次函数求最值方法总结
二次函数的最值与极值总结
二次函数的最值与极值总结二次函数是高中数学中常见的一类函数，具有形如y=ax^2+bx+c的一般式。
在研究二次函数的性质时，最值与极值是非常重要的概念。
本文将对二次函数的最值与极值进行总结和讨论。
一、最值的概念在数学中，最值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，最值的存在与二次项的系数a的正负有关。
1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的最小值存在。
这个最小值即为函数的最小值。
2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的最大值存在。
这个最大值即为函数的最大值。
二、最值的求解方法1. 最值的求解方法一：利用函数的对称性二次函数关于x轴对称，对称轴方程为x = -b/(2a)。
所以，函数的最值点的横坐标一定在对称轴上。
当对称轴上有x值时，带入函数表达式即可求得对应的y值，确定最值点。
2. 最值的求解方法二：利用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式为x = -b/(2a)，y = f(x)。
通过求得的顶点坐标，就可以确定最值点的坐标。
根据二次函数的性质，当a>0时，对应的顶点为最小值点；当a<0时，对应的顶点为最大值点。
三、极值的概念在数学中，极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，极值的存在与一阶导数的符号有关。
1. 当一阶导数大于0时，函数递增，没有极小值。
2. 当一阶导数小于0时，函数递减，没有极大值。
3. 当一阶导数等于0时，函数可能存在极值或拐点。
此时，需要通过二阶导数或其他方法来进一步判断。
四、极值的求解方法1. 极值的求解方法一：利用导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)。
将一阶导数f'(x)等于0解方程，求得x的值。
然后，将求得的x值代入原函数f(x)中，求得对应的y值，确定极值点。
2. 极值的求解方法二：利用二阶导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
二次函数的最值与极值问题
二次函数的最值与极值问题二次函数是数学中常见的一种函数类型，在很多实际问题中都可以用二次函数来描述。
在解决二次函数的最值与极值问题时，可以运用一些方法和技巧来求解。
本文将介绍一些常见的解题思路和方法。
一、二次函数的最值问题二次函数的最值指的是函数在定义域内的最大值或最小值。
当求解二次函数的最值时，可以利用二次函数的顶点和开口方向进行判断。
1. 定理1：对于开口向上的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，顶点的 y 值是函数的最小值。
使用该定理时，可以先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最小值。
2. 定理2：对于开口向下的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a < 0，顶点的 y 值是函数的最大值。
同样地，使用该定理时，先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最大值。
需要注意的是，二次函数的最大值或最小值可能在定义域内的某个点上出现，因此除了顶点外还需要考虑其他可能的极值点。
二、二次函数的极值问题二次函数的极值指的是函数在定义域内的局部最大值或最小值。
当求解二次函数的极值时，可以利用二次函数的导数和零点来寻找。
1. 求解极值的一般步骤如下：a) 求二次函数的导函数；b) 解二次函数的导函数为零的方程，得到零点；c) 将零点带入原函数，求得对应的函数值，得到极值。
2. 一个特殊情况是在二次函数的定义域 [a, b] 上求极值时，可以先求出导数，然后导数大于零的部分即是函数的递增区间，导数小于零的部分即是函数的递减区间。
接着，再对边界点和零点进行比较，得到极值。
三、综合练习与例题为了更好地理解二次函数的最值与极值问题，我们来进行一些练习和解题。
【练习题一】已知二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，1. 求二次函数的顶点及对应的最值；2. 求二次函数的极值。
【解答】1. 对于二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，a = -2 < 0，可以判断开口向下，顶点的 y 值是最大值。
函数极值点求解方法
函数极值点求解方法引言函数的极值点是指函数在某个区间内取得最大值或最小值的点。
求解函数的极值点是数学中的一个重要问题，具有广泛应用价值。
本文将介绍几种常见的函数极值点求解方法。
二次函数的极值点求解方法当函数是一个二次函数时，可以使用求导法来求解极值点。
具体步骤如下：1. 将函数表示为二次函数的标准形式：$f(x)=ax^2+bx+c$。
2. 求导函数：$f'(x)=2ax+b$。
3. 令导数等于0，解方程得到极值点的横坐标：$2ax+b=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$。
4. 将横坐标代入原函数中，求得纵坐标。
高阶函数的极值点求解方法对于高阶函数，求解极值点可以依靠计算机算法进行近似求解。
其中，一种常用的方法是牛顿法。
具体步骤如下：1. 初始化变量，设初始点$x_0$。
2. 使用公式：$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，进行迭代，直到满足终止条件。
3. 最终迭代得到的$x_n$就是函数的极值点。
数值优化算法求解极值点除了上述方法外，还可以使用数值优化算法来求解函数的极值点。
常见的数值优化算法有梯度下降法、粒子群优化等。
这些算法一般适用于函数复杂、无法用解析方法求解的情况。
结论本文介绍了几种常见的函数极值点求解方法。
对于简单的二次函数，我们可以使用求导法求解极值点；对于复杂的高阶函数，可以采用牛顿法进行近似求解；而对于更加复杂的函数，可以使用数值优化算法来求解。
在实际应用中，选择合适的求解方法可以提高求解效率，为问题的解决提供有效的支持。
初中数学最值问题总结
初中数学最值问题总结初中数学中的最值问题主要涉及到以下知识点：1. 一次函数的最值：一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）在闭区间 [a, b] 上的最大值和最小值。
当 k > 0 时，函数在区间 [a, b] 上单调递增，最小值为 f(a)，最大值为 f(b)；当 k < 0 时，函数在区间 [a, b] 上单调递减，最小值为 f(b)，最大值为 f(a)。
2. 二次函数的最值：二次函数 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的最值主要出现在顶点处。
对于开口向上的抛物线（a > 0），最小值出现在顶点处；对于开口向下的抛物线（a < 0），最大值出现在顶点处。
3. 反比例函数的最值：反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）在 x > 0 的范围内单调递减，所以最大值为 k/x = k/x₁，最小值为 k/x = k/x₂。
在 x < 0 的范围内单调递增，所以最小值为 k/x = k/x₁，最大值为 k/x = k/x₂。
4. 对数函数和指数函数的最值：对数函数和指数函数都有其定义域和值域，因此在定义域内求解最值需要考虑函数的性质和定义域的限制。
5. 利用基本不等式求最值：基本不等式如算术平均数大于等于几何平均数等，可用于求解一些特定形式的最值问题。
解决最值问题的一般步骤包括：1. 分析问题：明确最值是在什么条件下取得，以及这个最值是最大值还是最小值。
2. 选择合适的方法：根据问题的性质选择合适的方法来求解最值，如一次函数、二次函数、反比例函数等。
3. 建立数学模型：根据问题的要求建立相应的数学模型，利用适当的公式和不等式来求解最值。
4. 解方程或不等式：解方程或不等式得到最值的取值范围或具体数值。
5. 检验答案：对答案进行检验，确保其符合问题的实际情况。
通过以上知识点和解题步骤的总结，学生可以更好地理解和掌握初中数学中的最值问题，提高解决这类问题的能力。
二次函数求最值方法总结
若 ，二次函数在 时的函数图像是递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
2、当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 的最值：
1)当 时， 时， 取最大值： ； 的最小值在 或 处取到。
2)若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递增的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
二、二次函数最值问题常见四种考察题型：
1)对称轴定、 取值范围定；
2)对称轴定、 取值范围动；
3)对称轴动、 取值范围定；
4)对称轴动、 取值范围动。
【例题解析】
例1．当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数 的对称轴为 ．画出其草图．
(1)当对称轴在所给范围左侧．即 时：当 时， ；
(2)当对称轴在所给范围之间．即 时：
当 时， ；
(3)当对称轴在所给范围右侧．即 时：
当 时， ．
综上所述：
【变式训练】
变式2、当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．
解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
【变式训练】
变式1、当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
高考函数题型及解题方法总结
高考函数题型及解题方法总结
高考函数题型及解题方法总结
1、一元二次函数的求根求最值
求根：要求一元二次函数的根，可使用中国剩余定理，从根式公式中
求出函数的两个相等根；也可采用“二分法”或“牛顿迭代法”，从试值中求出函数的两个相等根。
求最值：要求一元二次函数的最值，可通过求函数的判别式delta=b^2-
4ac，并分析delta>0、delta=0和delta <0时函数在原点周围的情况，分
类判断即可求出函数的最值；也可根据函数有理切线斜率的性质，及
函数的拐点的特性，求出函数的最值。
2、多项式的分析
多项式的分析：可使用“系数比例”、“极坐标曲线”、“相关数列”等方法，从多项式本身角度分析多项式性质及多项式各分段性质；也可使用“解
析法”，将一维函数转化为一等关系，从而分析多项式的性质。
3、参数方程的解法
使用“换元法”，将参数方程中的参数化为一个变量，并采用一元混合
方程的解法去求解；也可使用“牛顿迭代法”，通过试值法得到参数方
程的解；或使用“分步解法”，将参数方程转化为一组参量方程，一步
步地求解参数方程。
4、函数图象的绘制和分析
采用“图形分析法”，结合函数图象结构特点，分析函数图象性质；也
可根据函数定义域及值域以及函数特性，使用“穷举法”绘制函数图象。
5、函数及函数图象之间的关系
要求函数及函数图象之间的关系，可利用函数导数的性质，将函数求
导得到函数的导数，或考虑到函数的有理切线斜率的性质，从而把函
数的性质及函数图象的性质联系起来；又或者根据函数有理切线的特点，从函数图象中求出函数的特性。
初中数学求最值的几种常见方法
初中数学求最值的几种常见方法
求最值是数学中常见的问题之一，下面介绍几种常见方法。
1. 数学定义法：根据数学定义，推导出最值的计算方法。
比如，对于一元二次函数 $y=ax^2+bx+c$，最值为 $y_{\min} = c -
\frac{b^2}{4a}$，即抛物线的最低点。
2. 辅助函数法：通过构造辅助函数，将原函数的最值问题转化为辅助函数的最值问题。
比如，在求一个区间 $[a,b]$ 上的函数
$f(x)$ 的最大值时，可以构造辅助函数 $g(x) = -f(x)$，然后求$[a,b]$ 上 $g(x)$ 的最小值，即可得到 $f(x)$ 的最大值。
3. 导数法：对于连续可导的函数，可以通过求导数来确定其最值点。
求得导数为零或不存在的点即为极值点，再通过二阶导数判断该点是极大值还是极小值。
需要注意的是，极值点不一定是最值点，还需要结合函数在极值点的取值情况进行判断。
4. 线性规划法：线性规划是一种优化问题，可用于求解含有多个变量的最值问题。
通过设置优化目标和约束条件，建立线性规划模型，再用线性规划算法求解最值。
这种方法在实际问题中应用广泛，比如生产计划、投资组合等领域。
以上是几种常见的求最值方法，不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法。
二次函数的最值
二次函数的最值二次函数是一种非常常见和重要的数学函数形式，具有许多应用和特点。
其中一个重要的特点就是它的最值。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括如何求解最值以及最值的应用。
一、最值的概念在数学中，最值是指一个函数在给定定义域上取得的最大值或最小值。
二次函数的最值是指二次函数在定义域内取得的最大值或最小值。
二、最值的求解求解二次函数的最值可以通过求导数或者求二次函数对称轴来实现。
1. 求导数法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过求导数来找到最值。
首先，对二次函数求一阶导数，然后令导数等于0，即求解方程ax^2 + bx + c = 0。
这样可以找到二次函数的驻点，将驻点代入二次函数，得到最值。
2. 对称轴法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过求其对称轴来找到最值。
二次函数的对称轴公式为x = -b / (2a)。
将对称轴的x值代入二次函数，即可得到最值。
三、最值的应用最值问题在实际应用中有着广泛的应用，尤其是二次函数的最值。
1. 经济学应用在经济学中，二次函数的最值问题常用于研究成本、利润或者效益等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助经济学家做出更合理的决策。
2. 物理学应用在物理学中，二次函数的最值问题常用于研究物体的运动轨迹、能量等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助物理学家预测和解释实验现象。
3. 工程学应用在工程学中，二次函数的最值问题常用于研究设计优化、材料选取等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助工程师在设计和实施工程项目时作出最佳决策。
四、例题演示假设有一个二次函数y = -x^2 + 2x + 3，我们来求解它的最值。
1. 求导数法首先，对二次函数求导数，得到y' = -2x + 2。
令导数等于0，即-2x + 2 = 0，解得x = 1。
将x = 1代入二次函数，得到y = 4。
所以，二次函数y = -x^2 + 2x + 3的最值为y = 4。
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1、图像法求二次函数最值；
2、利用分类讨论思想和二次函数图像特点求解二次函数最值。
（对称轴、 取值范围、函数图像增减性）
作业：Байду номын сангаас
1、当 时，求函数 的最大值和最小值．
2、当 时，求函数 的最大值(其中 为常数)．
学生姓名
性别
年级
学科
数学
授课教师
上课时间
年 月 日
第（ ）次课
共（ ）次课
课时： 课时
教学课题
二次函数求最大值和最小值
教学目标
利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值
教学重点与难点
含有参数的二次函数最值求解。
课堂引入：
1)由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题方法的重要性（初高中衔接、高中必修一重点学习内容）。
分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数 的对称轴为 ．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即 时：当 时， ；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即 时：
当 时， ；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即 时：
当 时， ．
综上所述：
【变式训练】
变式2、当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．
若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递增的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
二、二次函数最值问题常见四种考察题型：
1)对称轴定、 取值范围定；
2)对称轴定、 取值范围动；
3)对称轴动、 取值范围定；
4)对称轴动、 取值范围动。
【例题解析】
例1．当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
2)当 时，求函数 的最大值和最小值．
（引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫）
二次函数求最值方法总结：
一、设 ，当 时，求 的最大值与最小值。
1、当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 的最值：
1)当 时， 时， 取最小值： ； 的最大值在 或 处取到。
2)若 ，二次函数在 时的函数图像是递增的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
若 ，二次函数在 时的函数图像是递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
2、当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 的最值：
1)当 时， 时， 取最大值： ； 的最小值在 或 处取到。
2)若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
【变式训练】
变式1、当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
【例题解析】
例2、当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．