必修5--数列知识点总结及题型归纳

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(完整版)数学必修五数列知识总结

数列知识总结一.知识网络 :等差数列的正等差数列性质有整数列的观点通项及关前 n 项和数应集等比数列等比数列的用性质二.重点提示:1.数列的定义 :按必定序次摆列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，，n ｝上的函数当自变量由小到大挨次取值时对应的一列函数值．2.数列的通项公式和前 n 项和:关于随意数列a n , 其通项是 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是: a n S1,(n 1)S n (n.Sn 1 2, n N *)3.求数列通项公式的方法:①察看法:找项与项数的关系,而后猜想查验, 即得通项公式 a n ,注意利用前几项得出的通项公式不必定独一 .②利用通项 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是:,③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解.④其余方法: 迭加,迭乘,待定系数等.4.证明一个数列是等差数列或等比数列, 常用的两种基本方法 : 一是利用定义; 二是．．．．利用等差中项（或等比中项）来进行证明.( 注意:通项的特色与前 n 项和的特色只用于判断)5.等差数列的性质:(1) 数列 a n为等差数列，则a m= a n＋（m－n）d,或d a n a m n m(2) 数列 a n为等差数列的充要条件是:其通项公式能够写成a n= an＋b (a,b为实．．．．常数).(3) 数列 a n 为等差数列的充要条件2a n an 1 a n 1,推广．．．．2a n a n k a n k( n>k. >0)(4) 数列a n为等差数列:若 m n p q ,则a m a n a p a q.(5)数列 a n为等差数列,去掉前m项,剩下的项组成等差数列.推行：数列 a n为等差数列,则每隔k项取m项的和仍组成等差数列.(6)数列 a n是公差为d的等差数列,则奇(偶)数项组成公差为2 d的等差数列.推行①:数列a n为公差为 d 等差数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公差为 (k 1)d 的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列.推行②:数列a n是公差为 d 的等差数列 ,则项下标成等差数列的项也成等差数列.(7) 数列a n , b n 项数同样的等差数列 :则ka n , pa n qb n , panq ( p, q 为常数) 仍为等差数列.(8) 数列a n 为等差数列,其前n 项和S n能够写成S n an 2 bn, (a, b 为常数).(9)数列 a n为等差数列:则数列中挨次每连续k项之和组成的数列也是等差数列.(10)数列 a n为等差数列: S奇表示奇数项的和, S偶表示偶数项的和,若项数为2n 项时, 则有S奇－S偶 = nd , S奇 / S偶= a n / a n+ 1 ;若项数为 2n － 1 项时 , 则有奇－S偶= an, 奇/S偶= n/ (n－S S 1), S2 n 1(2n 1)a n .6.等比数列的性质:(1) 数列a n 为等比数列: a n a1q n 1, a m a n q m n , a n 2 an man m.(2) 数列a n 为等比数列: a n 2 an 1 a n 1 ,推行 a n 2 a n m a n m ( n>m >0)(3) 数列a n 为等比数列: m n p k ,则 a m a n a p a k.(4)数列 a n为等比数列,取掉前若干项,节余的项也组成等比数列.推行：数列 a n为等比数列,则每隔k项取m项的和(积)仍组成等比数列.(5) 数列 a n 为等比数列,则奇(偶)数项组成等比数列.推行① :数列 a n 为公比为 q 等比数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公比为 q k 1 的等比数列.推行②:数列 a n 为等比数列 ,则项数成等差数列的项成等比数列.1 a n } , ka n , a n b n , a n k(k 为 (6) 数列 a n , b n 为项数同样的等比数列: 则 { } , {b n a n常数) 等仍为等比数列.(7) 数列 a n 为公比为 q(q ≠±1) 的等比数列:则数列中连续 k 项之和(积) 组成的数列是等比数列.(8) 数列 a n 为等比数列: ( S 奇表示奇数项的和, S 偶表示偶数项的和 )若项数为 2n 项时,则有 S 偶 / S 奇 = q;若项数为 2n －1 项时, 则有( S 奇－ a 1 )/ S 偶 =q.(9) 递推公式为 a n 1 pa n q( p 1) 的递推数列 { a n } , 都能够转变为an 1q p a nq 进而结构等比数列.p1 p 17.等差数列与等比数列比较:名称等差数列等比数列定义a n+ 1 ―a n =da n 为等差数an 1q ( q0 )a n 为等比数列a n列通项公 a n = a 1＋( n －1) d = a m ＋( n －a n = a 1q n－1 = a m q n －m 式 m) d前 n 项 S nn a 1 a nna 1q 1 , 2S n a 1 1 q n a 1a n q和公式 1n n1q 1 q 1 .na 1dq2a ，A ，b 成等差数列a ，G ，b ，成等比数列中项Aa b，或 2 A=a ＋b ．Gab ，或 G 2=ab28.等差数列与等比数列的关系:(1) 各项为正的等比数列 a n ,其对数数列{log a a n }( a 0, a 1) 为等差数列.(2) 数列 a n 为等差数列,则数列{ C a n }( C 为正常数) 为等比数列.9.数列乞降的一般方法( 联合于详细的示例解说): ①倒序乞降法:(等差数列的乞降);②错位相减法:(等比数列和差比数列);例 1:乞降: a 2a 2 3a 3 4a 4na n (n N *) .③裂项相消法:(数列中的各项能够拆成几项, 而后进行消项);例 2:乞降:1 1 55 1 (2n 1) 1.1 3 3 7(2n 1)例 3:求数列{1} 的前 n 项和.nn1④通项化归法:(化出通项, 由通项确立乞降方法 );例 4:求数列:1,1 , 1 , ,2 1 , 的前 n 项和 S n .1 2 1 2 3 1 3n⑤分组乞降法:(将一个数列分红几组,每组都能够用乞降公式来求解); 例 5:求数列 2,2 1 ,3 1 ,4 1, , n1 , 的前 n 项之和.2 4 82n 1⑥公式法:( 应用等差或等比数列的乞降公式直接来求解). ⑦.累差迭加法例 6:已知数列 6,9,14,21,30, , 此中相邻两项之差成等差数列,求它的通项.⑨∑乞降记法n用 a k = a 1a 2a 3a n 。

人教版高中数学必修五数列基础知识要点总结

3、求数列通项的常用方法
①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；
②公式法：利用求通项公式
③根据递推公式求通项公式：
（1）迭代法：对于形如型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使与初始值 (或 )建立联系的方法就是迭代法．
（2）累加法：形如的递推公式可用求出通项；
2、等差（比）中项
由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，叫做与的等差中项.
若与的等差中项，则。
如果在，两个数中间插入一个数，使，，成等比数列。这时，叫做与的等比中项.
①、与是两个同号的非零实数
②、若是与的等比中项，则
3、判断等差（比）数列的方法
③裂项相消法：把数列的通项裂成两项之差后求和，正负项相消，剩下首尾若干项．使用此方法时必须搞清楚消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．如：
(1) ，(2) ，
(3) ，(4) 。
④倒序相加法：当把一个数列倒过来排序，与原数列对应项相加后有公因式可提，且余下的项容易求和，这时一般可用倒序相加法求其前项和．
已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数分别为，，，其中为公比。
若已知四个数成等比数列及这个四个数的积时，一般不设为，，，，因为这种设法使得四个数的公比为，就漏掉了公比为负数的情形，造成漏解。
2、求数列最大（小）值的方法
一般方法——解不等式；或
特别地，若为等差数列，为它的前n项的和时，求的最大（小）值可以利用①二次函数的性质；② 中项的符号。
第二章《数列》基础知识小结
一、数列的概念与表示方法

高一数学必修5：数列(知识点梳理)

第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------，设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

高中数学必修5 第二章数列知识整理

第二章数列2.1 数列1.数列（1）数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a ……，简记为{}n a 。

其中数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项。

注意：①数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

所以，数列的一般形式可以写成123,,,,n a a a a …，简记为{}n a 。

如：数列1，2，3，4，…，可以简记为{n}。

②数列中的数是按一定次序排列的。

因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列。

如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列。

③数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同。

因此，同一个数在数列中可以重复出现。

如：1,1,1,1,1,1,---…；2,2,2,2,2,…等。

④{}n a 与n a 是不同的概念。

{}n a 表示数列123,,,,,n a a a a ……，而n a 仅表示数列{}n a的第n 项。

⑤从映射函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数N +（或它的有限子集{1,2,3,,}n …）的数与自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊函数：它的自变量只能取正整数，由于数列的值是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

可以将序号为横坐标，相应的像为纵坐标，通过描点画图来表示一个数列，从数列的图像表示可以直观的看出数列的变化情况。

（2）数列的分类①按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列。

项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。

②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

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数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比。

高中数学必修5《数列》知识点总结及题型分析

高中数学必修5《数列》知识点总结及题型分析1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列； 2°.通项公式：;11k n k n n q a qa a --==. 3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公比为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公比为q n的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）； 2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 3.正确理解与运用等差、等比数列基本公式1°.注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2°．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.4．巧设“公差、公比”是解决问题的重要方法①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）” ②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )” ③四数成等差数列，可设四数为：“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或” ④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或” 5.由递推公式求通项公式的方法①1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++-，进而求解。

人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结

⑤分组求和法：有些数列，通过适当拆项或分组后，可得到几个等差或等比数列,这样就可利用公式法进一步求和了．
⑥已知等差数列 ,求数列的方法。
⑥当，时，为递增数列。
10、等差（比）数列的前n项和公式
①
②
当时，；
当时，或
1１、前n项和的性质1
①当时，，是关于的一个缺少常数项的一次函数，数列图象是直线上一群孤立的点；
②当时, ，是关于的一个缺少常数项的二次函数,数列图象是抛物线上一群孤立的点。
①当时, ，数列的图象是函数上的一群孤立的点；
13、前n项和的性质3
等差数列的前项和为，项数为（ )项，则① ,② ,③ ;
等差数列的前项和为，项数为 ( )项,则① ,② ，③ .
在等比数列中,若项数为 ( )，则
三、典型题型小结
1、三(四）个数成等差(比)的设法
四个数成等差数列常设为 , , , ,公差为。若三个数成等差数列常设为 , , ，公差为。
①
②
③
①
②
③
4、等差(比）数列的通项公式
①
②
③ ，其中、是常数
①
②
③
5、性质1
在等差数列中，若已知与 ,其中，则该数列的公差。
若等比数列中，公比是 ,则。
6、性质2
在等差数列中,若且、、、 ,则。
特别地、在等差数列中，若且、、 ,则。
在等比数列中,若 ( , , ，）,则。
３、求数列通项的常用方法
①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；
②公式法：利用求通项公式
③根据递推公式求通项公式：

最新人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结

（4）形如形式可用待定系数法。
4、数列求和的常用方法
①公式求和法：公式法是数列求和的最常用方法之一，可直接利用等差数列、等比数列的求和公式，也可利用常见的求前项和的公式，如：；
据调查，大学生对此类消费的态度是：手工艺制品消费比“负债”消费更得人心。在等比数列公比为中，若，，则，，，…，，…构成一个公比为的等比数列。
8、性质4
若数列与分别是公差为和的等差数列，则数列（，是常数）是公差为的等差数列。
若和分别是公比为和的等比数列，则数列，仍是等比数列，它们的公比分别为，。
②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地，我们称为数列的前项和，用表示，即
二、等差数列与等比数列
当时，或
11、前n项和的性质1
①当时，，是关于的一个缺少常数项的一次函数，数列图象是直线上一群孤立的点；
②当时，，是关于的一个缺少常数项的二次函数，数列图象是抛物线上一群孤立的点。
①当时，，数列的图象是函数上的一群孤立的点；
②当时，，设，则，此时，数列的图象是函数的图象上一群孤立的点。
9、等差（比）数列的单调性
①若，则为递增数列；
②若，则为递减数列；
③若，则为常数列。
①当时，为常数列；
②当时，为摆动数列；
③当，时，为递增数列；
④当，时，为递减数列；

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数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…②：514131211，，，，…（3）数列的函数特征与图象表示： 4 5 6 7 8 9序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a bA +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2）例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （）A ．120B ．105C ．90D ．752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（） A ．1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。

(),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列 )递推公式：2)(2)()1(1na a n a a S m n m n n --+=+= 例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )A ．13B ．35C ．49D ． 63 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 6.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )3132--．．B A C.31 D.327．设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛nS n｝的前n 项和，求T n 。

题型六.对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为。

3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== 4．（06全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝13，则612SS ＝ A ．310B ．13C ．18D ．19题型七．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列例：1.已知一个数列}{n a 的前n 项和422+=n s n ，则数列}{n a 为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知一个数列}{n a 的前n 项和22n s n =，则数列}{n a 为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且（*∈N n ）①求数列{}n a 的通项公式；题型八.数列最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩。

例：1．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大。

2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，，①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，，中哪一个值最大，并说明理由。

3.已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。

（1）数列}{n a 从哪一项开始小于0？（2）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．题型九.利用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．1．已知数列{}n a 的前n 项和，142+-=n n S n 则2.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式；3.已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式4.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（）（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64等比数列等比数列定义：…… 一、递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a a a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111q 1．在等比数列{}n a 中,2,41==q a ，则=n a 2．在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，则8a =3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（）A 33B 72C 84D 189二、等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.2+2-( )()1A ()1B -()1C ±()2D三、等比数列的基本性质，1.（1）q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*∈N q p n m 其中（2）)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ，（3）{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列.例：1．在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22510x x ++=的两个根,则47a a ⋅=( )5()2A-()2B 1()2C -1()2D2.在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，， ①求n a②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=3.等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=则（）A ．12B ．10C ．8D ．2+3log 5四、等比数列的前n 项和，)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn例：1.已知等比数列}{n a 的首相51=a ，公比2=q ，则其前n 项和=n S2.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已,62=a 30631=+a a ，求n a 和n S 3．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（）A ．2(81)7n- B ．12(81)7n +-C ．32(81)7n +-D ．42(81)7n +- 五.等比数列的前n 项和的性质若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列. 例：1.一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（）A ．83B ．108C ．75D ．632.已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则，六.等比数列的判定法（1）定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列；（2）中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；（3）通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列；（4）前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列。