函数在(0, 0) 处偏导数
显然每天的收益为 f ( x , y )
( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值.
引例2： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机U盘和鼠标，设他购买 x 个U盘，y 个鼠标达到最佳效果，效果函数 为 U ( x , y ) ln x ln y．设每个U盘8元，每 个鼠标10元，问他如何分配这200元以达到 最佳效果．
2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2 高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
思考题： 求二元函数
z f ( x , y ) x y(4 x y ) D 在直线 x y 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 y 上的最大值与最小值.
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
在点(3,0) 处
不是极值; 不是极值;
AC B 12 6 0 ,
在点(3,2) 处
2
AC B 12 (6) 0 , A 0 ,
2
x y6
这类最值问题下节讨论！
o
x
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
解得:
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos 2 sin 2 ) 0 π 60 , x 8 (cm) 3
由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
一个驻点, 故此点即为所求.
为极大值.
2
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
B
C
由上例可知:
求函数
z f(x,y) 极值的一般步骤：
f y ( x, y) 0
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
例7. 某厂要用铁板做一个体积为2
的有盖长方体水
箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 解: 设水箱长，宽，高分别为 x , y ，z ,
则水箱所用材料的面积为
故就是求面积A在约束下 xyz 2 的极值
2 2 x y 2 x y

令
பைடு நூலகம்
Ax 2( y
Ay 2( x
定理1 (必要条件)
函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
( x0 , y0 ) 0 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y
证: 取得极值 , 故 取得极值 取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 该定理说明偏导数存在并且不等于0的点一定不是极值！
注：1）几何意义:极值点处的切平面平行于xoy平面； 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点 .
§12-2 多元函数的极值及其求法
多元函数的极值和最值
0、问题的提出
引例1：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子 每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主 估计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子 的每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 5 x 4 y 瓶 本地牌子的果汁，80 6 x 7 y瓶外地牌子的果 汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁 可取得最大收益？
问题的实质：求 U ( x , y ) ln x ln y 在条 件 8 x 10 y 200下的极值点．
两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值， 先讨论与最值有密切联系的极值问题！ 从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不 同，多元函数的极值分为两类：
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值
2) 当 AC B 0 时, 没有极值.
2
2
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
2
注意： 如果 AC B2 0，只能用定义判定是否是极值！
例5.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
x 24
x
24 2 x
A 24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin ( D : 0 x 12 , 0 π ) 2
令
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos 2 sin 2 ) 0
例6. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2 2 2 24 x sin 2 x sin x cos sin ( D : 0 x 12 , 0 π ) 2
z
在(0,0)点邻域内的取值
正
可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此 为极小值.
O
x
y
当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 ) 2 z (0,0) 0
推广 如果三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条 件为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， f z ( x0 , y0 , z0 ) 0.
方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界
上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为
最大值，最小者即为最小值.
特别,
当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f ( P) 为极小值
(大)
f ( P) 为最小值
(大)
更特别的，当可微函数在区域内部有最值存在,且只 有唯一的驻点时，则该点必是该最值点！
3、最值应用问题
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 偏导不存在的点 边界上的最值点
我们可以把最值问题分为两类：
（1）连续函数在开区域上的最值；
方法：将函数在D内的所有驻点和偏导不存在的点处的
函数值相互比较，其中最大者即为最大值，最 小者即为最小值. （2）连续函数在闭区域上的最值：
注意：这里要求严格小于。
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
例２ 函数 z
(1)
2
x y
2
在 (0,0) 处有极小值．
例３ 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
例4.
(3)
的极值.
二、多元函数取得极值的条件
不存在。
结论：极值点必在驻点和偏导数不存在的点中！
把驻点和偏导数不存在的点称为可疑极值点.
若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
不证明，自己看第二节(P108) .
例4. 求函数
的极值.
解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
无其他条件. 如引例1。
条件极值 ：对自变量附加条件的极值问题称为条件
极值. 如引例2。 思考：为什么一元函数的极值没有分类！
一、 多元函数极值的定义
观察二元函数 z xy e
x2 y2
的图形
多元函数极值的定义
二元函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内有 定义， 对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若 满足不等式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称函数在 ( x0 , y0 )有极大值；若满足不等式 则称函数在( x0 , y0 ) 有极小 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )， 值；