5.3圆周角(1)课件
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《圆周角》课件——第1课时
求证：∠BAC=1/2∠BOC
新课学习
证明 （1）当圆心O在∠BAC的一条边上时（图3-25
①）. 在△OAB中，
∵OA=OB，∴∠BAO=∠OBA .
∵∠BOC=∠BAO +∠OBA，
∴∠BOC=2∠BAO
∴∠BAC=1/2∠BOC
新课学习
（2）当圆心O在∠BAC的内部时，作直径AD（图 325 ②）. 由（1）的结论，得 ∠BAD=1/2∠BOD，∠DAC=1/2∠DOC . ∴∠BAD+∠DAC= 1/2∠BOD+1/2∠DOC .
⌒
∴ACB的度数=110°.
∴ AmB的度数=360°-110°=250°.
⌒
⌒
∴∠ACB=1/2×250°=125°
新课学习
⌒ 上时（图3-26 ②）， （2）当点C在优弧AmB
∵∠AOB=110°，°=55°.
结论总结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
作业布置
课本P.84第1、2题
板书设计
3.3圆周角
第一课时
1．圆周角定义：
2．圆周角定理：
3．圆周角定理推论1：
例1
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，
1/2∠BOD+1/2∠DOC=1/2（∠BOD+∠DOC）=1/2∠BOC，
∴∠BAC=1/2∠BOC
新课学习
（3）当圆心O在∠BAC 的外部时（图 3-25 ③），
你能给出证明吗？试一试，与同学交流.
归纳以上三种情况的结论，就得到
圆周角定理:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半.
1.什么叫做圆周角？
顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两 条弦，像这样的角叫做圆周角。 2.圆周角定理？
圆周角(课件)九年级数学上册(人教版)
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱCB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BCD+∠B＝90°，
（2）解：∵AB⊥CD，
∴∠A＝∠BCD，
1
∵OA＝OC，
∴CE = 2 CD = 4，
∴∠A＝∠ACO
∴BC = BE 2 + CE 2 = 5．
∴∠ACO＝∠BCD；
例3.如图，已知AB为⊙ O的直径，C，D为⊙ O上两点，AD CD ，连接AC，
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，
并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，
并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
1.理解圆周角的概念,会叙述并证明圆周角定理;
2.掌握圆内接四边形的性质;
3.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.(重
点)
4.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.(难点)
1.什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠AOD和∠BOD.
BC
BD
2.如图，在☉O中，若 AD = BD，则AD=_____,AC=_____,
A.14°
B.28°
C.42°
D.56°
5.如图，∠AOB=100°，若点C在☉O上，且点C不与A、B
重合，则∠ACB的度数为( B )
A.50°
B.50°或130°
C.130°
∴∠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱCB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BCD+∠B＝90°，
（2）解：∵AB⊥CD，
∴∠A＝∠BCD，
1
∵OA＝OC，
∴CE = 2 CD = 4，
∴∠A＝∠ACO
∴BC = BE 2 + CE 2 = 5．
∴∠ACO＝∠BCD；
例3.如图，已知AB为⊙ O的直径，C，D为⊙ O上两点，AD CD ，连接AC，
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，
并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，
并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
1.理解圆周角的概念,会叙述并证明圆周角定理;
2.掌握圆内接四边形的性质;
3.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.(重
点)
4.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.(难点)
1.什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠AOD和∠BOD.
BC
BD
2.如图，在☉O中，若 AD = BD，则AD=_____,AC=_____,
A.14°
B.28°
C.42°
D.56°
5.如图，∠AOB=100°，若点C在☉O上，且点C不与A、B
重合，则∠ACB的度数为( B )
A.50°
B.50°或130°
C.130°
圆周角-PPT课件
E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C
江苏省金坛市第二中学5.3 圆周角(1)课件(苏科版九上)
D O
E
A
探索活动
2、分类转化、证明猜想
A O C
B
A
A
O C
O
B
B
C
图1 半径
图2
图3
探索活动
★圆心O在圆周角∠BAC的一边上
A O C
∵∠BOC是△AOC的外角， ∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠BAC， ∴∠BOC＝2∠BAC， 1 即∠BAC＝ ∠BOC 2
1 ∠BOC 2
结论：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
探索活动
在同圆或等圆中，把“同弧”改成“等弧”结论 是否依然成立？
归纳性质
圆周角性质：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
巩固练习
1、如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点A、D在点B、C所在直线的同 侧，∠BAC＝35°,则 同弧所对的圆周角相等 ； ∠BDC ＝ 35 °，理由是 ∠BOC ＝ 70 °，理由是 同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。 。
A
A
探索活动
B
O C
O
O C
B
D
D
★圆心O在圆周角∠BAC的外部 作直径AD， 于是
A O
∠BAD＝
C
1 ∠BOD，∠CAD＝ 2
D
B
∴∠CAD－∠BAD＝
1 （∠COD－∠BOD） 2
1 ∠COD 2
即∠BAC＝
1 ∠BOC 2
O D C
A
O D B
A
探索活动
A
A O C
A
O C
O
B
B
B
E
A
探索活动
2、分类转化、证明猜想
A O C
B
A
A
O C
O
B
B
C
图1 半径
图2
图3
探索活动
★圆心O在圆周角∠BAC的一边上
A O C
∵∠BOC是△AOC的外角， ∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠BAC， ∴∠BOC＝2∠BAC， 1 即∠BAC＝ ∠BOC 2
1 ∠BOC 2
结论：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
探索活动
在同圆或等圆中，把“同弧”改成“等弧”结论 是否依然成立？
归纳性质
圆周角性质：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
巩固练习
1、如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点A、D在点B、C所在直线的同 侧，∠BAC＝35°,则 同弧所对的圆周角相等 ； ∠BDC ＝ 35 °，理由是 ∠BOC ＝ 70 °，理由是 同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。 。
A
A
探索活动
B
O C
O
O C
B
D
D
★圆心O在圆周角∠BAC的外部 作直径AD， 于是
A O
∠BAD＝
C
1 ∠BOD，∠CAD＝ 2
D
B
∴∠CAD－∠BAD＝
1 （∠COD－∠BOD） 2
1 ∠COD 2
即∠BAC＝
1 ∠BOC 2
O D C
A
O D B
A
探索活动
A
A O C
A
O C
O
B
B
B
5.3圆周角(一) 课件 (苏科版九年级上)
圆心角的顶点发生变化时,我们得到几种情况:
A A A
O
B C B
.
O C B
.
O
C
.
圆内角
圆外角
圆周角
圆周角定义: 顶点在圆上,并且
两边都和圆相交的角叫圆周角.
A
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
B
O C
.
尝 试
1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
A
B
C
D
2、图3中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。
1、试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7 ∠1=∠4
A
1
8 7
6
C
2 3
B
∠3=∠6
4
5
∠5=∠8
做一做，成功在向你招手！
2、求图中角的度数
A
140°
m
B
C
35º
1 70°
80°
2
O
30° 120°
130°
O
3
O
120°
35°
60°
典型例题
例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与 ∠BDC的大小，并说明理由。
B A
C C A
图 3
D
图 4 B
3、写出图4中的圆周角：________________________
同弧所对的圆周角及圆心 角的关系：
同一条弧所对的圆周角的 度数相等，并且它的度数 恰好等于这条弧所对的圆 心角的一半。
我们的猜想是否正确?
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
人教版教材《圆周角》ppt课件1
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90°。
C1 C2
C3
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是
直角，那么∠AOB是
。
180°
A
O
B 推论3：半圆（或直径）所对 的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径。
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角 定理及 推论的 复习 第一课时课件
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
D
我们把顶点在圆心的周角等分
成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。
10.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多
少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法二
D
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角 定理及 推论的 复习 第一课时课件
A · B
方法四
O
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角 定理及 推论的 复习 第一课时课件
11.如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在 ⊙O上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直 径.
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角 定理及 推论的 复习 第一课时课件
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角 定理及 推论的 复习 第一课时课件
8.如图，AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
《圆周角》课件1
1 ABC＝ AOC 2 上面的命题还成立吗?
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等2
A C
●
A
C
●
A O
C
●
O
O
B
B 老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
B
圆周角定理的推论1
B
上面的命题还成立吗?
3.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
当圆心（O）在圆周角（∠ABC）的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 老师提示:能否转化为1的情况? A 过点B作直径BD.由1可得:
1 1 ABD ＝ AOD,CBD ＝ COD 2 2
C
B
●
O
因为圆心角与它所对弧的度数相等，因 而由圆周角定理可以得到： 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
例题解析 例1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且
1 CO= 2 AB.求∠ACB的度数.
解：以AB为直径作⊙O， 1 ∵AO=BO， CO= 2 AB,
C
A · O B
∴AO=BO=CO.
C
●
A O
C
●
A
O
C
●
B
B
B
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心（O）在圆周角（∠ABC）的一边（BC）上 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. ∵∠AOC是△ABO的外角， A ∴∠AOC ＝ ∠B＋∠A. C ∵OA＝OB， ∴∠A ＝ ∠B. O ∴∠AOC ＝ 2∠B. B 1 ∴ ∠ABC＝ ∠AOC 2 一条弧所对的圆周角等于它所 你能写出这个命题吗? 对的圆心角的一半.
5.3 圆周角(1)课件(苏科版九上)
你能发现什么规律？
例2、如图8，OA、OB、OC都是圆O的半径， ∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
练 习
1、如图6，已知∠ACB = 20º ，则∠AOB = _____， ∠OAB ＝ .
Hale Waihona Puke OC图 6
A B
2、如图7，已知圆心角∠AOB=1000，则∠ACB = _______。
∵∠AOC是△ABO的外角，
A
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
C
●
O
即
∠ABC =
1 ∠AOC. 2
B
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
第二种情况：如果圆心不在圆周 角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内 部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC 的大小关系会怎样?
初中数学九年级上册 （苏科版）
5.3 圆周角（一）
定 义
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的？
定义：顶点在圆心的角叫圆心角。
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
C
O
B A
尝 试
1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
A
B
C
D
2、图3中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。
回顾总结
通过本课的学习，你又有 什么收获？
总 结
1、概念的引入和定理的发现：
O
M
O
M
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
江苏省连云港市新海实验中学苏教版2014届九年级数学上5.3圆周角(1)优课比赛课件(20张ppt)
A A3 3 A1 B B35 1 O O C C35 1 A5
同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半．
图为轮滑爱好者均匀组成的圆，点A、B、M、 N在⊙O上，摄影师在圆上点A处刚好能拍到10位 轮滑爱好者 ，且此时镜头视角为30°．
（1）∠MBN= °， 推理的依据是 ； （2）∠MON= °， 推理的依据是 ； （3）猜想组成这个圆的轮滑 爱好者有多少人？
找找新朋友 ——圆周角
．
①
．
②
．
③
．
④
．
⑤
A3
A1 O
A5
B
C
（1）请在画图纸的图①中画出AB所对的圆 心角和它所对的圆周角 ； （2）度量你所画的圆心角和圆周角的度数， 再与小组同学交流一下，有何发现？ （1）请在图②的圆上任意确定一条弧，画出 这条弧所对的圆心角和一个圆周角； （2）度量你所画的圆心角和圆周角的度数, 并在图上标出它们的度数.
C
E A O N F
M
(5)当摄影师在A处照完相后又想到D处再给刚才 的10位轮滑爱好者照相，此时镜头的视角又该 怎么发生变化呢？为什么？
A
D O N
M
(5)当摄影师在A处照完相后又想到D处再给刚才 的10位轮滑爱好者照相，此时镜头的视角又该 怎么发生变化呢？为什么？
E A D O N
M
(5)当摄影师在A处照完相后又想到D处再给刚才 的10位轮滑爱好者照相，此时镜头的视角又该 怎么发生变化呢？为什么？
F 后又想到圆上 点C处再给圆上其余轮滑爱好者照相，此时镜头 的视角该为多少度？为什么？
A 80° O B
D
C
(7) 图为轮滑爱好者均匀组成的圆，点A、B、C、 D在⊙O上，摄影师在圆上刚好能拍到BC上的10 位轮滑爱好者，且此时镜头视角为30°,摄影师在 E处又给刚才的10个同学拍照，刚好镜头视角还 为30°,那么AD上站着多少轮滑爱好者?
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数学认识
定理： 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
基础训练 例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC
与∠BDC的大小，并说明理由。
A F D
E O C B
拓展延伸 如图，OA、OB、OC都是圆O的半径， ∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
小结与反思
1.概念的引入和定理的发现：
M O M
O
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
小结与反思 2、定理的证明思路： 我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分 成三类，先解决一类特殊问题，再把其他两类 转化成特殊问题。
思考与探究
如图，你能判断出∠ ＡＣＢ ∠Ｄ的大小关 系吗？你借助的依据 是什么？
思考与探究
如图，圆上有两点Ｂ Ｃ，它们所对的圆心 角是： ；你能 再图中画出 所对 的圆周角吗？
思考与探究
பைடு நூலகம்
你所画的圆周角的和圆心有什么样的位置关系？ 你能和同伴将所画圆周角与圆心关系分类吗？
你能探究出 试看.
所对的圆心角和圆周角的关系吗？试
初中数学九年级上册 苏科版
5.3 圆周角（1）
观察与思考
请你观察并思考： 你能将图中∠C， ∠ D， ∠Ｅ， ∠Ｆ， ∠ＡＯＢ 进行分类吗？你分类的标 准是什么？
观察与思考 定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
观察与思考
2、图中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个