精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学(理)试题(原卷版)

河北省衡水中学2018年高2016级高三上学期三调考试理科数学试题及参考答案

2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合,,,若,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合M、N,再求,再根据得到a的不等式,即得解.【详解】由题得,因为,所以.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查集合的化简运算,考查集合的关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时要注意取等的问题,最好把等号带进原题检验.2.若直线与双曲线相交,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】联立直线和双曲线的方程得到,即得的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得当,直线和双曲线的渐近线重合,所以直线与双曲线没有公共点.当,,解之得.故答案为：C【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3.在中,,,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图所示,由＝＝,可得,代入即可得出.【详解】如图所示,∵＝＝,∴,∴•＝＝＝﹣.故答案为：【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质,考查了计算能力,属于基础题..4.已知数列的前项和为,正项等比数列中,,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣n,a1＝S1＝0,n≥2时,a n＝S n﹣S n﹣1,可得a n.设正项等比数列{b n}的公比为q＞0,b2＝a3＝4.b n+3b n﹣1＝4b n2(n≥2,n∈N+),化为q2＝4,解得q,可得b n.【详解】数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣n,∴a1＝S1＝0,n≥2时,a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣2,n＝1时也成立.∴a n＝2n﹣2.设正项等比数列{b n}的公比为q＞0,b2＝a3＝4.b n+3b n﹣1＝4b n2(n≥2,n∈N+),∴＝4,化为q2＝4,解得q＝2.∴b1×2＝4,解得b1＝2.∴b n＝2n.则log2b n＝n.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法,考查等比数列通项的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若在已知数列中存在：的关系,可以利用项和公式,求数列的通项.5.已知直线与圆相交于,,且为等腰直角三角形,则实数的值为( )A.或B.C.D.1或【答案】D【解析】【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形,得到圆心C到直线的距离d＝rsin45°,利用点到直线的距离公式列出方程,求出方程的解即可得到a的值.【详解】∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形,∴圆心C(1,﹣a)到直线ax+y﹣1＝0的距离d＝rsin45°,即＝,整理得：1+a2＝2,即a2＝1,解得：a＝﹣1或1,故答案为：D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系,涉及的知识有：点到直线的距离公式,圆的标准方程,等腰直角三角形的性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握公式及性质是解本题的关键. 6.在中,分别是角的对边,若,则的值为( )A. B.1 C.0 D.2014【答案】A【解析】【分析】由a2+b2＝2014c2,利用余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2013c2＝2abcosC.利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得＝＝＝即可得出.【详解】∵a2+b2＝2014c2,∴a2+b2﹣c2＝2013c2＝2abcosC.∴＝＝＝＝2013.故答案为：A【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基本技能方法,属于难题.7.已知点是圆内一点,直线是以为中点的弦所在的直线,直线的方程为,那么( )A.且与圆相切B.且与圆相切C.且与圆相离D.且与圆相离【答案】C【解析】【分析】求圆心到直线的距离,然后与a2+b2＜r2比较,可以判断直线与圆的位置关系,易得两直线的关系.【详解】以点M为中点的弦所在的直线的斜率是﹣,直线m的斜率为,∴直线l⊥m, ∵点M(a,b)是圆x2+y2＝r2内一点,∴a2+b2＜r2,∴圆心到bx﹣ay＝r2的距离是＞r,故相离.故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.若圆和圆关于直线对称,过点的圆与轴相切,则圆心的轨迹方程是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出两个圆的圆心坐标,两个半径,利用两个圆关于直线的对称知识,求出a的值,然后求出过点C(﹣a,a)的圆P与y轴相切,就是圆心到C的距离等于圆心到y轴的距离,即可求出圆心P的轨迹方程.【详解】圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0的圆心(),因为圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0与圆x2+y2＝1关于直线y＝x﹣1对称,设圆心()和(0,0)的中点为(),所以()满足直线y＝x﹣1方程,解得a＝2,过点C(﹣2,2)的圆P与y轴相切,圆心P的坐标为(x,y)所以解得：y2+4x﹣4y+8＝0,所以圆心的轨迹方程是y2+4x﹣4y+8＝0,故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查圆关于直线的对称问题,考查动点的轨迹方程的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求轨迹方程的四种主要方法：①待定系数法：通过对已知条件的分析,发现动点满足某个曲线(圆、圆锥曲线)的定义,然后设出曲线的方程,求出其中的待定系数,从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的,可以先用点的坐标表示点的坐标,然后代入点满足的方程,即得动点的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的,可以选参、设参,然后用这个参数表示动点的坐标,即,再消参.9.平行四边形中,,,点在边上,则的最大值为( )A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积的运算,求出A＝120°,再建立坐标系,得到•＝x(x﹣2)+＝x2﹣2x+＝(x﹣1)2﹣,设f(x)＝(x﹣1)2﹣,利用函数的单调性求出函数的最值,问题得以解决.【详解】∵平行四边形ABCD中,AB＝2,AD＝1,•＝﹣1,点M在边CD上,∴||•||•cos∠A＝﹣1,∴cosA＝﹣,∴A＝120°,以A为原点,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂线为y轴,建立如图所示的坐标系,∴A(0,0),B(2,0),D(﹣,),设M(x,),则﹣≤x≤,∴＝(﹣x,﹣),＝(2﹣x,﹣),∴•＝x(x﹣2)+＝x2﹣2x+＝(x﹣1)2﹣,设f(x)＝(x﹣1)2﹣,则f(x)在[﹣,1)上单调递减,在[1,]上单调递增,∴f(x)min＝f(1)＝﹣,f(x)max＝f(﹣)＝2,则•的最大值是2,故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题,关键是建立坐标系,属于中档题.10.已知椭圆上一点关于原点的对称点为,为其右焦点,若,设,且,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】椭圆＝1(a＞b＞0)焦点在x轴上,四边形AFF1B为长方形.根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|＝2a,∠ABF＝α,则∠AF1F＝α.椭圆的离心率e＝＝＝,α∈[,],≤sin(α+)≤1,≤≤﹣1,即可求得椭圆离心率e的取值范围.【详解】椭圆＝1(a＞b＞0)焦点在x轴上,椭圆上点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,设左焦点为F1,连接AF,AF1,BF, BF1,∴四边形AFF1B为长方形.根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|＝2a,∠ABF＝α,则：∠AF1F＝α.∴2a＝2ccosα+2csinα椭圆的离心率e＝＝＝,α∈[,],∴≤α+≤,则：≤sin(α+)≤1,∴≤≤﹣1,∴椭圆离心率e的取值范围：,故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义,三角函数关系式的恒等变换,利用定义域求三角函数的值域,离心率公式的应用,属于中档题型.(2)求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围,建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系,建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.11.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,在抛物线上且满足,当取最大值时,点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义,结合|PA|＝m|PB|,可得＝,设PA的倾斜角为α,则当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,求出P的坐标,利用双曲线的定义,即可得出结论.【详解】过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|＝|PB|, ∵|PA|＝m|PB|,∴|PA|＝m|PN|,∴＝,设PA的倾斜角为α,则sinα＝,当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,设直线PA的方程为y＝kx﹣1,代入x2＝4y,可得x2＝4(kx﹣1),即x2﹣4kx+4＝0,∴△＝16k2﹣16＝0,∴k＝±1,∴P(2,1),∴双曲线的实轴长为PA﹣PB＝2(﹣1),∴双曲线的离心率为＝+1.故答案为：C【点睛】本题考查抛物线的性质,考查双曲线、抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,是解题的关键.(2)圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.12.已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意,；③当时,；④函数,,若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点,则直线斜率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件分别判断函数的周期性,奇偶性以及函数在一个周期上的图象,利用函数与图象之间的关系,利用数形结合进行求解即可.【详解】∵函数f(x)的图象关于y轴对称,∴函数f(x)是偶函数,由f(2+x)﹣f(2﹣x)＝0得f(2+x)＝f(2﹣x)＝f(x﹣2),即f(x+4)＝f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,若x∈[﹣2,0],则x∈[0,2],∵当x∈[0,2]时,f(x)＝x,∴当﹣x∈[0,2]时,f(﹣x)＝﹣x,∵函数f(x)是偶函数,∴f(﹣x)＝﹣x＝f(x),即f(x)＝﹣x,x∈[﹣2,0],则函数f(x)在一个周期[﹣2,2]上的表达式为f(x)＝,∵f(n)(x)＝f(2n﹣1•x),n∈N*,∴数f(4)(x)＝f(23•x)＝f(8x),n∈N*,故f(4)(x)的周期为,其图象可由f(x)的图象压缩为原来的得到,作出f(4)(x)的图象如图：易知过M(﹣1,0)的斜率存在,设过点(﹣1,0)的直线l的方程为y＝k(x+1),设h(x)＝k(x+1),则要使f(4)(x)的图象在[0,2]上恰有8个交点,则0＜k＜k MA,∵A(,0),∴k MA＝＝,故0＜k＜,故选：A.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,根据条件判断函数的性质,结合数形结合是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.(2)函数零点问题的处理常用的有方程法、图像法、方程+图像法.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.在中,分别是角的对边,已知,,的面积为,则的值为_______________.【答案】2【解析】【分析】根据解出A＝,利用三角形的面积公式算出c＝2.根据余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA的式子算出c＝,最后利用正弦定理加以计算,即可得到答案.【详解】∵,A∈(0,π)∴2A+＝,可得A＝∵b＝1,△ABC的面积为,∴S＝bcsinA＝,即,解之得c＝2由余弦定理,得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1+4﹣2×＝3∴a＝(舍负)根据正弦定理,得＝＝＝2故答案为：2【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识,属于中档题. 14.已知平面上有四点,向量,,满足：,,则的周长是_______________.【答案】【解析】【分析】先判断三角形为正三角形,再根据正弦定理,问题得以解决. 【详解】平面上有四点O,A,B,C ,满足++＝,∴O 是△ABC 的重心, ∵•＝•, ∴•(﹣)＝•＝0,即：⊥, 同理可得：⊥,⊥,即O 是垂心,故△ABC 是正三角形, ∵•＝•＝•＝﹣1,令外接圆半径R ,则：R 2cos(∠AOB)＝R 2cos()＝﹣1即：R ＝即：＝＝2R ＝2,即：a ＝, 故周长：3a ＝3, 故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识,属于中档题.15.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.【答案】【解析】【分析】设|PF1|＝r1,|PF2|＝r2,|F1F2|＝2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,由余弦定理可得4c2＝(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos,①在椭圆中,①化简为即4c2＝4a2﹣3r1r2…②,在双曲线中,化简为即4c2＝4a12+r1r2…③,,再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a1,(a＞a1),半焦距为c, 由椭圆和双曲线的定义可知,设|PF1|＝r1,|PF2|＝r2,|F1F2|＝2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,∵∠F1PF2＝,则∴由余弦定理可得4c2＝(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos,①在椭圆中,①化简为即4c2＝4a2﹣3r1r2…②,在双曲线中,①化简为即4c2＝4a12+r1r2…③,,由柯西不等式得(1+)()≥()2故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键.属于难题.16.已知数列的前项和,若不等式对恒成立,则整数的最大值为________________.【答案】4【解析】【分析】由数列递推式求得首项,然后构造出等差数列{},求出通项后代入不等式2n2﹣n﹣3＜(5 ﹣λ)a n,整理后得到5﹣λ.然后根据数列的单调性求得最值得答案.【详解】当n＝1时,,得a1＝4；当n≥2时,,两式相减得,得,∴.又,∴数列{}是以2为首项,1为公差的等差数列,,即.∵a n＞0,∴不等式2n2﹣n﹣3＜(5﹣λ)a n,等价于5﹣λ.记,n≥2时,.∴n≥3时,,.∴5﹣λ,即,∴整数λ的最大值为4.故答案为:4【点睛】本题考查了数列通项的求法,考查了等差关系的确定,考查了数列的函数特性,考查了不等式的恒成立问题,是中档题.(2)解答本题的关键有两点,其一是根据求数列的通项,其二是求的最大值.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算17.在中,角的对边分别是,已知向量,,且满足.(1)求角的大小；(2)若,试判断的形状.【答案】(1)(2) 直角三角形【解析】【分析】(1)直接化简得,.(2)联立①,②,化简得或,当b＝2c时,可以推理得到为直角三角形,同理,若,则也为直角三角形.【详解】(1)∵,代入,,有,∴,即,∴,.(2)∵,∴①又∵②联立①②有,,即,解得或,又∵,若,则,∴,为直角三角形,同理,若,则也为直角三角形.【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换,考查余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到或.18.已知圆经过原点且与直线相切于点(Ⅰ)求圆的方程；(Ⅱ)在圆上是否存在两点关于直线对称,且以线段为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程；若不存在,请说明理由【答案】(Ⅰ).【解析】【分析】(Ⅰ)由已知得圆心经过点P(4,0)、且与y＝2x﹣8垂直的直线上,它又在线段OP 的中垂线x＝2上,求得圆心C(2,1),半径为,可得圆C的方程.(Ⅱ)假设存在两点M,N关于直线y＝kx﹣1对称,则y＝kx﹣1通过圆心C(2,1),求得k＝1,设直线MN为y＝﹣x+b,代入圆的方程,利用韦达定理及•＝0,求得b的值,可得结论. 【详解】(Ⅰ)法一：由已知,得圆心在经过点且与垂直的直线上,它又在线段的中垂线上,所以求得圆心,半径为.所以圆的方程为.(细则：法一中圆心3分,半径1分,方程2分)法二：设圆的方程为,可得解得,所以圆的方程为(细则：方程组中一个方程1分)(Ⅱ)假设存在两点关于直线对称,则通过圆心,求得,所以设直线为代入圆的方程得,设,,则解得或这时,符合题意,所以存在直线为或符合条件(细则：未判断的扣1分).【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题,其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,向量的坐标运算等知识点的考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立,转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19.各项均为正数的数列中,,是数列的前项和,对任意,有.(1)求常数的值；(2)求数列的通项公式；(3)记,求数列的前项和.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)令中n＝1即得p的值.(2)利用项和公式求数列的通项公式.(3)先求出,再利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解：(1)由及,得：,∴.(2)由①,得②由②－①,得,即：,∴,由于数列各项均为正数,∴,即,∴数列是首项为1,公差为的等差数列,∴数列的通项公式是.(3)由,得：,∴,∴,.【点睛】(1)本题主要考查项和公式求数列的通项,考查等差数列的通项和求和公式,考查错位相减法求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)数列,其中是等差数列,是等比数列,则采用错位相减法.20.已知椭圆的离心率,原点到过点,的直线的距离是.(1)求椭圆的方程；(2)如果直线交椭圆于不同的两点,且都在以为圆心的圆上,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由题得到a,b的方程组,解方程组即得椭圆的标准方程.(2)联立直线和椭圆的方程消去y 得到,可知,设,,的中点是,求出M的坐标,再根据求出k的值.【详解】解：(1)因为,,所以,因为原点到直线的距离,解得,,故所求椭圆的方程为.(2)由题意消去,整理得,可知,设,,的中点是,则,,所以,所以,即,又因为,所以,所以.【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是利用韦达定理求出点M的坐标,根据已知得到.21.已知定点,定直线：,动圆过点,且与直线相切.(Ⅰ)求动圆的圆心轨迹的方程；(Ⅱ)过点的直线与曲线相交于,两点,分别过点,作曲线的切线,,两条切线相交于点,求外接圆面积的最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)当时线段最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为.【解析】试题分析：(Ⅰ)设,由化简即可得结论；(Ⅱ)由题意的外接圆直径是线段,设：,与联立得,从而得,时线段最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为.试题解析：(Ⅰ)设点到直线的距离为,依题意.设,则有.化简得.所以点的轨迹的方程为.(Ⅱ)设：,代入中,得.设,,则,.所以.因为：,即,所以.所以直线的斜率为,直线的斜率为.因为,所以,即为直角三角形.所以的外接圆的圆心为线段的中点,线段是直径.因为,所以当时线段最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标,根据题意列出关于的等式即可；②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程；③参数法,把分别用第三个变量表示,消去参数即可；④逆代法,将代入.本题(Ⅰ)就是利用方法①求圆心轨迹方程的.22.设函数.(1)当时,求函数的最大值；(2)令,其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围；(3)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.【答案】(1)(2) (3)【解析】【分析】(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得,.再求右边二次函数的最大值即得.(3)转化为有唯一实数解,设,再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.【详解】(1)依题意,知的定义域为,当时,,,令,解得.(∵)因为有唯一解,所以,当时,,此时单调递增；当时,,此时单调递减,所以的极大值为,此即为最大值.(2),,则有,在上恒成立,所以,.当时,取得最大值,所以.(3)因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,设,则,令,,因为,,所以(舍去),,当时,,在上单调递减；当时,,在上单调递增；当时,,取最小值.则,即,所以,因为,所以(*)设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解,因为,所以方程(*)的解为,即,解得.【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的最值,考查利用导数研究不等式的恒成立问题,考查利用导数研究函数的零点,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)研究函数的零点问题常用的有方程法、图像法、方程+图像法.。

【全国百强校word】河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试文数试题

2017-2018学年度第二学期十六模考试高三年级数学文科试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|21x A y y x R ==-∈，，{}2|20B x x x =--<，则（） A ．1A -∈ B 3B C ．()R A C B A =I D ．A B A =U 2.已知复数z 的共轭复数为z ，若4z =，则z z ⋅=（） A ．16 B ．2 C ．4 D ．2±3.已知数列{}n a 是各型为正数的等比数列，点22(2log )M a ，、25(5log )N a ，都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（）A ．22n -B ．122n +-C ．21n -D ．121n +-4.齐王和田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（）A ．13B ．14 C.15 D ．165.下面几个命题中，假命题是（） A ．“若a b ≤，则221a b ≤-”的否命题；B ．“(0)a ∀∈+∞，，函数x y a =在定义域内单调递增”的否定C.“π是函数sin y x =的一个周期”或“2π是函数sin 2y x =的一个周期” D ．“220x y +=”是“0xy =”的必要条件6.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与圆(()22311x y +-=相切，则此双曲线的离心率为（）A ．2B 5327.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（）A ．34B ．1516 C.78 D ．31328.将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子.分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A 和B 所示的两个柱体，则柱体A 和B 的表面（不含地面）数字之和分别是（）A ．47，48B ．47，49 C.49，50 D ．50，499.已知函数(2()lg 12sin f x x x x x =+++，12()()0f x f x +>，则下列不等式中正确的是（） A ．12x x > B ．12x x < C.120x x +< D ．120x x +>10.将函数1sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位，再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数的一个单调增区间为（）A ．131212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．13251212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.131212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．7191212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 11.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A 、B 2P ，AB不共线时，PAB△面积的最大值是（）A．22 B．2 C.22D．212.已知函数2y x=的图象在点()200x x，处的切线为l，若l也与函数lny x=，(01)x∈，的图象相切，则x必满足（）A．12x<< B．112x<< C.22x<< D．23x<<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量ar与br的夹角为3π，且1b=r，223a b+=r r，则a=r．14.将正整数对作如下分组，第1组为{}(12)(21)，，，，第2组为{}(13)(31)，，，，第3组为{}(14)(23)(32)(41)，，，，，，，，第4组为{}(15)(24)(42)(51)，，，，，，，……则第30组第16个数对为．15.若变量x，y满足约束条件4y xx yy k≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y=+的最小值为6-，则k=．16.若存在两个正实数x，y使等式2(2)(ln ln)0x m y ex y x+--=成立，（其中 2.71828e=L）则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，一山顶有一信号塔CD（CD所在的直线与地平面垂直），在山脚A处测得塔尖C的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l来后到达B处，测得C的仰角为β.（1）求BC的长；（2）若24l=，45α=︒，75β=︒，30θ=︒，求信号塔CD的高度.18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在1CC棱上，且AB AC=，13AA=，2BC CF==.（1）求证：1C E ∥平面ADF ；（2）当2AB =时，求三棱锥1A DEF -的体积.19. 某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师，为调查他们的备课时间的情况，通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）. 高一年级 7 7.5 8 8.5 9 高二年级 7 8 9 10 11 12 13高三年级 66.578.51113.51718.5（1）试估计该校高三年级的教师人数；（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选取的人记为乙，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别为8，9，10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1x ，表格中的数据平均数记为0x ，试判断0x 与1x 的大小，并说明理由.20. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F .过30P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于点M ，N .当0k =时，四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若37PM PN MN ⋅=，求直线l 的方程. 21. 已知函数()()mf x x a =-（a ∈R ），()28xg x e =+.（1）当()g x 在0x =处的切线与直线210mx y ++=垂直时，方程()()f x g x =有两相异实数根，求a 的取值范围；（2）若幂函数()()233m h x m m x =-+的图象关于y 轴对称，求使不等式()()0g x f x -≥在[0)+∞，上恒成立的a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（其中ϕ为参数），曲线222:20C x y y +-=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线:l θα=（0p ≥）与曲线1C ，2C 分别交于点A ，B （均异于原点O ）（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）当02πα<<时，求22OA OB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x a a=-+（0a ≠）（1）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值；（2）当12a <时，函数()()21g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DACAD 6-10:ABADC 11、12：AD二、填空题13.2 14.(1715)， 15.2- 16.()20e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U ，，三、解答题17.解：（1）在ABC △中，CAB αθ∠=-，()ABC πβθ∠=--，ACB βα∠=-.由正弦定理，sin()sin()BC i αθβα-=-；（2）由（1）及条件知，sin()12(62)sin()BC i αθβα-==--，9015BCD β∠=︒-=︒，45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒.由正弦定理得sin 452483sin120CD BC ︒=⋅=-︒18.解：（1）连接CE 交AD 于点P ，连接PF .由D ，E 分别是棱BC ，AB 中点，故点P 为ABC △的重心. ∴在1CC E △中，有123CP CF CE CC ==，∴1PF EC ∥，又1EC ⊄平面ADF ，∴1C E ∥平面ADF .（2）取1AA 上一点H 使12AH HA =. ∵12CF FC =且直三棱柱111ABC A B C - ∴HF AC ∥，∵D ，E 为中点，∴DE AC ∥，DE HF ∥，HF ∥平面1A DE .∴A DEF F ADE H ADE D ABE V V V V ----===，而1111122EHB S =⨯⨯=△.点D 到平面11AA B B 的距离等于3. ∴11113332D A HE A DEF V V --=⨯⨯==，∴三棱锥1A DEF -的体积为3.19.解：（1）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，高三年级的教师共有830012020⨯=（人）（2）2935（3）77.588.5985x ++++==高一,78910111213107x ++++++==高二6 6.578.51113.51718.5118x +++++++==高三三组总平均值04070889.920x ++==.新加入的三个数8，9，10的平均数为9，比0x 小. 故拉低了平均值.∴10x x <20.解：（1）当0k =时，直线l x ∥轴，又四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上， ∴四边形12MNF F 为矩形，且152MF =，∴点M 的坐标为2b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.又23b a =，∴3b a =，设2a k =，3b k =，则c k =.在12Rt MF F △中，232MF k =，122F F k =，∴15522MF k ==.∴1k =.∴2a =，3b =C 的方程为22143x y +=.（2）将l ：32y kx =+与椭圆方程联立得()22341230k x kx ++-=.设()11M x y ，，()22N x y ，，得1221234k x x k +=-+，122334x x k =-+，故22121010PM PN k x k x ⋅+-+-()2212233134k k x x k +=+=+. 2121MN k x +-()22121214k x x x x ++-22192361k k +=+∴2222333192361347k k k k ++=++即227119236k k ++11k =∴直线l 的方程为1132y x =+. 21.解：（1）由题设可得1m =，令()()()2()8x x g x f x e x a ϕ=-=--+（a R ∈）则()21x x e ϕ'=-令()0x ϕ'=得ln2x =-.x()ln 2-∞-，ln2- ()ln 2-+∞，()x ϕ' - 0+()x ϕ递减极小值递增∵x →-∞，()x ϕ→+∞，x →+∞，()x ϕ→+∞ 且()0x ϕ=有两个不等实根，∴()ln 20ϕ-<，即()1ln 280a ---+< ∴9ln2a <--（2）由题设有2m =，令2()()()2()8x t x g x f x e x a =-=--+（a R ∈），则()()22x t x e x a '=--，令()()22x m x e x a =--，则()22x m x e '=-又0x ≥，∴()0m x '≥.∴()t x '在[0)+∞，在单调递增.又()()()max 021t x t a ''==+，①()210a +≥，即1a ≥-时，()0t x '≥.所以()t x 在[0)+∞，内单调递增，()()00t x t ≥≥，所以110a -≤ ②()210a +<，即1a <-时，由()2x y e x a =-+在[0)+∞，内单调递增，且∵x →+∞，()t x →+∞. ∴()00x ∃∈+∞，使得()00t x '=. x()00x ，0x()0x +∞，()t x '-+()t x递减极小值递增所以()t x 的最小值为()()020028x t x e x a =--+. 又00x e x a =-，所以()()002028x x t x e e =-+()()0024x x e e =-+-.因此，要使当0x ≥时，()0t x ≥恒成立，只需()00t x ≥，即040x e -≤即可. 解得00ln 4x <≤，此时00x e x a =-，可得00x a x e =-，以下求出a 的取值范围.设()x n x x e =-，(0ln 4]x ∈，，得()10x n x e '=-<. 所以()n x 在(0ln 4]，上单调递减，从而ln441a -≤<-. 综上①②所述，a 的取值范围ln 4410⎡-⎣，. 22.解：（1）∵2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴2212x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，∵2220x y y +-=，∴曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=；（2）由（1）得22221sin OA ρα==+，2224sin OB ρα==， ∴222224sin 1sin OA OB αα+=++()22241sin 41sin αα=++-+ ∵02πα<<，∴211sin 2α<+<，∴()222641sin 91sin αα<++<+， ∴22OA OB +的取值范围为()25，23.解：（1）∵()12f x x a a =-+，∴()12f x m x m a a+=+-+， ∴()()f x f x m x a x m a m -+=--+-≤， ∴1m ≤，∴11m -≤≤，∴实数m 的最大值为1. （2）当12a <时， ()()21g x f x x =+-1212x a x a =-+-+131211122113122x a x a a x a a x a x a x a ⎧-+++<⎪⎪⎪=--++≤≤⎨⎪⎪-+->⎪⎩，，，∴()2max1112102222a a g x g a a a -++⎛⎫==-+=≤ ⎪⎝⎭∴2102210a a a ⎧<<⎪⎨⎪-++≤⎩，或20210a a a <⎧⎨-++≥⎩∴102a -≤<，∴实数a 的取值范围是102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，。

精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测数学(理)试题(原卷版)

学*科*...河北省衡水中学2017-2018学年度高三一轮复习周测卷（一）理数一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列说法正确的是（）A. 0与的意义相同B. 高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素2. 已知集合，则（）A. B. C. D.3. 设命题“”，则为（）A. B. C. D.4. 已知集合，则集合（）A. B. C. D.5. 设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7. 已知命题有解，命题，则下列选项中是假命题的为（）A. B. C. D.8. 已知集合，则集合不可能是（）A. B. C. D.9. 设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10. 已知命题，命题.若命题且是真命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.11. 对于任意两个正整数，定义某种运算“*”，法则如下：当都是正奇数时，；当不全为正奇数时，，则在此定义下，集合的真子集的个数是（）A. B. C. D.12. 用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值集合是，则（）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则等于__________．14. 已知集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________．15. 已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为__________．16. 下列说法中错误的是__________（填序）.①命题“，有”的否定是“，有”；②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；③已知，若为真命题，则实数的取值范围是；④“”是“”成立的充分条件.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合.（1）分别求；（2）已知集合，若，求实数的取值范围.18. （1）已知关于的方程有实根；关于的函数在区间上是增函数，若“或”是真命题，“或”是真命题，“且”是假命题，求实数的取值范围；（2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19. 集合.（1）若集合只有一个元素，求实数的值；（2）若是的真子集，求实数的取值范围.20. 已知函数的值域是集合，关于的不等式的解集为，集合，集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.21. 已知函数的定义域为，集合.（1）若，求实数的值；（2）若，使，求实数的取值范围.22. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，设“”.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.。

精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学(理)试题(原卷版)

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.3. 已知随机变量服从正态分布，且，，等于（）A. B. C. D.4. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“，使得”的否定是“，都有”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题5. 已知满足，则（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7. 已知函数，现将的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（）A. B. C. D.8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入，，输出的（）A. B. C. D.9. 已知实数，满足约束条件若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.10. 已知函数，，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）A. B. C. D.11. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为_____．14. 二项式展开式中的常数项是_____ ．15. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是_____ ．16. 已知直三棱柱中，，，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求.18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点.（1）已知平面平面，求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份时间代号年销量（亿包/桶）(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：回归方程：，其中，.参考数据：.20. 如图，设抛物线（）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在，之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.21. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.（1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知，（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：复数分子、分母同乘以，可化为，根据实部和虚部的定义可得结果.详解：因为复数，所以，复数的实部是，虚部是，故选A.点睛：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，属于简单题.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用三角函数的有界性化简集合，然后根据交集的定义求解即可..详解：，，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.3. 已知随机变量服从正态分布，且，，等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于对称，且，结合题意得到的值.详解：随机变量服从正态分布，曲线关于对称，且，由，可知，故选B.点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1）正态曲线对称；（2）在正态曲线下方和轴上方范围内的区域面积为.4. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“，使得”的否定是“，都有”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】分析：逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.详解：“若，则”的否命题为“若，则”，错误；逆命题是“若则，互为相反数，”，正确；“，使得”的否定是“，都有”，错误；“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.点睛：判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.5. 已知满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，选A.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是个圆锥），故体积为，故选D.7. 已知函数，现将的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将函数向左平移个单位，可得对应的函数解析式为:，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式为:，则∵∴∴∴∴故选A点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为.8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入，，输出的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依次运行程序框图中的程序．a=6402，b=2046，执行循环体，r=264，a=2046，b=264；不满足条件，执行循环体，r=198，a=264，b=198；不满足条件，执行循环体，r=66，a=198，b=66；不满足条件，执行循环体，r=0，a=66，b=0．满足条件r=0，退出循环．输出a的值为66．选A．9. 已知实数，满足约束条件若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，在点或点处取得最小值，即.题中的不等式即：，则：恒成立，原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有：，令，则，令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，据此可得，当时，函数取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为：.综上可得，实数的最大值为.本题选择A选项.10. 已知函数，，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得对任意的恒成立，所以，令，得，当时，；当时，；所以当时，，从而，因为，所以当时，；当时，；因此当时，，选C.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．11. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点；若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,所以是直角三角形，且,所以由勾股定理，得，得,故选B.【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力，分类讨论思想，属于中档题，首先对是的一个四等分点进行分类讨论，经过讨论，只有成立，经过分析，发现证明了是直角三角形，且，因此可利用勾股定理得到之间的关系，进而得到的值，综合分析发现得到是直角三角形是解决问题的关键.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据的周期和对称性得出不等式在上有正整数解的个数为，利用导数研究函数的单调性，计算的值，结合函数图象列不等式，即可得出的范围.详解：偶函数满足，，的周期为，且的图象关于直线对称，由于上含有个周期，且在每个周期内都是对称轴图形，关于的不等式在上有个正整数解，当时，，中上单调递增，在上单调递减，，当时，，当时，在上有个正整数，不符合题意，，由可得或，显然在上无正整数解，故而在上有个正整数，分别为，，，故选D.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，本题中，先将上有且只有个整数解，转化为关于的不等式在上有个正整数解，再转化为利用函数研究函数的单调性，从而得到结论.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为_____．【答案】【解析】分析：由，且求出向量平面向量的夹角，设出，，然后利用向量的坐标运算求解.详解：由，且，得，，设出，，的最大值为，故答案为.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 二项式展开式中的常数项是_____．【答案】5【解析】二项式展开式的通项为，令，得，即二项式展开式中的常数项是.15. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是_____ ．【答案】【解析】由题意，可知，所以，所以。

2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的•）21. ( 5 分)(2018?衡中模拟)已知集合A={x|x v 1}, B={y|y=|x|} ，则A A B=A . ? B. ( 0 , 1) C . [0 , 1) D .2. （5分）（2018?衡中模拟）设随机变量2E-N (3 ,c ),若P (E>4) =0.2 ,)0.8 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2x B. y= ± 「；x C . y= ± x D . y=35. （5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为 1 : 2: 3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1 ,「2,「3,那么门+「2+「3的值为（）等差数列{a n}中，a 3=7 , a5=11，若 b n= .3 ii 1D. 54A . 2B . 3C .126. （5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）的前8项和为（732B.[0, 1](3 VE（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=3（i为虚数单位），则r =1 B.—1 C.D.（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线b2=1 (a >0, b >0)的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若/ PFQ=n,则双曲线的渐近线方程为（A. y= ±7. （5分）（2018?衡中模拟），则数列{b n}10 2& （ 5 分）（2018?衡中模拟）已知（x - 3） =a °+a i （x+1 ） +a 2 （x+1 ） + …+a 10 （x+1 ）10，则 a 8=（）A . 45B . 180C .- 180D . 7209. （ 5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥值范围（）A . （11，25 ）B . （12，22 ）C . （12，17）D . （14，20）S- ABC 的三视图，其表面积为（A . 16B . 8 丨，+6 工C . 16 一， 10 . （5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆 F （- 3, 0）,P 为椭圆上一动点，椭圆内部点 M （- 1，3）满足PF+PM 的最大值为率为（）A.— B •阻 | C .丄 D .2V3 2方 3 3In （號+1）（掘>0）（x ）=，若函数 y=f （x ）- kx 恒（e x -l GKO ）有一个零点，贝U k 的取值范围为（）A . k w 0B . k w 0 或 k > 1C . k < 0 或 k > eD . k < 0 或 k12. （5分）（2018?衡中模拟）已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n = - 2n+p ，数列｛b n ｝的通项公，若在数列｛c n ｝中C 6< C n （n € N , n 丰6）,则p 的取D . 16+6丨・（a >b >0）的左焦点17,则椭圆的离心11 . （ 5分）（2018?衡中模拟）已知式为b n =2、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中的横线上.)13 •(5分)(2018?衡中模拟)若平面向量1、卜满足| i|=2|［上的投影为________ •14 • (5分)(2018?衡中模拟)若数列｛a n｝满足a i=a 2=1 ,a +2, n=2k_1 (k G N*)、,a n+2 = ，则数列｛a n｝前2n项和S2n = _______ •.2斗，n=2k(kG N*)y^4>015 • (5分)(2018 ?衡中模拟)若直线ax+ (a - 2) y+4 - a=0把区域' 3x4-y<^9 分成jt十面积相等的两部分，则一的最大值为z+4a16. (5 分)(2018 ?衡中模拟)已知函数f (x) = ( a+1 ) Inx+' ' x2( a v- 1 )对3任意的X1、X2> 0,恒有|f ( X1 ) - f (X2) | > 4|x 1 - X2|，则a的取值范围为 _________________ •三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 • (12分)(2018?衡中模拟)在厶ABC中，角A , B, C所对的边分别为a , b , c，满足c=1，且cosBsinC+ (a - sinB) cos (A+B ) =0(1 )求C的大小；(2)求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角 A , B的值.18 . （12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD , AD //BC，/ ABC=90 ° , PA=AB=BC=2 , AD=1 , M 是棱PB 中点.（I）求证：平面PBC丄平面PCD ;（n）设点N是线段CD上一动点，且I -■!=入：当直线MN与平面PAB所成的角最大时, 求入的值.19 . （12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ A ）、（B）,在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60 °、120 °、180。

河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学(理)试题(原卷版)

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.3. 已知随机变量服从正态分布，且，，等于（）A. B. C. D.4. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“，使得”的否定是“，都有”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题5. 已知满足，则（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7. 已知函数，现将的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（）A. B. C. D.8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入，，输出的（）A. B. C. D.9. 已知实数，满足约束条件若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.10. 已知函数，，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）A. B. C. D.11. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为_____．14. 二项式展开式中的常数项是_____ ．15. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是_____ ．16. 已知直三棱柱中，，，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求.18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点.（1）已知平面平面，求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份时间代号年销量（亿包/桶）(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：回归方程：，其中，.参考数据：.20. 如图，设抛物线（）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在，之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.21. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.（1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知，（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.。

(解析版)河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数

2017-2018学年度第二学期十六模考试高三年级数学文科试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用指数函数的性质化简集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，逐一验证选项即可.详解：，，，故选D.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2.已知复数的共轭复数为，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先设出复数，再求出共轭复数，由已知，利用可得结果.详解：设,则，，，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由点、都在直线上，可求出，从而求出首项与公比，进而可得结果.详解：因为点、都在直线上，所以，可得，，可得，，故选C.点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设齐王的上，中，下三个等次的马分别为，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为，根据题设其中是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为，故选A.5.【河北省衡水中学2018届第十六次模拟文】下面几个命题中，假命题是（）A. “若，则”的否命题B. “，函数在定义域内单调递增”的否定C. “是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”D. “”是“”的必要条件【答案】D【解析】分析：对，利用否命题的定义可判断；对，利用指数函数的单调性即可得出；对，利用正弦函数的单调性与“或命题”的定义可判断；对，利用实数的性质和充分必要条件可判断. 详解：对.“若，则”的否命题是“若，则” ，是真命题；对，“，函数在定义域内单调递增”的否定为“，函数在定义域内不单调递增”正确，例如时，函数在上单调递减，为真命题；对，“是函数的一个周期”，不正确，“是函数的一个周期”正确，根据或命题的定义可知，为真命题；对，“”“”反之不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，是假命题，故选D.点睛：本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、全称命题与特称命题，判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.6.双曲线（，）的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线的一条渐近线为，所以，因为，所以选A.7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图计算经过循环之后的结果得到关于x的方程，解方程即可求得最终结果.详解：结合题意运行程序如图所示：首先初始化数据：输入的值，，第一次循环：，，此时不满足；第二次循环：，，此时不满足；第三次循环：，，此时不满足；第四次循环：，，此时满足，跳出循环；由题意可得：，解方程可得输入值为：.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．8.将数字，，，，，书写在每一个骰子的六个表面上，做成枚一样的骰子，分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图和所示的两个柱体，则柱体和的表面（不含地面）数字之和分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：根据骰子中与与与分别相对，找出图与图的表面数字，分别求出数字和即可.详解：图中数字之和为，图中数字之和为，故选A.点睛：本题主要考查棱柱的结构特征，意在考查空间想象能力，属于简单题..9.已知函数，，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由已知可得，可得函数是奇函数，并且可得函数在时单调递增，因此在上单调递增，利用单调性与奇偶性可得结果.详解：，函数是奇函数，并且可得函数在时单调递增，因此在上单调递增，，，，即，故选D.点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性应用的，以及对数的运算、对数函数的性质、不等式的性质，意在考查推理能力与计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.10.将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，可得结论.详解：将函数的图象向右平移个单位，所得的图象对应的解析式为，再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），所得的图象对应的解析式为，令，解得，令时，所得图象对应的函数的一个单调递增区间为，故选C.点睛：本题主要考查三角函数的图象变换以及正弦函数的单调性，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11.若平面内两定点，间的距离为，动点与、距离之比为，当，不共线时，面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立坐标系，则设，由，化简得，当点到轴）距离最大时，面积的最大值，从而得结果.详解：建立如图所示的坐标系，则设，则，化简得，如图，当点到轴）距离最大时，面积的最大值，由圆的性质可得，面积的最大值，故选A.点睛：本题主要考查直接法求轨迹方程、圆的几何性质的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.12.已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设与函数，的图象的切点为,则由得,所以.令,则由零点存在定理得,选D.点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量与的夹角为，且，则____.【答案】【解析】试题分析：由，将的两边同时平方可得，，即，解得.考点：向量数量积及模长的运算.14.将正整数对作如下分组，第1组为，第2组为，第3组为，第4组为……则第30组第个数对为__________．【答案】【解析】分析：由所给分组发现规律，可得第组的各对数和为，且各对数对应数字，按照顺序排列，即可得到所求数对,详解：由题意可得第一组的各对数和为，第二组的各对数和为，第三组的各对数和为，第四组的各对数和为，第组的各对数和为，且各对数对应数字按顺序排列，可得第组的各对数和为，则第组第个数为，故答案为.点睛：本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15.若变量，满足约束条件，且的最小值为，则_________．【答案】【解析】试题分析：画出如图所示的可行域，由可得，由图像可知当直线经过点A时，直线截距最小，即最小，则目标函数为因为解得即，因为点A也在直线上，所以考点：线性规划的应用视频16.若存在两个正实数，使等式成立（其中），则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：首先求得m的表达式，然后通过换元将原问题转化为研究函数最值的问题，最后结合题意求解不等式即可求得最终结果.详解：由题意可得：，则，令，构造函数，则，恒成立，则单调递减，当时，，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则当时，取得最大值，据此有：或.综上可得：实数的取值范围是.点睛：本题主要考查导函数研究函数的单调性，导数研究函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，一山顶有一信号塔（所在的直线与地平面垂直），在山脚处测得塔尖的仰角为，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达处，测得的仰角为.（1）求的长；（2）若，，，，求信号塔的高度.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）在中，，，，由正弦定理可得；（2）结合（1），在三角形中，利用正弦定理化简求解即可.详解：（1）在中，，，.由正弦定理，；（2）由（1）及条件知，，，，.由正弦定理得点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18.如图，在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，点在棱上，且，，.（1）求证：平面；（2）当时，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接交于点，由重心性质可得，由相似可得，最后根据线面平行判定定理得结论（2）取上一点使，利用平行进行等体积代换，最后根据锥体体积公式求体积试题解析：解：（1）(法一)连接交于点，连接由分别是棱中点，故点为的重心在中，有，又平面平面（法二）取的中点，连接由是棱的中点，为的中点，为的中位线，即平面又为棱的中点，为的中点由，由，且为直三棱柱，进而得，即平面又平面平面又平面平面(2)取上一点使∵且直三棱柱∴，∵为中点∴,,平面∴而,点到平面的距离等于∴∴三棱锥的体积为19.某学校高一、高二、高三三个年级共有名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）.（1）试估计该校高三年级的教师人数；（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是，，（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小，并说明理由.【答案】(1)120人；(2)；(3)答案见解析.【解析】分析：抽出的位教师中，来自高三年级的有名，根据分层抽样方法，能求出高三年级的教师共有多少人；（2）从高一、高二年级分别抽取一人，共有种基本结果，利用列举法求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果种数为，由古典概型概率公式可得结果；（3）利用平均数公式求出平均数，能判断与的大小.详解：（1）抽出的位教师中，来自高三年级的有名，根据分层抽样方法，高三年级的教师共有（人）（2）从高一、高二年级分别抽取一人，共有种基本结果，该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果有（3）,三组总平均值.新加入的三个数，，的平均数为，比小.故拉低了平均值.∴点睛：本题主要考查平均数公式以及分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.20.已知椭圆：的左，右焦点分别为，.过且斜率为的直线与椭圆相交于点，.当时，四边形恰在以为直径，面积为的圆上. （1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，直线轴，由圆的面积得半径，进而得，由得，设，则，进而得，利用椭圆定义即可求解；（Ⅱ）将与椭圆方程联立得，设，，进而由韦达定理代入求解即可.试题解析：（Ⅰ）当时，直线轴，又四边形恰在以为直径，面积为的圆上，∴四边形为矩形，且．∴点的坐标为．又，∴．设，则．在中，，，∴，∴．∴，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）将与椭圆方程联立得，设，，得，．故．又，∴，解得，∴直线的方程为．21.已知函数（），.（1）当在处的切线与直线垂直时，方程有两相异实数根，求的取值范围；（2）若幂函数的图象关于轴对称，求使不等式在上恒成立的的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由题设可得，令（），利用导数研究函数的单调性，可得，从而可得结果；（2）由题设有，令（），两次求导，分两种情况讨论，可得①时；②时，，综合两种情况可得结果.详解：（1）由题设可得，令（）则令得.∵，，，且有两个不等实根，∴，即∴（2）由题设有，令（），则，令，则又，∴.∴在在单调递增.①，即时，.所以在内单调递增，，所以②，即时，由在内单调递增，且∵，.∴使得.所以的最小值为.又，所以.因此，要使当时，恒成立，只需，即即可.解得，此时，可得，以下求出的取值范围.设，，得.所以在上单调递减，从而.综上①②所述，的取值范围.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数），曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线（）与曲线，分别交于点，（均异于原点）（1）求曲线，的极坐标方程；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】试题分析: (1)先分别求出曲线的普通方程,再利用化为极坐标方程;(2)分别求出的表达式,利用单调性求出范围.试题解析: （1）的普通方程为，的极坐标方程为的极坐标方程为（2）联立与的极坐标方程得联立与的极坐标方程得则则，在上单调递增，∴.23.已知函数.（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围.【答案】(1)1；(2).【解析】分析：（1）由，可得，∴，从而可得结果；（2）当时，将写成分段函数形式，由单调性可得，∴或，从而可得结果.详解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴实数的最大值为.（2）当时，∴∴或∴，∴实数的取值范围是点睛：本题主要考查绝对值不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.。

高考数学复习必备精品推荐 -衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学(理)试题(原卷版)

2017-2018 学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 已知集合，，则（）A.B.C.D.3. 已知随机变量服从正态分布，且，，A.B.C.D.4. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则 ”的否命题为“若，则 ”B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“，使得”的否定是“，都有”D. 命题“若，则 ”的逆否命题为真命题等于（）5. 已知满足，则（）A.B.C.D.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A.B.7. 已知函数C. ，现将D. 的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（）A.B.C.D.8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入，，输出的（）A.B.C.D.9. 已知实数，满足约束条件若不等式为（）A.B.C.D.10. 已知函数，，若对任意的最小值为，则最大值为（）A.B.C.D.恒成立，则实数的最大值，总有恒成立，记的11. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若A.B.，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（）C.D.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为_____ ．14. 二项式展开式中的常数项是_____ ．15. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是_____ ．16. 已知直三棱柱中，，，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求 .18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点 .（1）已知平面平面，求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011 年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但 2013 年以来,方便面销量却连续 3 年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份时间代号年销量（亿包/桶）(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测 2017 年( )方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面, 位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望 .参考公式：回归方程：，其中，.参考数据：.20. 如图，设抛物线（）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在，之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当的方程.21. 已知函数（为常数，切线与轴垂直.（1）求的单调区间；面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线是自然对数的底数），曲线在点处的（2）设，对任意，证明：.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.23. 选修 4-5：不等式选讲已知，（1）解不等式（2）若方程；有三个解，求实数的取值范围.。

精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测数学(理)试题(解析版)

河北省衡水中学2017-2018学年度高三一轮复习周测卷（一）理数一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列说法正确的是（）A. 0与的意义相同B. 高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D。

2. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“”，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否定是存在性命题，所以为，应选答案B。

4. 已知集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。

5. 设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.6. 设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。

7. 已知命题有解，命题，则下列选项中是假命题的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为，故选：B．考点：复合命题的真假8. 已知集合，则集合不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，则；由于是点集，所以；当时，则；由于，所以，应选答案D。

(河北省衡水金卷一模)2018届高三毕业班模拟演练数学(理)(附答案)

（河北省衡水金卷一模）2018届高三毕业班模拟演练数学（理）（附答案）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题）一、单选题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．已知,为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（）A. B. 2 C. -2 D. 03．已知等比数列中，，，则（）A. B. -8 C. 8 D. 164．如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A. B. C. D.5．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（）A. 13.25立方丈B. 26.5立方丈C. 53立方丈D. 106立方丈6．已知偶函数在区间上单调递增，且，，，则满足（）A. B.C. D.7．某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（）A. B. C. D.8．若运行如图所示的程序框图，输出的的值为127，则输入的正整数的所有可能取值的个数为（）A. 8B. 3C. 2D. 19．已知点分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（）A. 2B. 4C.D.10．已知函数，将的图象向右平移个单位，所得函数的部分图象如图所示，则的值为（）A. B. C. D.11．若函数满足：①的图象是中心对称图形；②若时，图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数，则称是区间上的“对称函数”.若函数是区间上的“对称函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（）A. B.C. D.第II卷（非选择题）二、填空题13．已知，则__________．14．已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．15．已知实数满足不等式组则目标函数的最大值与最小值之和为__________．16．在中，为的中点，与互为余角，，，则的值为__________．三、解答题17．已知数列的前项和恰好与的展开式中含项的系数相等.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求.18．在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.（1）当时，求证：；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．春节过后，某市教育局从全市高中生中抽去了100人，调查了他们的压岁钱收入情况，按照金额（单位：百元）分成了以下几组：，，，，，.统计结果如下表所示：该市高中生压岁钱收入可以认为服从正态分布，用样本平均数（每组数据取区间的中点值）作为的估计值.（1）求样本平均数；（2）求；（3）某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动，并针对该市的高中生制定了赠送“读书卡”的活动，赠送方式为：压岁钱低于的获赠两次读书卡，压岁钱不低于的获赠一次读书卡.已知每次赠送的读书卡张数及对应的概率如下表所示：现从该市高中生中随机抽取一人，记（单位：张）为该名高中生获赠的读书卡的张数，求的分布列及数学期望.参考数据：若，则，.20．已知椭圆的上顶点为点，右焦点为.延长交椭圆于点，且满足.（1）试求椭圆的标准方程；（2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于两点，设椭圆的左顶点为点，且直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.21．已知函数.（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范数学（理）答案1．A【解析】集合集合,则,故选A.点睛:(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2．B【解析】复数为纯虚数，则,解得x=2,故选B.3．C【解析】由题意可得, ,又同号,所以,则,故选C.4．D【解析】由图知,7月,8月,11月的利润不低于40万元,故所求概率为,故选D.5．B【解析】分析：根据题意，把有关数据代入公式，即可求出刍童的体积.详解：由算法可知，刍童的体积，立方长,\故选：B点睛：本题解题的关键是理解题意，利用题目提供的各个数据代入公式即可.6．D【解析】,故, 又,故,故选D.7．C【解析】若几何体为两个圆锥体的组合体,则俯视图为A;若几何体为四棱锥与圆锥的组合体,则俯视图为B;若几何体为两个四棱锥的组合体,则俯视图为D;不可能为C,故选C.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．B【解析】令,可得n=7,故输入n=7符合,当输入的n满足n>7时,输出的结果总是大于127,不合题意,当输入n=6,5,4时,输出的n值分别为,均不合题意,当输入n=3或n=2时,输出的n=127符合题意,当输入n=1时,将进入死循环不符,故输入的所有的n的可能取值为2,3,7,共3个,故选B.点睛:本题考查程序框图的应用,属于中档题.算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．C【解析】,又因为,,当且仅当x=y时取等号,,即的最大值为,故选C.10．A【解析】由题意得=,则,由图知,则,由,得,解得的值为,故选A.11．A【解析】函数的图象可由的图象向左平移1个单位,再向上平移m个单位得到,故函数f(x)的图象关于点A(-1,m)对称,如图所示,由图可知,当时,点A到函数f(x)图象上的点(-4,m-27)或(2,m+27)的距离最大,最大距离为,根据条件只需,故,应选A.12．A【解析】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线,设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB的距离为,由,解得,又,又,,双曲线C的方程为,即,又,解得或,所以点P的横坐标m的取值范围为,故选A.13．【解析】=,故填.14．【解析】抛物线的标准方程为,由得或,图形面积,故填.15．【解析】令t=2x,则x=,原可行域等价于,作出可行域如图所示,经计算得的几何意义是点P(t,y)到原点O的距离d的平方,由图可知,当点P与点C重合时,d取最大值;d的最小值为点O到直线AB:t-y-1=0的距离,故,所以的最大值与最小值之和为,故填.点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值16．或【解析】设,则由+可知,为的中点，,即,由正弦定理得或,当A=B时,AC=BC, ,当时,,在△ACD中,,综上可得,的值为或.17．(1) (2)【解析】试题分析:(1)根据数列的前项和等于展开式中含项的系数,以及的关系,求出数列的通项公式;(2)由(1)求出,根据裂项相消法得出结果.试题解析:（1）依题意得，故当时，，又当时，，也适合上式，故.（2）由（1）得，故.18．(1)见解析(2)【解析】试题分析: (1) 当时，点是的中点,由已知证出,根据面面垂直的性质定理证得平面,进而证得结论;(2) 以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.写出各点坐标,求出平面的法向量,根据线面角的公式求出结果.试题解析:（1）当时，点是的中点.∴，.∵，∴∵，，，∴.∴.又平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（2）以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.则，，.取的中点，∵，∴，∴ 易证得平面，∵，∴，∴.∴，，.设平面的一个法向量为，则令，则.设与平面所成的角为，则，解得或（舍去）∴存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时.19．(1)68.5(2)0.8185（3）【解析】试题分析:(1)根据表中数据以及平均数公式代入计算即可;(2) 由（1）得的值,根据概率的计算公式计算即可;(3) 的所有可能取值为1,2,3,4,分别求出概率写出分布列,并求出期望即可.试题解析:（1），（2）由（1）得，.∴.（3）易知.∴的所有可能取值为1,2,3,4.；；；.∴的分布列为∴.20．(1) (2) 与之积为定值，且该定值是【解析】试题分析:(1)，可得,将坐标代入求出点E,代入椭圆方程,结合焦点坐标可得椭圆方程;(2) 设，,设出直线AB的方程,与椭圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程并写出韦达定理,根据三点共线得出M,N的坐标,求出与之积得出定值.试题解析:（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为.∵，可得，又，，∴代入可得，又，解得，，即椭圆的标准方程为.（2）设，，，，.由题意可设直线的方程为，联立消去，得，∴根据三点共线，可得，∴.同理可得，∴的坐标分别为，，∴.∴与之积为定值，且该定值是.点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．(1) (2)见解析【解析】试题分析:(1)求出函数的定义域和导函数,对参数m进行讨论得出函数的单调性,根据零点存在性定理判断零点的个数,求出m的取值范围;(2) 记函数，，则函数的两个相异零点为,将零点代入写出方程,并对两式相加和相减,再利用分析法以及变量集中构造新函数,并利用导数求最值的方法证得命题成立.试题解析（1）由题意知的定义域为，且.①当时，，在区间上单调递增，又，，∴，即函数在区间有唯一零点；②当时，，令，得.又易知函数在区间上单调递增，∴恰有一个零点.③当时，令，得，在区间上，，函数单调递增；在区间上，，函数单调递减，故当时，取得极大值，且极大值为，无极小值.若恰有一个零点，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.（2）记函数，，则函数的两个相异零点为不妨设，∵，，∴，，两式相减得，两式相加得.∵，∴要证，即证，只需证，只需证，即证，设，则上式转化为，设，∴在区间上单调递增，∴，∴，即，即.点睛:本题考查函数的应用,利用导数解决函数的零点以及函数的单调性,最值和不等式的证明等问题. 本题也考查了零点存在性定理的应用,如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.22．(1) (2)【解析】试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普通方程, 直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离,即可求出范围;(2)将直线的参数方程代入曲线方程,根据t的几何意义求值即可.试题解析:（1）由，得，即，故直线的直角坐标方程为.由得所以圆的普通方程为.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，故实数的取值范围为.（2）因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为（为参数），①圆的方程为，②联立①②，得，设两点对应的参数分别为，则，，故.23．（1）（2）【解析】分析：(1)讨论x的取值范围，把不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后取并集；（2）对于任意的，都存在，使得成立即的值域为值域的子集.详解：（1）依题意，得由，得或或解得.即不等式的解集为.（2）由（1）知，，，则，解得，即实数的取值范围为.点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观。

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