四川省成都市龙泉第二中学2017届高三数学一诊模拟考试试题理

四川省成都市龙泉第二中学2017届高三数学一诊模拟考试试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2}M x x =<，集合{}2|0N x x x =-<，则下列关系中正确的是A.M N ⋃=RB.M C N ⋃=R RC.N C M ⋃=R RD.M N M = 2. 复数iiZ 212+-=(i 为虚数单位)所对应复平面内的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，14,2248==S S ，则=2016SA ．22252-B ．22253-C ．221008- D.222016-4．函数)(x f 是定义在)2,2(-上的奇函数，当)2,0(∈x 时，,12)(-=x x f 则)31(log 2f 的值为 A ．2- B ．32-C ．7D ．123- 5.函数cos sin y x x x =+的图象大致为A B C D6.函数的定义域为A.（，1）B.（，+）C.（1，+）D.7.执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a 值为A ．14B ．15C ．16D ．178．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x ﹣）2+y 2表示的区域为T ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域T 中芝麻数约为 A ．114 B ．10C ．150D ．509.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），12y x y +++的取值范围是A.12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．设函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+≠><的图像关于直线23x π=对称，且它的最小正周期为π，则A.()f x 的图像经过点1(0,)2B.()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C.()f x 的图像的一个对称中心是5(,0)12π D.()f x 的最大值为A11、把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为A ．2680种B ．4320种C ．4920种D ．5140种12.已知命题p : x R ∀∈,sin x >, 则A.﹁p : x R ∃∈,sin x ≤B.﹁p : x R ∃∈,sin x <C.﹁p : x R ∀∈,错误！未指定书签。

D.﹁p : x R ∀∈,sin x ≤第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共20分）13.曲线21x y xe -=在点(1,1)处的切线方程为 .14.已知三棱锥A-BCD 中，AB ⊥面BCD ，△BCD 为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为 。

15．数列{}n a 中，)2,(122,511≥∈-+==*-n N n a a a nn n ，若存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn a 2λ为等差数列，则λ= .16.已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =______时，0)(=k a f三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本小题满分12分）已知三角形ABC 中,()()2211,,,y x y x ==. (1)若()()3,1,1,3-==AC AB .求三角形ABC 的面积∆S ; （2）求三角形ABC 的面积∆S .18.（本小题满分12分） 已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在区间上单调递增，求b 的取值范围.19.设函数f （x ）=x 2+bln （x+1），其中b ≠0． （Ⅰ）当时，判断函数f （x ）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当21≤b 时，求函数f （x ）的极值点；20. （本小题满分12分）已知动圆过定点P (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)过点（2,0）的直线l 与C 相交于A ，B 两点．求证：OA OB是一个定值．21.（本小题满分12分）已知动圆P 与圆()221:381F x y ++=相切，且与圆()222:31F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点．（1）求曲线C 的方程；（2）试探究MN 和2OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由； （3）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号，本小题满分10分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.23.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲 若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.成都龙泉第二中学高2017届高三上期期末考试模拟试题数学（理工类）参考答案1—5 BCBAD 6—10 ACACC 11—12 BA13. e ex y 23-= 15.1- 16.10 17．（本小题满分12分）解:已知,2A S =∆,cos 2121A y y x x ⋅=+=⋅ ……6分得,4sin 22∆=S A ①,)(cos 221212y y x x A += ②由①+②,得,)(4221212y y x x S ++=∆.22222121y x y x +=+=代入化简,得: 122121y x y x S -=∆. ......12分18.（1）当b =2时，()()=x+2f x 21-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，()(())2'522222x x f x x x -+=++-=令()'0fx =，解得12x 2,0x =-=当1x 2x<2<-和0<时，()'0f x <，所以()f x 在()1,2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,0上单调递减； 当12x<2-<时，()'0f x >，所以()f x 在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；所以，当x 2=-时，()f x 取得极小值(2)0f -=；当1x 2=时，()f x 取得极大值(0)4f =。

（2）()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增⇔()'0,f x ≥且不恒等于0对x 10,3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立……………………7分()(()2'222f x x b x bx b =+++-=25320x bx x ∴--+≥……………………………………8分min253x b -⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭……………………………………10分1252513339x-⨯->=……………………………………11分 19b ∴≤……………………………………12分19.解：（Ⅰ）函数f （x ）=x 2+bln （x+1）的定义域在（-1，+∞）令g （x ）=2x 2+2x+b ，则g （x ）在上递增，在上递减，g （x ）=2x 2+2x+b ＞0在（-1，+∞）上恒成立， 所以f'（x ）＞0即当，函数f （x ）在定义域（-1，+∞）上单调递增． 5分（Ⅱ）（1）当时，，∴，∴时，函数f （x ）在（-1，+∞）上无极值点 7分（2）当时，解f'（x ）=0得两个不同解2211,221121bx b x -+-=---=当b ＜0时，2211,221121bx b x -+-=---=， ∴x 1∈（-∞，-1），x 2∈（-1，+∞），f （x ）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点22112bx -+-=当时，x 1，x 2∈（-1，+∞）f'（x ）在（-1，x 1），（x 2，+∞）都大于0，f'（x ）在（x 1，x 2）上小于0，f （x ）有一个极大值点22111bx ---=和一个极小值点22112bx -+-=综上可知，b ＜0，时，f （x ）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点22112bx -+-=时，f （x ）有一个极大值点22111b x ---=和一个极小值点22112bx -+-=21=b 时，函数f （x ）在（-1，+∞）上无极值点． 12分20.解：(1)设圆心为C (x ，y )，线段MN 的中点为T ，则1分 |MT |＝|MN |2＝4.依题意，得|CP |2＝|CM |2＝|MT |2＋|TC |2，∴()222244y x x +-=+，∴28y x =为动圆圆心C 的轨迹方程．4分(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋2，A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2） 5分由⎩⎨⎧=+=xy ky x 822，得y 2－8ky －16＝0. ∴264640k ∆=+>。

7分∴y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝－16，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． 8分 ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋2)(ky 2＋2)＋y 1y 2 9分＝k 2y 1y 2＋2k (y 1＋y 2)＋4＋y 1y 2 ＝－16k 2＋16k 2＋4－16＝－12. 11分 ∴OA →·OB →是一个定值． 12分21.（2）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+，由221167x my x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴2232232112716112716mx m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴()22222332221121112112716716716m m OQ x y m m m +=+=+=+++ 由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()2271642490m y my ++-=，∴121224249,716716m y y y y m m +=-=-++， ∴21MN y ==-()22561716m m +===+． ∴()()22222561171621121716m MNm m OQm ++==++∴MN和2OQ 的比值为一个常数，这个常数为12．22.解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3，0).23.解(1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立.故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立. 所以a3＋b3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a＋3b≥26·ab≥4 3.由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.。