复变函数复习

C
1）参数方程法：若 C 的参数方程为 z = x (t ) + iy (t ) = z (t ) ，则 2）积分与路径无关及 Newton-Leibniz 公式： 3）Cauchy-Goursat 基本定理：
∫
C
z
f ( z )dz = ∫ f [ z (t )] ⋅ z′(t )dt ；
α
1
β
∫
∑ an 、 ∑ bn 的收敛性的判定
n =1 n =1
∞
∞
∑ c ( z − a)
n=0 n
∞
n
的收敛性【①在复平面内处处收敛；②只在 z = a 处收敛，其余点处处
发散；③在某一圆周内处处绝对收敛，在圆周外处处发散，在圆周上待定；①、②、③以 上三种情况只居其一】以及收敛半径的求法：比值法 ρ = lim
《复变函数与积分变换》期末总复习
一、复变函数 Chap. 1 复数与复变函数
1、 会求乘幂 z =| z | e
n n in arg z
、方根 z = | z |e
n n
i
arg z + 2 kπ n
(k = 0,1," , n − 1) 、| z | 、Im z 、 Re z 、
y ⎧ arctan ⎪ ⎪ x 复数的代数运算（四则运算）以及 Argz 、 arg z = ⎨ y ⎪arctan ± π ⎪ x ⎩
z → z0
1 ∫C f ( z )dz = c−1 2π i v
规则 II 若 z0 为 f ( z ) 的 m 级极点，则 Res[ f ( z ), z0 ] =
1 ⋅ lim[( z − z0 ) m f ( z )]( m −1) ； (m − 1)! z → z0
4
规则 III Res[
P ( z0 ) P( z ) , z0 ] = ，其中 P ( z0 ) ≠ 0, Q ( z0 ) = 0, Q′( z0 ) ≠ 0 Q( z ) Q′( z0 )
3、 利用留数求复积分：
v ∫
C
f ( z )dz = 2π i ⋅ ∑ Res[ f ( z ), zk ] ，其中 zk (k = 1, 2," , n) 为
( z0 ) = 0 ，而 f ( m ) ( z0 ) ≠ 0
⇔ f ( z ) = ( z − z0 ) m λ ( z ) ，其中 λ ( z ) 在 z0 处解析，且 λ ( z0 ) ≠ 0
2、 留数的求法： Res[ f ( z ), z0 ] = 特别对于极点，可用下列规则： 规则 I 若 z0 为 f ( z ) 的一级极点，则 Res[ f ( z ), z0 ] = lim[( z − z0 ) f ( z )] ；
n →∞
cn +1 、根值法 ρ = lim n cn n →∞ cn
4、 幂级数的运算性质：①加、减、乘法；②换元法 5、 幂级数和函数的分析性质：幂级数的和函数在其收敛圆内处处解析，并且可以逐项求导、 逐项积分 6、 将解析函数展开成泰勒级数（幂级数）或洛朗级数： ㈠直接法：求系数（2） （或（4） ） ，代式（1） （或（3） ） ，可得所求的泰勒（幂级数）展开式（或 洛朗展开式） 1） Taylor 展开定理：若 f ( z ) 在圆域 | z − z0 |< R 内处处解析， 则在圆 | z − z0 |< R 内， f ( z ) =
( x, y ) 处可微分 【可用偏导数连续判定可微】 且满足 C.－R.方程： ux = vy ， u y = − vx .
并且当 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在点 z = x + iy 可导时， f ′( z ) = u x + ivx （2） 利用求导法则以及解析函数的运算性质： ①解析函数的加、减、乘、除（除分母为零的点外）仍解析； ②解析函数的复合函数仍为解析函数； ③解析函数的导函数仍为解析函数 （3） 利用定义：
∫
−∞
R( x) cos axdx = Re[ ∫
−∞
R( x)eiax dx] ， ∫
−∞
R( x) sin axdx = Im[ ∫
+∞
−∞
R( x)eiax dx]
5
二、积分变换 1、Fourier 变换：
1） 2） 3） 4） 5） 定义： F (ω ) = F [ f (t )] =
∫
+∞
z
zn (| z |< +∞) ， ∑ n=0 n !
∞
② sin z =
∑ (−1)n
n =0
∞
z 2 n +1 (| z |< +∞) ， (2n + 1)!
3
③ cos z =
∑ (−1)n
n =0 ∞
∞
z 2n (| z |< +∞) ， (2n)!
④
∞ 1 = ∑ z n (| z |< 1) ， 1 − z n=0
iθ
x>0
；
x<0
2、 熟悉复数的三种表示法：代数 z = x + iy 、指数 z = re 、三角函数 z = r (cos θ + i sin θ ) ； 3、 熟悉复平面内的曲线及其方程，了解区域的单连通性； 4、 会求在映射 w = f ( z ) 下， z 平面上的点集在 w 平面上的像：
C
C
f ( z )dz + β ∫ g ( z )dz ；
C
C1 C2
2） 可加性：若 C = C1 + C2 ，则 3） 估值： 2、 求法：
∫
C
f ( z ) dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz ；
z∈C
∫
C
f ( z )dz ≤ ∫ | f ( z ) || dz | ≤ max | f ( z ) | ⋅L
−∞
f (t )e − jωt dt ， f (t ) = F −1[ f (t )] =
1 2π
∫
+∞
−∞
F (ω )e jωt dω
傅氏积分定理 熟悉傅氏变换的性质：线性，位移，微分，积分，卷积定理 会求傅氏变换及傅氏逆变换 了解微（积）分方程（组）的傅氏变换解法
2、Laplace 变换
6） 7） 8） 9） 定义： F ( s ) = A[ f (t )] =
f ( z ) = ∫ f ′( z )dz = " 【不定积分法】.
也可利用偏积分法、凑微分法或曲线积分法先求 v( x, y ) 进而求之；
2
Chap. 4 级数
1、 会判定级数的收敛性：
∑α
n =1
∞
收敛
n
绝对收敛 条件收敛 ，
发散
令 α n = an + ibn ，将其转化为对实级数 2、 Abel 定理 3、 幂级数
z x
cos z =
eiz + e − iz b b Ln a ， Lnz = ln | z | +iArgz ， ln z = ln | z | +i arg z ， a = e 的值 2
Chap.3 复变函数的积分
1、 性质： 1） 线性：
∫ [α f ( z ) + β g ( z )]dz = α ∫
∫
+∞
0
f (t )e − st dt ；
熟悉拉氏变换的性质：线性，位移，微分，积分，卷积定理 会求拉氏变换及拉氏逆变换 会熟练利用拉氏变换解微分方程（组）或微分积分方程.
6
⑤ ln(1 + z ) =
α
(−1) n n +1 z (| z |< 1) ， ∑ n=0 n + 1
⑥ (1 + z ) 主值支1 + α z +
α (α − 1)
2!
z2 +" +
α (α − 1)" (α − n + 1)
n!
z n + " (| z |< 1)
Chap. 5 留数【以下均设 z0 ≠ ∞ 】
⎧u = u ( x, y ) w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) ⇔ ⎨ ， ⎩ v = v ( x, y )
由此便可将关于 x 、 y 的关系式化为关于 u 、 v 的关系式； 5、 掌握复变函数的极限以及连续性
Chap. 2 解析函数
1、 会判定函数的可导性与解析性： （1） 函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在点 z = x + iy ∈ D f 可导 ⇔ u ( x, y ) 、 v( x, y ) 在点
n =−∞
∑ c (z − z )
n
∞
n
0
， 【洛朗展开式】
（3）
其中系数
cn =
1 f ( z) dz (n = 0, ±1, ±2,") ， v ∫ γ 2π i ( z − z0 ) n +1
（4）
这里 γ 为此解析圆环域内绕 z0 的任何一条正向简单分段光滑的闭曲线. ㈡间接法：利用幂级数的加减乘除运算法则、逐项求导、逐项积分以及换元法则，然后代 下列 6 个常见的展开式 ①e =
| z | =1 | zk | <1
II、
∫
+∞
−∞
R( x)dx高2次 2π i ⋅
Im zk > 0
∑
Res[ R( z ), zk ] ；
III、