1-1实数

6、实数具有连续性（完备性）
实数集R与数轴上的点有着一一对应关系。
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b + e ,则a b.
证明 用反证法 .假若结论不成立, 则根据实数的有序性
有 a > b. 令 e a b 则 e 为正数且 a b + e , 这与假设 a < b + e矛盾 . 从而必有 a b.
有理数集合Q：关于加、减、乘、除四则运算都封闭。 有理数集合Q具有“稠密性”。
有理数集合Q虽然具有稠密性，但在坐标轴上留有“空隙”。
1、运算性质
实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则 运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、 商（除数不为0）仍然是实数。
2、顺序性质
实数集是有序的，即任意两个实数 a、b 必满
注意：对任何实数x, 有
x0 x1 x2 L ,
x0 x1 x2 L
命题1 设 x a0.a1a2 , y b0.b1b2 为两个实数，则
x > y 存在非负整数 n , 使得 xn > yn 其中xn表示x的n位不足近似，yn表示y的n位过剩近似.
例1 设x, y为实数，证明: 存在有理数r满足 : x < r < y.
对负有限小数（包括负整数）y,先将- y表示成无限小 数，再在无限小数前加负号．如: -8=-7.999…
2.两个实数的大小关系
1)定义1
给定两个非负实数
x a0 .a1a2 L an L , y b0 .b1b2 L bn L , 其中 a0 , b0为非负整数 ， ak , bk (k 1,2,L)为整数 ，0 ak 9,0 bk 9. 若有 ak bk , k 1,2,L , 则称 x与y相等 ，记为 x y；
二. 绝对值与不等式
绝对值定义：
|
a
|
a a
, ,
a0 a<0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
-a
a
0
绝对值的一些主要性质
1. | a | | a | 0 当且仅当 a 0 时 | a | 0
2 . -|a| a |a|
3. |a|< h -h < a < h ; | a | h h a h , h > 0 4. a b a b a + b
5. | ab || a | | b |
6. a | a | , b 0 b |b|
性质4（三角不等式）的证明：
由性质2
-|a| a |a|, -|b| b |b|
两式相加
-(|a|+|b|) a+b |a|+|b|
由性质 3 上式等价于 |a+b||a|+|b|
把上式的 b 换成 -b 得 |a-b||a|+|b|
若 a0 > b0或存在非负整数 l, 使得 ak bk (k 1,2L l )而al +1 > bl +1
则称 x大于 y或y小于 x，分别记为 x > y或y < x.
说明: 自然规定任何非负实数大于任何负实数
2) 通过有限小数比较大小的等价条件
定义2 设 x a0 .a1a2 an 为非负实数.
证明 由于x <
y, 故存在非负整数
n，使得 x n
< yn.令r

1 (xn
2
+
yn )
则r为有理数，且有 x xn < r < yn y,即得x < r < y.
实数的主要性质
数系的扩充历史：
自然数集合N：关于加法和乘法封闭，但关于减法不封闭。
整数集合Z：关于加法,减法和乘法封闭，关于除法不封闭。 整数集合Z具有“离散性”。
第一章 实数集与函数
Real numbers and functions
§1 实数 §2 数集 确界原理 §3 函数的概念 §4 具有某些特性的函数
1.1 实数
一 .实数及其性质 二. 绝对Βιβλιοθήκη 与不等式一 . 实数及其性质：
数学分析的中心任务是用极限的方法研究实函数。 1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.
名词术语：
数学分析 mathematical analysis
函数
function
实数集
system of real numbers
有理数
rational number
无理数
irrational number
整数
integer
内容小结
1. 实数的定义及其性质 2. 绝对值与不等式
第一次作业
P4习题 1，3，4，5。
称有理数 xn a0 .a1a2 an
为实数x的n位不足近似，而有理数
xn

xn
+1 10 n
称为x的n位过剩近似，n=0, 1, 2, ….
对于负实数 x a0.a1a2 an ,
其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为
xn
a0 .a1a2 an
1 10n
和
xn a0 .a1a2 an
实

数

有理数:分数 q ( p, q为整数且q 0)或有限小数和无限循环小数。 p
无理数:用无限不循环小数表示.
若规定： a0.a1a2 an a0.a1a2 (an 1)99 9
则有限十进小数都能表示成无限循环小数.
对正整数 x a0,记为 x a0 1.999
足下述三个关系之一：
a < b, a b, a > b.
3 、实数的大小关系具有传递性。即
a > b,b > c a > c.
4、实数具有阿基米德性（Archimedes Property)
对任何a,b R,若b > a > 0, 则存在正整数n,使得na > b.
5、实数具有稠密性 任何两个不相等的实数之间必有另一个实数， 且既有有理数，也有无理数。