2020-2021学年山西省高考数学一模试卷(文)及答案解析
山西省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足1+z=i，则|z|=（）A．B．1 C．D．2．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图（如图所示），据此估计此次考试成绩的众数是（）A．100 B．110 C．115 D．1203．“|m|＜2”是“m≤2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．55．公差不为零的等差数列{a n}中，a7=2a5，则数列{a n}中与4a5的值相等的项是（）A．a11B．a12C．a13D．a146．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2面积的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．17．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，点D在边AC上，且2=，则•的值是（）A．48 B．24 C．12 D．68．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，），x1≠x2时，f（x1）=（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．19．过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|=6时，△OAB（O为坐标原点）的面积是（）A．B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是（）A．i＞6 B．i＞7 C．i＞8 D．i＞911．在四棱锥P﹣ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，且∠BED=90°，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．B．C． D．π12．已知f（x）=则方程f[f（x）]=3的根的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}，A={﹣1，0，1，2，3}，若B⊆∁U A，则集合B的个数是．14．设四个函数：①y=x；②y=21﹣x；③y=ln（x+1）；④y=|1﹣x|．其中在区间（0，1）内单调递减的函数的序号是．15．某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=3（2n﹣1），数列{b n}的通项公式为b n=5n﹣2．数列{a n}和{b n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n}．若数列{c n}的第n项恰为数列{a n}第k n项，则数列{k n}的前32项的和是．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）当△ABC的面积等于4时，求a的最小值．19．某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只侧不合格项目），求补测项目种类不超过3项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°，在车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等．若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽车宽度为1.8m，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．20．已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面FCB；（Ⅱ）若FC=1，求点A到平面MCB的距离．21．已知直线y=x+1与函数f（x）=ae x+b的图象相切，且f′（1）=e．（I）求实数a，b的值；（Ⅱ）若存在x∈（0，），使得2mf（x﹣1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，求的取值范围．22．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．（I）若N为AC的中点，△BAN的面积为，椭圆的离心率为．求椭圆E的方程；（Ⅱ）F为椭圆E的右焦点，线段CF的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P，求的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]23．如图，已知A，B，C，D四点共圆，BA，DC的延长线交于点M，CA，DB的延长线交于点F，连接FM，且FM⊥MD．过点B作FD的垂线，交FM于点E（Ⅰ）证明：△FAB∽△FDC（Ⅱ）证明：MA•MB=ME•MF．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．[选修4-5：不等式选讲]25．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）＜0（Ⅱ）若a＞0，且对于任意的实数x，都有f（x）≤3，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足1+z=i，则|z|=（）A．B．1 C．D．【考点】复数求模．【分析】根据复数模的计算方法计算即可．【解答】解：复数z满足1+z=i，∴z=﹣1+i，∴|z|==，故选：A．2．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图（如图所示），据此估计此次考试成绩的众数是（）A．100 B．110 C．115 D．120【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据频率分布折线图中折线的最高点对应的数值，估计此次考试成绩的众数是什么．【解答】解：根据频率分布折线图，得；折线的最高点对应的值是115，据此估计此次考试成绩的众数是115．故选：C．3．“|m|＜2”是“m≤2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“|m|＜2”⇔﹣2＜m＜2，即可判断出结论．【解答】解：“|m|＜2”⇔﹣2＜m＜2，因此“|m|＜2”是“m≤2”的充分不必要条件．故选：A．4．实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出平面区域，则表示过点（1，1）的直线的斜率，根据平面区域观察最优解．【解答】解：作出平面区域如图所示：由平面区域可知过P（1，1）的直线过点A时斜率最小，解方程组得x=，y=．∴的最小值为=﹣．故选：B．5．公差不为零的等差数列{a n}中，a7=2a5，则数列{a n}中与4a5的值相等的项是（）A．a11B．a12C．a13D．a14【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列和等差数列的通项公式即可求出．【解答】解：∵公差不为零的等差数列{a n}中，设公差为d，a7=2a5，∴a1+6d=2（a1+4d），∴a1=﹣2d，∴a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，∴4a5=4（a1+4d）=8d=（n﹣3）d，∴n=11，故选：A．6．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2面积的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义求得|PF1|，作PF1边上的高AF2，由A为中点，可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，运用基本不等式可得△PF1F2的面积的最大值．【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，即为|PF1|=2+2a，过F2作AF2⊥PF1，垂足为A，由等腰三角形的性质可得A为中点，由勾股定理可得|AF2|=，即有△PF1F2面积为|AF2|•|PF1|=（2+2a）•=•≤=2，当且仅当（1+a）2=4﹣（1+a）2，即a=﹣1时，取得等号．则△PF1F2面积的最大值是2．故选：C．7．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，点D在边AC上，且2=，则•的值是（）A．48 B．24 C．12 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的线性运算化简可得•=•（+）=•+•，从而求得．【解答】解：∵2=，∴=，∴•=•（+）=•（+）=•（+（﹣））=•+•，又∵∠ABC=90°，AB=6，∴•=36，•=0，故•=×36=24．故选B．8．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，），x1≠x2时，f（x1）=（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．1【考点】正弦函数的图象．【分析】根据对称轴列出方程解出φ得到f（x）的解析式，根据对称性可知x1+x2=．【解答】解：令2x+φ=+kπ，解得x=﹣+．∴f（x）的对称轴为x=﹣+．令=﹣+．解得φ=+kπ．∵|φ|＜，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）．∵f（x）关于x=对称，当x1，x2∈（﹣，），x1≠x2时，f（x1）=（x2），∴x1+x2=．∴f（x1+x2）=f（）=sin=．故选：C．9．过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|=6时，△OAB（O为坐标原点）的面积是（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），并将直线设为x=my+1，代入抛物线y2=4x，运用抛物线定义和韦达定理计算x1+x2和y1﹣y2的值，再由△OAB（O为坐标原点）的面积S=|OF||y1﹣y2|得到答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线y2=4x焦点F坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1依据抛物线定义，|AB|=x1+x2+2=6，∴x1+x2=4，设直线方程为x=my+1代入y2=4x，得y2﹣4my﹣4=0∴y1y2=﹣4∵y12+y22=（y1﹣y2）2+2y1y2=（y1﹣y2）2﹣8=4（x1+x2）=16，∴y1﹣y2=±2，△OAB（O为坐标原点）的面积S=|OF||y1﹣y2|=，故选：B．10．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是（）A．i＞6 B．i＞7 C．i＞8 D．i＞9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环输出的点的坐标，当满足条件，退出循环体，从而得到判定框中应填．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，y=0x=1，y=1，i=2，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上，不满足条件，x=0，y=1，i=3，输出点（0，1）不满足条件，x=﹣1，y=0，i=4，输出点（﹣1，0）不满足条件，x=0，y=0，i=5，输出点（0，0），此输出的点恰落在直线y=x上不满足条件，x=1，y=1，i=6，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上不满足条件，x=0，y=1，i=7，输出点（0，1）不满足条件，x=﹣1，y=0，i=8，输出点（﹣1，0）不满足条件，x=0，y=0，i=9，输出点（0，0），此输出的点恰落在直线y=x上不满足条件，x=1，y=1，i=10，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上由题意，此时，应该满足条件，退出循环，故判断框中可填写的条件是i＞9？．故选：D．11．在四棱锥P﹣ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，且∠BED=90°，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．B．C． D．π【考点】球的体积和表面积．【分析】设四棱锥P﹣ABCD底面棱长为x，则BE=DE=x，根据相似三角形的性质，求出x值，进而求出棱锥的底面的外接圆半径和高，进而求出棱锥的外接球半径，可得答案．【解答】解：设四棱锥P﹣ABCD底面棱长为x，∵E为PC的中点，且∠BED=90°，则BE=DE=x，则，解得：x=，则正方形ABCD的外接圆半径r=1，棱锥的高h=，设棱锥外接球的半径为R，则，解得：R=，故棱锥的外接球的表面积S=4πR2=，故选：A12．已知f（x）=则方程f[f（x）]=3的根的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由题意得2f（x）+1=3或|lnf（x）|=3，从而解得f（x）=e3或f（x）=e﹣3；从而再讨论即可．【解答】解：由题意得，2f（x）+1=3或|lnf（x）|=3，即f（x）=1（舍去）或f（x）=e3或f（x）=e﹣3；若f（x）=e3，则2x+1=e3或|lnx|=e3，故x=（舍去）或x=或x=；若f（x）=e﹣3，则2x+1=e﹣3或|lnx|=e﹣3，故x=或x=或x=；故方程f[f（x）]=3共有5个解，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}，A={﹣1，0，1，2，3}，若B⊆∁U A，则集合B的个数是 4 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，1，2，3}，∁U A={﹣2，4}，Ly B⊆∁U A，即可得出满足条件的集合B的个数．【解答】解：全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，1，2，3}，∁U A={﹣2，4}，∵B⊆∁U A，则集合B=∅，{﹣2}，{4}，{﹣2，4}，因此满足条件的集合B的个数是4．故答案为：4．14．设四个函数：①y=x；②y=21﹣x；③y=ln（x+1）；④y=|1﹣x|．其中在区间（0，1）内单调递减的函数的序号是②④．【考点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性．【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数及绝对值函数的性质对①②③④逐个判断即可．【解答】解：①y=x在（0，1）单调递增函数，②y=21﹣x=2×（）x，单调递减函数，③y=ln（x+1）单调递增函数，④y=|1﹣x|=，故在（0，1）上单调递减函数，故综上所述，②④为（0，1）上的减函数．故答案为：②④15．某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个放倒的四棱锥，如图，当xy取得最大值时，由x2+y2=25≥2xy，当且仅当x=y时xy最大，此时x=y=，所以棱锥的体积V==；故答案为：．16．已知数列{a n}的前n项和S n=3（2n﹣1），数列{b n}的通项公式为b n=5n﹣2．数列{a n}和{b n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n}．若数列{c n}的第n项恰为数列{a n}第k n项，则数列{k n}的前32项的和是2016 ．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n}的前n项和S n=3（2n﹣1），当n=1时，a1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得：a n=3×2n﹣1．数列{b n}的通项公式为b n=5n﹣2．数列{a n}和{b n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n}：3，48，768，…，分别为数列{a n}第1，5，9，…，k n项．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=3（2n﹣1），∴当n=1时，a1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）=3×2n﹣1，当n=1时上式也成立，∴a n=3×2n﹣1．数列{b n}的通项公式为b n=5n﹣2．数列{a n}和{b n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n}：3，48，768，…，分别为数列{a n}第1，5，9，…，k n项．可得k n=1+4（n﹣1）=4n﹣3．∴则数列{k n}的前32项的和是=2016．故答案为：2016．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）当△ABC的面积等于4时，求a的最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由acosB﹣bcosA=c，根据正弦定理可得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，又sinC=sin（A+B），化简整理可得：sinBcosA=0，利用A，B∈（0，π），即可得出．（II）由（I）可得：S△=bc=4，bc=8．b2+c2=a2，利用基本不等式的性质即可得出．ABC【解答】解：（I）在△ABC中，∵acosB﹣bcosA=c，根据正弦定理可得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA，∴sinBcosA=0，∵A，B∈（0，π），∴cosA=0，解得A=．（II）由（I）可得：S△=bc=4，∴bc=8．ABCb2+c2=a2，∴a2≥2bc=16，解得a≥4，当且仅当b=c=2时取等号．因此a的最小值为4．19．某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只侧不合格项目），求补测项目种类不超过3项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°，在车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等．若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽车宽度为1.8m，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）使用列举法求出古典概型的概率；（II）使用几何法求出几何概型的概率．【解答】解：（I）由题意得共有5名学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有2两项成绩不合格，从中任意抽取2人进行补测，共有10种情况：学员编号补测项目项数（1）（2）②③⑤ 3（1）（4）②③④⑤ 4（1）（6）③④⑤ 3（1）（9）①③⑤ 3（2）（4）②④⑤ 3（2）（6）②③④⑤ 4（2）（9）①②⑤ 3（4）（6）②③④ 3（4）（9）①②④⑤ 4（6）（9）①③④⑤ 4由表格可知全部的10种情况中有6种情况补测项目不超过3，∴补测项目不超过3项的概率为P=．（II）在线段CD上取两点B′，D′，使得BB′=DD′=1.8m，记汽车尾部左端点为M，则当M位于线段AB′上时，学员可按教练要求完成任务．∴学员甲能按要求完成任务的概率P===．20．已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面FCB；（Ⅱ）若FC=1，求点A到平面MCB的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取BC的中点Q，连接NQ，FQ，利用三角形中位线定理与平行四边形的判定可得四边形MNQF是平行四边形，因此MN∥FQ，再利用线面平行的判定定理即可证明．（II）由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，可得∠ACB=90°，AC=，AB=2．进而得到FC⊥BC，AC⊥BC，BC⊥平面ACFE．设点A到平面MCB的距离为h，则V A﹣MCB=•h．四边形ACFE为矩形，又V A﹣MCB=V B﹣ACM=，即可得出．【解答】（I）证明：取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则NQ=AC，NQ∥AC，又MF=AC，MF∥AC，∴MF=NQ，MF∥NQ，则四边形MNQF是平行四边形，∴MN∥FQ，FQ⊂平面FCB，MN⊄平面FCB，∴MN∥平面FCB．（II）解：∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，可得∠ACB=90°，AC=，AB=2．又FC=1，FB=，BC=1，∴FC⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．∴BC⊥平面ACFE．设点A到平面MCB的距离为h，则V A﹣MCB=•h．四边形ACFE为矩形，又V A﹣MCB=V B﹣ACM===，==，S△MCB∴h==，则点A到平面MCB的距离为．21．已知直线y=x+1与函数f（x）=ae x+b的图象相切，且f′（1）=e．（I）求实数a，b的值；（Ⅱ）若存在x∈（0，），使得2mf（x﹣1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，求的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）求出函数f（x）的导数，设出切点，求得切线的斜率，由条件可得b=1，解方程可得a=1；（Ⅱ）由于f（x）=e x，由题意可得+=在x∈（0，）有解，构造g（x）=，求得导数，求出单调区间和极值、最值，可得g（x）的范围，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（I）函数f（x）=ae x+b的导数为f′（x）=ae x，由且f′（1）=e，可得ae=e，即a=1；设切点为（m，m+1），可得切线的斜率为ae m=1，又m+1=ae m+b，解得b=1，综上可得，a=b=1；（Ⅱ）由于f（x）=e x，存在x∈（0，），使得2mf（x﹣1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，即为+=在x∈（0，）有解，由g（x）=的导数为，可得0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；1＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值，由g（0）=0，g（）=，即有g（x）的范围是（0，]，则0＜+≤，解得﹣＜≤﹣．故的取值范围为（﹣，﹣]．22．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．（I）若N为AC的中点，△BAN的面积为，椭圆的离心率为．求椭圆E的方程；（Ⅱ）F为椭圆E的右焦点，线段CF的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P，求的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可得A（a，0），B（0，b），C（0，﹣b），由两点的距离公式及点到直线的距离公式，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设F（c，0），C（0，﹣b），A（a，0），B（0，b），求得直线CF，AB的方程，联立求得M 的坐标，再联立椭圆方程，可得P的坐标，由=，化简整理，转化为e的式子，运用基本不等式可得最小值．【解答】解：（I）由题意可得A（a，0），B（0，b），C（0，﹣b），|AN|=|AC|=，直线AC的方程为bx﹣ay﹣ab=0，可得B到AC的距离为d=，由△BAN的面积为，可得••（）=，即有ab=2，又e==，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=c=，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设F（c，0），C（0，﹣b），A（a，0），B（0，b），可得直线CF：y=x﹣b，直线AB的方程为y=﹣x+b，联立直线CF和AB的方程，可得M（，），将直线CF的方程代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，可得x=0或，即有P（，），由==，由e=∈（0，1），可得==（1+e）+﹣2≥2﹣2=2﹣2．当且仅当1+e=，即e=﹣1，可得最小值2﹣2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]23．如图，已知A，B，C，D四点共圆，BA，DC的延长线交于点M，CA，DB的延长线交于点F，连接FM，且FM⊥MD．过点B作FD的垂线，交FM于点E（Ⅰ）证明：△FAB∽△FDC（Ⅱ）证明：MA•MB=ME•MF．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）利用：A，B，C，D四点共圆，可得∠FBA=∠FCD，结合公共角，即可证明△FAB ∽△FDC；（Ⅱ）证明：F，E，A，B四点共圆，利用割线定理证明MA•MB=ME•MF．【解答】证明：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠FBA=∠FCD，∵∠AFB=∠DFC，∴△FAB∽△FDC（Ⅱ）如图，在△FBE，△FMD中，∠FBE=∠FMD=90°，∠BFE=∠MFD，由三角形内角和定理，可得∠BEF=∠MDF，∵ABDC为圆的内接四边形，∴∠MDF=∠BAF，∴∠BEF=∠BAF，∴F，E，A，B四点共圆，∴MA•MB=ME•MF．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将普通方程化为极坐标方程即可；（2）求出M，N，P的坐标，得到射线的极坐标方程，分别代入C1、C2得到，P，Q的极坐标，求距离即可．【解答】解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），所以|PQ|=|ρ2﹣ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．[选修4-5：不等式选讲]25．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）＜0（Ⅱ）若a＞0，且对于任意的实数x，都有f（x）≤3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将a=2代入，不等式两边平方，解出即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，得到f（x）的分段函数，求出f（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=2时，原不等式为：|x+1|﹣|2x﹣2|＜0，即|x+1|＜|2x﹣2|，平方：（x+1）2＜（2x﹣2）2，化简得：（3x﹣1）（x﹣3）＞0，解得：x＜或x＞3，故解集为：{x|x＜或x＞3}；（Ⅱ）∵a＞0，∴＞0，∴原函数可化为：f（x）=，即f（x）=，∴f（x）max=f（）=+1，∴+1≤3，解得：a≤4，综上，a的范围是（0，4]．。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0,1,2,3,4,5},若集合A={1,2,3,5}，B={2,3,4}则(C U A)∪B为()．A. {1,2,4}B. {4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}2.已知复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则x的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−1,0)C. (−∞,0)D. (0,1)3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13=26，a11=10，则a20=()A. 26B. 28C. 30D. 324.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=()A. 1B. 2C. 3D. 45.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.6.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是()A. 101102B. 100101C. 99100D. 98997.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.设变量x，y满足约束条件{2x+y≤2x+2y≤2x≥0 y≥0，则目标函数z=−2x+y的最大值是()A. 4B. 2C. 1D. −239.若对任意x∈R，都有cos(2x−5π6)=sin(ωx+φ)(ω∈R,|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω,φ)的对数为A. 0B. 1C. 2D. 310.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，已知某“堑堵”和“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 5√36B. 7√36C. √36D. 3√3611.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=√3(x−1)，l与C交于A，B两点，若|AB|=163，则p=()A. 8B. 4C. 2D. 112.函数f(x)是定义域在R的可导函数，满足：f(x)<f′(x)且f(0)=2，则f(x)e x>2的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线x24−y23=1的渐近线方程是______，实轴长为______．14.已知函数f(x)=ax−log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数，则a=________________．15.如图，四边形ABCD和ABEF均是边长为1的正方形，且平面ABCD⊥平面ABEF.M，N分别为对角线AC，BF上两点，则MN的最小值为________．16.已知首项为1的数列{a n}，满足a n+1=11+a n(n∈N∗)，则a3=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示．等级不及格及格良好优秀得分[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频数6a24b(Ⅰ)求a、b、c的值；(Ⅱ)试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；(Ⅲ)已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现在再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中恰有1人为“优秀”的概率．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若sin(A+π)=2cos A，求A的值；6(2)若cos A=1，b=3c，求sin C的值.319.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D−BCG的体积．20. 已知函数f(x)=(x −a −1)e x−1，a >0．(1)当a =1时，求y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)设函数g(x)=f(x)+alnx −x ，求g(x)的极值点．21. 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4√2y 的焦点，离心率等于√63.椭圆E 的左焦点为F ，过点M(−3,0)任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为C ．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)求△MBC 面积的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x −1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m ，且2a +b =m(a >0,b >0)，求2a +1b 的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．根据补集和并集的定义，写出(∁U A)∪B即可．解：全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={1,2，3，5}，B={2,3，4}，则∁U A={0,3，4}，所以(∁U A)∪B={0,2，3，4}．故选D．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．由题意，可得1+x<0，即可得解．解：∵复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则1+x<0，解得x<−1，∴x的取值范围是(−∞,−1)．故选A．3.答案：B解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．利用等差数列的性质求解即可．=13a7=26，所以a7=2，解：S13=13(a1+a13)2所以4d=a11−a7=8，解得d=2，所以a20=a11+9d=10+9×2=28．故选B．4.答案：B解析：解：a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，λb⃗ −a⃗=(λ−2,λ)，∵(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，∴(λb⃗ −a⃗ )⋅a⃗=0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．5.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．6.答案：B解析：本题考查的知识要点：程序框图在数列中的应用，利用裂项相消法求数列的和的应用．属于基础题型．直接利用程序框图的循环结构，数列的求和和利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．解：根据程序框图：S=S+1i −1i+1，执行第一次循环时：S=0+1−12=12，执行第二次循环时，S =1−12+12−13=23，当n =100时，输出结果为：S =1−12+12−13+⋯−1101=1−1101=100101．故选：B ． 7.答案：B解析：本题主要考查函数图像的识别，考查学生思考推理的过程．解：因为f(−1)=|2−1−2|2−1+2=35，f(1)=|21−2|21+2=0，所以f (−1)≠f (1)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ，又f (0)=13，排除D ．故选B ． 8.答案：C解析：本题考查利用简单线性规划求最值.由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z =y −2x 的最大值的位置，即可求出其最值．解：由题意，作出可行域，如图所示：由{x +2y =2x =0，得A(0,1)，由z=−2x+y得y=2x+z，平行移动直线y=2x+z，当直线过点A时，截距最大，则z的值最大，∴目标函数z=−2x+y的最大值是1.故选C．9.答案：C解析：本题考查诱导公式及三角函数的性质，属于中档题．由诱导公式可得，cos (2x−5π6)=sin (2x−π3)，即可得ω=±2，从而可得ω=2时φ=−π3；ω=−2时，φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，即可得结果．解：cos(2x−5π6)=cos(2x−π3−π2)=sin(2x−π3)，由条件知ω=±2，若ω=2，由φ=−π3+2kπ(k∈Z)且|φ|<π，得φ=−π3；若ω=−2，sin(−2x+φ)=sin(2x+π−φ)，则π−φ=−π3+2kπ(k∈Z)，所以φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，又|φ|<π，则φ=−2π3．故选C．10.答案：A解析：解：由三视图知：几何体右边是四棱锥，即“阳马”，底面边长为1和√3，高为1，其体积V1=13×√3×1=√33左边是直三棱柱，即“堑堵”，底面边长是√3和1的直角三角形，高为1，其体积V2=12×1×√3=√32∴该几何体的体积V=V1+V2=√33+√32=5√36．故选：A．由已知中的三视图，可知该几何体右边是四棱锥，即“阳马”，左边是直三棱柱，即“堑堵”，该几何体的体积只需把“阳马”，和“堑堵”体积分别计算相加即可．本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：直线l：y=√3(x−1)与抛物线y2=2px联立，可得3x2+(−6−2p)x+3=0，Δ=(6+2p)2−36>0，x1+x2=6+2p3,x1x2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=2|x1−x2|，∴2√(6+2p3)2−4=163，∴p=2，故选：C．直线与抛物线联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求出p．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：设F(x)=f(x)e x，则F′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵f(x)<f′(x)，∴F′(x)>0，即函数F(x)在定义域上单调递增；∵f(0)=2，∴不等式f(x)e x>2等价为F(x)>F(0)，解得x>0，所求不等式的解集为(0,+∞)．故选：B．根据条件构造函数F(x)=f(x)e x，求函数F(x)的导数，利用函数的单调性即可求出不等式的解集．本题主要考查了函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．13.答案：√3x±2y=0 4解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．直接利用双曲线方程求解渐近线方程与实轴长即可．解：双曲线x24−y23=1，可得a=2，b=√3，所以双曲线的渐近线方程是：√3x±2y=0，实轴长为：4．故答案为：√3x±2y=0；4．14.答案：12解析：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．根据偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，即可得−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+ 1)+cos x，整理即可求得a．解：因为f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，即−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cos x，∴2ax=log2(2x+1)−log2(2−x+1)=log22x+12−x+1=x，由x的任意性2a=1，可得a=12．故答案为12．15.答案：√33解析：本题考查利用空间向量求空间两点间的距离，建立空间直角坐标系，设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求出M ，N 的坐标，把|MN |表示为λ的函数，配方求得最小值．解：由已知得，BA ，BE ，BC 两两相互垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BE ，BC 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，F(1,1，0)，C(0,0，1)．BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，设BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤μ≤1)，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)+μ(1,0,−1)=(μ,0,1−μ)，所以N(λ,λ,0)，M(μ,0，1−μ)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ,λ,μ−1)，所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(λ−μ)2+λ2+(μ−1)2=2λ2−2λμ+2μ2−2μ+1=2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥13，当且仅当λ=13，μ=23时取等号．所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33． 故答案为√33． 16.答案：23解析：本题主要考查数列项的求解，属于基础题，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据数列的递推关系即可得到结论．解：∵首项为1，满足a n+1=11+a n ∴a 2=11+1=12，a 3=11+12=23，故答案为：2317.答案：解：(Ⅰ)由频率和为1，得(0.005+c +0.02+0.01)×20=1，解得c =0.015，由a 6=0.0150.005，解得a =18，由b 6=0.010.005，解得b =12；(Ⅱ)该校安全意识测试评定为“优秀”的频率是0.01×20=0.2，估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数为3000×0.2=600；(Ⅲ)采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人，抽取比例为12：24=1：2；“优秀”人数选2人，记为A、B，“良好”人数选4人，记为C、D、E、F，现再从这6人中任选2人，基本事件数是AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种，选取的2人中有1人为“优秀”的基本事件数是AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF共8种，故所求的概率为P=815．解析：本题考查了列举法计算基本事件数和发生的概率，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．利用列举法写出基本事件数，求出对应的概率值．(Ⅰ)由频率和为1求出c的值，根据频率与频数的比例关系求出a、b的值；(Ⅱ)计算评定为“优秀”的频率，求出对应的频数即可；(Ⅲ)采用分层抽样法，抽取优秀和良好的学生分别为2人和4人，18.答案：解：(1)由题意知sin Acosπ6+cos Asinπ6=2cos A，即sin A=√3cos A，且cos A≠0，所以tan A=√3，因为0<A<π，所以A=π3.(2)由cos A=13，b=3c，及a2=b2+c2−2bccos A，可得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，所以sin C=cos A=13．解析：本题考查三角形的余弦定理、考查两角和的正弦公式，属于基础题．(1)利用两角和的正弦公式，即可求出角A的正弦，从而求出角A;(2)利用余弦定理得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，即可求解．19.答案：证明：(1)∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，∴△ABC≌△DBC，∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，又BG∩CG=G，∴AD⊥平面BGC，∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF//AD，∴EF⊥平面BCG．解：(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在△AOB中，AO=AB⋅sin60°=2√3，∴三棱锥D−BCG的体积：V D−BCG=V G−BCD=13×12×BD×BC×sin120°×√3=4．解析：(1)推导出△ABC≌△DBC，CG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面BGC，推导出EF//AD，由此能证明EF⊥平面BCG．(2)作AO⊥BC，交CB的延长线于O，推导出AO⊥平面BDC，G到平面BDC的距离h是AO长的一半，三棱锥D−BCG的体积V D−BCG=V G−BCD．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=(x−2)e x−1，∴f′(x)=(x−1)e x−1，∴k=f′(2)=e，∵f(2)=0，∴y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=e(x−2)；(2)g(x)=f(x)+alnx−x=(x−a−1)e x−1+alnx−x，x>0，∴g′(x)=(x−a)e x−1+ax−1，x>0，由g′(x)=(x−a)e x−1−x−ax=(x −a)(e x−1−1x )=0，可得x =1或x =a ，当0<a <1时，可得g(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，可得g(x)在x =a 处取得极大值，在x =1处取得极小值；当a =1处，g(x)单调递增，无极值；当a >1时，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，可得g(x)在x =1处取得极大值，在x =a 处取得极小值．解析：本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的极值，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；(2)求得g(x)的解析式，求得导数，令g ′(x)=0，解方程可得x =1，x =a ，讨论0<a <1，a =1，a >1，可得单调性，即可得到极值点．21.答案：解：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，抛物线x 2=4√2y 的焦点为(0,√2)，由题意可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2， 解得a =√6，b =√2，c =2，∴椭圆E 的方程为x 26+y 22=1；(Ⅱ)证明：点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3)，联立{y =k(x +3)x 2+3y 2=6得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6=0， △=(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k ，x 1x 2=27k 2−61+3k ，y 1=k(x 1+3)，y 2=k(x 2+3)，∵F(−2,0)，C(x 1,−y 1).∴FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)， ∵(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)=(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)=k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[2⋅27k 2−61+3k 2+5⋅(−18k 21+3k 2)+12]=0，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：k 2<23，由题意可知：S =12|MF||y 1|+12|MF||y 2|=12|MF||y 1+y 2|=12|k(x 1+x 2)+6k|=3|k|1+3k 2=31|k|+3|k|≤2√3=√32． 当且仅当k 2=13<23，“=”成立，∴k 2=13时，△MBC 面积S 取得最大值√32．解析：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题意可知可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2，解方程即可得到所求；(Ⅱ)点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3).设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F(−2,0)，C(x 1,−y 1)，FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)，利用向量共线定理即可判断出； (Ⅲ)利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积公式、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2,因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1),解得：x无解或1≤x≤2或2<x≤4，故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]；(2)由(1)可知f(x)在(−∞,2]时单调递增，在[2,+∞)时单调递减，则f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13(2√2ab·2ba+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以2a +1b的最小值为3．解析：本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)f(x)≥13(x−1)转化为{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，先求出每个不等式组的解集，再求它们的并集即可；(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，再由基本不等式即可求出．。
2020届山西省太原市一模数学(文科)试卷及答案
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．194．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+ 与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．15．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13326．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．1377．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为()A ．3B ．5C ．8D ．119．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．410．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A 3B ．3C 3D ．411．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()x xx f x f x e-'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是．14．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆，求11a b+的值．19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}【解答】解：{0U A = ð，4}，(){0U A B ∴= ð，2，4}；故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞【解答】解： 复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，∴1020m m +<⎧⎨->⎩，解得1m <-．∴实数m 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ．3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．19【解答】解：525S = ，23a =，53255S a ∴==，则35a =，则公差322d a a =-=，11a =，则918217a =+⨯=．故选：B ．4．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．1【解答】解： 平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，(∴2)46100a b b a b b λλλ+=+=++=，求得1λ=-，故选：C ．5．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为222222232=，故概率716P =．故选：C ．6．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．137【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列1{}(1)n n +前四项的和再加上1．111(1)1n n n n =-++，11111111(1)()()(2233445S ∴=+-+-+-+-95=．故选：B ．7．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C．D ．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y=+的最大值为()A．3B．5C．8D．11【解答】解：作出可行域如图，由2z x y=+知，1122y x z =-+，所以动直线1122y x z=-+的纵截距12z取得最大值时，目标函数取得最大值．由16xx y=⎧⎨+=⎩得(1,5)A．结合可行域可知当动直线经过点(1,5)A 时，目标函数取得最大值12511z =+⨯=．故选：D ．9．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解： 对于任意实数x 都有sin(3sin()3x ax b π-=+，则函数的周期相同，若3a =，此时sin(3sin(3)3x x b π-=+，此时5233b πππ=-+=，若3a =-，则方程等价为sin(3)sin(3)sin(3)sin(3)3x x b x b x b ππ-=-+=--=-+，则3b ππ-=-+，则43b π=，综上满足条件的有序实数组(,)a b 为5(3,3π，4(3,)3π-，共有2组，故选：B ．10．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A B ．3C ．2D ．4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以r ==．故选：C ．11．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定【解答】解：120k k +=，231k k =- 可得设1l d 的斜率为k ，则2l ，3l 的斜率分别为：k -，1k，设直线1l 的方程为：(1)2y k x =-+，则2l 的方程为(1)2y k x =--+，3l 的方程为1(1)2y x k=-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，联立直线1l 与抛物线的方程：2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4](2)0k x k k x k +--+-=，所以22(2)1A k x k -=，所以22(2)A k x k -=，代入直线1l 中可得22(2)44(1)2[1]2A k k y k x k k k --=-+=-+=，即22(2)(k A k -，42kk -；联立直线2l 与抛物线的方程可得2(1)24y k x y x =--+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4(2)0k x k k x k -++++=，所以22(2)1B k x k +=，可得22(2)B k x k +=，代入2l 中可得22(2)24(1)2[1]2B k k y k x k k k ++=--+=--+=-，即22(2)(k B k +，24k k +-；联立直线3l 与抛物线的方程：21(1)24y x k y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理可得24840y ky k -+-=，284C y k =- ，所以42C y k =-，代入抛物线的方程可得2(21)C x k =-，可得2((21)C k -，42)k -；所以222224224818(2)(2)ABk k k k k k k k k k k k -++===---+-为定值；故选：B ．12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()xxx f x f x e -'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)【解答】解：令()(2)()g x x f x =-，2x <，由题意可得，1()xxg x e -'=，当1x >时，()0g x '<，函数单调递减，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，又(0)0g =，2x →时，()0g x →，由()0f x <可得()02g x x <-即()0g x >，结合函数图象可知，02x <<．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是4．【解答】解：双曲线2228x y -=化为标准方程为22148x y -=24a ∴=2a ∴=24a ∴=即双曲线2228x y -=的实轴长是4故答案为：414．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为12-．【解答】解：（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+-即441log 241x xkx -+=-+，4log 42x kx=-2x kx ∴=-对一切x R ∈恒成立，12k ∴=-故答案为12-．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+= ，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||3min MN ==．MN ∴．故答案为：3．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =1m +．【解答】解：11a = ，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈，123a a a ∴+=，234a a a +=，345a a a +=，⋯⋯201920202021a a a +=，202020212022a a a +=，以上累加得：12342020202134202120222222a a a a a a a a a a ++++⋯⋯++=++⋯⋯++，123202020222a a a a a a m ∴+++⋯⋯+=-=，20221a m ∴=+，故答案为：1m +．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：0.002200.00620200.002200.002201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.008a =，设中位数是110x +，则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=，解得15x =，∴中位数是125．（Ⅱ）由175(0.002200.006200.00820)98⨯⨯+⨯+⨯=，∴估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．（Ⅲ）在区间(150，170]中有28人，在区间(170，190]中有7人，在区间(190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从(150，170]中抽取4人，(170，190]和(190，210]中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数2615n C ==，这两人均来自区间(150，170]包含的基本事件个数246m C ==，∴这两人均来自区间(150，170]的概率62155m p n ===．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆的面积为2，求11a b+的值．【解答】解：（Ⅰ）212cos sin()cos 362C c C ππ++=-，1sin()cos 62C C π∴+-=，∴11cos cos 222C C C +-=，∴11cos 222C C -=，1sin(62C π∴-=，而C 为三角形的内角，3C π∴=；（Ⅱ）ABC ∆，及3C π=，得1sin 23ab π=化简可得6ab =，又3c =，由余弦定理，得222cos 9a b ab C +-=，化简得2215a b +=，a b ∴+=，∴11a b a b ab ++==19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC BC ==，2AD BD CD ===，∴在三棱锥1A BCD -中，1A D BD =，1A C BC =，G 是1A B 的中点，1DG A B ∴⊥，1CG A B ⊥，DG CG G = ，1A B ∴⊥平面DGC ，点M ，N ，分别为1A C ，BC 的中点．1//MN A B ∴，MN ∴⊥平面DCG ．（Ⅱ）解：由图（1）知1CD A D ⊥，CD BD ⊥，1A D BD D = ，CD ∴⊥平面1A DG ，又160A DB ∠=︒，∴△1A DB 是等边三角形，1DG A B ∴⊥，12A B =，11112A G AB ==，DG =，∴11111222A DG S A G DG =⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥1G A DC -的体积：1111123323G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯==．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．【解答】解：（1）(0)0f =．∴切点为(0,0)．()sin x f x e x '=+．(0)1f ∴'=，()f x ∴在点(0，(0))f 处的切线方程为：00y x -=-，化为：0x y -=．证明：（2）()sin x f x e x '=+．0x 时，1x e ，()0f x ∴' ，∴函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，而(0)0f =，∴函数()f x 在[0，)+∞上只有一个零点0．(2x π∈-，0)时，()cos 0x f x e x ''=+>．∴函数()f x '在(2x π∈-，0)上单调递增，而21(102f eππ'-=-<，(0)10f '=>，∴存在唯一实数0(2x π∈-，0)，使得000()sin 0x f x e x '=+=，且函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上单调递减，0(x x ∈，0)上单调递增．又21()02f eππ-=>，00000()cos sin cos 0x f x e x x x =-=--<，(0)0f =．∴函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上存在唯一零点，而在0[x x ∈，0)上无零点．综上可得：()f x 在(2π-，)+∞上仅有2个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b+=，其中221b a =-，由已知当2λ=时，不妨设2||BF m =，则2||2AF m =，1||||AB BF = ，1||3BF m ∴=，由椭圆定义得24a m =，从而12||||2AF AF m ==，故此时点A 在y 轴上，不妨设(0,)A b -，从而由已知条件可得3(2B ，)2b，代入椭圆方程，解得23a =，所以2212b a =-=，故所求椭圆方程为：22132x y +=；（Ⅱ）证明：如图所示：，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入椭圆22236x y +=中，得：22(23)440m y my ++-=，∴122423m y y m -+=+，122423y y m -=+，∴1212y y m y y +=，由题设知(2,0)H ，直线BH 斜率222112221211BH y y y k y y y x my y ====+---，∴直线BH 的方程为：1(2)y y x =-，而直线2l 方程为：1y y =，代入1(2)y y x =-，得3x =，故点C 的横坐标是定值3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos 16θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan k θ==．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a-<且1a->，∴312a-<<-．实数a的取值范围：3(2-，1)-．。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)(有答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集1，2，3，，集合2，，，则为A. 2，B. 3，C. 2，3，D. 2，2.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是A. B.C. D.3.已知等差数列中，前5项和，，则A. 16B. 17C. 18D. 194.已知平面向量，若与垂直，则A. B. 2 C. D. 15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为A. B. C. D.6.某程序框图如图所示，若，则该程序运行后输出的结果是A.B.C.D.7.函数的图象大致为A.B.C.D.8.已知变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为A. 3B. 5C. 8D. 119.设，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对的对数为A. 1B. 2C. 3D. 410.刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为A. B. 3 C. D. 411.过抛物线上点作三条斜率分别为、、的直线、、，与抛物线分别交于不同与P的点A，B，若，，则下列结论正确的是A. 直线AB过定点B. 直线AB斜率一定C. 直线BC斜率一定D. 直线AC斜率一定12.函数的定义域为，为其导函数．若且，则的解集为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的实轴长是______ ．14.已知函数是偶函数，则k的值为______ ．15.在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是______．16.我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列中，，，用表示它的前n项和，若已知，那么______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数单位：百步，绘制出如下频率分布直方图：Ⅰ求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；Ⅱ若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；Ⅲ在Ⅱ的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间的概率．18.已知中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．Ⅰ求C；Ⅱ若，的面积为，求的值．19.如图在等腰直角三角形ABC中，，，点D为AB中点，将沿DC折叠得到三棱锥，如图，其中，点M，N，G分别为，BC，的中点．Ⅰ求证：平面DCG；Ⅱ求三棱锥的体积．20.已知函数．求在点处的切线方程；求证：在上仅有2个零点．21.椭圆E的焦点为和，过的直线交E于A，B两点，过A作与y轴垂直的直线，又知点，直线BH记为，与交于点设，已知当时，Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求证：无论如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，已知点，点P是曲线上任意一点，点M满足，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点M的轨迹的极坐标方程；Ⅱ已知直线l：与曲线交于A，B两点，若，求k的值23.已知函数，．Ⅰ若的最小值为1，求实数a的值；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．由题意，集合，从而求得2，．【解答】解：，2，；故选D．2.答案：A解析：解：复数在复平面内对应的点在第二象限，，解得．实数m的取值范围是．故选：A．由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3.答案：B解析：解：，，，则，则公差，，则．故选：B．根据等差中项求出，然后求出和d，求出本题考查等差数列性质，属于基础题．4.答案：C解析：解：平面向量，若与垂直，，求得，故选：C．由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得的值．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．5.答案：C解析：解：设大正方形的边长为4，则面积，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，面积，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，面积，故概率．故选：C．先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题．6.答案：B解析：解：由题意知，该程序计算的是数列前四项的和再加上1．，．故选：B．分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列前四项的和再加上利用裂项法求和可求解．本题考查了直到型循环结构求数列前n项和的问题，要注意判断准确求和的项数，区分好当型循环结构与直到型循环结构．7.答案：D解析：解：，则为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当时，为增函数，排除A，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当时的单调性，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：作出可行域如图，由知，，所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由得．结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值．故选：D．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z 最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9.答案：B解析：解：对于任意实数x都有，则函数的周期相同，若，此时，，此时，若，则方程等价为，，则，则，综上满足条件的有序实数组为，，共有2组，故选：B．根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：，可得设的斜率为k，则，的斜率分别为：，，设直线的方程为：，则的方程为，的方程为，设，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，所以，所以，代入直线中可得，即；联立直线与抛物线的方程可得，整理可得所以，可得，代入中可得，即；联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，代入抛物线的方程可得，可得；所以为定值；故选：B．由，，可设直线的方程，可得，的方程，分别于抛物线联立可得A，B，C 的坐标，进而可得直线AB的斜率为定值．本题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法．属于中档题．12.答案：D解析：解：令，，由题意可得，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减，又，时，，由可得即，结合函数图象可知，．故选：D．结合已知构造函数，，结合已知可知的单调性，结合其函数的特征可求解不等式．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．13.答案：4解析：解：双曲线化为标准方程为即双曲线的实轴长是4故答案为：4双曲线化为标准方程为，即可求得实轴长．本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．14.答案：解析：解：由函数是偶函数，可知即，对一切恒成立，故答案为．利用函数为偶函数的定义寻找关于k的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数的运算性质的运用．本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，注意学生的运算整理变形的等价性．15.答案：解析：解：如图，以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，1，，0，，1，，设，，，．1，，，，，．当且仅当时等号成立．令，则．当，即时，．长度的最小值是．故答案为：．以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，可得，求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与基本不等式求最值，属难题．16.答案：解析：解：，，，，，，，，以上累加得：，，，故答案为：．根据条件，利用累加法得到，从而，．本题主要考查了数列的递推式，以及累加法数列求和，是中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意得：，解得，设中位数是，则，解得，中位数是125．Ⅱ由，估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数，这两人均来自区间包含的基本事件个数，这两人均来自区间的概率．解析：Ⅰ由频率分布直方图列出方程，能求出a和中位数．Ⅱ由频率分布直方图求出一天行走步数不大于130百步的人数的频率，由此能估计一天行走步数不大于130百步的人数．Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，由此能求出从6人中选取2人担任领队，这两人均来自区间的概率．本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：Ⅰ，，，，，而C为三角形的内角，；Ⅱ的面积为，及，得，化简可得，又，由余弦定理，得，化简得，，解析：Ⅰ根据三角函数的化简即可求出C的值，Ⅱ根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出．本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意知，在图中，，，在三棱锥中，，，是的中点，，，，平面DGC，点M，N，分别为，BC的中点．，平面DCG．Ⅱ解：由图知，，，平面，又，是等边三角形，，，，，，三棱锥的体积：．解析：Ⅰ推导出，，从而，，进而平面DGC，推导出，由此能证明平面DCG．Ⅱ由，，，得平面，推导出是等边三角形，三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：切点为．．，在点处的切线方程为：，化为：．证明：．时，，，函数在上单调递增，而，函数在上只有一个零点0．时，．函数在上单调递增，而，，存在唯一实数，使得，且函数在上单调递减，上单调递增．又，，．函数在上存在唯一零点，而在上无零点．综上可得：在上仅有2个零点．解析：切点为可得，利用点斜式即可得出切线方程．分类讨论：时，利用导数研究其单调性可得，函数在上只有一个零点时，可得函数在上单调递增，进而得出零点的个数．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：Ⅰ设椭圆方程为，其中，由已知当时，不妨设，则，，，由椭圆定义得，从而，故此时点A在y轴上，不妨设，从而由已知条件可得，代入椭圆方程，解得，所以，故所求椭圆方程为：；Ⅱ证明：如图所示：，设点，，设直线AB的方程为：，代入椭圆中，得：，，，，由题设知，直线BH斜率，直线BH的方程为：，而直线方程为：，代入，得，故点C的横坐标是定值3．解析：设椭圆方程为，其中，利用椭圆的定义和已知条件可得，代入椭圆方程解得a，b，c的值，从而得到椭圆方程；设点，，设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，进而得到直线BH斜率，再得到直线BH的方程与直线方程联立即可得到点C的横坐标是定值3．本题主要考查了椭圆方程，以及正弦与椭圆的位置关系，是中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，设，由于点M满足，所以为参数，转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为Ⅱ直线l：转换为极坐标方程为，设，，由于，所以，即，由于，所以，解得．所以，解得．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：函数，．，解得或；时，不等式，即：，可得：，．，不等式的解集包含，即：且，．实数a的取值范围：．解析：Ⅰ化简的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值为1，即可求解实数a的值；Ⅱ化简不等式的解集，通过解集包含，列出不等式，然后求实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，难度较高．。
2020-2021学年山西省大同市第一中学高三数学文模拟试题含解析
2020-2021学年山西省大同市第一中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）.（A）（B）（C）（D）参考答案：B2. 设是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则参考答案：B3. 函数的图像可能是（）参考答案：B略4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A. B. C. D.参考答案：A该几何体为如图中的三棱锥C－A1C1E，EC＝EA1＝，A1C＝＝4，三角形EA1C的底边A1C上的高为：2，表面积为：S＝24＋24＋44＋24＝5. 给出以下命题：①“若，则”为假命题：②命题：，，则：，：③“”是“函数为偶函数”的充要条件，其中，正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：B【分析】①先表示此命题的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题真假情况一样去判断真假．②利用特称命题和全称命题否定之间的关系判断．③由为偶函数求出再利用充分必要条件的关系判断．【详解】解：①原命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，逆否命题为真则原命题为真，所以①的判断错误．②全称命题的否定是特称命题，所以￢p：，，所以②错误．③若函数y＝sin（2x+φ）为偶函数，则φkπ（k∈Z），所以φkπ（k∈Z）是“函数y＝sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，所以③正确．故选：B．【点睛】本题考查了四种命题的真假情况判断，考查特称命题和全称命题否定之间的关系，考查了充分必要条件，属于基础题.6. 已知定义域为的函数满足，当时，单调递增，若且，则的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．可能等于0 D．可正可负参考答案：答案:B7. 已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S-ABC的体积为（A）（B）（C）（D）1参考答案：C本题主要考查了球与多面体的组合体问题，考查了割补思想在球体积中的应用，难度中等.连结OA、OB，则OA=OB=OS,又，则，，作面OAB，连结OH，由三余弦定理得：,即，，，点C到平面AOB的距离为，球半径为2，，因此,则,选C.8. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 ( )A. B. C. D.参考答案：C略9. 若集合则集合=（）A．（-2，+∞）B．（-2，3）C．D．R参考答案：C略10. 若实数x，y满足不等式组则2x＋4y的最小值是A．6 B．4 C．D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线与圆相切，则实数的取值范围是.参考答案：答案：12. 已知点P落在的内部，且，则实数的取值范围是参考答案：13. 抛物线y2=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为．参考答案：考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设M（﹣3，m），则P（9，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，得到外心Q的坐标，△FPM的外接圆的半径，从而求出其方程．解答：解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，F（3，0）设M（﹣3，m），则P（9，m），等边三角形边长为12，如图．在直角三角形APF中，PF=12，解得外心Q的坐标为（3，±4）．则△FPM的外接圆的半径为4，∴则△FPM的外接圆的方程为．故答案为：．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力14. (文科) 已知函数是上的偶函数，当时，有关于的方程有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则= ．参考答案：(文)15. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)参考答案：5040分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为．填5040.【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类．本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”．16. 若等差数列{a n}的前5项和=25，且，则 .参考答案：717. 设为虚数单位，则=___．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021届山西省高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
2021届山西省高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|8U x x =≤，集合{}2|80A x x x =-≤，则U C A =（ ） A ．(),8-∞ B ．(],0-∞ C ．(),0-∞ D ．∅ 2.下列命题正确的是（ ）A ．命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题B ．命题“若a b <，则22ac bc ≤”的逆命题为真命题C ．命题“0,50xx ∀>>”的否定是“000,50xx ∃≤≤” D ．“1x <-”是“()ln 20x +<”的充分不必要条件3.已知tan 3α=，则sin 21cos 2αα=+（ ）A ．-3B ．13-C ．13D ．34.已知向量b 在向量a 方向上的投影为2，且1a =，则a b = （ ） A ．-2 B ．-1 C. 1 D ．25.若点P 为圆221x y +=上的一个动点，点()()1,0,1,0A B -为两个定点，则PA PB +的最大值是（ ）A ．2B ． C. 4 D ．6.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是 （ ）A ．25πB ． 50π C. 100π D ．200π7.完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ） 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 各面内角和的总和 三棱锥 4 6 四棱锥 5 5 五棱锥6（说明：上述表格内，顶点数V 指多面体的顶点数.）A ．()22V π-B ．()22F π- C. ()2E π- D ．()4V F π+-8. 甲、乙二人约定7:10在某处会面，甲在7：00-7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05-7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是（ ） A ．18 B ．14 C. 38 D ．589.执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是10，则与输出结果S 的值最接近的是（ ）A ． 28eB ． 36e C. 45e D ．55e10.在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，若3,32,3,sin BC CD AC AD ABC ⊥==∠=，则ABC ∆的面积是（ ）A ．62B ．122 C.922 D ．152211.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ）A ．16163π+B ．8163π+ C. 32833π+ D ．321633π+ 12.若对于()12,,x x m ∀∈-∞，且12x x <，都有1221211x x x x x e x e e e ->-，则m 的最大值是（ ）A ．2eB ．e C. 0 D ．-1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.若复数52iz i=-，则复数1z +的模是 ． 14.已知()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()()0f x f x -+=，当02x <<时，()21x f x =-，则()()2116f f -+= ．15.如图，点A 在x 轴的非负半轴上运动，点B 在y 轴的非负半轴上运动.且6,2,AB BC BC AB ==⊥.设点C 位于x 轴上方，且点C 到x 轴的距离为d ，则下列叙述正确的个数是_________.①d 随着OA 的增大而减小； ②d 2，此时6OA =；③d的最大值为22，此时6 2OA=；④d的取值范围是2,62⎡⎤+⎣⎦.16.若双曲线()2222:10,0x yE a ba b-=>>的左焦点为F，右顶点为A，P为E的左支上一点，且060,PAF PA AF∠==，则E的离心率是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知等比数列{}n a中，*1121120,4,,nn n na a n Na a a++>=-=∈.（1）求{}n a的通项公式；（2）设()()221lognn nb a=-，求数列{}n b的前2n项和2n T.18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，//,AF DE AF AD⊥，且平面BED⊥平面ABCD.（1）求证：AF CD⊥；（2）若0160,2BAD AF AD ED∠===，求多面体ABCDEF的体积.19.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：（1）某人打算将()()()0.3, 1.8, 1.5A kg B kg C kg 三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点⎛ ⎝，且两个焦点的坐标分别为()()1,0,1,0-. （1）求E 的方程；（2）若,,A B P （点P 不与椭圆顶点重合）为E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且OP OA OB =+，求AB 所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值. 21. 已知函数()()211ln 2f x x a x ax =-++. （1）当1a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式()()2112a x f x a x x e ++≥++-对于任意1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦成立，求正实数a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程； （2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且1AB =-，求α的值.23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()1f x x a a R =--∈.（1）若()f x 的最小值不小于3，求a 的最大值；（2）若()()2g x f x x a a =+++的最小值为3，求a 的值.2021届山西省高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题1-5: CADDB 6-10: BACBA 11、12：BC二、填空题13. 2 14. -1 15. 2 16. 4三、解答题17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为12112n n n a a a ++-=，所以11111112n n n a q a q a q-+-=， 因为0q >，解得2q =， 所以11*422,n n n a n N -+=⨯=∈； （2）()()()()()()2221221log 1log 211nnnn n n b a n +=-=-=-+，设1n c n =+，则()()21nn n b c =-，()()()()()()222222212342121234212n n n n n T b b b b b b c c c c c c --⎡⎤⎡⎤=++++++=-++-+++-+⎣⎦⎣⎦()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++()()21234212222123232n n n n c c c c c c n n n n -++⎡⎤⎣⎦=++++++==+=+.18. （1）证明：连接AC ，由四边形ABCD 为菱形可知AC BD ⊥， ∵平面BED ⊥平面ABCD ，且交线为BD ， ∴AC ⊥平面BED ，∴AC ED ⊥， 又//AF DE ，∴AF AC ⊥，∵,AC AD A AF AD ⊥=，∴AF ⊥平面ABCD ， ∵CD ⊂平面ABCD ，∴AF CD ⊥；（2）解：ABCDEF E BCD B ADEF V V V --=+，由（1）知AF ⊥平面ABCD ，又//AF DE ，∴DE ⊥平面ABCD ， 则011143422sin 60332E BCD BCD V ED S -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=取AD 的中点H ，连接BH ，则,3BH AD BH ⊥=， 由（1）可知BH AF ⊥，∴BH ⊥平面ADEF ， 则()111324223332B ADEF DEF V BH S -∆=⨯⨯=⨯+⨯= 所以43102333ABCDEF V ==，即多面体ABCDEF 1033.19.解：（1）由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所示概率为3； （2）将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元） 故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.20.解：（1）由已知得1,2c a ===∴1a b ==，则E 的方程为2212x y +=；（2）设():0AB x my t m =+≠代入2212x y +=得()2222220my mty t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=++， ()2282m t ∆=+-，设(),P x y ，由OP OA OB =+，得()121212122224,222mt ty y y x x x my t my t m y y t m m =+=-=+=+++=++=++， ∵点P 在椭圆E 上，∴()()22222221641222t m t m m +=++，即()()22224212t m m +=+，∴2242t m =+， 在x my t =+中，令0y =，则x t =，令0x =，则ty m=-.∴三角形面积22111212122888t m S xy m m m m ⎛⎫+==⨯=⨯=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当222,1m t ==时取得等号，此时240∆=>，. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()()2111x a x a x a x a f x x a x x x-++--'=-++==， 若01a <<，则当0x a <<或1x >时，()()0,f x f x '>单调递增； 当1a x <<时，()()0,f x f x '<单调递减， 若0a ≤，则当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减； 当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增.（2）原题等价于对任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有ln 1a a x x e -+≤-成立，设()ln ,0a g x a x x a =-+>，所以()max 1g x e ≤-，()()11a a a x a g x ax x x---'=+=， 令()0g x '<，得01x <<；令()0g x '>，得1x >， 所以函数()g x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()max g x 为1a g a e e -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()a g e a e =-+中的较大值，设()()()120a a h a g e g e e a a e -⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭，则()220a a h a e e -'=+->-=，所以()h a 在()0,+∞上单调递增，故()()00h a h >=，所以()1g e g e ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 从而()()max a g x g e a e ==-+，所以1a a e e -+≤-，即10a e a e --+≤，设()()10a a e a e a ϕ=--+>，则()10a a e ϕ'=->， 所以()a ϕ在()0,+∞上单调递增，又()10ϕ=，所以10a e a e --+≤的解为1a ≤， 因为0a >，所以正实数a 的取值范围为(]0,1.22.解：（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把,x x y y ''==代入上述方程得，()22103y x y '''+=≥，∴2C 的方程为()22103y x y +=≥， 令cos ,sin x y ρθρθ==，所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++； （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈， 由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=， 由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得B ρ=，11=-，∴1cos 2α=±， 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）因为()()min 1f x f a ==-，所以3a -≥，解得3a ≤-，即max 3a =-；（2）()()212g x f x x a a x x a =+++=-++，当1a =-时，()310,03g x x =-≥≠，所以1a =-不符合题意，当1a <-时，()()()()()()()12,12,112,1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩，即()312,12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩，所以()()min 13g x g a a =-=--=，解得4a =-，当1a >-时，同法可知()()min 13g x g a a =-=+=，解得2a =，综上，2a =或-4.。
山西省2021届高三第一次模拟数学(文)试题(含答案解析)
9．木工师傅把一个长方体形的木块切去一部分，得到一个三视图如图所示的新木件，则这个木件的切面面积为（）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，对于任意实数 ， ，且 ，都有 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为 ，则这个圆锥体积与球体积的比值为（）
（1）求 ；
（2）估计此次笔试的平均成绩；
（3）估计该公司此次招聘的录取分数线．
20．已知函数 ．
（1）若 在 上单调，求 的取值范围；
（2）若 在 上有极小值，求该极小值的最大值．
21．已知椭圆 与 的离心率相同，过 的右焦点且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与椭圆 、 的交点从上到下依次为 、 、 、 ，且 ，求 的值．
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．七巧板又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传某同学用边长4寸的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．现他从5个三角形中随意取出两个，则这两个三角形的面积之和不小于另外三个三角形面积之和的概率是（）
（1）求证： ；
（2）求四棱锥 的体积．
19．某次人才招聘活动中，某公司计划招收600名新员工．由于报名者共2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取．现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下：
已知直方图中，左边四个小长方形的高度自左向右依次构成公比为2的等比数列．根据频率分布直方图解答以下问题：
2020年高考数学模拟山西省吕梁市高考(文科)数学一模试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．若集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣2）≤0}，B＝{x|2x﹣2＜4}，则A∩B＝（）A．{1，2，3} B．{2，3} C．（1，3] D．[1，3]2．下列函数中，既有奇函数，又在其定义域上单调递增的是（）A．B．f（x）＝e x﹣e﹣xC．f（x）＝x sin x D．f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）3．“x2＞y2”是“x＞y”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要4．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a2+3a3＝4a4，则S5＝（）A．10 B．12 C．16 D．325．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则＝（）A．8 B．4 C．2 D．16．直线l：mx﹣y+1﹣4m＝0（m∈R）与圆C：x2+（y﹣1）2＝25交于两点P、Q，则弦长|PQ|的取值范围是（）A．[6，10] B．[6，10）C．（6，10] D．（6，10）7．已知奇函数f（x）的图象如图所示，则函数的大致图象是（）A．B．C．D．8．a＝log25，b＝0.51.2，c＝20.9，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b9．tanα＝2tan，则＝（）A．1 B．2 C．3 D．410．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618就是黄金分割比：的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝（）A．B．C．2 D．411．，若存在x1、x2、x3、x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则x1x2+x3+x4的值是（）A．12 B．13 C．14 D．1512．正方体ABCD﹣A1B1C1D1（棱长为1）中，点P在线段AD上（点P异于A、D两点），线段DD1的中点为点Q，若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题）13．函数f（x）＝alnx+bx2在点（1，f（1））处的切线方程为y＝4x﹣3，则a＝，b＝．14．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y+3的最小值是．15．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝PC，AB＝2，，AC ＝3，E，F分别为AC，PB的中点，，则球O的体积为．16．，下列说法错误的是．①f（x）的值域是[﹣1，1]；②当且仅当（k∈Z）时，f（x）＞0；③当且仅当（k∈Z）时，f（x）取得最小值；④f（x）是以π为最小正周期的周期函数．三、解答题17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，（1）求C的值；（2）若，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}满足a1＝1，（n+1）a n+1＝na n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为数列的前n项和，求证：．19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AC1、AB、A1C1的中点分别是P、Q、O．（1）求证：PQ∥平面AOB1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱A﹣POQ的体积．20．已知两定点M（1，0），N（4，0）点P满足|PN|＝2|PM|．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若D（0，﹣2），直线l与轨迹C交于A，B两点，DA，DB的斜率之和为2，直线l 是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由21．如图，某农户计划用两张铁丝网在一块空地上围成一个梯形养鸡场ABCD，AB∥CD，AD ＝BC．已知AB、BC两段是由长为50m的铁丝网折成，AD、DC两段是由长为90m的铁丝网折成，设上底AB的长为xm，所围成的梯形面积为Sm2．（1）求S关于x的函数解析式，并求x的取值范围；（2）当x为何值时，养鸡场的面积S最大？最大面积为多少？22．已知函数（a∈R）．（1）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，2）内有两个极值点，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑．1．若集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣2）≤0}，B＝{x|2x﹣2＜4}，则A∩B＝（）A．{1，2，3} B．{2，3} C．（1，3] D．[1，3]【分析】求出集合A，B，再计算交集即可．解：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x}x＜4}，∴A∩B＝[1，3]，故选：D．2．下列函数中，既有奇函数，又在其定义域上单调递增的是（）A．B．f（x）＝e x﹣e﹣xC．f（x）＝x sin x D．f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）【分析】观察选项，直接判断即可得出答案．解：∵f（x）＝e x﹣e﹣x，∴f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣f（x），∴函数f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的奇函数，又y＝e x为增函数，y＝e﹣x为减函数，∴函数f（x）＝e x﹣e﹣x为增函数，即选项B满足题意．故选：B．3．“x2＞y2”是“x＞y”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【分析】“x2＞y2”与“x＞y”相互推不出．即可判断出关系．解：“x2＞y2”与“x＞y”相互推不出．因此“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件．故选：D．4．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a2+3a3＝4a4，则S5＝（）A．10 B．12 C．16 D．32【分析】利用等比数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由a2+3a3＝4a4，∴1+3q＝4q2，解得q＝1．∴S5＝2×5＝10．故选：A．5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则＝（）A．8 B．4 C．2 D．1【分析】先求出||＝4，又因为＝||＝2＝4，可得答案．解：由＝16，得||＝4，∵＝||＝4，而∴＝2故选：C．6．直线l：mx﹣y+1﹣4m＝0（m∈R）与圆C：x2+（y﹣1）2＝25交于两点P、Q，则弦长|PQ|的取值范围是（）A．[6，10] B．[6，10）C．（6，10] D．（6，10）【分析】求得圆C的圆心和半径，以及直线l恒过的定点M（4，1），判断M在圆内，可得|PQ|的最大值和最小值，即可得到所求范围．解：圆C：x2+（y﹣1）2＝25的圆心C（0，1），半径r＝5，直线l：mx﹣y+1﹣4m＝0⇒m（x﹣4）﹣y+1＝0过定点M（4，1），并在圆C内，∴|PQ|最长为直径，最短PQ时，点M（4，1）为弦PQ的中点，即CM⊥PQ时，算得|PQ|＝2＝6．但此时直线斜率存在，∴取不到6，即|PQ|的范围是（6，10]．故选：C．7．已知奇函数f（x）的图象如图所示，则函数的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，令和，求出y的值，据此分析可得答案．解：根据题意，函数，令，得y＝﹣f（﹣）sin＝＞0；令，得y＝﹣f（）sin＝﹣＜0；排除BCD，故选：A．8．a＝log25，b＝0.51.2，c＝20.9，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．解：∵a＞2，0＜b＜1，1＜c＜2．∴b＜c＜a．故选：B．9．tanα＝2tan，则＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据两角和差的三角公式进行转化求解即可．解：．故选：C．10．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618就是黄金分割比：的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝（）A．B．C．2 D．4【分析】把t＝2sin18°代入要求的式子，利用二倍角的三角公式化简可得结论．解：把t＝2sin18°代入，故选：A．11．，若存在x1、x2、x3、x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则x1x2+x3+x4的值是（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】做出f（x）的函数图象，求出x1，x2，x3，x4的范围，根据对数函数的性质得出x1x2＝1，利用三角函数的对称性得出x3+x4＝12解：作出函数f（x）的图象如图所示：因为存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），∴＜x1＜1，1＜x2＜2，2＜x3＜4，8＜x4＜10，∵﹣log2x1＝log2x2，∴log2＝log2x2，∴x1x2＝1，∵y＝sin关于直线x＝6对称，∴x3+x4＝12，∴x1x2+x3+x4＝13．故选：B．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1（棱长为1）中，点P在线段AD上（点P异于A、D两点），线段DD1的中点为点Q，若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，可知当AP＝时，截面为等腰梯形BPQC1，进一步得到当0＜AP＜时，截面是四边形BPQM，当AP＞时，截面是五边形．则答案可求．解：如图，当AP＝时，截面为等腰梯形BPQC1，当0＜AP＜时，截面是四边形BPQM，当AP＞时，截面是五边形．∴若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP的取值范围为（0，]．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝alnx+bx2在点（1，f（1））处的切线方程为y＝4x﹣3，则a＝ 2 ，b ＝ 1 ．【分析】根据函数导数表示出f（1）＝1，f'（1）＝4，进而可求出a，b．解：根据条件可得，则f（1）＝1，f'（1）＝4，即b＝1，，所以a＝2，b＝1．故答案为：2，1．14．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y+3的最小值是﹣9 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案解：由约束条件作出可行域如图，作图知在点（0，6）处取到最小值﹣9．故答案为：﹣915．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝PC，AB＝2，，AC ＝3，E，F分别为AC，PB的中点，，则球O的体积为．【分析】由已知可得∠ABC＝90°，因PA＝PB＝PC，所以点P在△ABC内的投影为△ABC 的外心E，所以PE⊥平面ABC，PE⊥BE，所以PB＝2EF＝3，所以PE＝，再利用勾股定理求出，从而求出球O体积．解：如图所示：由已知可得∠ABC＝90°，因PA＝PB＝PC，所以点P在△ABC内的投影为△ABC的外心E，所以PE⊥平面ABC，PE⊥BE，所以PB＝2EF＝3，所以PE＝，又球心O在PE上，设PO＝r，则，所以，所以球O体积，，故答案为：4．16．，下列说法错误的是①③④．①f（x）的值域是[﹣1，1]；②当且仅当（k∈Z）时，f（x）＞0；③当且仅当（k∈Z）时，f（x）取得最小值；④f（x）是以π为最小正周期的周期函数．【分析】将函数解析式写成分段函数的形式，画出函数图象，数形结合即可判断．解：＝画出函数图象如下：从图中实线可知，函数的值域是，即①错误；当且仅当（k∈Z）时，f（x）＞0，即②正确；当或x＝2kπ+π（k∈Z）时，f（x）取得最小值，即③错误；函数f（x）是以2π为最小正周期的周期函数，即④错误．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，（1）求C的值；（2）若，求△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角公式化简已知等式可得，解方程可求，结合范围0＜C＜π，可求C的值．（2）解法一：由正弦定理可求sin B的值，利用大边对大角可求B为锐角，可求，利用三角形内角和定理可求A，进而利用三角形的面积公式即可得解．解法二：作AD⊥BC垂足为D，则可求CD，AD的值，利用勾股定理可求BD的值，进而可求a，利用三角形的面积公式即可计算得解．解：（1）由得，，所以，由于0＜C＜π，所以．（2）解法一：由正弦定理得，，即，又c＞b，所以C＞B，所以，所以，可得，所以．解法二：作AD⊥BC垂足为D，则，，所以，所以，所以．18．已知数列{a n}满足a1＝1，（n+1）a n+1＝na n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为数列的前n项和，求证：．【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用求出结果．解：（1）由（n+1）a n+1＝na n+n+1得，（n+1）a n+1﹣na n＝n+1，取n＝1，2，3，…，n﹣1得，2a2﹣a1＝23a3﹣2a2＝34a4﹣3a3＝4，……na n﹣（n﹣1）a n﹣1＝n，相加得，所以．证明：（2）由（1）得，，所以S n＝＝，因S n随n的增大而增大，所以，又S n＜2，所以．19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AC1、AB、A1C1的中点分别是P、Q、O．（1）求证：PQ∥平面AOB1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱A﹣POQ的体积．【分析】（1）设M为AB1的中点，连接QM，则，利用中位线定理得到POMQ 为平行四边形，PQ∥OM，再利用线面平行的判定定理即可证得PQ∥平面AOB1；（2）因为，又BB1∥平面C1A1A，所以，所以．解：（1）证明：设M为AB1的中点，连接QM，如图所示：，则，又，，∴，∴POMQ为平行四边形，∴PQ∥OM，又OM⊂平面AOB1，∴PQ∥平面AOB1；（2）∵，又BB1∥平面C1A1A，∴，∴．20．已知两定点M（1，0），N（4，0）点P满足|PN|＝2|PM|．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若D（0，﹣2），直线l与轨迹C交于A，B两点，DA，DB的斜率之和为2，直线l 是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由【分析】（1）设P的坐标为（x，y），列出方程转化求解即可．（2）当直线l的斜率不存在时，验证直线l与圆相切，不合题意．当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+m，与轨迹C联立得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣4＝0，结合韦达定理，斜率关系，求出直线系方程，然后求解即可．解：（1）设P的坐标为（x，y），由题意得，化简得：x2+y2＝4．（2）当直线l的斜率不存在时，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0）．则有，得x0＝2，此时直线l与圆相切，不合题意．当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+m，与轨迹C联立得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣4＝0，，所以，所以m＝﹣2k+2，所以直线l的方程为y＝k（x﹣2）+2，所以直线l过定点（2，2）．21．如图，某农户计划用两张铁丝网在一块空地上围成一个梯形养鸡场ABCD，AB∥CD，AD ＝BC．已知AB、BC两段是由长为50m的铁丝网折成，AD、DC两段是由长为90m的铁丝网折成，设上底AB的长为xm，所围成的梯形面积为Sm2．（1）求S关于x的函数解析式，并求x的取值范围；（2）当x为何值时，养鸡场的面积S最大？最大面积为多少？【分析】（1）由已知条件的该梯形为等腰梯形，作出高，用含x的代数式表示出上、下底和高，从而表示出面积S；（2）利用导数最值求出最大值．解：（1）作AE⊥CD，因为四边形为等腰梯形，所以根据已知可得：BC＝AD＝50﹣x，CD ＝40+x，DE＝20，AE＝所以S（x）＝＝＝，x∈（0，30]；（2）＝0得x＝10，且S（x）在（0，10）上单调递增，在（10，30）上单调递减，故当x＝10 时，S（x）取极大值也是最大值，最大值为S（10）＝600．22．已知函数（a∈R）．（1）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，2）内有两个极值点，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，判断导数的符号即可求解函数的单调性，（2）结合函数单调性的讨论，结合极值存在条件及函数的性质即可求解．解：（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），当a≤0时，易知x﹣ae x＞0∴由f'（x）＜0得0＜x＜2，由f'（x）＞0得x＞2，∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．（2）由（1）可得，当0＜x＜2时，，记g（x）＝x﹣ae x，则g'（x）＝1﹣ae x，∵f（x）在（0，2）内有两个极值点，∴g（x）在（0，2）内有两个零点，∴a＞0．令g'（x）＝0，则x＝﹣lna，当﹣lna≤0，即a≥1时，g'（x）＜0，所以在（0，2）上单调递减，g（x）的图象至多与x轴有一个交点，不满足题意．当﹣lna≥2，即时，在（0，2）上g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）的图象至多与x轴有一个交点，不满足题意．当0＜﹣lna＜2，即时，g（x）在（0，﹣lna）上单调递增，在（﹣lna，2）上单调递减由g（0）＝﹣a＜0知，要使g（x）在（0，2）内有两个零点，必须满足，解得．综上，实数a的取值范围是。
山西省长治市2020年高考文科数学第一次模拟测试卷(附答案解析)
2020年高考模拟高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|log3x＜1}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．[1，3）D．（3，+∞）2．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（）A．﹣2i B．2i C．2D．﹣23．函数y＝tan（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，1）对称C．关于直线x＝﹣对称D．关于点（，0）对称4．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对A、B、C三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至A县区的概率为（）A．B．C．D．5．已知向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，则在上的投影为（）A．1B．C．2D．6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）与双曲线﹣＝1的焦点相同，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．已知x，y满足约束条件，则目标函数z＝x2+y2的最大值为（）A．2B．C．2D．139．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．11B．18C．22D．2610．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为0.90.8，0.80.9，0.90.9，则输出的x 为（）A．0.90.8B．0.80.9C．0.90.9D．0.80.811．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有2个零点，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，2]C．[1，2）D．（0，2）12．已知动点M到点F（1，0）的距离与到y轴距离之和为3，动点N在直线2x﹣y+4＝0上，则两点距离|MN|的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题13．cos75°﹣cos15°的值是．14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（3﹣x），且f（x）的图象与g（x）＝lg的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于．15．已知球的直径SC＝2，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S﹣ABC的体积为．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c＝4，（2a+b）cos C+c cos B ＝0．则△ABC面积的最大值是．三、解答题：本题共5小题，共计70分．17．在公差大于1的等差数列{a n}中，a4＝13，且a3，a6+1，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝3，点E为线段PD的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求三棱锥P﹣ACE的体积．19．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果．为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高80学习积极性不高60合计200已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率．附：P（K2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．已知椭圆C ：+＝1（a＞b＞0），点A（2，0）、P（x0，y0）、Q（﹣x0，﹣y0）（y0≠0）在椭圆上，直线AP与直线AQ的斜率之积k AP•k AQ ＝﹣．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l：+＝1点B（﹣1，0）关于直线l的对称点是D，求证：过点P，D的直线恒过定点．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）≥x2﹣x恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．解答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求C1，C2的普通方程；（2）设点A在曲线C1上，且对应的t＝2，点B是曲线C2上的点，求AOB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣a|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若不等式f（x）＜2x在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．1．已知集合A＝{x|log3x＜1}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．[1，3）D．（3，+∞）解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝[1，3）．故选：C．2．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（）A．﹣2i B．2i C．2D．﹣2解：＝＝＝2﹣2i，则复数z的虚部为﹣2，故选：D．3．函数y＝tan（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，1）对称C．关于直线x＝﹣对称D．关于点（，0）对称解：函数y＝tan（2x+）中，令2x+＝，k∈Z；解得x＝﹣，k∈Z；令k＝1，得x＝，所以y＝tan（2x+）的图象关于原点（，0）对称，D正确．故选：D．4．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对A、B、C三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至A县区的概率为（）A．B．C．D．解：某市农业经济部门派三位专家对A、B、C三个县区进行调研，每个县区派一位专家，故调研的情况的基本事件总数为ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，六种情况，甲专家恰好派遣至A县区的情况为ABC，ACB，两种情况，则甲专家恰好派遣至A县区的概率为：＝，故选：B．5．已知向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，则在上的投影为（）A．1B．C．2D．解：向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，∴12+22+2＝7，可得：＝1，则在上的投影＝＝1．故选：A．6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）与双曲线﹣＝1的焦点相同，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1（a＞b＞0）的半焦距c1＝，双曲线﹣＝1的半焦距c2＝，由题意可得，即a2＝2b2，∴椭圆的离心率为e＝＝．故选：A．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．解：根据三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥C1﹣ABD，结合图中数据，计算该三棱锥的体积为：V＝Sh＝××4×2×2＝．故选：B．8．已知x，y满足约束条件，则目标函数z＝x2+y2的最大值为（）A．2B．C．2D．13解：由已知得到可行域如图：目标函数z＝x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图得知，A是距离原点最远的点，由得到A（3，2），所以目标函数z＝x2+y2的最大值为32+22＝13；故选：D．9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．11B．18C．22D．26解：六十四卦中符号“”表示二进制数的010110，转化为十进制数的计算为0×20+1×21+1×22+0×23+1×24+0×25＝22．故选：C．10．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为0.90.8，0.80.9，0.90.9，则输出的x 为（）A．0.90.8B．0.80.9C．0.90.9D．0.80.8解：由题意可知a、b、c中最大的数用x表示后输出，若输入的a，b，c依次为0.90.8，0.80.9，0.90.9，利用指数函数的性质可得0.90.8＞0.90.9，0.80.9＜0.90.9，故最大的数x为0.90.8，故选：A．11．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有2个零点，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，2]C．[1，2）D．（0，2）解：函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有2个零点，即函数y＝f（x）与g（x）＝ax的图象有2个交点，可知直线g（x）＝ax过原点，函数y＝2ln（2x+1）的导数是，可知函数y＝2ln（x+1）在原点处的切线斜率为k1＝2，函数y＝e x﹣1的导数是y′＝e x，可知函数y＝e x﹣1在原点处的切线斜率为k2＝1，由图象可知，直线g（x）＝ax的斜率a∈[1，2）时有2个零点．故选：C．12．已知动点M到点F（1，0）的距离与到y轴距离之和为3，动点N在直线2x﹣y+4＝0上，则两点距离|MN|的最小值是（）A．B．C．D．解：设动点M（x，y），当x≥0时，M到y轴距离与到直线x＝3的距离之和为3，由抛物线定义得：动点M（x，y）满足：y2＝﹣4（x﹣2），（x≥0），同理，当x＜0时，M到y轴与到直线x＝﹣3的距离之和为3，由抛物线定理得：动点M（x，y）满足：y2＝8（x+1），（x＜0），当M到直线2x﹣y+4＝0距离最小时，x＜0，M（x0，y0）到2x﹣y+4＝0的距离：d＝＝，当y0＝2时，d取最小值．故选：B．二、填空题：本题共4小题，毎题5分，共计20分．请把正确答案填写在答题纸相应的位置上．13．cos75°﹣cos15°的值是．解：原式＝sin15°﹣cos15°＝sin（450﹣300）﹣cos（450﹣300）＝，故答案为：﹣．14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（3﹣x），且f（x）的图象与g（x）＝lg的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于8．解：，故g（4﹣x）＝﹣g（x），即y＝g（x）的图象关于点（2，0）对称，又函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（3﹣x），则函数y＝f（x）的图象关于点（2，0）对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8．故答案为：8．15．已知球的直径SC＝2，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S﹣ABC的体积为．解：设圆心为O，连结AO，BO，由SC是球的直径，得到∠SBC＝90°，∵∠ASC＝∠BSC＝45°，∴BS＝BC，AO⊥SC，BO⊥SC，∴SC⊥平面ABO，∴棱锥S﹣ABC的体积为：+＝＝＝．故答案为：．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c＝4，（2a+b）cos C+c cos B ＝0．则△ABC面积的最大值是．解：因为（2a+b）cos C+c cos B＝0，由正弦定理可得，2sin A cos C+sin B cos C+sin C cos B＝0，即2sin A cos C+sin（B+C）＝0，所以2sin A cos C+sin A＝0，因为sin A≠0，所以cos C＝﹣，C＝，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C，所以16＝a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a＝b时取等号，所以ab，所以S＝＝即面积的最大值．三、解答题：本题共5小题，共计70分．17．在公差大于1的等差数列{a n}中，a4＝13，且a3，a6+1，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．解：（1）设数列{a n}的公差为d（d＞0），∵a4＝13，且a3，a6+1，a13成等比数列，∴（13+2d+1）2＝（13﹣d）（13+9d），解得：d＝3，则a1＝4，∴a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1；（2）b n＝＝，∴＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝3，点E为线段PD的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求三棱锥P﹣ACE的体积．解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又在矩形ABCD中，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，又∵PA＝AD，E为PD中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD，∴AE⊥PC；（2）∵点E为线段PD的中点．∴V P﹣ACE＝V E﹣PAC＝V P﹣ACD＝××2×2×3＝1．19．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果．为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高80学习积极性不高60合计200已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率．附：P（K2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：根据题意，全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为，则学习积极性不高的有200×＝80人，据此可得：列联表如下：参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高8040120学习积极性不高206080合计100100200（2）根据题意，由列联表可得：K2＝≈33.33＞10.828；故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关；（3）根据题意，从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，有2人学习积极性高，设为A、B，有3人学习积极性不高，设为C、D、E，从中选取2人，有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10种情况，其中至少有1人学习积极性不高的有AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共9种情况，至少有1人学习积极性不高的概率P ＝．20．已知椭圆C ：+＝1（a＞b＞0），点A（2，0）、P（x0，y0）、Q（﹣x0，﹣y0）（y0≠0）在椭圆上，直线AP与直线AQ的斜率之积k AP•k AQ ＝﹣．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l：+＝1点B（﹣1，0）关于直线l的对称点是D，求证：过点P，D的直线恒过定点．解：（1）椭圆C：+＝1（a＞b＞0），点A（2，0），a＝2，P（x0，y0）、Q（﹣x0，﹣y0）（y0≠0）在椭圆上，直线AP与直线AQ的斜率之积k AP•k AQ＝﹣，得，由，联立得b2＝3，所以椭圆的标准方程为：；（2）证明：由（1）直线l为，设D的坐标为（m，n），则，解得，故＝，取点F（1，0），显然k PF＝k PD，所以D，P，F三点共线，即直线PD恒过定点（1，0）．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）≥x2﹣x恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数的定义域为R，f'（x）＝e x﹣a，若a≤0，则f'（x）＞0，所以f（x）在R上单调递增；若a＞0，令f'（x）＝e x﹣a＝0，则x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上所述，（2）当x＞0时，f（x）≥x2﹣x，即，令，则，令g（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），则g'（x）＝e x﹣1＞0，当x＞0时，g（x）单调递增，g（x）＞g（0）＝0，所以当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，故h（x）min＝h（1）＝e﹣1，所以a的取值范围是（﹣∞，e﹣1]．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．解答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求C1，C2的普通方程；（2）设点A在曲线C1上，且对应的t＝2，点B是曲线C2上的点，求AOB面积的最大值．（1）曲线C1的方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为x﹣．解：曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0．（2）点A在曲线C1上，且对应的t＝2，所以A（1，），则转换为极坐标为A（2，），设B（ρ，θ），则ρ＝2sinθ，则＝＝，当时，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣a|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若不等式f（x）＜2x在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|，由f（x）＞2，可得或或，即为x＞或x∈∅或x＜0，则原不等式的解集为{x|x＞或x＜0}；（2）函数f（x）的解析式可得当x∈[1，2]时，f（x）＜2x⇔2x﹣1+|x﹣a|＜2x⇔|x﹣a|＜1；f（x）＜2x在x∈[1，2]上恒成立，可得﹣1＜x﹣a＜1，即a﹣1＜x＜1+a在x∈[1，2]恒成立，由x∈[1，2]，可得a﹣1＜1且a+1＞2，可得1＜a＜2．。
2020年山西省晋中市高考数学一模试卷(文)含答案解析
2020年山西省晋中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足1+z=i，则|z|=（）A．B．1 C．D．2．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图（如图所示），据此估计此次考试成绩的众数是（）A．100 B．110 C．115 D．1203．“|m|＜2”是“m≤2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．55．公差不为零的等差数列{a n}中，a7=2a5，则数列{a n}中与4a5的值相等的项是（）A．a11B．a12C．a13D．a146．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2面积的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．17．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，点D在边AC上，且2=，则•的值是（）A．48 B．24 C．12 D．68．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，），x1≠x2时，f（x1）=（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．19．过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|=6时，△OAB （O为坐标原点）的面积是（）A． B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是（）A．i＞6 B．i＞7 C．i＞8 D．i＞911．在四棱锥P﹣ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，且∠BED=90°，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．π12．已知f（x）=则方程f[f（x）]=3的根的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}，A={﹣1，0，1，2，3}，若B⊆∁U A，则集合B的个数是．14．设四个函数：①y=x；②y=21﹣x；③y=ln（x+1）；④y=|1﹣x|．其中在区间（0，1）内单调递减的函数的序号是．15．某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=3（2n﹣1），数列{b n}的通项公式为b n=5n﹣2．数列{a n}和{b n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n}．若数列{c n}的第n项恰为数列{a n}第k n项，则数列{k n}的前32项的和是．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）当△ABC的面积等于4时，求a的最小值．19．某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只侧不合格项目），求补测项目种类不超过3项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°，在车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等．若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽车宽度为1.8m，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．20．已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面FCB；（Ⅱ）若FC=1，求点A到平面MCB的距离．21．已知直线y=x+1与函数f（x）=ae x+b的图象相切，且f′（1）=e．（I）求实数a，b的值；（Ⅱ）若存在x∈（0，），使得2mf（x﹣1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，求的取值范围．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．（I）若N为AC的中点，△BAN的面积为，椭圆的离心率为．求椭圆E的方程；（Ⅱ）F为椭圆E的右焦点，线段CF的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P，求的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]23．如图，已知A，B，C，D四点共圆，BA，DC的延长线交于点M，CA，DB的延长线交于点F，连接FM，且FM⊥MD．过点B作FD的垂线，交FM于点E（Ⅰ）证明：△FAB∽△FDC（Ⅱ）证明：MA•MB=ME•MF．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．[选修4-5：不等式选讲]25．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）＜0（Ⅱ）若a＞0，且对于任意的实数x，都有f（x）≤3，求a的取值范围．2020年山西省晋中市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2020年山西太原高三一模文科数学试卷-学生用卷
2020年山西太原高三一模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第1题5分若全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则B∪∁U A=（）．A. {0,2,4}B. {1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}2、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第2题5分2020年四川宜宾高三一模文科第2题5分已知i是虚数单位，复数m+1+(2−m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）．A. (−∞,−1)B. (−1,2)C. (2,+∞)D. (−∞,−1)∪(2,+∞)3、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第3题5分已知等差数列{a n}中，前5项和S5=25，a2=3，则a9=（）．A. 16B. 17C. 18D. 194、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第4题5分已知平面向量a→=(4,−2)，b→=(1,−3)，若a→+λb→与b→垂直，则λ=（）．A. −2B. 2C. −1D. 15、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第5题5分2020年山西太原高三一模理科第3题5分2019~2020学年6月湖北武汉高三下学期月考文科供题（二）第7题5分七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）．A. 516B. 1132C. 716D. 13326、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第6题5分某程序框图如图所示，若a=4，则程序运行后输出的结果是（）．A. 74B. 95C. 116D. 1377、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第7题5分2020年山西太原高三一模理科第5题5分函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（ ）． A.B.C.D.8、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第8题5分2019~2020学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二下学期期中第5题5分已知变量x，y满足约束条件{x+y⩽6x−3y⩽−2x⩾1，则目标函数z=x+2y的最大值为（）．A. 3B. 5C. 8D. 119、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第9题5分2016年高考真题上海卷文科第17题5分2019~2020学年浙江杭州拱墅区杭州源清中学高一下学期期中第7题4分2020~2021学年11月浙江杭州西湖区杭州学军中学高一上学期周测D卷第8题2017~2018学年重庆北碚区西南大学附属中学校高一上学期期末第10题5分设a∈R，b∈[0,2π)．若对任意实数x都有sin(3x−π3)=sin(ax+b)，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 410、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第10题5分刘徽注《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（）．A. √3B. 3C. √32D. 411、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第11题5分过抛物线y2=4x上点P(1,2)作三条斜率分别为k1，k2，k3的直线l1，l2，l3，与抛物线分别交于不同于P的点A，B，C．若k1+k2=0，k2⋅k3=−1，则以下结论正确的是（）．A. 直线AB过定点B. 直线AB斜率一定C. 直线BC斜率一定D. 直线AC斜率一定12、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第12题5分且f(0)=0，则函数f(x)的定义域为(−∞,2)，f′(x)为其导函数，若(x−2)f′(x)+f(x)=1−xe xf(x)<0的解集为（）．A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第13题5分2018~2019学年北京西城区北京市第十四中学高二上学期期中第15题3分双曲线2x2−y2=8的实轴长是．14、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第14题5分已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数，则k=．15、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第15题5分2020年山西太原高三一模理科第15题5分在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是．16、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第16题5分我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{a n}中，a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N∗)，用S n表示它的前n项和，若已知S2020=m，那么a2022=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第17题12分手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：(1) 求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数．(2) 若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数．(3) 在（2）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间(150,170]的概率．18、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第18题12分已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，2cos2π3sin(π6+C)+cosC =−12． (1) 求C ．(2) 若c =3，△ABC 的面积为3√32，求1a +1b 的值．19、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第19题12分2020年河南郑州高三一模文科第18题12分如图(1)在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，点D 为AB 的中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1−BCD ，如图(2) ，其中∠A 1DB =60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点．(1) 求证：MN ⊥平面DCG ．(2) 求三棱锥G −A 1DC 的体积．20、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第20题12分已知函数f (x )=e x −cosx ．(1) 求曲线y =f (x )在点(0,f(0))处的切线方程．(2) 证明：f (x )在(−π2,+∞)上有且仅有2个零点．21、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第21题12分椭圆E 的焦点为F 1(−1,0)和F 2(1,0)，过F 2的直线l 1交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线l 2，又知点H (2,0)，直线BH 记为l 3，l 2与l 3交于点C ，设AF 2→=λF 2B →，已知当λ=2时，|AB|=|BF 1|．(1) 求椭圆E 的方程．(2) 求证：无论λ如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第22题10分2020年山西太原高三一模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=3cosθy=3sinθ（θ为参数)，已知点Q(6,0)，点P是曲线C1上任意一点，点M满足PM→=2MQ→，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求点M的轨迹C2的极坐标方程．(2) 已知直线l:y=kx与曲线C2交于A，B两点，若OA→=4AB→，求k的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第23题10分2020年山西太原高三一模理科第23题10分已知函数f(x)=|2x−a|，g(x)=|x−1|．(1) 若f(x)+2g(x)的最小值为1，求实数a的值．(2) 若关于x的不等式f(x)+g(x)<1的解集包含[12,1]，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】4;14 、【答案】−1;2.;15 、【答案】√3316 、【答案】m+1;17 、【答案】 (1) a=0.008，125．;(2) 98人．;(3) 2．5;18 、【答案】 (1) C=π．3;(2) √3．2;19 、【答案】 (1) 证明解析．;(2) √3．3;20 、【答案】 (1) x−y=0．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x23+y22=1．;(2) 证明见解析，3．;22 、【答案】 (1) ρ2−8ρcosθ+15=0．;(2) k=±√3927．;23 、【答案】 (1) a=1或a=3．;(2) (1,32)．;。