多元函数的极值与最值
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
首页 上页 返回 下页 结束 铃
一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
首页 上页 返回 下页 结束 铃
二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业：P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3：某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时，才能使用料最省 ？
例4：有一宽为 24cm的长方形铁板，把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大？
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值，且当 A 0时有极大 值，当A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B 2 0时可能有极值，也可能 没有极值， 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2：求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点：能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导：极值点 驻点. 驻点 ？极值点.
定理2(充分条件)：设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下：
极值与最值
极大值点与极小值点统称为极值点
极大值与极小值统称为极值
如：⑴ z 3x2 4y2在 (0,0)处有极小值（如下图） ⑵ z x2 y2 在 (0,0) 处有极大值（如下图） ⑶ z xy 在 (0,0) 处既无极大值也无极小值
M max{ f (x1, y1),, f (xn , yn )} m min{ f (x1, y1),, f (xn , yn )}
例2：求函数 f (x, y) x2 2xy 2 y在矩形闭区域
D {(x, y) 0 x 4,0 y 3}上的最值.
对于实际问题求最值
Lxx 4 A Lxx (40, 24) 4 0 Lxy 4 B Lxy (40, 24) 4
Lyy 8 C Lyy (40, 24) 8
B2 AC 16 0
A 0
Байду номын сангаас
(x0,y0)=(40,24)为极大值点，就 是最大值点。
最大值点与最小值点统称为最值点
最大值与最小值统称为最值
2、最值的求法
设函数 z f (x, y) 在有界的闭区域 D上连续可微，
则求最值的步骤为：
⑴求函数 z 的所有驻点(xi, yi ), i 1,, n ； ⑵求函数 z 在边界上的最大值点和最小值点 (xm, ym) ⑶求最大值与最小值
解此方程有：
x y
x0
a(ax0 a
多元函数的极值与最值
转 化
从条件( x, y) 0中解出 y ( x)
求一元函数
z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
- 14 -
方法2 拉格朗
日乘数法.
例如,
在条件( x, y) 0下, 求函数 z f ( x, y) 的极值.
如方法 1 所述 ,
设 ( x, y) 0 可确定隐函数
y (x),
(
D
:
0
x
12,
0
2
)
令 Ax 24sin 4x sin 2x sin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2(cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
比较后可知 f (2,1) 4为最大值, f (4,2) 64为最小值.
z f (x, y) x2 y(4 x y)
- 10 -
4. 某厂要用铁板做一个体积为2
箱, 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
的有盖长方体水
解:
设水箱长,宽分别为x ,y m ,
则水箱所用材料的面积为
但在该点不取极值.
-3-
定理2 (充 分条件) 若函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
解得:
60, x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到,
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的基础上建立起来的函数，其中每个自变量可以取不同的取值范围。
函数中的每个自变量都有可能对因变量产生影响，因此在寻找该类函数的极值和最值时，需要使用二元函数求导以及极值的方法进行研究分析。
本文将详细阐述多元函数的极值与最值的相关概念和定理，并探讨如何应用这些方法进行问题解决。
一、多元函数的极值和最值1. 极值极值是指一个函数在可定义范围内的自变量取值中，使得该函数取得最大值或者最小值的某个特定点。
当函数在该点处的导数为0时，这个点被称为函数的驻点；如果在该点处导数变号，那么该点就是函数的极值点。
因此，求多元函数的极值就需要用到多元函数求导的技巧，从而找到导函数为0的点。
2. 最值最值是指一种特殊的极值，它是多元函数在所有可定义自变量取值范围内所取得的最大值或最小值。
一般来说，函数的最值不一定是在驻点处取得，而是可能在该函数的可定义区间的极点或边界处取得。
二、多元函数的求导方法多元函数的求导方法一般可以通过偏函数求导的方式实现。
即，将多元函数转化为一组由每个自变量为变量的一元函数，再对每个一元函数分别求导。
由于多元函数的求导方法较为复杂，因此需要有以下几个步骤：1. 将多元函数转化为一系列一元函数可以将多元函数按照自变量分别取值范围确定的函数写成形如f(x1,x2,...,xn) = y的形式。
其中，x1,x2,...,xn表示自变量，y为因变量。
2. 对每一个自变量求偏导数在多元函数中，并不是所有自变量对函数的影响都是一样的。
因此，我们必须分别计算每个自变量的导数，即偏导数。
在对每个自变量求偏导数时，其他变量都被视为常量，只对当前变量进行求导操作。
3. 求出最终导数表达式在求出所有的偏导数之后，需要根据求导规则求出最终的导数表达式。
为了求出多元函数的驻点，需要将各个偏导数求出的结果联立，并得到所有自变量为未知数的方程组。
4. 解方程组求得极值或最值最后，我们可以使用解线性方程组的方法，从而求得多元函数的极值或最值点。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
多元函数的极值与最值
（2） B AC
2
B C 0 时没有极值；
正定
B 2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值， （3）
还需另作讨论．
13
例4 求函数 f ( x, y) x 3 y 3 3 x2 3 y2 9 x 的极值.
f x 3 x 2 6 x 9 0 x 3, 1 解 令 f y 3 y 2 6 y 0 y 0, 2 求得驻点： (3,0), (1,0), (3,2), (1,2) ,
其中 为参数， Fx f x ( x , y ) ( x , y ) 0 x 令 F y f y ( x , y ) ( x , y ) 0 , y F ( x , y ) 0 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区 域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往
可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若
函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就 是最大值点或最小值点.
26
例9 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解 设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
注意到 x 0, sin 0 ,化简后解得 x 8, , 3
由实际问题可知,S 必有最大值,且内部唯一驻点,故当
x 8,
3
时,槽的截面积最大, S最大 48 3 .
18
例7
已知某产品的需求函数为 Q 200000 1.5 x 0.1 y 0.3 ， p
解出 x , y , z ，就是可能的极值点的坐标 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
2
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 , x 8 (cm) 解得: 3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
第六节
多元函数的极值与最值
第六节 多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一 多元函数的极值
二 多元函数的最值 三 条件极值
-1-
第六节
多元函数的极值与最值
一、 多元函数的极值
第 八 章
定义: 若函数
的某邻域内有
多 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 元 函 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 数 例如 : 微 分 在点 (0,0) 有极小值; 法 及 在点 (0,0) 有极大值; 其 应 用 在点 (0,0) 无极值.
正
负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
当 x y 0 时, z ( x y ) z ( 0,0 ) 0
2 2
2
2 2
因此
-7-
为极小值.
第六节
多元函数的极值与最值
二 多元函数的最值
依据
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
( D : 0 x 12 , 0 2)
x
x
24 2 x
- 12 -
24
第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
A 24 x sin 2 x sin x cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
第 八 章
如方法 1 所述 , 设 ( x , y ) 0 可确定隐函数 y ( x ) ,
则问题等价于一元函数 z f ( x , ( x )) 的极值问题, 故 多 元 极值点必满足 函 dz dy 数 fx f y 0 微 dx dx 分 法 dy x x , 故有 f x f y 0 及 因 dx y y 其
高为
3
2 23 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
- 11 -
第六节
多元函数的极值与最值
例5.有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成
第 八 积最大. 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2 24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin
z f ( x , y ) x 2 y(4 x y )
- 10 -
第六节
多元函数的极值与最值
例4. 某厂要用铁板做一个体积为2
第 八 章
的有盖长方体水
箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 解: 设水箱长,宽分别为x ,y m ,则高为 x2y m ,
则水箱所用材料的面积为
一个驻点, 故此点即为所求.
- 13 -
第六节
多元函数的极值与最值
三、条件极值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
极值问题
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 , 在条件 ( x , y ) 0下, 求函数 z f ( x , y ) 的极值
存在
证:
取得极值 , 故
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
-3-
第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
区域内的驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 在区域函数只有一个极值点P 时, 经判别得 f ( P ) 为最小(大)值 f ( P ) 为极小(大) 值
当区域内部最值存在, 且只有唯一的一个驻点P 时，
则驻点一定是最值点。
-8-
第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
( x , y , z ) 0下的极值. 多 设 F f ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y,.
- 17 -
第六节
多元函数的极值与最值
例6. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
转 化
从条件 ( x , y ) 0中解出 y ( x )
求一元函数 z f ( x , ( x )) 的无条件极值问题
- 14 -
第六节
多元函数的极值与最值
方法2 拉格朗日乘数法. 例如, 在条件 ( x , y ) 0下, 求函数 z f ( x , y ) 的极值.
应 用
记
x
fx
fy
y
- 15 -
第六节
多元函数的极值与最值
f x x 0
第 八 章
f y y 0 ( x, y) 0 引入辅助函数 F f ( x , y ) ( x , y )
极值点必满足
多 元 函 数 则极值点满足: 微 分 法 因此 函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0下的极值点 及 其 应 一定是函数 F ( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y ) 的驻点。 用
第 八 章
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 x y z V0 下水箱表面积 S 2( x z y z ) x y
多 元 最小. 函 数 令 F 2( x z 微 分 法 及 其 解方程组 应 用
多 2 2 2 x y 元 x y 函 数 Ax 2( y x22 ) 0 3 3 微 令 得驻点 ( 2 , 2) 分 2 A 2 ( x )0 法 y y2 及 其 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 应 用 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
0
长、宽、高尺寸相等 .
于是令 g( x ) x 2 (6 x )( 2) ,
由 g 4 x ( x 6) 2 x 2 0 ,
D
o
x
0 x6
得 x2 4 y 6 x | x 4 2,
g(0) 0, g(6) 0, g(4) f (4,2) 64,
比较后可知 f ( 2,1) 4 为最大值, f (4,2) 64为最小值.
-2-
第六节
多元函数的极值与最值
定理1 (必要条件) 函数
则有 偏导数, 且在该点取得极值 , 第 ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 八 fx
章 多 元 取得极值 函 数 取得极值 微 分 法 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 . 及 其 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 应 但驻点不一定是极值点. 用
A>0 时取极小值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
-4-
第六节
多元函数的极值与最值
例1. 求函数
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
的极值.
解: 第一步 求驻点. 解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
y z ) x y ( x y z V0 )
z
x
y
2z y y z 0 2z x x z 0 2( x y ) x y 0 x y z V0 0
- 18 -
第六节
多元函数的极值与最值
4 3 2V 0
得唯一驻点 x y 2z 3 2V0 ,
为极大值.
f x x ( x , y ) 6 x 6 , f x y ( x , y ) 0 , f y y ( x , y ) 6 y 6
A
B
-6-
C
第六节
多元函数的极值与最值
例2.讨论函数
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
及
在点(0,0)
是否取得极值. 解: 显然(0,0)都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 有 在(0,0)点邻域内的取值可能为
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
- 16 -
朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 例如, 求函数 u f ( x , y , z ) 在条件 ( x , y , z ) 0 , 推广
第二步 判别. 求二阶偏导数