必修5--数列知识点总结及题型归纳

数列

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫

这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5

14131211，，，，…

（3）数列的函数特征与图象表示： 4 5 6 7 8 9

序号：1 2 3 4 5 6

项 ：4 5 6 7 8 9

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关

系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？

（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …

(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式

二、等差数列

题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a

题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；

等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，124971

16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64

2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于

（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670

题型三、等差中项的概念：

定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2

a b A +=

a ，A ，

b 成等差数列?2a b A += 即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75

2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）

A ．1 B.2 C.4 D.8

题型四、等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；

（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m

-=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=

=+n d a ）（2n 2112-+=。(),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 ) 递推公式：2

)(2)()1(1n a a n a a S m n m n n --+=+= 例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=

（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35

2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )

A ．13

B ．35

C ．49

D ． 63

3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=

4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

A.13项

B.12项

C.11项

D.10项

5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95

S S = 6.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )

3

132

--．．B A C.31 D.32 7．设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛n S n ｝的前n 项和，求T n 。

题型六.对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）

A.130

B.170

C.210

D.260

2.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为。

3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-==

4．（06全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝13，则612

S S ＝ A ．310

B ．13

C ．18

D ．19 题型七．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列

②中项法：)22

1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法：),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列

④前n 项和公式法：),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列 例：1.已知一个数列}{n a 的前n 项和422+=n s n ，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

2.已知一个数列}{n a 的前n 项和22n s n =，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ）

①求数列{}n a 的通项公式；

题型八.数列最值

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；

（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；

可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即： 若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??≤?或100

n n a a +≤??≥?。

例：1．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大。

2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，，

①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，

， 中哪一个值最大，并说明理由。 3.已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。

（1）数列}{n a 从哪一项开始小于0？

（2）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．

题型九.利用11(1)(2)

n n n S n a S S n -=?=?-≥?求通项．

1．已知数列{}n a 的前n 项和，142+-=n n S n 则

2.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2

，求数列}{n a 的通项公式； 3.已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

1-++=

n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列

②求数列{}n a 的通项公式 4.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）

（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64 等比数列

等比数列定义：……

一、递推关系与通项公式

m

n m n n n n n q a a q a a a a --+?=?==推广：通项公式：递推关系：111q

1． 在等比数列{}n a 中,2,41==q a ，则=n a

2．在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，则8a =

3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（ ）

A 33

B 72

C 84

D 189

二、等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2

，注：是成等比数列的必要而不充分条件.

例：

1.2+

2-( )