2008年高考理科基础试题及参考答案(广东卷)

综合以上分析，可以得到瞬时投放的二维模型解析解：
中心投放 边界无限
C ( x, y,t )
( y u y t)2 ( x u xt )2 M × × exp 第六讲/27 Kt ) exp 4D t 4D t exp( 4h Dx Dy t x y
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一、非稳定源二维模型解析解
4、边界投放-边界有限
对比上述模型：边界无限时边界排放的污染物浓度相当于中心排放时的 2 倍。
边界有限情况下，只有一个边界反射，叠加实源和虚源的共同作用可得：
C M 4 h ( x u t ) 2 ( y u yt ) 2 x e x p ( K t ) × e xp 4 D xt 4 D yt DxD yt
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一、非稳定源二维模型解析解
2、中心投放-边界有限
河 宽 为 B， 中 心 瞬 时 投 放 ：
y
虚源 1 造成的浓度为：
( x u t ) 2 ( B y u yt) 2 x e x p ( K t ) e x p C 1 ( x , y ,t ) 4 D xt 4 D yt 4 h D x D y t
1 C0 。 1 TK
n
C0 1 TK
， C2
C1 1 TK
，。， Cn 。。
C n 1 1 TK
所 以 Cn
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三、稳定源的解析解
2．一维模型的稳态解
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三、稳定源的解析解
3．二维模型:中心投放，无边界
二维模型：
Dx C
界 无 限 的 情 况 下 ，1 当 于 在1 述 问 题 中 不 考 虑 虚 源 2 ， 并 相 上 y 反映水深和弥散系数不同造成浓度随时间的变化。 h 4Dxt 4Dyt h4 Dx Dyt 将虚源 1 和实源在边界处汇合。
在一维纵向扩散中，考虑了横向（宽度 B）和垂向（深度 h） （其乘积为横截
C ( x , y , z ,t ) M 8 ( t ) E x E y E z
3
( x u t ) 2 ( y u yt ) 2 ( z u t ) 2 x z e x p 4 E xt 4 E yt 4 E zt
× e x p ( K t )
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三、稳定源的解析解

稳定源是指污染物的排放源是连续的，其源强大小不随时间 变化。 在流体环境介质中，污染物处于不断的流动状态，由于排放 源的稳定性，环境介质中污染物的分布状况也是稳定的，这 时污染物在某一空间位置浓度不会随时间变化，即dC/dt=0， 所以模型的求解过程相对简单。 上述稳定源排放下模型的解析解一般称为稳态解。 由于稳态情况下模型的参数估计和求解都比较简单，因此有 时为了研究问题的方便，如果污染物浓度在一个较长时间内 平均值保持一定的稳定性，也可以把此类情况作为稳态来处 理，一般这样就可以满足环境规划和管理的要求。 9 第六讲/27
式 中 E x 、 E y 、 E z 分 别 为 x 、 y、 z 方 向 的 湍 流 扩 散 系 数 。 由 于 三 维 模 型 中 考 虑 了 流速的三维分量，没有流速的断面平均，因此不出现弥散项，仅出现湍流扩散 项。 三维模型在一般的水环境预测计算中应用不多，但是计算污染物在大气湍 流扩散中的浓度分布应用较多。

用 公 式 e x p


2 ( y u yt ) 2 ( x u xt ) × e x p 4 D yt 4 D xt
反映由于介质在纵向和横向流动和弥
散造成的浓度随时间的变化。 同 样 用 e x p ( K t ) 反 映 由 于 污 染 物 降 解 造 成 的 浓 度 随 时 间 变 化 。 综合以上分析，可以得到瞬时投放的二维模型解析解：
相 应 地 对 面积 A）的影响，因为纵向的影响已经包括在后面的比例因子中。所以在二 原来的模型， 掉虚源 2 造成的浓度影响项 去 边界源
2 ( x u t ) 2 维扩散中，在该比例因子中考虑垂向（水深 h）的影响，横向和纵向扩散的 ( B y u yt ) x 。 同 时 ， 令 B = 0 (虚 源 和 实 源 在 exp 影响，包括在后面的比例因子中。 4 D xt 4 D yt
2
x
2
+
Dy
C
2
y
2
－
ux
C x
－
uy
C y
－ KC=0
一 般 情 况 下 纵 向（x 方 向 ）推 流 迁 移 远 远 大 于 弥 散 作 用 ，而 在 横 向（y 方 向 ）弥 散 作 用 又 远 远 大 于 推 流 迁 移 ， 所 以 可 以 忽 略 D x 和 u y：
Dy C
2、中心投放-边界有限 如果污染物扩散在横向的扩散空间是有限的，则边界 要反射。结果是造成环境介质中污染物浓度的增加。 这种反射作用可以用虚拟的点源来考虑。把边界作为 一个理想的反射镜面，在实源的对称位置设立一个源强
与实源相等的虚源。虚源的设立可以把由于边界反射作
用造成环境介质中污染物浓度的增加考虑进模型中。
2 y e x p ( K t ) e x p 4D t h x 4 D y t y
Qt

将 t = x / u x， u x= △ x / △ t 代 入 上 式 得 到 ： C ( x , y ) =
M
虚源 2
B /2 · x ,y ） （
实源
B
x
虚源 2 造成的浓度为： C 2 (x, y,t) M 4 h
( x u t ) 2 ( B y u yt ) 2 x e x p ( K t ) exp 4 D xt 4 D yt DxD y t
M
这就是中心投放边界有限时的解析解。
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一、非稳定源二维模型解析解
3、边界投放-边界无限
根据物质平衡原理， 流场中污染物浓度 C(x,t)和瞬时投放污染物量 M 成正比。 边 界 投 放 情 况 下 ，最 多 只 有 一 个 边 界 反 射 。在 另 一 边 仿 照 一维 模 型的 动态 比 例系 数 ，可 确定 二 维模 型的 动 态比 例系数 ： 用
第六讲：流体基本模型解析 解——二维、稳定源
1、非稳定源二维模型解析解 （比照一 维解析解的形式） 2、基本模型稳定源解析解 3、解析解的MATLAB实现方法
2 t t
=
xC0 2 D x t t u xC 0
exp(
uxt 4Dx
2

x
2

ux 2Dx
) e x p ( K t )
2
y
2
－
ux
C x
－ KC=0
该 方 程 可 以 用 傅 立 叶 变 换 （ 或 Laplace 变 换 ） 求 解 ， 也 可 用 一 种 简 便 方 法 求 解 :
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三、稳定源的解析解
3．二维模型：中心投放，无边界
设 污 染 源 为 点 源 ， 单 位 时 间 内 释 放 的 污 染 物 质 量 为 Q（ 即 为 源 强 ， g/s） 将 。 介 质 的 流 动 看 作 是 一 系 列 平 行 条 块 组 成 ，这 些 条 块 以 速 度 u 通 过 点 源 时 ，接 纳 扩 散 质 团 质 量 为 Q △ t ， 而 △ t = △ x / u x， 为 该 条 块 通 过 点 源 的 时 间 。 按 瞬 时 源 一 维 扩 散 (在 y 方 向 )的 浓 度 分 布 模 型 可 写 出 该 条 块 运 行 t 时 刻 后 的 浓 度 分 布 为 : C(y,t)=
C ( x , y ,t ) M 4 h ( x u xt ) e x p 4 D xt DxD yt
2 2 第六讲/27 ( y u y t ) × e x p 4 D yt
× e xp ( K t )
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一、非稳定源二维模型解析解
e x p ( K t )
根 据 物 质 平 衡 原 理 ， 场 中 污 染 物 浓 度 C (x ,t)和 瞬 时 投 放 污 染 物 量 M 成 正 比 。 流 仿 照 一维 模 型的 动态 比 例系 数 ，可确定 二 维模 型的 动 态比 例系数 ： 用
1 h 4 D x t 4 D y t 1 h 4 D x D yt


三、稳定源的解析解
1．零维模型的稳态解
稳态条件下的零维模型（ 所以得：
QC0 Q KV C0 1 V Q K dC dt C C0 1 TK
=0） ：
Q C0 Q C kC V
=0
式 中 T=Q/V 称 为 理 论 停 留 时 间 。
如果一个河流系列中考虑多个完全混合单元，并假设河水流过各个混合单元的 时 间 相 同 ， 则 上 述 解 可 变 形 得 ： C1
Байду номын сангаас
反映水深和弥散系数不同造成浓度随时间的变化。

在 一 维 纵 向 扩 散 中 ，考 虑 了 横 向（ 宽 度 B） 和 垂 向 （ 深 度 h） 其 乘 积 为 横 截 （ 面 积 A）的 影 响 ，因 为 纵 向 的 影 响 已 经 包 括 在 后 面 的 比 例 因 子 中 。所 以 在 二 维 扩 散 中 ， 在 该 比 例 因 子 中 考 虑 垂 向 （ 水 深 h） 的 影 响 ， 横 向 和 纵 向 扩 散 的 影响，包括在后面的比例因子中。
y