2013年安徽省普通高中学业水平测试纲要-数学
【纯Word版含答案】2013年普通高等学校招生统一考试——理科数学(安徽卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若z +2=2z zi ，则z =（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112（3）在下列命题中，不是．．公理的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x （C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和（8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3（9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是（A）（B ） （C ）（D ）（10）若函数3()=+ax+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）62013普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(安徽卷,含答案)
π
2
(ρ ∈ R)和ρ cos=2
θ =0(ρ ∈ R )和ρ cos=1
可找到 n(n ≥ 2)
8 函数 y =f (x ) 的 个
如 所示，在区间 [ a,b ]
的数 x1 ,x2 ...,xn , 使得 A C 9
f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取值范围是 x1 x2 xn
86,94,88,92,90，五 女生的成绩
这种抽样方法是一种 层抽样 这种抽样方法是一种系统抽样 这五 男生成绩的方差大于这五 女生成绩的方差 该班级男生成绩的 均数小于该班女生成绩的 均数
6 已知一元 次 等式 f (x )<0 的解集 A C
{ x |x <-1或x >
1 2
} ，则 f (10 x )>0 的解集
π
(ϖ > 0) 的最小 周期 π 4
讨论 f ( x ) 在区间 [ 0, 2] 17 本小题满 12
的单调性
设函数 f ( x ) = ax − (1 + a 2 ) x 2 ，其中 a > 0 ，区间 I =| x f (x)>0 求的长度 注 区间 (α , β ) 的长度定
在点 C ，使得 ∠ABC
别在角 O 的两条边 ，所有
An Bn 相互 行，且所有梯形 An Bn Bn +1 An +1 的面积均相等 设 OAn = an . 若 a1 = 1, a2 = 2, 则数
列 {an } 的通项 式是____________ 15 如 ， 方体 ABCD − A1 B1C1 D1 的棱长 过点 A,P,Q 的 面截该 方体所得的截面记 确命题的编号 当 0 < CQ < 当 CQ = 1，P 分 则 BC 的中点，Q 线段 CC1 的动点，
2013年安徽高考数学(文)
开始结束2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设i 是虚数单位，若复数()103ia a -∈-R 是纯虚数，则a 的值为（ ）. A. 3- B. 1- C. 1 D. 3分析 先利用复数的运算法则将复数化为()i ,x y x y +∈R 的形式，再由纯虚数的定义求a . 解析 因为()()()()()103i 103i 103i 3i 3i 3i 10a a a a ++-=-=-=----+，由纯虚数的定义， 知30a -=，所以3a =.故选D.2. 已知{}1>0A x x =+，{}2101B =--，，，，则()A B =R（ ）.A. {}21--，B. {}2-C. {}101-，，D. {}01， 分析 解不等式求出集合A ，进而得AR，再由集合交集的定义求解.解析 因为集合{}1A x x =-，所以{}1A x x =-R≤，则(){}1A B x x =-R≤{}{}2,1,02,1--=--.故选A.3. 如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）.A. 34 B. 16 C. 1112D.2524分析 利用框图的条件结构和循环结构求解. 解析0s =，2n =，28<，11022s =+=； 224n =+=，48<，113244s =+=；426n =+=，68<，31114612s =+=；628n =+=，88<，不成立，输出s 的值为1112.故选C. 4. “()210x x -=”是“0x =”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件分析 先解一元二次方程()210x x -=，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 解析 当0x =时，显然()210x x -=；当()210x x -=时，0x =或12x =， 所以“()210x x -=”是“0x =”的必要不充分条件.故选B.5. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）.A.23 B. 25 C. 35 D. 910分析 解决本题的关键是求出甲或乙被录用的可能结果种数，直接求解情况较多，可间接求解，再用古典概型求概率.解析 由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙）， （甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，乙，戊），（乙，丙，丁）， （丁，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不 同的可能结果只有（丙，丁，戊）这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所以概率910P =.故选D. 6.直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ）.A. 1B. 2C. 4D.分析 先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再在圆中构造直角三角形，利用勾股定理求弦长. 解析 圆的方程可化为()()22:125C x y -+-=，其圆心为()1,2C，半径R =如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP AB ⊥，圆心C 到直线AB 的距离1d CP ===.在Rt ACP △中，2AP ==，故直线被圆截得的弦长4AB =.故选C.7. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =（ ）.A. 6-B. 4-C. 2-D. 2分析 借助等差数列前n 项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到9a 的值. 解析 由等差数列性质及前n 项和公式，得()18882a aS +=()36344a a a =+=，所以60a =.又72a =-，所以公差2d =-，所以9726a a d =+=-.故选A.CP BA8. 函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ，上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ，，，，使得()()()1212n nf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围是（ ）. A. {}23， B. {}234，， C. {}34， D. {}345，， 分析 利用()f x x的几何意义，将所求转化为直线与曲线的交点个数问题并利用数形结合求解. 解析 由题意，函数()y f x =上的任一点坐标为()(),x f x ，故()f x x表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率，若11()f x x 22()()n nf x f x x x ===，则曲线上存在n 个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线()y f x =有n 个交点，如图所示，数形结合可得n 的取值可为2,3,4.故选B.9. 设ABC △的内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，，若2sin 5sin b c a A B +==，3，则角C =（ ）. A.π3 B. 2π3 C. 3π4 D. 5π6分析 利用正弦定理，余弦定理求解.解析 由3sin 5sin A B =，得35a b =，又因为2b c a +=，所以53a b =，73c b =，所以222cos 2a b c C ab +-=222571335223b b b b b⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⨯⨯.因为()0,πC ∈，所以2π3C =.故选B. 10. 已知函数()32f x x ax bx c =+++有两个极值点12x x ，，若()112f x x x =<，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 6分析 先求给定函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出()1f x x =或()2f x x =，再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.解析 因为()232f x x ax b '=++，函数()f x 的两个极值点为12,x x ，则()10f x '=，()20f x '=，所以1x ，2x 是方程2320x ax b ++=的两根，所以解关于x 的方程3()()()2320f x af x b ++=，得()1f x x =或()2f x x =.由上述可知函数()f x 在区间()()12,,,x x -∞+∞上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，又()11f x x=2x ，如图所示，由数形结合可知()1f x x =时有两个不同实根，()2f x x =有一个实根，所以不同实根 的个数为3.故选A.第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.ww 11.函数1ln 1y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的定义域为 . 分析 列出函数有意义的限制条件，解出不等式组.解析 要使函数有意义，需2110,10,xx ⎧+⎪⎨⎪-⎩≥即210,1,x x x +⎧⎪⎨⎪⎩≤即10,11,x x x -⎧⎨⎩≤≤或即11,x x x -⎧⎨⎩≤或解得01,x ≤所以定义域为(]0,1.12. 若非负数变量x y ，满足约束条件124x y x y --⎧⎨+⎩≥≤，则x y +的最大值为 .分析 先画出可行域，再画出目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的最优解， 代入即可得所求.解析 根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x ，y 非负，得可行域为如图所示的阴影部分 （包括边界），作直线,y x =-并向上平移，数形结合可知，当直线过点，()4,0A 时，x y +取得最大值，最大值为4.13. 若非零向量a b ，满足32==+a b a b ，则a 与b 夹角的余弦值为 .解析 由2,=+a a b 两边平方，得()22224,=+=+⋅a a b a a b所以2⋅=-a b b .又3,=a b 所以cos ,a b 22133-⋅===-b a b a b b 14. 定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=.若当01x ≤≤时，()()1f x x x =-，则当10x -≤≤时，()f x = .分析 由于当01x ≤≤时解析式已知，且已知()()12,f x f x +=可设10,x -≤≤Q1D A E（1）ABCDA 1D 1C 1B 1P QQPB 1C 1D 1A 1DCBA（2）则011,x +≤≤整体代入求解.解析 设10,x -≤≤则011,x +≤≤所以()()()()11111f x x x x x +=+-+=-+⎡⎤⎣⎦. 又因为()()12,f x f x +=所以()()()1122f x x x f x ++==-. 15. 如图所示，正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） ①当10<<2CQ 时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =④当3<<14CQ 时，S 为六边形⑤当1CQ =时，S 的面积为2解析 利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. ①当102CQ <<时，如图（1）所示，在平面11AA D D 内，作PQ AE ∥，显然E 在棱1DD 上， 连接EQ ，则S 是四边形APQE . ②当12CQ =时，如图（2）所示，显然11,BC AD PQ ∥∥连接1D Q ，则S 是等腰梯形.③当34CQ =时，如图（3）所示，作PQ BF ∥交1CC 的延长线于点F ，则112C F =， 作AE BF ∥交1DD 的延长线于点E ，则112D E =，PQ AE ∥，连接EQ 交11C D 于点R ，由于11Rt Rt RC Q RD E △∽△，所以1111::1:2C Q D E C R RD ==，所以113C R =.1（3）E（4）1(Q )④当314CQ <<时，如图（3）所示，连接RM （点M 为AE 与11A D 交点），显然S 为五边形APQRM ；⑤当1CQ =时，如图（4）所示，同③可作AE PQ ∥交1DD 的延长线于点E ，交11A D 于点M ， 显然点M 为11A D 的中点，所以S 为菱形APQM ，其面积为12MP AQ ⨯=122=. 综上，正确的命题序号是①②③⑤.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题共12分） 设函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样变化得到.分析（1）先逆用两角和正弦公式把()f x 化成关于一个角的三角函数，再利用正弦函数性质计算（2）利用三角函数图像的变换规律求解. 解析 （1）因为()1sin sin 22f x x x x =++3sin 26x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 所以当()26x k k ππ+=π-∈2Z，即()223x k k π=π-∈Z 时，()f x 取得最小值. 此时x 的取值集合为22,3x x k k ⎧π⎫=π-∈⎨⎬⎩⎭Z . （2）先将sin y x =倍（横坐标不变），得y x =的图像；再将y x =的图像上所有的点向左平移π6个单位，得()y f x =的图像.ADCEEP17. （本小题共12分） 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲 乙7 4 55 3 3 2 5 3 3 85 5 4 3 3 3 1 0 06 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 07 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 28 1 1 5 5 8 2 09 0（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）； （2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12x x ，，估计12x x -的值. 分析（1）由样本数除以所占的比例得总体n ，计算样本中的及格率，利用样本估计总体；（2）阅读茎叶图，代入平均数公式计算可解. 解析（1）设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知300.05n=，解得600n =. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校三年级这次联考教学成绩的及格率为551306-=.（2）设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '.根据样本茎叶图可知 ()1212303030x x x x ''''-=-()()()7555814241265=-++-+--+()()262479222092--+-+249537729215=+--++=.因此120.5x x ''-=.故12x x ''-的估计值为0.5分. 18. （本小题共12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=. 已知2PB PD ==，PA =（1）证明：PC BD ⊥；（2）若E 为PA 的中点，求三棱锥P BCE -的体积.分析（1）连接AC ，与BD 交于点O ，由PB PD =以及底面为菱形的条件，线面垂直的判定定理可证BD APC ⊥平面，从而可证；（2）利用四面体的等积变换，转化为以B 为顶点的三棱锥，进而判断三棱锥-P BCE 的体积是三棱锥-B APC 的体积的一半，代入公式计算. 解析（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接PO .因为底面ABCD 是菱形，所以,AC BD BO DO ⊥=.由PB PD =知，PO BD ⊥.又因为PO AC O =，所以BD APC ⊥平面，因此BD PC ⊥. （2）因为E 是PA 的中点，所以----1122P BCEC PEB C PAB B APCVVV V===锥锥锥锥三棱三棱三棱三棱. 由2PB PD AB AD ====知，ABD PBD △. 因为60BAD ∠=︒，所以PO AO AC ===1BO =.又PA =222PO AO PA +=，所以PO AC ⊥，故132APC S PO AC =⋅=△. 由（1）知，BO APC ⊥平面，因此--12P BCE B APCV V =锥锥三棱三棱111232APCBO S =⋅⋅⋅=△. 19. （本小题共13分）设数列{}n a 满足12428a a a =+=，，且对任意*n ∈N ，函数()()1212cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++-满足π02'f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求数列{}x a 的通项公式；； （2）若122nn n a b a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S . 分析（1）求导，代入0f π⎛⎫'=⎪2⎝⎭，并对所得式子进行变形，从而证明数列是等差数列，再由题目条件求基本量，得通项公式.（2）将n a 代入化简，利用分组求和法，结合等差、等比数列的前n 项和公式计算.解析（1）由题设可得()1212sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+--. 对任意*n ∈N ，1210nn n n f a a a a +++π⎛⎫'=-+-=⎪2⎝⎭，即121n nn n a a a a +++-=-，故{}n a 为等差数列.由12a =，248a a +=，可得数列{}n a 的公差1d =，所以()2111n a n n =+⋅-=+. （2）由122n n nb a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭111212222n nn n +⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭知，12nnS b b b =+++OD EABCP()111221221212nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦=+⋅+-21312nn n =++-. 20. （本小题共13分）设函数()()221f x ax a x =-+，其中>0a ，区间(){}>0I x f x =. （1）求I 的长度（注：区间()αβ，的长度定义为βα-）； （2）给定常数()01k ∈，，当11k a k -+≤≤时，求I 长度的最小值.分析 利用一元二次方程和一元二次不等式的关系，先求出解集，构造函数，利用导数求解函数的单调性和最值. 解析 （1）因为方程有两个实根10x =，221ax a =+，故()0f x >的解集为{}12x x x x <<，因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，区间I 的长度为21a a +. （2）设2d()1aa a =+，则()()2221d'()01a a a a -=>+.令 d'()0a =得1a =.由于01k <<，故 当11k a -<时，d'()0a >，d()a 单调递增；当11a k <+时，d'()0a <，d()a 单调递减. 所以当11k a k -+时，d()a 的最小值必定在1a k =-或1a k =+处取得.而d(1)d(1)k k -=+2211(1)11(1)kk k k -+-=+++2323212k k k k --<-+，故d(1)d(1)k k -<+.因此当1a k =-时d()a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k--+. 21. （本小题共13分）已知椭圆()2222:1>>0x y C a b a b+=的焦距为4，且过点P.（1）求椭圆C 的方程；（2）设()()00000Q x y x y ≠，为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点(0A ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.分析 （1）由于焦矩已知，可将原方程中的参数用一个量来表示，并把点P 坐标代入求解. （2）由点Q 坐标得点E 坐标，再确定点D 的坐标，从而可得点G 坐标，于是写出直线QG的方程，与椭圆方程联立，看是否有唯一的解.解析（1）因为焦矩为4，所以224a b -=.又因为椭圆C过点P,所以22231a b+=. 故228,4a b ==,从而椭圆C 的方程为22184x y+=.（2）一定有唯一的公共点. 理由：由题意知，点E 坐标为()0,0x .设(),0D D x，则(0,AE x =-，(,D AD x =-.再由AD AE ⊥知，0AE AD ⋅=，即080D x x +=.由于000x y ≠，故08D x x=-. 因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫⎪⎝⎭.故直线QG 的斜率 002088QGyx yk x x x==--.又因为点()00,Q x y 在椭圆C 上，所以2228x y +=. ① 从而002QG x k y=-. 故直线QG 的方程为0082x y x y x⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ② 将②代入椭圆C 的方程，代简，得()222221664160xy x x x y +-+-=. ③再将①代入③，代简得220020x x x x -+=.解得0x x =，则0y y =，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)-理科数学
安徽理科本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．,．在试题卷、草稿纸上答题无效4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.参考公式:如果事件A与B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013安徽,理1)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若z·i+2=2z,则z=().A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:A解析:设z=a+b i(a,b∈R),则由z·i+2=2z得(a+b i)(a-b i)i+2=2(a+b i),即(a2+b2)i+2=2a+2b i,所以2a=2,a2+b2=2b,所以a=1,b=1,即z=a+b i=1+i.2.(2013安徽,理2)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是().A. B. C. D.答案:D解析:开始2<8,s=0+,n=2+2=4;返回,4<8,s=,n=4+2=6;返回,6<8,s=,n=6+2=8;返回,8<8不成立,输出s=.3.(2013安徽,理3)在下列命题中,不是．．公理的是().A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案:A解析:由立体几何基本知识知,B选项为公理2,C选项为公理1,D选项为公理3,A选项不是公理.4.(2013安徽,理4)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:函数f(x)的图象有以下三种情形:a=0a>0a<0由图象可知f(x)在区间(0,+∞)内单调递增时,a≤0,故选C.5.(2013安徽,理5)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是().A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案:C解析:五名男生成绩的平均数为(86+94+88+92+90)=90,五名女生成绩的平均数为(88+93+93+88+93)=91,五名男生成绩的方差为==8,五名女生成绩的方差为=--=6,所以,故选C.6.(2013安徽,理6)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为-或,则f(10x)>0的解集为().A.{x|x<-1或x>-lg2}B.{x|-1<x<-lg2}C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}答案:D解析:由题意知-1<10x<,所以x<lg=-lg2,故选D.7.(2013安徽,理7)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为().A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1答案:B解析:由题意可知,圆ρ=2cosθ可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2,故选B.8.(2013安徽,理8)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,x n,使得=…=,则n的取值范围是().A.{3,4}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}答案:B解析:=…=可化为----=…=--,故上式可理解为y=f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等,即n可看成过原点的直线与y=f(x)的交点个数.如图所示,由数形结合知识可得,①为n=2,②为n=3,③为n=4.9.(2013安徽,理9)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||==2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是().A.2B.2C.4D.4答案:D解析:以为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使A,B两点关于x轴对称,由已知||=||=·=2,可得出∠AOB=60°,点A(,1),点B(,-1),点D(2,0).现设P(x,y),则由=λ+μ得(x,y)=λ(,1)+μ(,-1),即-由于|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R,可得--画出动点P(x,y)满足的可行域为如图阴影部分,故所求区域的面积为2×2=4.10.(2013安徽,理10)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是().A.3B.4C.5D.6答案:A解析:由f'(x)=3x2+2ax+b=0得,x=x1或x=x2,即3(f(x))2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x)=x2的解.如图所示,x1<x2x2<x1由图象可知f(x)=x1有2个解,f(x)=x2有1个解,因此3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答,在试题卷上答题无效．．．．．．．．．.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2013安徽,理11)若的展开式中x4的系数为7,则实数a=.答案:解析:∵的通项为x8-r a r(-)r=a r x8-r-a r--,∴8-r-=4,解得r=3.∴a3=7,得a=.12.(2013安徽,理12)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.答案:π解析:∵3sin A=5sin B,∴3a=5b.①又∵b+c=2a,②∴由①②可得,a=b,c=b,∴cos C=--=-,∴C=π.13.(2013安徽,理13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a 的取值范围为.答案:[1,+∞)解析:如图,设C(x0,)(≠a),A(-,a),B(,a),则=(--x0,a-),=(-x0,a-).∵CA⊥CB,∴·=0,即-(a-)+(a-)2=0,(a-)(-1+a-)=0,∴=a-1≥0,∴a≥1.14.(2013安徽,理14)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是.答案:a n=-解析:设=S,∵a1=1,a2=2,OA n=a n,∴OA1=1,OA2=2.又易知△OA1B1∽△OA2B2,∴.∴梯形=3=3S.∵所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等,且△OA1B1∽△OA n B n,∴--.∴-,a n=-.15.(2013安徽,理15)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当<CQ<1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为答案:①②③⑤解析:当CQ=时,D1Q2=D1+C1Q2=,AP2=AB2+BP2=,所以D1Q=AP,又因为AD1∥2PQ,所以②正确;当0<CQ<时,截面为APQM,且为四边形,故①也正确,如图(1)所示;图(1)如图(2),当CQ=时,由△QCN∽△QC1R得,即,C1R=,故③正确;图(2)如图(3)所示,当<CQ<1时,截面为五边形APQMF,所以④错误;当CQ=1时,截面为APC1E,图(3),故⑤正确.可知AC1=,EP=,且四边形APC1E为菱形,四边形三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(2013安徽,理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解:(1)f(x)=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有=π,故ω=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin.若0≤x≤,则≤2x+.当≤2x+,即0≤x≤时,f(x)单调递增;当≤2x+,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.17.(2013安徽,理17)(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=, 故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}.因此区间I=,I的长度为.(2)设d(a)=,则d'(a)=-.令d'(a)=0,得a=1.由于0<k<1,故当1-k≤a<1时,d'(a)>0,d(a)单调递增;当1<a≤1+k时,d'(a)<0,d(a)单调递减.所以当1-k≤a≤1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而------<1,故d(1-k)<d(1+k).因此当a=1-k时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值--.18.(2013安徽,理18)(本小题满分12分)设椭圆E:-=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.解:(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=-.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率,直线F2P的斜率-,故直线F2P的方程为y=-(x-c).当x=0时,y=-,即点Q坐标为-.因此,直线F1Q的斜率为-.由于F1P⊥F1Q,所以··-=-1.化简得-(2a2-1).①将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.19.(2013安徽,理19)(本小题满分13分)如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;(2)求cos∠COD.(1)证明:设面PAB与面PCD的交线为l.因为AB∥CD,AB不在面PCD内,所以AB∥面PCD.又因为AB⊂面PAB,面PAB与面PCD的交线为l,所以AB∥l.由直线AB在底面上而l在底面外可知,l与底面平行.(2)解:设CD的中点为F.连接OF,PF.由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD.因为OP⊥底面,CD⊂底面,所以OP⊥CD.又OP∩OF=O,故CD⊥面OPF.又CD⊂面PCD,因此面OPF⊥面PCD.从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF,故∠OPF为OP与面PCD所成的角.由题设,∠OPF=60°.设OP=h,则OF=OP·tan∠OPF=h·tan60°=h.根据题设有∠OCP=22.5°,得OC=.由1=tan45°=-和tan22.5°>0,可解得tan22.5°=-1,因此OC=-=(+1)h.在Rt△OCF中,cos∠COF=,故cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos2∠COF-1=2()2-1=17-12.20.(2013安徽,理20)(本小题满分13分)设函数f n(x)=-1+x++…+(x∈R,n∈N*).证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0;(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<.证明:(1)对每个n∈N*,当x>0时,f'n(x)=1++…+->0,故f n(x)在(0,+∞)内单调递增.由于f1(1)=0,当n≥2时,f n(1)=+…+>0,故f n(1)≥0.又f n=-1+≤-=-·---=-·-<0,所以存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0.(2)当x>0时,f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,x n+1<x n,故{x n}为单调递减数列,从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.对任意p∈N*,由于f n(x n)=-1+x n++…+=0,①f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…++…+=0.②①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,得x n-x n+p=-≤-.因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.21.(2013安徽,理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责.已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;(2)求使P (X=m )取得最大值的整数m.解:(1)因为事件A :“学生甲收到李老师所发信息”与事件B :“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件,所以 与 相互独立.由于P (A )=P (B )=- -,故P ( )=P ( )=1-,因此学生甲收到活动通知信息的概率P=1---.(2)当k=n 时,m 只能取n ,有P (X=m )=P (X=n )=1.当k<n 时,整数m 满足k ≤m ≤t ,其中t 是2k 和n 中的较小者.由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为( )2.当X=m 时,同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k-m.仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m-k.由乘法计数原理知:事件{X=m }所含基本事件数为- --- - -.此时P (X=m )=- - -- --. 当k ≤m<t 时,P (X=m )≤P (X=m+1)⇔ - --- - -⇔(m-k+1)2≤(n-m )(2k-m )⇔m ≤2k-. 假如k ≤2k-<t 成立,则当(k+1)2能被n+2整除时, k ≤2k- <2k+1-≤t.故P (X=m )在m=2k- 和m=2k+1-处达最大值;当(k+1)2不能被n+2整除时, P (X=m )在m=2k-处达最大值.(注:[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2k-<t. 因为1≤k<n ,所以2k- -k= - -- --≥0. 而2k- -n=- -<0,故2k-<n. 显然2k-<2k. 因此k ≤2k-<t.。
2013年安徽理科数学
2013年安徽理科数学
2013年安徽省高中理科数学考试试题共分为两部分，第一部分为选择题，共10题，每题5分，考察内容包括代数与数学分析、几何与三角函数、数学思维等方面；第二部分为非选择题，共8题，每题10分，考察内容主要为函数、解析几何、向量、数列与数学归纳法等方面。
其中第一部分选择题较为简单，考察基础知识和常规解法，但第二部分非选择题难度较大，需要学生们具备较高的思维能力和解题水平。
例如第一题要求推导函数的特殊值，需要考生们灵活运用函数的基本概念和公式推导；第二题要求求解二元一次方程组，需要考生们掌握解方程的方法和技巧；第五题要求证明等比数列的性质，需要考生们具备比较强的证明能力。
整体来说，2013年安徽省高中理科数学考试难度适中，但要想得高分，还需要考生们加强对知识点的掌握和巩固，提高解题能力和思考能力。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年安徽，文1，5分】设i 是虚数单位，若复数10()3ia a R -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ）（A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3 【答案】D【解析】()()()()()()()2103i 103i 103i 103i 3i 3i 3i 3i 9i 10a a a a a a +++-=-=-=-=-+=----+-，所以3a =，故选D ． 【点评】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题．（2）【2013年安徽，文2，5分】知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B =I （ ）（A ）{}2,1--（B ）{}2-（C ）{}1,0,1-（D ）{}0,1【答案】A【解析】1x >-，{|1}R C A x x =≤-，(){1,2}R C A B =--I ，故选A ．【点评】考查集合的交集和补集，属于简单题． （3）【2013年安徽，文3，5分】如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）（A ）34 （B ）16 （C ）1112 （D ）2524【答案】C【解析】112,0,022n s s ===+=；11134,,2244n s s ===+=；331116,,44612n s s ===+=；118,12n s ==，输出，故选C ．【点评】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题． （4）【2013年安徽，文4，5分】“(21)0x x -=”是“0x =”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】1(21)0,02x x x -==或，故选B ．【点评】考查充分条件和必要条件，属于简单题． （5）【2013年安徽，文5，5分】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）（A ）23 （B ）25 （C ）35 （D ）910【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110p ++==，故选D ．【点评】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题．（6）【2013年安徽，文6，5分】直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d ，半径r =，所以弦长为4=，故选C ．【点评】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题． （7）【2013年安徽，文7，5分】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ） （A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 【答案】A【解析】188333638()442a a S a a a a a +=⇒=⇒+=，60a ∴=，2d =-，9726a a d =+=-，故选A ．【点评】考查等差数列通项公式和前n 项公式的应用，以及数列基本量的求解． （8）【2013年安徽，文8，5分】函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x L ，使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L ，则n 的取值范围为（ ） （A ）{}2,3 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4 （D ）{}3,4,5【答案】B【解析】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率；1212()()()n n f x f x f x x x x ===L 表示 1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x L ，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x L ，，，在曲线图像 上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B ．【点评】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识． （9）【2013年安徽，文9，5分】设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =（ ）（A ）3π （B ）23π （C ）34π （D ）56π【答案】B【解析】3sin 5sin A B =Q 由正弦定理，所以535,3a b a b ==即；因为2b c a +=，所以73c a =，2221cos 22a b c C ab +-==-，所以23C π=，故选B ． 【点评】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度． （10）【2013年安徽，文10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（ ）（A ）23π （B ）3π （C ）6π （D ）0【答案】A【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=， 则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下： 如图则有3个交点，故选A ．【点评】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2013年安徽，文11，5分】函数21ln(1)1y x x=++-的定义域为 ．【答案】(]0,1【解析】2110011011x x xx x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或，求交集之后得x 的取值范围(]0,1． 【点评】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0．（12）【2013年安徽，文12，5分】若非负数变量,x y 满足约束条件124x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩，则x y +的最大值为 ．【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404z x y =+=+=，取得最大值．【点评】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z 取最大．（13）【2013年安徽，文13，5分】若非零向量,a b r r 满足32a b a b ==+r r r r ，则,a b r r夹角的余弦值为 ．【答案】13-【解析】等式平方得：2222944a b a b a b ==++⋅r r r r r r 则22244||||cos a a b a b θ=++⋅r r r u r r ，即220443||cos b b θ=+⋅r r ， 得1cos 3θ=-．【点评】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简． （14）【2013年安徽，文14，5分】定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=．若当01x ≤≤时．()(1)f x x x =-，则当10x -≤≤时，()f x = ．【答案】(1)2x x +-【解析】当10x -≤≤，则011x ≤+≤，故(1)(1)(11)(1)f x x x x x +=+--=-+，又(1)2()f x f x +=，所以(1)()2x x f x +=-．【点评】考查抽象函数解析式的求解． （15）【2013年安徽，文15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S 的面积为62．【答案】①②③⑤【解析】（1）12CQ =，S 等腰梯形，②正确，图（1）如下；（2）1CQ =，S 是菱形，面积为36222⋅=，⑤ 正确，图（2）如下；（3）34CQ =，画图（3）如下：113C R =，③正确；（4）314CQ <<，如图（4）是五边形，④不正确；（5）102CQ <<，如下图（5），是四边形，故①正确．图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5）【点评】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，文16，12分】设函数()sin sin()3f x x x π=++．（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到． 解：（1）()sin sin coscos sin33f x x x x ππ=++1333sin sin cos sin cos 22x x x x x =++=+2233()()sin()3sin()2266x x ππ=++=+，当sin()16x π+=-时，min ()3f x =-，此时3262x k πππ+=+，42,()3x k k Z ππ∴=+∈，所以，()f x 的最小值为3-，此时x 的集合4{|2,}3x x k k Z ππ=+∈．（2）sin y x =横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得3sin y x =； 然后3sin y x =向左平移6π个单位， 得()3sin()6f x x π=+．【点评】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换．考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度．（17）【2013年安徽，文17，12分】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，甲 乙 7 5 3 3 2 5 5 4 3 3 3 1 0 0 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 5 4 4 2 2 0 4 5 6 7 8 9 53 3 80 6 9 1 1 2 2 3 3 5 0 0 2 2 2 3 3 6 6 91 1 5 5 8（1）次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）； （2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值．解：（1）设甲校高三年级学生总人数为n ．由题意知，300.05n=，即600n =．样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5．据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为551306-=．（2）设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '．根据样本茎叶图可知，()()()()()()12123030307555814241265262479222092x x x x '-'='-'=-++-+--+--+-+249537729215=+--++=．因此120.5x x '-'=．故12x x -的估计值为0.5分．【点评】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力． （18）【2013年安徽，文18，12分】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=o ．已知2,6PB PD PA ===． （1）证明：PC BD ⊥；（2）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积． 解：（1）连接AC ，交BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BO DO =．由PB PD =知，PO BD ⊥．再由PO AC O =I 知，BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥．（2）因为E 是PA 的中点，所以1122P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----===．由2PB PD AB AD ====知，ABD PBD ∆∆≌．因为60BAD ∠=︒，所以3PO AO ==， 23AC =，1BO =．又6PA =，222PO AO PA +=，即PO AC ⊥，故1·32APC S PO AC ∆==．由（1）知，BO ⊥面APC ，因此1111 (2232)P BCE B APC APC V V BO S --∆===．【点评】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力．（19）【2013年安徽，文19，13分】设数列{}n a 满足12a =，248a a +=，且对任意*n N ∈，函数1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅满足'()02f π=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若122nn n a b a =+（），求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解：（1）由12a =，248a a +=，1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅，1212sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅（），121'()02n n n n f a a a a π+++=-+-=， 所以122n n n a a a ++=+ {}n a ∴是等差数列．而12a =，34a =，1d =，2-111n a n n ∴=+⋅=+（）． （2）111122121222nn n a n n b a n n +=+=++=++（）（）（）， 21112211122=3131122212n n n n n n S n n n n ++=+++-=++--（-）（）（）．【点评】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解．并考查逻辑推理能力和运算能力．（20）【2013年安徽，文20，13分】设函数22()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间{}|()0I x f x =>． （1）求I 的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-；（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：（1）因为方程22100()()ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a =+，故()0f x >的解集为12{|}x x x x <<， 因此区间20,1a a I ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=，区间长度为21a a +． （2）设()21d a aa =+，则()22211a a a d -(+')=，令()0d a '=，得1a =．由于01k <<，当11k a -≤<时，()0d a '>，()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．因此当11k a k -≤≤+时，()d a 的最 小值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211<111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==+(+)-++(+)，故()1)1(d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间1,]1[k k -+上取得最小值2122kk k --+．【点评】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．（21）【2013年安徽，文21，13分】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E．取点A ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线 QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．解：（1）因为焦距为4，所以224a b -=．又因为椭圆C过点P ，所以22231a b+=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）由题意，E 点坐标为()00,x ．设(),0D D x，则(0,AE x =-u u u r，(,D AD x =-u u u r．再由AD AE ⊥知，0AE AD ⋅=u u u r u u u r ，即080D x x +=．由于000x y ≠，故08D x x =-．因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线QG 的斜率000200088QG y x y x x k x ==--． 又因00()Q x y ，在C 上，所以220028x y +=①从而002QG x k y -=．故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭②将②代入C 方程，得22220000216640(1)6x y x x x y +-+-=．③再将①代入③，化简得220020x x x x -+=． 解得0x x =，0y y =，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．【点评】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力．。
2013年安徽省普通高中学业水平测试
2013年安徽省普通高中学业水平测试语文本试卷分为第1卷和第1I卷两部分。
第1卷为选择题，共4页；第II卷为综合题，共4页。
全卷共七大题，19小题，满分为100分。
考试时间为120分钟。
第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答题前，请先将自己的姓名、座位号用钢笔或圆珠笔填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡规定的位置将自己的座位号、考试科目涂黑。
考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上与该题对应的答案标号涂黑，方为有效。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
请注意保持答题卡整洁，不能折叠。
3．第1卷共13小题，每小题均有4个选项，其中只有1个选项符合题目要求，错选、多选不得分。
一、（12分）1．下列词语中，没有．．错别字的一组是（3分）A．荟萃高架桥别出心裁B．诀巧合家欢前工尽弃C．磋商天燃气多姿多采D．详和满堂红心弛神往2．下列句中加点的成语，使用恰当的一句是（3分）A．杨绛女士郑重发表声明，反对拍卖钱钟书的私人信件，但拍卖行置若罔闻．．．．。
B．中国电影获本届戛纳电影节最佳剧本奖的消息，被各大媒体炒得满城风雨．．．．。
C．桑丘这个角色黠中有憨，粗中有细，尽管私心重，对堂吉诃德却趋之若鹜．．．．。
D．作为安徽新名片的合肥新桥机场日前正式启用，原骆岗机场开始休养生息．．．．。
3．下列句子中，没有语病的一项是（3分）A．称谓语用得准确恰当，不但会影响交际的顺利与否，也反映一个人的文化修养。
B．大约五成左右的战争剧为抗战题材，某些抗战剧情节荒诞不经，已经引发批评。
C．《论语》是一部内涵丰富、思想深刻的儒家经典著作，值得当代青年认真阅读。
D．游客在景观上刻字，主要原因是因为游客虚荣心和盲目跟风等多种因素造成的。
4．依次填入下面语段中横线处的短语，恰当的一项是（3分）林黛玉给人的印象仿佛总是忧郁哀婉，有时又。
其实，她也有开朗宽厚、柔顺诚恳的一面。
当她与宝玉的感情平稳发展时，她的心情就____；当她意识到婚姻无望时，她的心情又____。
2013年高考安徽卷数学(理)试卷及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -2．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）16 （B ）2524 （C ）34 （D ）11123．在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 4．"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6．已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x7．在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和8．函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,39．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（A）（B）（C ）（D）10．若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
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2013年安徽省普通高中学业水平测试纲要·数学安徽省教育科学研究院编前言普通高中学生学业水平测试是根据教育部要求，全面考查普通高中学生在语言与文学、数学、人文与社会、科学、技术等领域的基础性学习情况的省级水平测试。
考查结果既是评估普通高中学校教学质量、教师教学水平的重要依据，也是评价普通高中学生在上述领域的学习是否达到课程标准规定的毕业、升学要求的基本依据之一。
为了帮助广大普通高中教师和学生了解2013年安徽省普通高中学生学业水平测试的命题原则、测试性质、测试内容、测试形式和试卷结构，发挥考试评价对教学的导向作用，减轻学生课业负担，经安徽省普通高中学生学业水平测试领导组同意，根据安徽省教育厅《关于印发<安徽省普通高中学生学业水平测试方案（修订）>的通知》（教基[2012]3号）文件精神，我们组织力量制定了《2013年安徽省普通高中学业水平测试纲要》（以下简称《学业水平测试纲要》），供参加2013年安徽省普通高中学生学业水平测试的学生使用。
《学业水平测试纲要》是以教育部颁发的各学科《课程标准》为依据，按照安徽省教育厅关于实施素质教育、推进普通高中教学评价改革、发挥学业水平测试对教学的正确导向功能的要求，结合安徽省普通高中教学实际制订的，包括语文、数学、外语、人文与社会基础、科学基础和技术素养六个科目的测试纲要。
欢迎广大师生在使用《2013年安徽省普通高中学业水平测试纲要》过程中对出现的问题和不足提出宝贵意见。
安徽省普通高中学业水平测试办公室安徽省教育科学研究院2013年3月一、编写说明本纲要以教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）所规定的五个必修模块的课程内容为依据，参照人民教育出版社和北京师范大学出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书·数学》（必修1—必修5），结合我省普通高中数学教学实际编写而成。
本纲要对我省2013年普通高中数学学业水平的测试目标、测试内容和范围、试卷结构等作出详细说明，它是普通高中必修课程教学评价和学业水平测试命题的主要依据。
根据《课程标准》对“知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观”等三个方面的考查目标分别列出具体内容及要求（见“三、测试内容及要求”），例证性试题是以具体题目说明某一具体内容的测试水平（见“例证性试题”）。
为了帮助师生了解试卷结构中的考试内容分布、题型分布、试题难度分布，除例证性试题外，还增加“参考试题”加以说明（见“六、普通高中学业水平测试数学参考试题”）。
二、测试目标（一）测试范围《课程标准》中五个必修模块的课程内容：集合，函数概念与基本初等函数，立体几何初步，平面解析几何初步，算法初步，统计，概率，三角函数，平面向量，三角恒等变换，解三角形，数列，不等式等。
（二）测试目标及水平层次1.知识与技能目标数学知识是指《课程标准》所规定的必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想、方法，还包括按照一定的程序进行计算、数据处理方面的基本技能。
对知识的要求分为A（了解）、B（理解）、C（掌握）三个层次（详见“三、测试内容及要求”），这些层次的含义是：A．了解/模仿：对所列知识的内容有初步的、感性的认识，知道这一知识是什么，能按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别它。
这一层次涉及的主要行为动词有：了解、体会、知道、识别、感知、认识、初步了解、初步体会、初步学会、初步理解等。
B．理解/独立操作：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对相关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简答问题的能力。
这一层次涉及的主要行为动词有：描述、说明、表达、表述、表示、刻画、解释、推测、想象、理解、归纳、总结、抽象、提取、比较、对比、判定、判断、会求、能、运用、初步应用、初步讨论等。
C．掌握/应用/迁移：要求能够对所列知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。
这一层次涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析、推导、证明、研究、讨论、选择、决策、解决问题等。
2.能力目标数学学业水平测试侧重考核学生对基础知识、基本技能的掌握程度，同时也适当考查数学能力。
主要考查空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，考查数学的提出问题、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力。
（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。
（2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质，并将其用于解决问题或作出新的判断。
（3）推理论证能力：根据已获得的正确数学命题和已知的事实，能运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明。
（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断，解决给定的实际问题。
（6）应用意识：能理解对问题的陈述材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分析，将实际问题抽象为数学问题，构造数学模型；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表达和说明。
（7）创新意识：能独立思考，发现问题，提出问题，应用所学的数学知识、思想和方法，选择有效的手段分析信息，提出新的解决问题的思路，并加以解决。
三、测试内容及要求数学学业水平测试的具体内容及要求按必修模块分列，有知识条目及测试水平、说明、例证性试题三个部分。
知识条目指考试的内容，测试水平指该知识条目应达到的知识与技能的测试目标层次。
知识条目和测试水平列表描述，表中知识条目在对应的考试水平栏中，“√”为该知识条目在学业水平测试中可能达到的最高水平，说明是对一些易失控的知识内容加以限制的阐述。
（一）知识与技能测试内容及要求说明：1． 不要求将集合与其他知识（如数列、排列、组合等）进一步综合提高。
2． 画指数函数的图像仅限底数为2,3,10，11,23。
3． 对[()]f x ϕ一类复合函数的抽象记号不作要求。
4． 利用函数性质比较大小，仅要求会用同名函数的某一性质进行比较。
5． 幂函数的性质，仅要求结合函数23211,,,,y x y x y x y y xx=====的图像进行了解。
6． “对方程的根与函数零点的关系”仅限于结合二次函数图像进行判断 7． 对函数的定义域和值域，仅要求会求一些简单函数的定义域和值域。
8． 求具体函数的反函数不作要求。
必修2说明：1.对空间几何体的表面积、体积公式推导方法不作要求2.不要求记忆球、柱、锥、台的表面积和体积计算公式3.对空间两条直线所成的角仅限于特殊角或在立方体模型内的角必修3说明：1.对根据算法或程序框图编写程序不作过高要求2.对线性回归方程的系数公式不作要求3.对计算基本事件数和几何概型不作过高要求必修4说明1. 利用三角函数的单调性比较大小，仅限于在两个同名函数之间进行2. 对解有关三角函数的不等式不作要求3. 对函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间问题不作要求4. 对和差化积、积化和差、半角公式不作要求5. 对三角恒定变换繁琐或技巧性较高的问题不作要求6. 对向量的非正交分解不作要求必修5说明1.对于递推公式给出的数列，仅要求根据递推公式写出数列的前几项2.对其他数列求前n项和不作要求3.对含有字母（参数）需要讨论的一元二次不等式解法不作要求4.不等式证明仅限于应用不等式的基本性质和基本不等式0,0)2a ba b+≥>>，比较大小的分类讨论不作要求。
5.线性规划问题，仅限于二元线性目标函数。
（二）过程与方法目标测试内容及要求对“过程与方法”的考查蕴含在解决数学问题的过程之中，主要体现在解决问题的过程中把握方法、形成能力、发展应用意识和创新意识上。
（三）情感态度与价值观目标测试内容及要求对于“情感态度与价值观”的考查将渗透在解决数学问题的过程中，主要体现在试题的数学教育价值，以及学生处理复杂问题时表现出来的锲而不舍的精神和科学的方法与态度。
四、测试形式和试卷结构1．测试采用闭卷书面答卷方式。
测试时间90分钟，满分100分。
2．试卷分两卷：第I卷为选择题，满分54分，共18道选择题，每题3分。
第II卷为填空题和解答题，满分46分，共7题。
其中4道填空题（或简答题），每题4分，共16分；3道解答题（包括计算、证明、作图等），每题10分，共30分。
3．试卷结构：（1）按必修模块分布：必修1 20±5%必修2 20±5%必修3 20±5%必修4 20±5%必修5 20±5%（2）按考试水平分布：了解（A）30±5%理解（B）60±5%掌握（C）10±5%五、例证性试题略六、普通高中学业水平测试数学参考试题考生须知（略）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，满分54分。
每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.10.11. 12. 13. 14. 15.16. 17. 18.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上）19.20.21.22.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）23.24.25.。