24.4(1)《相似三角形的判定》(参考资料)
24.4(5)相似三角形的判定
相似三角形与全等三角形判定方法的联 系
全等的 判定
SAS
SSS
AAS(ASA) 直角三角形
相似的 两边成 三边对 判定 比例夹 应成
角相等
两角相等 一直角边与 斜边 比例 对应成比例
4、相似三角形的判定定理的作用：
①可以用来判定两个三角形相似； ②间接证明角相等、线段成比例； ③间接地为计算线段的长度及角的大小创造 条件.
5、判定两三角形相似的基本图形： 判定两三角形相似的基本图形： 判定两三角形相似的基本图形 平行型：如图1 ①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平 行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个 型即对顶角对的边平行， 三角形相似； 三角形相似； 相交线型：如图2 公共角对的边不平行， ②相交线型：如图2，公共角对的边不平行， 即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交. 即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图 中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（ 中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或 对顶角）的两边成比例， 对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相 似.
1、
M A1
4、如图，在△ABC中，AD、 BE分别是BC、AC上的高，AD、 BE相交于H，则图中相似的三角形 共有( )对
A.3
B.4
C.5
D.6
练习5如图，D是△ABC一边BC上的 一点，△ABC∽△DBA的条件是( )
练习6 、已知过平行四边形ABCD 的顶点C作一直线CF交BD于点E， 交DA的延长线于点F，交AB于点M. 求证： 2 = EF • EM EC
D E A M F B C
课堂小结 1.关于三角形的判定方法 2.判定定理的适用范围 3.相似三角形与全等三角形判定方 法的联系 4、相似三角形的判定定理的作用 5、三角形相似的基本图形
相似三角形的判定条件
相似三角形的判定条件在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在解决几何问题时经常出现，还与实际生活中的许多场景有着紧密的联系。
那什么是相似三角形呢？简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，它们就是相似三角形。
而要判断两个三角形是否相似，就需要依据一定的判定条件。
相似三角形的判定条件主要有以下几种：第一种判定条件是“两角分别相等的两个三角形相似”。
这是一个非常重要的判定方法，也比较容易理解。
比如说，有两个三角形，一个三角形的两个角分别是 30 度和 60 度，另一个三角形也有两个角分别是 30 度和 60 度。
因为三角形的内角和是 180 度，所以第三个角的度数也就确定了。
这样一来，这两个三角形的三个角都分别相等，它们的形状就相同，从而可以判定这两个三角形是相似的。
第二种判定条件是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假设我们有两个三角形，其中一个三角形的两条边的长度分别是 4 和 6，夹角是 60 度；另一个三角形对应的两条边的长度分别是 8 和 12，夹角也是 60 度。
我们可以计算出这两组对应边的比例，4∶8 ＝ 1∶2，6∶12 ＝ 1∶2，比例相等，而且夹角也相等，所以这两个三角形就是相似的。
第三种判定条件是“三边成比例的两个三角形相似”。
比如一个三角形的三条边分别是3、4、5，另一个三角形的三条边分别是6、8、10。
我们来计算一下它们对应边的比例，3∶6 ＝ 1∶2，4∶8 ＝ 1∶2，5∶10 ＝ 1∶2，三边的比例都相等，那么这两个三角形就是相似的。
为了更好地理解和运用这些判定条件，我们来看一些实际的例子。
假设在一个建筑工地上，有一个工人需要测量一个大型三角形广告牌的高度，但他无法直接测量。
不过，他在地面上立了一根已知长度的杆子，然后分别测量出杆子的影子长度和广告牌的影子长度。
通过这种方法，就可以利用相似三角形的知识来计算出广告牌的高度。
在这个例子中，杆子和它的影子以及广告牌和它的影子分别构成了两个直角三角形。
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版)学习资料
中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题知识点睛、相似的有关概念1 •相似形具有相同形状的图形叫做相似形•相似形仅是形状相同，大小不一定相同•相似图形之间的互相变换称为相似变换.2 •相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等.3. 相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.、相似三角形的概念1. 相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图，△ ABC与厶ABC相似，记作△ ABCABC，符号s读作相似于”2•相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.全等三角形”一定是相似形” 相似形”不一定是全等形”、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等如图，△ ABC与厶ABC相似，则有A A , B B , C C .2 •相似三角形的对应边成比例△ ABC与厶ABC相似，则有-AB BC AC k（k为相似比）AB BC AC3•相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比.如图1,△ ABC与厶ABC相似，AM是厶ABC中BC边上的中线，AM 是厶ABC中BC边上的中线, 则有上邑匹竺k上也（k 为相似比）.AB BC AC AM如图则有2, △ ABC与厶ABC相似,AB BC AC kAB BC AC AHAH3, △ ABC 与厶ABC分线，则有2AB -BCAB BC AC如图相似,AC k1AH是△ ABC中BC边上的高线，AH是厶ABC中BC边上的高线，（k为相似比）.AD是厶ABC中BAC的角平分线，AD是厶ABC 竺（k为相似比）.AD图2中BAC的角平4. 相似三角形周长的比等于相似比.如图4, △ ABC与厶ABC相似, 则有AB BC ACkAB B C AC（k为相似比）.应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACAB BC AC AB BC A C5•相似三角形面积的比等于相似比的平方.四、相似三角形的判定1 •平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2 •如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•可简单说成：两 角对应相等，两个三角形相似.3 •如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.4. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三 边对应成比例，两个三角形相似.5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这 两个直角三角形相似. 6 •直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7 •如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如 果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有三点定形法”.1 .横向定型法AB BC欲证一一 —一，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ,三个字母A , B , C 恰为△ ABC 的顶BE BF点；分母的两条线段是 BE 和BF ,三个字母B , E , F 恰为△ BEF 的三个顶点.因此只需证 △ ABCEBF •2. 纵向定型法欲证一一 匹，纵向观察，比例式左边的比 AB 和BC 中的三个字母 A , B , C 恰为△ ABC 的顶点；右边的 BC EF 比两条线段是 DE 和EF 中的三个字母 D , E , F 恰为A DEF 的三个顶点.因此只需证 △ ABC DEF .AH 是厶ABC 中BC 边上的高线,则有ABBC AC k AH （ k 为相似比） .进而可得比ABCABBCACAHABC-BC AH BC 2BC 空k 2•AH如图5, △ ABC 与厶ABC 相似，AH 是厶ABC 中BC 边上的高线,如图:S A ABCACD 1BC AH21CD AH2BCCD如图：SA ABC12BC AHAHSA BCD1BC DG DG2S A ABD S A ABD S A AED AB AD AB AD SA ACESA AEDSA ACEAE AC AE AC3. 中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形•这种方法就是等量代换法•在证明比例式时，常用到中间比.比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
§24.4相似三角形的判定(1)
C
B
C
△AFE∽△BCE
△AFE∽△DFC
由相似传递性可得： △DFC∽△BCE
课堂练习：
3、已知：如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点， 且 AED B ．求证：AE AC AD AB ．
A
由∠AED=∠B, 公共角∠A 由判定定理1， 得△AED∽△ABC
B D E C
A
E A D
D B
E C
B
C
适时小结：
掌握了证明三角形相似的两种方法：
一是定义法； 还有其他的 证明方法吗？ 二是预备定理．
能类比全等三角形的判定定理得到相 似三角形的判定定理吗？
思考：在 ABC 与 A1B1C1 中，A A1
B B1
，能证明 ABC 与 A1B1C1
预备定理
A
符号语言：
在ABC和A1 B1C1中 A A1 , B B1
B A1 C
ABC ∽ A1 B1C1
B
（两角对应相等，两个三角形相似）．
1
C1
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、 AB、AC上，∠EDF=∠B， A ∠ B= ∠ C 求证：BED ∽ CDF ．
A
E A1 C
ADE B1.
ADE A1 B1C1 .
B1 C1
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC (相似三角形的预备定理)． ∴ ABC∽ A (相似三角形的传递性)． 1B 1C1
相似三角形判定定理1：
如果一个三角形的两角与另一个三角形的 两角对应相等，那么这两个三角形相似． （两角对应相等，两个三角形相似）
相似吗?
市北资优九年级分册 第24章 24.4 相似三角形+林经武
24.4 相似三角形的判定在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形．我们可以依据相似多边形的判定方法，给出相似三角形的定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图24.4.1所示的两个三角形中，C'B图24.4.1∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AB BC CAA B B C C A ==''''''． 即△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”． 如果记AB BC CAk A B B C C A===''''''，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比．根据相似三角形的定义，我们可以得出：相似三角形的传递性 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，对应角相等．通过相似三角形的定义来判定两个三角形是否相似并不方便，我们能否找到更为简捷的判定相似三角形的方法呢？在上一节学习比例线段时，我们知道三角形一边的平行线性质定理的推论，即平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．此时截得的三角形的三个角也与原三角形的三个角对应相等，因此这两个三角形是相似三角形．于是，我们得到：相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．那么，在这种情况下，这两个三角形的边对应成比例吗？如图24.4.2，在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，你能证明DE DF EFAB AC BC==吗？EBC图24.4.2可以过点A 在射线AB 上截取AE ′＝DE ，过点E ′做E ′F ′∥BC ，则可以证明△AE ′F ′∽△DEF ．又根据E ′F ′∥BC ，AE AF E F AB AC BC ''''==，因此DE DF EFAB AC BC==．因此，如果两个三角形有两对角分别对应相等，不仅第三对角也一定对应相等，这两个三角形的三条边也对应成比例．于是，我们得到：相似三角形的判定定理 1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1已知：如图24.4.3，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点E、F分别是AB、BC的中点，EF 与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝6，求BM．A B图24.4.3证明（1）∵点E是AB的中点，∴AB＝2EB．∵AB＝2CD，∴CD＝EB．又∵AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE．∴△EDM∽△EBM（相似三角形的预备定理）．解（2）∵△EDM∽△EBM，∴DM DEBM BF（相似三角形的对应边成比例）．∵点F是BC的中点，∴DE＝BC＝2BF．∴DM＝2BM．∴BM＝13DB＝2．例2已知：如图24.4.4，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE．B C图24.4.4求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG·DF＝DB·EF．分析（1）要证明△DEF∽△BDE，已经有∠EDF＝∠ABE，再证一对角相等即可．又利用等腰三角形及DE∥BC，则有∠BDE＝∠DEF，即得到△DEF∽△BDE．（2）要证明等积式a·b＝c·d，可以通过证明比例式a dc b=，或通过a·b＝m·n，c·d＝m·n来得到，本题可从后者入手证明．证明（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°．∴∠BDE＝∠CED．∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE（两角对应相等，两三角形相似）．（2）由△DEF∽△BDE，得DB DEDE EF=（相似三角形的对应边成比例）．∴DE2＝DB·EF．由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE（相似三角形的对应角相等）．∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF（两角对应相等，两三角形相似）．∴DG DEDE DF=（相似三角形的对应边成比例）．∴DE2＝DG·DF．∴DG·DF＝DB·EF．练习24.4（1）1．如图，在△ABC中，如果EF∥AB，DE∥BC．那么你能找出哪几对相似三角形？2．如图，∠1＝∠2＝∠3，那么图中相似的三角形有哪几对？B3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，联结BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．4．已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：FB FDFD FC．FEC B5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝6，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC＝∠ACB，BE的延长线与边AC相交于点F．（1）求证：BE·CD＝BD·BC；（2）设AD＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．AC在全等三角形的判定中，有“边角边”的判定方法．那么，在相似三角形中，如果两边对应比成比例，且夹角相等，是否能得到这两个三角形相似呢？如图24.4.5，在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，DE DFAB AC=，你能证明△ABC∽△DEF吗？FEB C图24.4.5可以过点A在射线AB上截取AE′＝DE，过点E′作E′F′∥BC，则AE AFAB AC''=．又根据DE DFAB AC=且AE′＝DE，则AF′＝DF．于是△AE′F′≌△DEF．显然△ABC∽△AE′F′，因此△ABC∽△DEF．于是，我们又得到：相似三角形的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例3已知：如图24.4.6，在△ABC中，AB AC＝3，D是边AC上一点，且AD∶DC＝1∶2，联结BD．。
相似三角形的定义和判定方法
相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。
具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。
相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。
以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。
相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。
沪教版数学(上海)九年级第一24.4相似三角形的判定优秀教学案例(5课时)
1.贴近生活的情境创设：本节课通过引入生活实际的情境，如建筑物的设计、电路板上的元件布局等，让学生感受到相似三角形知识的应用，激发学生的学习兴趣，提高学习的积极性。
2.问题导向的教学策略：通过设计一系列的问题，引导学生进行思考和讨论，激发学生的学习兴趣和求知欲。问题导向的教学策略能够培养学生的逻辑思维能力，提高学生的问题解决能力。
（三）情感态度与价值观
本节课的教学目标是培养学生对数学学科的兴趣和自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习，形成积极的数学情感态度。在情感态度方面，我期望学生能够对相似三角形的判定方法产生浓厚的兴趣，感受到数学的乐趣和魅力。在价值观方面，我期望学生能够认识到相似三角形知识在实际生活中的重要性，培养学生的实际应用能力和解决问题的能力。
1.第一课时：通过实际问题引入相似三角形的概念，让学生了解相似三角形的定义和性质。
2.第二课时：引导学生探究相似三角形的判定方法，让学生通过合作交流，发现并证明相似三角形的判定定理。
3.第三课时：通过例题讲解，让学生掌握相似三角形的判定方法，并能运用判定方法解决实际问题。
4.第四课时：引导学生深入理解相似三角形的性质，通过练习题让学生熟练掌握相似三角形的性质。
（二）讲授新知
在导入新课之后，我将进入讲授新知的环节。首先，我会用简洁明了的语言介绍相似三角形的定义和性质。我会通过示例和讲解，让学生理解相似三角形的概念，并掌握AA、SSS、SAS三种相似三角形的判定方法。接着，我会运用多媒体教学手段，展示相似三角形的判定过程，帮助学生直观地理解知识。在讲授过程中，我会注意与学生的互动，提问和引导他们思考，确保他们对知识的理解和掌握。
本节课的教学目标是通过探究相似三角形的判定方法，培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。在过程方面，我期望学生能够在探究过程中，主动思考、提出问题、解决问题，培养学生的独立思考能力和创新意识。在方法方面，我期望学生能够通过观察、实验、讨论等方法，发现并证明相似三角形的判定定理，培养学生的实证能力和论证能力。
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
《相似三角形的判定》PPT课件(第2课时)
1
D． = 4
02
练一练
4．（2019·宣武外国语实验学校初三期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别
与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（
2
1
A．3
3
B．2
C．4
【解析】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
故选A.
=
+
CD
=k
C′ D′
01
判定三角形相似的条件
已知∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’，
AB
BC
CD
= ′ = ′ =k，那么△ABC和
A′B′ B C′ C D′
△A’B’C’相似吗？
∵△ABC和△ABC为三角形
A
∴边数为3
A’
而∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’，
=
′′
D、两个锐角不相等的两个三角形不相似．
故选C．
02
练一练
2．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（
A．AD = AE
DB EC
B．DE = AE
BC
EC
C． AB = AC
AD
AE
）
D． DB = AB
EC
AC
3．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由
∠D=∠D’, ∠E=∠E’
AB
BC
CD
DE
AE
=
=
=
=
A′B′ B′ C′ C′ D′ D′ E′ A′ E′
24.4相似三角形的判定(原卷版)【沪教版】
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题24.4相似三角形的判定姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•长宁区期末）下列命题中，说法正确的是（ ） A ．四条边对应成比例的两个四边形相似 B ．四个内角对应相等的两个四边形相似C ．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似2．（2020秋•郫都区校级期中）在下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E B ．BC EF =AC DF且∠B ＝∠E C ．ABDE=BC EF=AC DFD ．AB DE=AC DF且∠A ＝∠D3．（2020•浦东新区三模）如图，已知△ABC 与△BDE 都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，那么与△BFD 相似的三角形是（ ）A ．△BFEB ．△BDCC ．△BDAD ．△AFD4．（2019秋•闵行区期末）如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD AC=13，AE ＝BE ，那么有（ ）A ．△AED ∽△BEDB ．△BAD ∽△BCDC ．△AED ∽△ABD D ．△AED ∽△CBD5．（2019秋•松江区期末）下列两个三角形不一定相似的是（ ） A ．两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形B ．腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形C ．有一个内角为50°的两个直角三角形D ．有一个内角是50°的两个等腰三角形6．（2019秋•闵行区校级月考）下列条件中，不能判定△ABC 和△DEF 相似的是（ ） A ．∠A ＝∠D ＝70°，∠B ＝60°，∠E ＝50° B ．∠A ＝∠D ＝70°，∠C ＝50°，∠E ＝50°C ．∠A ＝∠D ＝70°，AB ＝12cm ，AC ＝15cm ，ED ＝16cm ，DF ＝20cmD ．∠A ＝∠D ＝70°，AB ＝12cm ，AC ＝15cm ，ED ＝16cm ，EF ＝20cm7．（2020•涡阳县模拟）如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行．下列条件中，能判定△ADE 与△ACB 相似的是（ ）A ．AD AC=AE ABB ．AD AE=AB ACC ．DE BC=AE ABD ．DE BC=AD AC8．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC ＝∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的（ ）A ．AC AD=AB AEB ．ACAD=BC DEC ．ACAD=AB DED ．ACAD=BC AE9．（2020秋•崇川区校级月考）如图，△ABC 中，D 、E 两点分别在BC 、AC 上，且AD 平分∠BAC ，若∠ABE ＝∠C ，BE 与AD 相交于点F ．则图中相似三角形的对数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2020秋•杨浦区期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 为边AD 上的一个动点（与点A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交边CD 于点M ，那么下列结论中，错误的是（ ）A ．△AEF ∽△CBFB ．△CMG ∽△BFGC ．△ABG ∽△CFBD ．△ABF ∽△CBG 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2020秋•嘉定区期末）如图，点D 在△ABC 的AB 边上，当AD AC= 时，△ACD 与△ABC 相似．12．（2020秋•宝山区期中）如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，如果要判定△ACD ∽△BCA ，那么需要增加的一个条件可以是 ．13．（2020秋•徐汇区校级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，D 是AB 上一点且AD ＝2cm ，点E 在边AC 上，当AE ＝ cm 时，使得△ADE 与△ABC 相似．14．（2020秋•新吴区期中）△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，点D 在AC 上，且AD ＝3，若要在AB 上找一个点E ，使△ADE 与△ABC 相似，则AE ＝ ． 15．（2019秋•普陀区期末）如图，在△ABC 与△AED 中，AB AE=BC ED，要使△ABC 与△AED 相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）．16．（2019秋•浦东新区期中）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝5，BC ＝10，点E 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），作∠AEF ＝∠AEB ，使边EF 交边CD 于点F ，（不与C ，D 重合），线段BE ＝ 时，△ABE 与△CEF 相似．17．（2019秋•长宁区校级月考）已知，在△ABC 中，点D 在边AB 上，AD ＝2，AB ＝6，AC ＝6，在AC 上找一点E ，使以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE ＝ ．18．（2019秋•虹口区校级月考）如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 为BC 中点，两个动点M 和N 分别在边CD 和AD 上运动且MN ＝2，若△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似，则DM ＝ ．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，BD、CE为△ABC的高，求证：△AED∽△ACB．20．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一动点P从点B 向右D运动，问当点P离点B多远时，△P AB与△PCD是相似三角形？21．（2019秋•武冈市期中）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B 同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．22．（2018秋•浦东新区期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝4，CD＝2，CE⊥BC交边AD于点E．（1）当点E与A恰好重合时（如图1），求AD的长；（2）问：是否可能使△ABE、△CDE和△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由（如图2）．23．（2019秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2＝OB•OE．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC＝BD，AE•AF＝AD•BF，求证：△ABE∽△ACD．24．（2020•高青县一模）如图，AB＝16cm，AC＝12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出自变量的取值范围．（2）当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？。
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3、已知:如图,Rt△ABC中, ABC=90°,BD AC 于D. (1)图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么? (2)用语言叙述第(1)题的结论:直角三角形被斜边上 的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. (3)写出相似三角形对应边成比例的表达式.
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课堂小结 1、相似三角形的定义，相似比的概念 2、三角形相似与全等的判定方法的类比. 3、三角形相似的判定定理1，并强调判定相似需且 只需两个独立条件. 4、常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知 角度计算得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤ 同角的余(补)角相等.
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思考问题：（l）所有等腰三角形都相似吗？所 有等边三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角 形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？
练习一：选择题 下列四组图形，必是相似形Ｂ、有一个角为的两个等腰梯形 Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形 Ｄ、有一个角为的两个等腰三角形
24.4相似三角形的判定 （1）
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1、什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上 有何特征？ 2．两个全等三角形的对应也和对应 角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定 理（文字表述及基本图形）
A A1
B
C
B1
C1
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新授1： 相似三角形的定义，相似比的概念 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例 的两个三角形，叫做相似三角形 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比K，叫做相似比 （或相似系数）． 注：①两个相似三角形的相似比具有 顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三 角形是相似三角形的特殊情形． 在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写 在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对 应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多 边形的对应边的比，叫做相似比. 相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与 同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.
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A
A
E
D A
l
D
E l
B
C l
B C
B
C
D
E
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边 的直线截其他两边所在的直线，截得的三角 形与原三角形相似
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相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的 两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这 两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形 相似）
A A1
D
E
B
C
B1
C1
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1、已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°, ∠B=80°, ∠E=80°, ∠F=60°.(1)求证: △ABC∽△DEF;(2)写出对应边成比例的式子. 2、（1）已知:如图5-58,直线BE,DC交于A, ∠E=∠C.求证:DA· AC=BA· AE. （2）若图形作以下变化，结论是否依然成立，请 证明.