2019-2020学年北京市昌平区高二年级(上)期末数学试卷
2022-2023学年北京市昌平区高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年北京市昌平区高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知直线:20+-=l x y ，则直线l 的倾斜角为（）A ．π4B ．π2C ．2π3D ．3π4【正确答案】D【分析】将直线方程化成斜截式，可得直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得答案.【详解】解：因为直线:20+-=l x y ，化成斜截式为2y x =-+，所以直线l 的斜率1k =-，设直线l 的倾斜角为θ，则有tan 1θ=-，又因为[0,π)θ∈，所以3π4θ=.故选：D2．已知()(),1,2,2,,1a x b y =-= ，且a b∥，则xy =（）A ．92-B ．2C ．2-D ．8【正确答案】B【分析】先利用向量平行充要条件求得14,2x y =-=-，进而求得xy 的值.【详解】()(),1,2,2,,1a x b y =-= ，且a b∥，则()1201120xy y -⨯=⎧⎨⨯--=⎩，解之得124y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则()1422xy =-⨯-=故选：B3．椭圆221259x y +=的右焦点坐标为（）A ．()5,0-B ．()3,0C ．()4,0D ．()5,0【正确答案】C【分析】利用椭圆的标准方程判断其焦点位置并求得c ，从而得解.【详解】因为椭圆221259x y +=，所以椭圆焦点落在x 轴上，2225,9a b ==，所以22225916c a b =-=-=，则4c =，所以椭圆221259x y +=的右焦点坐标为(),0c ，即()4,0.故选：C.4．已知正方体11111,,,ABCD A B C D AB a AD b AA c -=== ，点E 是1BB 的中点，则DE =（）A ．12a b c++ B ．12a b c+- C ．12a b c-- D ．12a b c-+ 【正确答案】D【分析】先用空间向量的减法表示DB，然后再用空间向量的加法表示DE .【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，,AB a AD b ==，则DB AB AD a b =-=-，又点E 是1BB 的中点，则11111222BE BB AA c ===，所以12DE DB BE a b c =+=-+ .故选：D.5．在5(3)x -的展开式中，3x 的系数为（）A ．270-B ．90-C ．90D ．270【正确答案】C【分析】利用二项展开式通项即可求得3x 的系数【详解】5(3)x -的展开式的通项515C (3)r rrr T x-+=-令53r -=，则2r =，则3x 的系数为225C (3)90-=故选：C6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥B ．若,,m n αβαβ⊥∥∥，则m n ⊥C ．若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥D ．若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ∥【正确答案】C【分析】利用长方体模型举反例排除A ，B ，D ，再证明C 正确即可.【详解】作长方体1111ABCD A B C D -，对于选项A ，取平面α为平面ABCD ，平面β为平面1111D C B A ，直线m 为直线BC ，直线n 为直线11C D ，则,,m n αβαβ⊂⊂∥，但直线,m n 异面，选项A 错误；对于选项B ，取平面α为平面ABCD ，平面β为平面11A B BA ，直线m 为直线11C D ，直线n 为直线1CD ，则,,m n αβαβ⊥∥∥，但直线,m n 不垂直，选项B 错误；对于选项D ，取平面α为平面ABCD ，平面β为平面11A B BA ，直线m 为直线1C C ，直线n 为直线11C D ，则,,m n m n αβ⊥⊥∥，但平面,αβ垂直，选项D 错误；对于选项C ，如图过直线n 作平面γ与平β交，且l βγ= ，因为//n β，γ⊂n ，l βγ= ，所以//n l ，又//m n ，所以//m l ，因为//m l ，m α⊥，所以l α⊥，又l β⊂，所以αβ⊥，选项C 正确.故选：C.7．“2m =”是“双曲线2221y x m-=的渐近线方程为2y x =±”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】双曲线渐近线方程为by x a=±，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】若2m =，则22212y x -=，则渐近线方程为2y x =±；若渐近线方程为2y x =±，则21m b a ==，则2m =±，故“2m =”是“双曲线2221y x m -=的渐近线方程为2y x =±”的充分而不必要条件，故选：A.8．已知直线:1l y kx =-与曲线2:14xC y =-有公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]22-,C ．][(),22,∞∞--⋃+D ．11,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【正确答案】D【分析】根据曲线方程可得曲线C 为椭圆2214x y +=的上半部分包括x 轴上的部分，由直线经过定点()0,1P -，数形结合即可求解.【详解】将214x y =-()22104x y y +=≥，故曲线C 为椭圆2214x y +=的上半部分包括x 轴上的部分，:1l y kx =-经过定点()0,1P -,曲线C 与x 轴的交点为()()2,0,2,0A B --,11,22AP PB k k ==-，当直线:1l y kx =-与曲线2:14xC y -PB k k ≤或AP k k ≥，即12k ≥或12k ≤-，故选：D9．某社区征集志愿者参加为期5天的“垃圾分类，全民行动”的宣传活动，要求志愿者每人只参加一天且每天至多安排一人.现有甲､乙､丙3人报名，甲要求安排在乙､丙的前面参加活动，那么不同的安排方法共有（）A ．18种B ．20种C ．24种D ．30种【正确答案】B【分析】根据组合以及分步乘法计数原理即可求解.【详解】根据题意可知：需要从5天中选择3天分别安排甲乙丙3名志愿者，且甲在乙丙的前面，第一步：从5天中选择3天，共有35C 10=种选择，第二步：将甲乙丙按照“甲乙丙”或者“甲丙乙”的顺序安排在已选好的3天中，共有2种选择，根据分步乘法计数原理得：不同的安排方法共有21020⨯=，故选：B10．已知正四棱锥P ABCD -的八条棱长均为4,S 是四边形ABCD 及其内部的点构成的集合.设集合{}|3T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A ．3π4B ．πC ．2πD ．3π【正确答案】B【分析】由题意，相当于求出以P 为球心，3为半径的球与底面ABCD 的截面圆的半径后，即可求区域的面积.【详解】解：设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为正方形ABCD 的中心，如图，且124222BO ==221682PO PB OB =--因为当3PQ =时，故221OQ PQ PO =-=，故T 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆上以及圆内，而正方形ABCD 内切圆的圆心为O ，半径为21>，故T 的轨迹在正方形ABCD 内部，故其面积为π.故选：B.二、填空题11．已知直线12:210,:310l ax y l x y ++=-+=.若12l l ⊥，则实数=a __________.【正确答案】6【分析】根据两直线一般式中垂直满足的关系即可求解.【详解】由于12l l ⊥，所以230a -⨯=，解得6a =故612．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数共有__________个．（用数字作答）【正确答案】12【分析】由分步乘法计数原理结合排列组合直接求解即可．【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有23A 326=⨯=种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2612⨯=．故12．13．若423401234(12)x a a x a x a x a x +=++++，则13a a +=__________.（用数字作答）【正确答案】40【分析】利用赋值法求解.【详解】解：由423401234(12)x a a x a x a x a x +=++++，令1x =，得0123481++++=a a a a a ，令=1x -，得012341a a a a a -+-+=，两式联立得1340a a +=，故4014．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线:G 224x y xy +=+就是其中之一（如图）.给出下列四个结论：①曲线G 有且仅有四条对称轴；②曲线G 上任意两点之间的距离的最大值为6；③曲线G 恰好经过8个整点（即横坐标､纵坐标均为整数的点）；④曲线G 所围成的区域的面积大于16.其中所有正确结论的序号是__________.【正确答案】①③④【分析】设点()00,P x y 是曲线G 上任意一点，分别求出点()00,P x y 关于x 轴、y 轴、直线y x =、直线y x =-对称的点，检验是否满足方程可得有四条对称轴.再由图象知，没有其他的对称轴即可判断①正确；根据基本不等式可得4xy ≤，即有228x y +≤，所以曲线G 上任意一点到原点的距离d ≤进而可判断②错误；分别令0x =，1x =±，2x =±，可得到8个点的坐标，进而说明当2x >时，不存在这样的点，即可判断③正确；易知曲线G 的范围大于以()2,0-，()2,0，()2,2--，()2,2-，()2,2-，()2,2，()0,2-，()0,2这8个点构成的正方形，又正方形的面积为16，即可得到④正确.【详解】对于①：设点()00,P x y 是曲线G 上任意一点，则有2200004x y x y +=+成立.显然点()00,P x y 关于x 轴的对称点()100,P x y -，点()00,P x y 关于y 轴的对称点()200,P x y -，点()00,P x y 关于直线y x =的对称点()300,P y x ，点()00,P x y 关于直线y x =-的对称点()400,P y x --也满足该式成立，所以x 轴、y 轴、直线y x =、直线y x =-都是曲线G 的对称轴.由图象易得，曲线G 没有其他的对称轴，故①正确；对于②：因为222x y xy +≥，当且仅当x y =时，等号成立.所以有42xy xy +≥，则4xy ≤，所以有2248x y xy +=+≤，即曲线G 上任意一点到原点的距离d =≤=又曲线G 的图象关于O 点中心对称，所以曲线G 上任意两点之间的距离的最大值为2d =对于③：令0x =，则24y =，解得2y =±，可得点()0,2-，()0,2；令1x =±，则230y y --=，显然y 无整数解；令2x =±，则220y y -=，解得2y =±或0y =，可得点()2,0-，()2,0，()2,2--，()2,2-，()2,2-，()2,2；当3≥x ，29x ≥，此时将224x y xy +=+看做关于y 的方程2240y x x y +--=，此时()()22244163x x x ∆=---=-.因为29x ≥，所以2327x -≤-，则2163110x ∆=-≤-<，方程无解.综上所述，曲线G 恰好经过8个整点.故③正确；对于④：显然由()2,0-，()2,0，()2,2--，()2,2-，()2,2-，()2,2，()0,2-，()0,2这8个点构成的正方形在曲线G 的内部.正方形的边长为4，面积为16.所以曲线G 所围成的区域的面积大于16.故④正确.故①③④.三、双空题15．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面,,1,2ABC AB AC PA AB AC ⊥===，则异面直线PC 与AB 所成角的大小为__________；点A 到平面PBC 的距离为__________.【正确答案】π2##90 63【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC 与AB 所成角，根据点面距离的空间向量法即可求解.【详解】 在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，,1,2AB AC PA AB AC ⊥===，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,1A B C P ,()()0,2,1,2,0,0PC AB =-=，()2,0,1PB =- ，设异面直线PC 与AB 所成角为θ，π02θ<≤则||000cos 0||25||PC AB PC AB θ⋅++===⨯,由于π02θ<≤，所以π2θ=，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则2020m PC y z m PB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，则()1,1,2m = ，所以点A 到平面PBC 的距离为200636m AB m⋅++==故π26316．已知双曲线C 经过点()1,4324C 的标准方程为__________；其焦距为__________.【正确答案】221779y x -=2703【分析】先分类讨论双曲线C 的焦点在x 轴或是在y 轴上，再由题意求出22,a b 的值，从而得出双曲线C 的标准方程及其焦距.【详解】当双曲线C 的焦点在x 轴上时，可设双曲线C 为：22221,(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为4c e a ==，则2218116b a +=，2219b a =，229a b =，又因为双曲线C 经过点()1,4，则有221161a b -=，联立方程222291161a b ab ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得2159b =-，不符合题意；当双曲线C 的焦点在y 轴上时，可设双曲线C 为：22221,(0,0)y xa b a b-=>>，离心率为4c e a ==，则2218116b a +=，2219b a =，229a b =，又因为双曲线C 经过点()1,4，则有221611a b -=，联立方程222291611a b ab ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得279b =，27a =，则222770799c a b =+=+=，所以3c =，则双曲线C 的标准方程为221779y x -=，焦距为故221779y x -=,3.四、解答题17．已知圆C 的圆心坐标为()1,0C，且经过点(P .(1)求圆C 的标准方程；(2)若过点P 作圆C 的切线l 与x 轴交于点M ，求直线l 的方程及PCM △的面积.【正确答案】(1)()2214x y -+=(2)30x +=；【分析】（1）利用待定系数法设出圆的标准方程，代入即可求解.（2）首先利用点斜式设出直线方程，再利用直线与圆相切的条件求出斜率，即可得到直线方程，再结合三角形为直角，即可求解面积.【详解】（1）有题意可知，设圆的方程为()2221x y r -+=，又因为(P 在圆上，则()22201r -+=，则24r =，故圆的方程为()2214x y -+=.（2）由题意知，直线的斜率存在，则设直线方程为()0y k x =-，即0-=kx y ，因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离2d =，解得3k =，则直线方程为30x +=.则M 点坐标为()30-，，根据题意知，PCM △为直角三角形，其中PM ==，而2PC ==，所以PCM △的面积为11222PM PC ⨯⨯=⨯=18．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1C C ⊥平面1,,1ABC AC BC CA CC CB ⊥===.(1)求证:1AC ⊥平面1A BC ;(2)求直线1C C 与平面1A BC 所成角的大小.【正确答案】(1)证明见解析(2)45【分析】(1)先说明11ACC A 为正方形,即11AC AC ⊥,再证明BC ⊥平面11ACC A,即1AC BC ⊥,根据线面垂直的判定定理即可证明;(2)根据(1)中结论1AC ⊥平面1A BC ,则直线1C C 与平面1A BC 所成角即为11C CA ∠,在正方形11ACC A 求出该角即可.【详解】（1）证明:1C C ⊥Q 平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,1C C AC ∴⊥,1AC CC = ,∴平行四边形11ACC A 为正方形,11AC AC ⊥∴,1C C ⊥Q 平面ABC ,BC ⊂平面ABC1C C BC ∴⊥,BC AC ⊥ ,1AC CC C = ,AC ⊂平面11ACC A ,1CC ⊂平面11ACC A ,BC ∴⊥平面11ACC A ,1AC ⊂Q 平面11ACC A ,1AC BC ∴⊥,1,BC AC C BC =⊂ 平面1A BC ,1AC ⊂平面1A BC ,1AC ∴⊥平面1A BC 得证;（2）记1AC 与1AC 交点为D ,由(1)知1AC ⊥平面1A BC ,所以1C D ⊥平面1A BC ,故直线1C C 与平面1A BC 所成角为11C CA ∠,由(1)知平行四边形11ACC A 为正方形,1145C CA =∴∠ ,故直线1C C 与平面1A BC 所成角为45 .19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()1,2.(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设()1,4M ，直线:l y x b =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B .若MAB △是以AB 为底边的等腰三角形，求证：直线l 经过抛物线C 的焦点.【正确答案】(1)24y x =,=1x -(2)证明见解析【分析】(1)应用点在抛物线上即可求出p ,即可求出抛物线C 的方程及其准线方程;(2)直线方程和抛物线联立方程组,再把等腰三角形转化为斜率关系,列式计算即可求出b ,进而得证.【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()1,2,所以42p =,所以抛物线C 的方程为24y x =,准线方程为=1x -;（2）设()()1122,,,A x y B x y ,AB 中点1212,22x x y y T ++⎛⎫ ⎪⎝⎭联立方程组24y x y x b⎧=⎨=+⎩,可得()24x b x +=,即()22240x b x b +-+=可得()222440b b ∆=-->，即1b >，1221242x x b x x b +=-⎧⎨=⎩,则12124y y x b x b +=+++=，所以()2,2T b -，因为MAB △是以AB 为底边的等腰三角形,所以MT AB ⊥,即可得1MT AB k k ⨯=-，又因为1AB k =,()1,4M ,()2,2T b -,则21MT k b =-,即得2111b ⨯=--所以1b =-所以:1l y x =-，经过抛物线C 的焦点()1,0.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PD ⊥平面,2ABCD DA DC DP ===，点M 在棱PC 上，且PA //平面BDM .(1)求证：M 是棱PC 的中点；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（i ）二面角M BD C --的余弦值；（ii ）在棱PA 上是否存在点Q ，使得BQ ⊥平面BDM ？若存在，求出PQ PA的值；若不存在，说明理由.条件①：60BAD ∠=︒；条件②.2BD =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)证明见解析(2)（i ）217；（ii ）不存在点Q ，理由见解析【分析】（1）连结AC ，交BD 于F ，连结MF ，又线面平行的性质可推导出//PA MF ，由此能证明结论；（2）由已知分析，选择条件①：60BAD ∠=︒，或选择条件②：2BD =，均可得ABD △为正三角形，取AB 中点N ，连接DN ，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解二面角M BD C --的余弦值及验证是否存在点Q ，使得BQ ⊥平面BDM 即可.【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于F ，连接MF则MF 是平面PAC 与平面BDM 的交线，//PA 平面BDM ，PA ⊂平面PAC ，//PA MF ∴．又底面ABCD 为平行四边形，则F 是AC 的中点，M ∴是棱PC 的中点，（2）解：因为底面ABCD 为平行四边形，又2DA DC ==，则底面ABCD 为菱形，选择条件①：60BAD ∠=︒，或选择条件②：2BD =，均可得ABD △为正三角形.取AB 中点N ，连接DN ，则DN AB ⊥，即DN DC⊥又PD ⊥平面ABCD ，,DQ DC ⊂平面ABCD ，所以,PD DN PD DC ⊥⊥，如图以D 为原点，,,DN DC DP 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()))()()()0,0,0,1,0,,0,2,0,0,0,2,0,1,1D A B C P M -，（i ）由于PD ⊥平面ABCD ，则()0,0,2DP = 时平面BCD 的一个法向量，设平面BDM 的法向量为(),,n x y z =，又)(),0,1,1DB DM == ，所以0000DB n y y y z y z DM n ⎧⎧⋅=+==⎪⎪⇒⇒⎨⎨+==-⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩ ，令1x =得(1,n = ，则cos ,7DP n DP n DP n ⋅==⋅ ，由图可知二面角M BD C --为锐角，所以二面角M BD C --；（ii ）若在棱PA 上否存在点Q ，设PQ PAλ=，则PQ PA λ= ，且[]0,1λ∈，所以))1,2,,2PQ λλλ=--=-- ，则()))1,2,,21,22BQ BP PQ λλλλ=+=-+--=--- ，若BQ ⊥平面BDM ，则//BQ n=故在棱PA 上不存在点Q ，使得BQ ⊥平面BDM .21．已知椭圆222:1(02)4x y G b b +=<<的离心率为2，其左､右顶点分别为12,A A ，过点()1,0P 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆G 于点,M N （点M 在x 轴的上方）.(1)求椭圆G 的方程；(2)若线段MN的长等于3，求直线l 的方程；(3)设直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，试判断12k k 是否为定值？若是定值，求出这个定值，并加以证明；若不是定值，说明理由.【正确答案】(1)22142x y +=(2)10x y --=或10x y +-=(3)12k k 为定值13，理由见解析.【分析】（1）根据椭圆离心率公式e =，代入计算，即可得到椭圆方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，0m ≠，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式列出方程，即可得到结果.（3）设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222y k x y k x +=-，化简可得答案；【详解】（1）因为椭圆222:1(02)4x y G b b +=<<的离心率为2，即2e =，解得22b =所以椭圆方程为22142x y +=（2）根据题意设直线l 的方程为1x my =+，0m ≠联立直线与椭圆方程可得221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()222230m y my ++-=则240b ac ∆=->，即()222412216240m m m ∆=++=+>由韦达定理可得12122223,22m y y y y m m --+==++由弦长公式可得12MN y y =-3=即()()42228513081310m m m m +-=⇒+-=所以21m =或2138m =-（舍）即1m =±所以直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=（3）12k k 为定值13，理由如下：设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨设210y y <<.由221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222230m y my ++-=，2Δ16240m =+>，12222m y y m +=-+，12232y y m =-+.所以121223y y m y y +=，即()121223my y y y =+.且12121212,22A M A N y y k k k k x x ====+-11122222y k x y k x +=-121222y x x y -=+()()1212112122133y my my y y my y my y y --==++()()12112232332y y y y y y +-=++12121312239322y y y y +==+.综上所述.1231k k。
北京市昌平区2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题含解析
北京市昌平区2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（ ）A ．316B ．34C ．1316D ．142．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．163．复数2ii+的虚部为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知曲线C ：y ＝21x x -，曲线C 关于y 轴的对称曲线C′的方程是（ ）A ．y ＝﹣21x x +B ．y ＝﹣21x x -C ．y ＝21x x +D ．y ＝21x x -5．已知函数1()(1)ln 1f x ax a x x=--++(R a ∈)在(0,1]上的最大值为3，则a =( ) A ．2B ．eC ．3D ．2e6．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．//,,αβmαn β，则//m nB ．//,//m m n α，则//n αC ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n βD ．,//m m n α⊥，则n α⊥7．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是空间两条不重合的直线，下列命题不正确．．．的是（） A ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥ B ．若l α⊥，m α⊥，则l m C ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥D ．若l α⊥，αβ⊥，则l β∥8．定义语句“mod r m n =”表示把正整数m 除以n 所得的余数赋值给r ，如7mod31=表示7除以3的余数为1，若输入56m =，18n =，则执行框图后输出的结果为（ ）A ．6B ．4C ．2D ．19．从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有()种 A ．1190 B ．420C ．560D ．336010．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．411． “3a >”是“函数2()22f x x ax =--在区间(,2]-∞内单调递减”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也必要条件12．为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点.已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知()()321233f x x mx m x =++++在R 上不是．．单调增函数，那么实数m 的取值范围是____． 14．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值为____________15．已知幂函数y x α=的图象经过点(4,4，则实数α的值是_______. 16．已知,a b 是两个非零向量，且||2a =，22a b +=，则||a b b ++的最大值为_____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数．(1)若0a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围．18．已知函数223f x x x =+--（）. （I ）解不等式：2f x >（）； （II ）若函数f x （）的最大值为m ，正实数a b ，满足2a b m +=，证明：2185a b +≥19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点)2.（1）求椭圆C 的方程；（2）,,P M N 是C 上不同的三点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为34-，证明：,M N 两点的横坐标之和为常数.20．（6分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级100名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占70%.这100名学生中南方学生共80人。
2019-2020学年北京昌平一中高二(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年北京昌平一中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1.“x<1”是“x<2”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A. (1,+∞)B. (1,2)C. (12,1) D. (0,1)3.已知a<b<0，则下列不等式中成立的是()A. ca <cbB. |a|<|b|C. 1a>1bD. ac>bc4.已知M(−2,0)，N(2,0)，|PM|−|PN|=4，则动点P的轨迹是()A. 一条射线B. 双曲线C. 双曲线左支D. 双曲线右支5.函数y=log2(x+1x−1+5)，(x>1)的最小值为()A. −3B. 3C. 4D. −46.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A. x29+y216=1 B. x225+y216=1C. x225+y216=1或x216+y225=1 D. 以上都不对7.把数列{2n+1}(n∈N∗)依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…循环分别为(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，(45,47)…，则第104个括号内各数之和为()A. 2036B. 2048C. 2060D. 20728.设f(n)=2+24+27+210+⋯+23n+1(n∈N)，则f(n)等于()A. 27(8n−1) B. 27(8n+1) C. 27(8n+1−1) D. 27(8n+1+1)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：______．10.已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为______ ．11.a>0，b>0，若√3是3a与3b的等比中项，则a+b=______，1a +1b的最小值为______．12.若曲线x24+k +y21−k=1表示双曲线，则k的取值范围是．13.已知{a n}是公比为2的等比数列，若a3−a1=6，则a1=______；1a12+1a22+⋯+1a n2=______．14.已知动点P与双曲线x2−y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为−13，则动点P的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共96.0分）15.解关于x的不等式：x2−(a+1)x+a<0．16.已知椭圆的焦点为F1(−1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．(Ⅰ)求椭圆的方程、长轴长、短轴长、离心率；(Ⅱ)若双曲线x2−y2=2m与该椭圆有相同的焦点，求m的值．17.设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n+b n}的前n项和S n．18. 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用w 与其航行速度x 的平方成正比(即：w =kx 2，其中k 为比例系数)；当航行速度为30海里/小时时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时． (1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？19. 已知数列{a n }满足：a 1=14，a 2=34，a n+1=2a n −a n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，数列{b n }满足b 1<0，3b n −b n−1=n(n ≥2,n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ． (1)求数列{a n }的通项a n ．(2)求证：数列{b n −a n }为等比数列．20. 已知某椭圆的焦点是F 1(−4,0)、F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．(Ⅰ)求该椭圆的方程；(Ⅱ)求弦AC中点的横坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：当x<1时，x<2成立，当x<2时，x<1不一定成立，故x<1是x<2的充分不必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义进行判断即可．本题考查充分不要条件的判断，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由x2+ky2=2，得x 22+y22k=1，∵方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，∴2k>2，解得0<k<1．∴实数k的取值范围是(0,1)．故选：D．化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得2k>2，求解此不等式可得k的取值范围．本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是基础题．3.【答案】C【解析】解：取c=0，则ca =cb，ac=bc，即A和D均错误；取a=−2，b=−1，则|a|>|b|，即选项B错误；对于选项C，1a −1b=b−aab，因为a<b<0，所以b−a>0，ab>0，故1a −1b>0，所以1a>1b，即C正确．故选：C．由特殊值法，取c=0可判断A和D，取a=−2，b=−1可判断B，再由作差法可判断C．本题考查不等式的基本性质，考查推理论证能力和运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的定义的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．用排除法做：如果是双曲线，那么a=2，c=2，与在双曲线中c>a矛盾，所以把三个关于双曲线的答案全部排除【解答】解：如果是双曲线，那么|PM|−|PN|=4=2a，a=2，而两个定点M(−2,0)，N(2,0)为双曲线的焦点，c=2，而在双曲线中c>a，所以把后三个关于双曲线的答案全部排除．故选A．5.【答案】B+5)【解析】解：函数y=log2(x+1x−1+6)≥log2(2+6)=3，=log2(x−1+1x−1+5)，(x>1)的最小值为3∴函数y=log2(x+1x−1故选B．+5进行配凑，再利用基本不等式求出它的范围，最后利用对数函数的先将式子x+1x−1单调性求出最小值．本题考查利用基本不等式求代数式的范围、考查利用函数单调性求函数的最值．关键是对式子的配凑后方便利用基本不等式．6.【答案】C【解析】解：设椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，则2(a+b)=18，即a+b=9①，由焦距为6，得到c=3，则a2−b2=c2=9②，由①得到a=9−b③，把③代入②得：(9−b)2−b2=9，化简得：81−18b=9，解得b=4，把b=4代入①，解得a=5，所以椭圆的方程为：x225+y216=1或x216+y225=1．故选：C．设出椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，根据长轴与短轴的和为18列出关于a与b的方程记作①，由焦距等于6求出c的值，根据椭圆的基本性质a2−b2=c2，把c的值代入即可得到关于a与b的另一关系式记作②，将①②联立即可求出a和b的值，然后利用a与b的值写出椭圆的方程即可．此题考查学生掌握椭圆的基本性质，会根据椭圆的长半轴与短半轴写出椭圆的标准方程，是一道综合题．学生做题时应注意焦点在x轴和y轴上两种情况．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查判断数列中的项，属于中档题．括号中的数字个数，依次为1、2、3、4，每四个循环一次，具有周期性，第一百零四个括号是一个周期的最后一个，括号中有四个数，这是第二十六次循环，最后一个数是2×260+1，得出结论．【解答】解：由题意知1044=26，∴第104个括号中有4个数，每4个括号共有10个数，104个括号包含26个循环，则最后一个数字是2×260+1，∴2×257+1+2×258+1+2×259+1+2×260+1=2072，故选D．8.【答案】C【解析】解：f(n)=2+24+27+210+⋯+23n+1=2(8n+1−1)8−1=27(8n+1−1)．故选：C．利用等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等比数列的前n项和公式，属于基础题．9.【答案】∃x∈R，x2<0【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2<0．故答案为：∃x∈R，x2<0．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10.【答案】12【解析】解：由题可知：2a=2⋅2c，即a=2c，∴e=ca =12，故答案为：12．根据离心率的公式直接计算即可．本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题．11.【答案】14【解析】解：∵√3是3a与3b的等比中项，∴(√3)2=3a⋅3b，即3a+b=3，∴a+b=1，∴1a +1b=(a+b)(1a+1b)=2+ab+ba≥4，当且仅当ab=ba，即a=b=12时等号成立．故答案为：1；4．根据题意可得∴(√3)2=3a⋅3b，即3a+b=3，从而可得a+b=1，进一步根据1a +1b=(a+b)(1a +1b)=2+ab+ba即可运用基本不等式进行求解．本题考查等比中项，涉及基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．12.【答案】(−∞,−4)∪(1,+∞)【解析】【分析】根据双曲线的性质知，(4+k)(1−k)<0，进而求得k的范围．本题主要考查了双曲线的定义和标准方程．属基础题．【解答】解：要使方程为双曲线方程需(4+k)(1−k)<0，即(k−1)(k+4)>0，解得k>1或k<−4故答案为(−∞,−4)∪(1,+∞)13.【答案】213(1−4−n)【解析】解：由题意知，a3−a1=6，则a1q2−a1=6，把q=2代入解得，a1=2，∴a n=2n，∴1a n2=14n，则1a12+1a22+⋯+1a n2=14+142+⋯+14n=14(1−14n)1−14=13(1−4−n)，故答案为：2，13(1−4−n)．由题意和等比数列的通项公式求出a1，再求出a n代入1a n2化简，代入1a12+1a22+⋯+1a n2，由等比数列的前n项和公式求解．本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前n项和公式得应用，考查了计算能力．14.【答案】x23+y2=1【解析】解：(1)∵x2−y2=1，∴c=√2.设|PF1|+|PF2|=2a(常数a>0)，2a>2c= 2√2，∴a>√2由余弦定理有cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=2a2−4|PF1||PF2|−1∵|PF1||PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2=a2，∴当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2．此时cos∠F1PF2取得最小值为2a2−4a2−1，由题意2a2−4a2−1=−13，解得a2=3，∴b2=a2−c2=3−2=1∴P点的轨迹方程为x23+y2=1．故答案为：x23+y2=1根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，再结合余弦定理、基本不等式，即可求出椭圆中的a，b的值．本题考查了求轨迹方程，考查余弦定理、基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．15.【答案】解：不等式x2−(a+1)x+a<0可化为：(x−1)(x−a)<0，且不等式对应方程的实数根为1和a；①当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；②当a=1时，不等式可化为(x−1)2<0，解集为⌀；③当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}．【解析】对a进行分类讨论，从而求出不等式的解集．本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题的关键是对字母系数正确分类讨论．16.【答案】解：(Ⅰ)∵F1(−1，0)、F2(1,0)，∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2，c=1，∴b2=3，∴椭圆的方程是x24+y23=1，(Ⅱ)∵双曲线x2−y2=2m与椭圆：x24+y23=1，有相同的焦点，∴a2+b2=2m+2m=1，∴m=14．【解析】(Ⅰ)根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a和b值，进而求得椭圆方程．(Ⅱ)依题意a2+b2=2m+2m=1，解得m即可．本题考查了利用椭圆的定义求解椭圆的坐标方程，以及双曲线方程，属于基础题．17.【答案】解：(1)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是各项都为正数，公比为q的等比数列，则a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，即为1+2d+q4=21，1+4d+q2=13，解得d=q=2，可得a n=a1+(n−1)d=2n−1；b n=b1q n−1=2n−1；(2)a n+b n=(2n−1)+2n−1，前n项和为S n=(1+3+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+2n−1)=12n(1+2n−1)+1−2n1−2=n2+2n−1．【解析】(1)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是各项都为正数，公比为q的等比数列，运用等比数列和等差数列的通项公式，解方程可得d和q，进而得到所求通项公式；(2)a n+b n=(2n−1)+2n−1，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意，每小时的燃料费用为w=kx2，当x=30时，900k=450，解得k=0.5…(2分)从甲地到乙地所用的时间为300x 小时，则从甲地到乙地的运输成本： y =0.5x 2⋅300x +800⋅300x (0<x ≤50)，…(5分) =150(x +1600x)． 故所求的函数为y =f(x)=150(x +1600x ).…(6分) (2)法一：f′(x)=150(1−1600x 2)，…(8分)令f′(x)=0，解得x =40，0<x <40时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；40<x ≤50时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．因此当x =40时，y 取得极小值，也是最小值．…(11分)故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．…(12分)法二：由(1)得：y =150(x +1600x )≥150×2√x ⋅1600x =12000，…(9分) 当且仅当x =1600x ，即x =40时取等号．…(11分)故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．…(12分)【解析】(1)由题意，每小时的燃料费用为w =kx 2，当x =30时，900k =450，解得k.从甲地到乙地所用的时间为300x 小时，可得从甲地到乙地的运输成本：y =0.5x 2⋅300x +800⋅300x (0<x ≤50)．(2)法一：f′(x)=150(1−1600x 2)，利用导数研究函数的单调性极值与最值；法二：由(1)得：y =150(x +1600x)，利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了函数的应用、利用导数研究函数的单调性极值与最值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明∵2a n =a n+1+a n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，∴a n+1−a n =a n −a n−1∴{a n }是等差数列．又∵a 1=14，a 2=34，∴a n =14+(n −1)⋅12=2n−14， (2)证明：∵b n =13b n−1+n 3(n ≥2,n ∈N ∗)，∴b n+1−a n+1=13b n +n+13−2n+14=13b n −2n−112 =13(b n −2n−14)=13(b n −a n ).又∵b 1−a 1=b 1−14≠0，∴{b n −a n }是以b 1−14为首项，以13为公比的等比数列．【解析】(1)2a n =a n+1+a n−1，根据等差数列的定义可知∴{a n }是等差数列．根据a 1和a 2，求得公差，则数列{a n }的通项a n 可得．(2)把a n 和b n 代入b n+1−a n+1进而化简整理b n+1−a n+1=13(b n −a n )，进而可判断∴{b n −a n }是以b 1−14为首项，以13为公比的等比数列．本题主要考查了等差数列的通项公式和等比关系的确定．考查了学生综合把握数列基础知识．20.【答案】解：(1)由椭圆定义及条件，可得2a =|F 1B|+|F 2B|=10，得a =5．又∵c =4，∴b =√a 2−c 2=3．因此可得该椭圆方程为x 225+y 29=1．(2)∵点B(4,y B )在椭圆上，∴将x =4，代入椭圆方程求得y B =95，可得|F 2B|=|y B |=95．∵椭圆右准线方程为x =a 2c ，即x =254，离心率e =c a =45． 根据圆锥曲线统一定义，得|F 2A|=45(254−x 1)，|F 2C|=45(254−x 2).由|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列，得2|F 2B|=|F 2A|+|F 2C|即45(254−x 1)+45(254−x 2)=2×95，由此解得x 1+x 2=8．设弦AC 的中点为P(x 0,y 0)，可得中点横坐标为则x 0=12(x 1+x 2)=4．【解析】(1)根据椭圆定义结合已知条件，得|F1B|+|F2B|=10=2a可得a=5.由c=4算出b=3，即可得出该椭圆的方程；.再根据圆锥曲线统一定义，算出(2)由点B(4,y B)在椭圆上，利用椭圆方程算出y B=95|F2A|、|F2C|关于它们的横坐标x1、x2的式子，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列建立关系式算出x1+x2=8，最后利用中点坐标公式，即可算出弦AC中点的横坐标．本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并依此求AC的中点横坐标，着重考查了椭圆的定义与标准方程、圆锥曲线的统一定义和等差数列的性质等知识，属于中档题．。
北京市昌平区2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题含解析
北京市昌平区2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜.根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为23，则本次比赛中甲获胜的概率为（）A．727B．49C．1627D．2027【答案】D【解析】【分析】根据题意，可知甲获胜情况有三种：第一局胜、第二局胜，第一局胜、第二局负、第三局胜，第一局负、第二局胜、第三局胜，由互斥事件概率加法运算即可求解.【详解】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜，甲在每局比赛中获胜的概率为23，则甲获胜有以下三种情况：第一局胜、第二局胜，则甲获胜概率为224 339⨯=；第一局胜、第二局负、第三局胜，则甲获胜概率为2124 33327⨯⨯=；第一局负、第二局胜、第三局胜，则甲获胜概率为1224 33327⨯⨯=；综上可知甲获胜概率为44420 9272727 ++=，故选：D.【点睛】本题考查了互斥事件概率求法，概率加法公式的应用，属于基础题.2．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个B．120个C．96个D．72个【答案】B【解析】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有2×24=48个， 共有72+48=120个． 故选B考点：排列、组合及简单计数问题．3．已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x ',22(2)()x f x f x e--=(e 为自然对数的底数),且当1x ≠时, [](1)()()0x f x f x -'->,则 ( )A ．f(1)<f(0)B ．f(2)>ef(0)C ．f(3)>e 3f(0)D ．f(4)<e 4f(0)【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数()()xF x f x e -=，求导后结合题意()()()1'0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦判断其单调性，然后比较大小【详解】令()()xF x f x e -=，()()()''xF x ef x f x -⎡⎤∴=-⎣⎦()()()1'0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦Q ，1x ∴<时，10x -<，则()()'?0f x f x -< ()'0F x ∴<，()F x 在()1，-∞上单调递减 ()()()210F F F ∴->->即()()()2210f e f e f ->->()()222x f x f x e --=Q ，()()642f f e ∴=-，()()431f f e =- ()()440f f e ∴>，()()330f f e >，故选C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及导数的运算，构造新函数有一定难度，然后运用导数判断其单调性，接着进行赋值来求函数值的大小，有一定难度4．为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（ ）A ．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007B ．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007C ．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007D ．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007 【答案】B 【解析】 【分析】根据总体、样本及样本的容量的概念，得到答案. 【详解】 根据题目可知，总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007 故选B 项. 【点睛】本题考查总体、样本及样本的容量的概念，属于简单题.5．己知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．12B 1C ．12D 1【答案】B 【解析】 【分析】根据题目可知，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合PA m PB =，可得1PN PAm=，设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，即可求出的P 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率。
北京市昌平区2020年二(上)数学期末联考模拟试题
北京市昌平区2020年二(上)数学期末联考模拟试题一、选择题1．下面量法正确的是（）A．B．C．2．下列图形中是直角三角形的是（）A．B． C．3．丽丽的身高是83厘米，弟弟比丽丽矮16厘米。
弟弟的身高是( )厘米。
A．99 B．67 C．604．要想知道教室的黑板有多长,用( )来量比较合适。
A．三角尺B．米尺C．直尺5．二年(2)班参加舞蹈队的同学站了5排，每排站6人，其中男生有9人，求女生有多少人？用算式表示是（）。
A、5＋6－9B、5＋ 6－9C、5×6－9二、填空题6．在○里填上“＞”“＜”或“＝”。
71－37○34 89－35○30 70○90－1966－24○32 50－25○35 21+37○507．是一条( )，量一量，它长( )厘米。
8．23米-8米=（_____）米 1米-69厘米=（______）厘米9．我会看图列式。
加法算式：（）乘法算式：（）或（）10．△△△△△△△△△△△△△△△加法算式：_______________________________乘法算式：（____）×（____）＝（____）或（____）×（____）＝（____）11．比54多36的数是（____）,54比36多（____）。
12．我估计一层楼房高3（____）,1张床长（____）米。
13．每个三角尺都有（__________）个锐角和（__________）个直角。
14．7×3﹦（_______），读作________________，算式中7和3的积是（_______）15．2×8=（____）×4 （____）×2=3×4三、判断题16．两个9相乘的积是18。
（______）17．1×1=1÷1 （______）18．两个数相乘的积一定大于这两个数相加的和。
（____）19．小明的手指长大约为10厘米。
北京市昌平区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含答案
北京市昌平区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第一部分（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）直线50x y +-=的倾斜角等于 A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π4（2）命题“,sin 1x x R ∀∈≤”的否定为A. ,sin 1x x R ∃∈≤B. ,sin >1x x R ∃∈C. ,sin >1x x R ∀∈D. ,sin 1x x R ∀∈≥（3）已知圆22:430C x y x +-+=，直线:3420l x y --=，则直线l 被圆C 所截得的弦长为A.65 B. 35 C.85 D. 45（4）下面向量中，与向量(0,1,1),=m (1,0,1)=n 共面的向量是A.(1,1,0)=aB. (1,1,0)=-bC. (1,0,0)=cD. (1,0,1)=-d （5）已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β∥”是“αβ∥”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）在ABC ∆中，点(1,2),(2,1)A B -,点C 与点A 关于y 轴对称，则AB 边上的高所在的直线方程为A. 370x y +-=B. 20x y +-=C. 310x y --=D. 310x y -+=（7）右图是抛物线形拱桥，当水面在AB 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水位上升0.5m 后，水面宽m m C.m D.m（8）已知直线,,a b c 是不同的直线，平面γβα，，是不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若,,a b a c ⊥⊥则b ∥c B. 若,,αβαγ⊥⊥则β∥γ C. 若,,a b αα⊂∥则a b∥ D. 若,,a a b b ，∥∥αβ⊥则αβ⊥（9）已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且2PF 垂直于x轴，124sin =5F PF Ð，则椭圆的离心率为A ．12 B. 35C. 2D. 2（10）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，已知平面α经过点1A ，且平行于平面11B D E ，平面α与平面ABCD 交于直线m , 与平面11ABB A 交于直线n ,则直线,m n 所成角的余弦值为A ．5 B. 10 C ．2D. 2 第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）若命题p ,q 都是真命题，则命题“p q ⌝∧”是____命题(填“真”或 “假”). （12）已知直线0ax y a -+=与直线220x y +-=平行，则实数a 的值为 .（13）《九章算术》是我国古代数学经典名著.在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为_______.俯视图侧（左）视图正（主）视图（14）已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的焦距为10，则a 的值为______;此双曲线的渐近线方程是________.（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦为(2,0)F ，则抛物线C 的方程是_______;若M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，且M 为FN 的中点，则||=FN __________．（16）在平面直角坐标系中，动点P 满足到x 轴的距离与到原点O 的距离之和等于2.记动点P 的轨迹为曲线C ，下面对于曲线C 的描述正确的是_______.（把所有正确的命题的序号填在横线上）①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则1y ≤； ④若点(,)P x y 在曲线C 上，则12PO ≤≤.三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) （17）（本小题满分14分） 已知两点(3,2),(3,6)A B .(I) 求以线段AB 为直径的圆的方程;(II) 若直线l 过点(1,0)M ，且与(I)中的圆相切，求直线l 的方程.（18）（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，AB AP =，AD DE ^，︒=∠90ABC ，E D ,分别为BC PB ,的中点． (I) 求证：DE ∥平面PAC ；(II) 求证：平面⊥PAB 平面ABC ．EDPCBA（19）（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11ADD A ^平面ABCD ，1AD AD ⊥，底面ABCD 为边长为1的正方形，1 2.AA =(I) 求直线AB 与平面1BCD 所成角的大小；(II) 在线段1AA 上是否存在一点P ，使得二面角1A BC P --的大小为30°？若存在，求出1APAA 的值；若不存在，说明理由.A 1D 1C 1B 1DCBA(20) （本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，短轴长为F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于, P Q 两点.(I) 求椭圆C 的方程； (II) 当直线lPOQ ∆的面积；(III)在x 轴上是否存在点(,0)M m ，满足PM QM =？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.(21) （本小题满分14分）对于曲线C 上一点T ，若在曲线C 上存在异于T 的两点，满足TM TN =，且T M T N ⊥，则称点T 为曲线C 的“T 点”，TMN ∆是点T 的一个“特征三角形”.已知椭圆222:1(1)x G y a a+=>的一个顶点为(0,1)B ，12,A A 分别为椭圆G 的左、右顶点.(I) 证明：12BA A D 不是点B 的“特征三角形”；(II) 当2a =时，已知点2A 是椭圆G 的“T 点”，且2A MN ∆是点2A 的 “特征三角形”，求出点M N ，的一组坐标；(III) 试判断点B 是否为椭圆G 的“T 点”，若是，求出其“特征三角形”的个数;若不是，请说明理由.北京市昌平区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 假 12. 12-13. 8 14. 3；43y x =?15. 28y x =；6 16. ①③④ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解： (I) 设所求圆的圆心为(,)C x y ,半径r .则263,4, 2.2x y r +==== 所求圆C 的方程为22(3)(4)4x y -+-=……………………………………….6分 (II) ①若直线l 的斜率不存在，即直线1=x ，符合题意; …………………..7分 ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx . 由题意知，圆心)4,3(到直线l 的距离等于半径2，即21432=+--k k k ，解得43=k . 所求直线l 的方程是1=x 或0343=--y x . ………………………14分 （18）（本小题满分14分）证明：(I) 因为,D E 分别为,PB BC 的中点，所以DE PC ∥.…2分又DE Ë平面PAC ，PC Ì平面PAC ，故DE ∥平面PAC ．……………5分EDPCBA(II) 因为AB AP =, D 为PB 的中点,所以AD PB ^. ………………………………6分 因为AD DE ⊥,,,PBDE D PB DE =⊂平面,PBC所以AD ⊥平面PBC .又BC Ì平面PBC ,所以AD BC ^.…………10分 因为︒=∠90ABC ,即,,,AB BC ABAD A AB AD ⊥=⊂平面,PAB所以BC ⊥平面PAB .……………………………………12分 因为BC Ì平面ABC ，所以平面PAB ^平面ABC .……14分 （19）（本小题满分14分）解： (I) 在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为平面11ADD A ^平面,ABCD 平面11ADD A I 平面=,ABCD AD 1111,AD ADD A AD AD 蘜平面，所以1AD ⊥平面ABCD . ……….1分以点A 为坐标原点，1,,AB AD AD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz - ，如图所示.yx A 1则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),A B C D1(1,0,0),(0,1,0),(AB BC BD ===-u u u r u u u r u u u r…………….3分设平面1BCD 的法向量为,,,x y z =（）m由10,0,0.0.y BC x BD ìïì=ï?ï镲眄镲-+=?镲îïîuu u r uuu r 即m m取.）=m ………5分设直线AB 与平面1BCD 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||AB AB AB q ×=<>==uu u ruu u r uuu rm m m 因为π[0,],2q Î 所以π=.3q 即直线AB 与平面1BCD 所成角的大小为π3.…………8分 (II) 假设在线段1AA 上存在点P ，使得二面角1A BC P --的大小为30︒. 设1([0,1])AP AA λλ=∈，由1(0,1A -得(0,).P λ-…………….9分(0,1,0),(1,),BC BP λ==-- 设平面BCP 的法向量为111(,,)x y z =n ，由11110,0,0.0.y BC x λy z BP ììï=ï?ï镲眄镲--+=?镲îïîuu u r uu r 得n n取,0,1.=）n ……….11分 由（I ）知，平面11BCD A的法向量,=）m ………………………12分所以1cos30[0,1].||||3解得λ⋅︒====∈m n m n 所以在线段1AA 上存在一点P ，且113AP AA =，使得二面角1A BC P --的大小为30.︒ …………14分（20）（本小题满分14分）解：(I)根据题意，2221,2.b c e a a b c ìï=ïïïï==íïïïï=+ïïî解得2,1.a b c ì=ïïïï=íïï=ïïî故椭圆C 的方程为22143x y +=…………………………5分(II) 根据题意，直线l的方程为1)y x =-.设1122(,),(,)P x y Q x y .由223412,1)x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得215240.x x -=解得8(0,(5P Q .法一：212111122255POQ S OF y y y y ∆=⋅-=-=⨯=.法二：165PQ ==,原点O 到直线l的距离2d ==.所以1116225POQ S PQ d ∆=⋅=⨯=…………………………10分 (III) ① 当直线l 的斜率为0时，0m =………………………………11分 ② 设直线l 的方程为(1) (0)y k x k =-≠.设1122(,),(,)P x y Q x y ,由223412(1)x y y k x ，⎧+=⎨=-⎩ 得2222(34)84120.k x k x k +-+-= 由韦达定理得2122834k x x k +=+, 212122286(2)(2)3434k ky y k x x k k k -+=+-=-=++. 所以PQ 的中点22243(,)3434k kN k k-++ . 若PM QM =，则MN PQ ⊥, 所以 1.MN PQk k ⋅=-即22230341434kk k km k--+⋅=--+. 解得22213344k m k k ==++ .所以104m <<. 综上，在x 轴上存在点(,0)M m ，满足PM QM =，且m 的取值范围是1[0,).4…14分 （21）（本小题满分14分）解：(I) 证明：12121211(,0),(,0),,,A B A B A a A a A B A B k k a a-====- 1221A B A B k k a，⋅=-因为1a >，所以121A B A B k k ，⋅≠-即1A B 与2A B 不垂直.所以12BA A D 不是点B 的“特征三角形”.……………………………………4分(II)当2a =时，椭圆222:1,(2,0).4x G y A += 因为点2A 是椭圆G 的“T 点”，且2A MN ∆是点2A 的一个“特征三角形”， 不妨设(,)M m n ,(,)N m n -(22).m -<<由题意得：221,2214n n m m m n -⎧⋅=-⎪⎪--⎨⎪+=⎪⎩解得6,545m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩或2,0m n =⎧⎨=⎩（舍） 所以6464(,),(,)5555M N -（或6464(,),(,)5555M N -）……………………………………….8分 （III ）点B 是椭圆G 的“T 点”. 不妨设点B 的“特征三角形”为BPQ ∆. 设直线BP 的方程为1(0)y kx k =+>，则直线BQ 的方程为11(0)y x k k=-+>， 由222+1,1y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(1)20a k x a kx ++=.因为(0,1)B ，所以222222221(,)11a k a k P a k a k--++.所以||BP ==22221a a k =+同理可得||BQ =.因为||BP BQ ==， 即22(1)[(1)1]0k k a k -+-+=.（1） 所以1k =或22(1)10k a k +-+=（2）.由（2）式可得2222(1)4(1)(3)a a a ∆=--=+-.当a =（2）式有两个相等的正根1，所以（1）式有三个相等的正根为1k =；当a >（2）式有两个不等于1 的正根，所以（1）式有三个不相等的正根；当1a <<（2）式无实根，所以（1）式只有一个正根为1k =.综上：当1a <≤时，满足条件的“特征三角形”有1个.当a >3个. …………………….14分。
北京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 11a =84a =234567a a a a a a A ．32 B ．64 C ．128 D ．256【答案】B【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等比数列中，，， {}n a 11a =84a =则，273645184a a a a a a a a ====所以.7323456464a a a a a a ==故选：B2．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则点到右焦点的距离为（ ）22:1916x y C -=P P A ．3 B ．15 C ．15或3 D ．10【答案】C【分析】由双曲线的定义求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，1F 2F因为双曲线方程为，所以，，，22:1916x y C -=3a =4b =5c ==由双曲线的定义得，则， 122PF PF a -=126PF PF -=126PF PF -=±又因为，所以或，19PF =215PF =3由双曲线的性质可知，到焦点距离的最小值为， P 5323c a -=-=<故选：C3．设函数在点处的切线方程为，则（ ）()f x (1,(1))f 43y x =-()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆A ． B ．C ．D ．4213-【答案】A【分析】根据导数的几何意义可知，再根据导数值的定义即可选出答案. (1)f '【详解】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即()()11lim(1)x f x f f x∆→+∆-'=∆(1)4f '=.()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆故选：A4．数列满足，，则（ ） {}n a 111n na a +=-13a =2023a =A ．3B ．C ．D ．12-5223【答案】A【分析】根据递推公式求得数列中的前几项，从而得到数列的周期，由此即可求得的值. 2023a 【详解】因为，， 111n na a +=-13a =所以，1132111111111111111111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++------=======---------所以数列是以3为周期的周期数列， {}n a 故. 20231367413a a a +⨯===故选：A.5．已知抛物线，直线l 过定点P （0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有（ ）条 2:4C y x =-A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，(0,1)P 一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.【详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称(0,1)P l 2:4C y x =-l 轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线与抛物线的对称轴平行时，则直线的方程为：，满足条件；l l 1y =当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相l (0,1)P x 切，易知：是其中一条，0x =不妨设另一条直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得：，则l 1y kx =+l 22(24)10k x k x +++=有，解得：，22(24)40k k ∆=+-=1k =-所以过点的直线的方程为：或或， (0,1)P l 1y =0x =1y x =-+故选：.C 6．已知，，则数列的通项公式是（ ）12a =()1+=-n n n a n a a {}n a n a =A ．n B ． C ．2nD ．1n +1nn n +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 11n n a n a n++=【详解】解：由，得， ()1+=-n n n a n a a ()11n n n a na ++=即， 11n n a n a n++=则，，，…，，11n n a n a n -=-1212n n a n a n ---=-2323n n a n a n ---=-2121a a =由累乘法可得，因为，所以，1na n a =12a =2n a n =故选：C ．7．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A ．6天 495人 B ．7天 602人 C ．8天 716人 D ．9天 795人【答案】B【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数{}n a 165a =列，解方程可得所求值．【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且n n a {}n a ，，123216a a a =++21300n n n a a a --++=∴，， 13002161723n a a ++==107n a =∴天 1177n a a n -=+=则目前派出的人数为人，()17776022a a S +==故选：B ．8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得()()22:5121C x y -+-=(0,),(0,)(0)A m B m m ->C P ，则的最小值为（ ）90APB ∠= m A ．14 B ．13 C ．12 D ．11【答案】C【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的AB O C m 取值范围，由此求得的最小值.m【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆AB O 222x y m +=1r m =的圆心为，半径为.()()22:5121C x y -+-=()5,12C 21r =要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， C P 90APB ∠=︒O C所以，即，1212r r OC r r -≤≤+1m +所以， 11313113113113113m m m m m ⎧-≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨+≥+≤-+≥⎪⎩⎩或⇒12141212m m m -≤≤⎧⎨≤-≥⎩或又，所以，所以的最小值为. 0m >1214m ≤≤m 12故选：C二、多选题9．已知等差数列则（ ） 10,7,4,, A ．该数列的通项公式为 313n a n =-+B ．是该数列的第13项 25-C ．该数列的前5项和最大D ．设该数列为，则 {}n a 1238||||||||48a a a a ++++= 【答案】AD【分析】根据首项和公差求出和，利用和计算可得答案.n a n S n a n S 【详解】依题意，所以，故A 正确； 110,3a d ==-1(1)103(1)313n a a n d n n =+-=--=-+由，得，故B 不正确； 31325n a n =-+=-38133n =≠由，得，由，得，所以该数列的前4项和最大，故C 不3130n a n =-+≥4n ≤3130n a n =-+<5n ≥正确；，(1)10(3)2n n n S n -=+⨯-23232n n-+= 123812345678||||||||()a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++ 482S S =-，故D 正确. 223423438238222-⨯+⨯-⨯+⨯=⨯-48=故选：AD10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）22230M x y x +--=：A ．点（2，0）在圆M 内B ．圆M 关于对称10x y +-=CD ．直线与圆M 的相交所得弦长为10x +=【答案】ABD【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系判断A ，判断点与直线的位置关系，判断M 10x y +-=B ；配方后得到圆的半径，判断C ；利用弦长公式求弦长判断D. 【详解】整理得：，22230x y x +--=()2214x y -+=因为，时，∴点在圆M 内，A 正确； 2x =0y =222330x y x +--=-<()2,0因为圆心在直线上，所以圆M 关于对称，B 正确； ()1,0M 10x y +-=10x y +-=因为圆M 半径为2，故C 错误；∵圆心到直线的距离为，()1,0M 10x +=1d ==所以直线与圆M 的相交所得弦长为，D 正确. 10x +==故选：ABD.11．已知数列满足，其中，Sn 为数列{}的前n 项{}n a ()12321n a a n a n +++-= ()21nn a b n =+n b和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A ．B ．数列{}的通项公式为： 11a =n a 121n a n =+C ．数列{}为递减数列 D ．若对于任意的都有，则 n a *N n ∈n S λ<12λ≥【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；根据递减数列的定义判断1n =1a n S n a {}n a 数列的单调性，利用裂项相消法求数列的前n 项和，由条件求的范围. {}n b λ【详解】因为，()12321n a a n a n +++-= 所以当时，， 2n ≥()1213231n a a n a n -+++-=- 两式相减得，所以， ()211n n a -=121n a n =-又因为当时，满足上式，1n =11a =所以数列的通项公式为：，故A 正确，B 错误， {}n a 121n a n =-因为，，所以， 121n a n =-N n *∈()()1112021212121n n a a n n n n +-=-=-<+-+-所以，所以数列为递减数列，故C 正确；1n n a a +<{}n a ，()()()111121212122121n n a b n n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭所以 12n n S b b b =+++ ， 11111111111232352212124221n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为对于任意的都有，所以，其中，*N n ∈n S λ<max 21n n λ⎛⎫< ⎪+⎝⎭*N n ∈又，所以，故D 正确. 1121221n n n =<++12λ≥故选：ACD.12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l 上，过点1F 2F 222:1(0)4x yC b b-=>(4,0)M -2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 与双曲线左右两支各一个交点，则直线l 的斜率范围为）(,)22b b-B ．点2F C ．若直线AB垂直于x 轴，且△ABM 为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D ．记的内切圆的半径为r 1，的内切圆的半径为，若，则12AF F △1I 12BF F △2I 2r 124r r =b =【答案】ACD【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理l 即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三A bB ABM :角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三245AMF ∠<︒24b c a +>C 角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即x a =c b 可判断选项.D 【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：， A l l (4)y k x =+设直线与双曲线左右两支的交点分别为，，l 11(,)P x y 22(,)Q x y 联立方程组，整理可得：，22214(4)x y b y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩222222(4)326440b k x k x k b ----=则，也即，解得：，故选项正确； 22122264404k b x x b k --⋅=<-2240b k ->22b b k -<<A 对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：B 2(,0)F c 0bx ay ±=点到双曲线渐近线的距离错误；2F d b ==≠B 对于，若直线AB 垂直于x 轴，则直线的方程为：，设点，，要使C AB x c =2(,)bA c a2(,b B c a-为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：，ABM :245AMF ∠<︒则，即，所以，22F M AF >24b c a+>24b ac a <+又因为，则，也即，整理可得：，则2a =2242b ac a ac a <+=+2222c a ac a -<+2230c ac a --<， 230e e --<e <1e >所以，故选项正确； e ∈C 对于，过分别作的垂线，垂足为，D 1I 1212,,AF AF F F ,,DE F则，因为，1122,,AD AE F D F F F F F E ===122AF AF a -=则，又因，1212()()2AD DF AE EF F F F F a +-+=-=12122F F F F F F c =+=则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以11FF OF OF a c =+=+OF a =1I x a =2I x a =轴，12I I x ⊥因为，1212122221,I F A I F F I F B I F F ∠=∠∠=∠则，所以， 1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==22190I F I ∠=︒由可知：，则，也即，1222I FF F FI :::1222I F F F F FI F=2212IF I F FF ⋅=212()r r c a ⋅=-因为，，所以，，故选项正确，2a =124r r =4c =b ==D故选：.ACD三、填空题13．已知直线l 1，若，则实数a =______. ()210130x ay l a x y +-=+++=：，：12l l ⊥【答案】##12-0.5-【分析】根据若，则，运算求解. 12l l ⊥12120A A B B +=【详解】若，则，解得.12l l ⊥()1110a a ⨯++⨯=12a =-故答案为：.12-14．已知函数，则=______. 2()ln 31f x x x x =+-1f '（）【答案】7【分析】求出的导数，再将代入，即可得答案. ()f x ()f x '1x =【详解】解：因为， 2()ln 31f x x x x =+-所以，1()ln 6ln 61f x x x x x x x'=+⋅+=++所以. (1)ln16117f '=+⋅+=故答案为：715．设椭圆的左、右焦点分别为、，点M 、N 在C 上（M 位于第一象2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 限），且点M 、N 关于原点O 对称，若，则C 的离心率为______.12290,2||||MF N MF NF ︒∠==【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率. 12MF NF 【详解】依题意，作图如下，因为点关于原点对称，所以为的中点，,M N O O MN且为的中点，，所以四边形为矩形，O 12F F 190N MF ︒∠=12MF NF 由，设 222MF NF =21,2,MF x MF x ==由椭圆的定义知，解得： 212,MF MF a +=2124,,33a a MF MF ==所以()22224233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：，因为， 259e =01e <<所以 e =四、双空题16．已知数列满足，，则______；高斯是德国著名的数学家，近代数学{}n a 11a =12n n a a n ++=3a =奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，称为x ∈R []x x ()[]f x x =高斯函数.设，且数列的前项和为，则______. []1g n n b a ={}n b n n T 2022T =【答案】34956【分析】根据递推公式一一计算即可求出，再归纳出的通项，最后结合高斯函数的定义并项3a {}n a 求和计算可得.【详解】解：因为，， 11a =12n n a a n ++=当时，则， 1n =122a a +=21a =当时，则， 2n =324a a +=33a =当时，则， 3n =346a a +=43a =当时，则，4n =548a a +=55a =，由此可归纳得，当为奇数时，当为偶数时，n n a n =n 1n a n =-显然当时成立，假设当（为奇数）时成立，即，则，即1n =11a =n k =k k a k =12k k a a k ++=也成立，1k a k +=假设当（为偶数）时成立，即，则，即也成立，故归纳成n k =k 1k a k =-12k k a a k ++=11k a k +=+立；因为，[]1g n n b a =当时，则， 110n ≤≤19n a ≤≤[]1g 0n n b a ==当时，则， 11100n ≤≤1199n a ≤≤[]1g 1n n b a ==当时，则， 1011000n ≤≤101999n a ≤≤[]1g 2n n b a ==当时，则，10012022n ≤≤10012021n a ≤≤[]1g 3n n b a ==()232320220101(1010)2(1010)3202210T ∴=⨯+⨯-+⨯-+⨯- 190290031022=⨯+⨯+⨯．4956=故答案为：，．34956五、解答题17．在数列{}中，n a ()*11534N n n a a a n +==-∈，(1)求证：是等比数列： {}2n a -(2)求数列{}的前n 项和. n a n S 【答案】(1)证明过程见详解(2)3(31)22n n S n -=+【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证； (2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.【详解】（1）由题意知：，所以， 134n n a a +=-12362(2)n n n a a a +-=-=-即，又， 1222n n a a +-=-1230a -=≠所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.{}2n a -（2）由（1）可知：，所以，23n n a -=23nn a =+所以1221n n n S a a a a a -=+++++1231(2+2+2++2+2)(33333)n n -=++++++ 3(13)213n n -=+-. 3(31)22n n -=+18．如图，正方体ABCD —的棱长为2，P 、Q 分别为BD 、的中点.1111D C B A 1CD(1)证明：PQ 平面；:11BCC B (2)求直线与平面所成角的大小. 1CD 11ABC D 【答案】(1)证明见详解 (2) π6【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；（2）先求平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角. 11ABC D 【详解】（1）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则，()()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,,1,1,0,0,1,10,0,2A B C D P Q 可得，平面的法向量，()1,0,1PQ =-u u u r11BCC B ()0,1,0n = ∵，且平面，1001100PQ n ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u r rPQ ⊄11BCC B ∴PQ 平面.:11BCC B （2）由（1）可得：， ()()()110,2,0,2,0,2,0,2,2AB AD CD ==-=-设平面的法向量为，则， 11ABC D (),,m x y z = 120220m AB y m AD x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，故，1x =0,1y z ==()1,0,1m =∵，1111cos ,2m CD m CD m CD ⋅===u r u u u ru r u u u ru r u u u r 故直线与平面所成角的正弦值为，则其大小为. 1CD 11ABC D 12π619．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，()2202C y px p =<<：1P p ⎛ ⎝32(1)求抛物线的方程：C (2)若直线（为参数）与抛物线C 交于两点，且，求直线的方程 :l y x m =+m ,A B OA OB ⊥l 【答案】(1) 22y x =(2) 2y x =-【分析】（1）利用抛物线的定义，列方程求出即可；p （2）联立直线和抛物线方程，设出，，然后用韦达定1122(,),(,)A x y B x y 12120OA OB x x y y ⊥⇔+=理求解.【详解】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，即，结合题干条P 3122pp =+件，解得，故抛物线方程为：02p <<1p =22y x =（2）设，依题意：1122(,),(,)A x y B x y ()()112212120,,00OA OB OA OB x y x y x x y y ⊥⇔⋅=⇔⋅=⇔+=，联立直线和抛物线：，得到，，解得，由韦达定22y x y x m⎧=⎨=+⎩2220y y m -+=480m ∆=->12m <理：，在抛物线上，故，于是，于是122y y m =1122(,),(,)A x y B x y 21122222y x y x ⎧=⎨=⎩22212124y y x x m ==，解得或，但时，其中一点和重合，不符题意，时，220m m +=0m =2m =-0m =,A B O 2m =-符合判别式条件.综上可知，，此时直线方程为：2m =-2y x =-20．已知数列的前n 项和为，且，______.请在①：②{}n a n S 11n n n S S a +=++*()N n ∈3914a a +=，，成等比数列：③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问2a 5a 11a 844S =题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，设数列{}的前n 项和，求证： 2nn n a b =n b n T 13n T ≤<*()N n ∈【答案】(1) 1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差.若选①，根据等差中项11n n n S S a +=++{}n a 1d =求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若6a 1a 1a d 1a n a 选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得. 1a n a （2）利用错位相减法求出，根据为正数，得，根据为递增数列，可得. n T 32n n +3nT <n T 11n T T =≥【详解】（1）由，得，得， 11n n n S S a +=++11n n n S S a +-=+11n n a a +-=所以数列为等差数列，公差.{}n a 1d =若选①，因为，所以，， 3914a a +=6214a =67a =所以，， 6157a a d =+=12a =所以，1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选②，因为，，成等比数列，所以，2a 5a 11a 25211a a a =所以，所以，2111(4)()(10)a d a d a d +=++2111(4)(1)(10)a a a +=++所以，所以. 12a =1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选③，因为，所以， 81878442S a ⨯=+=12a =所以， 1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）知，，则， 1n a n =+12n nn b +=则， 12323412222n nn T +=++++ ， 23411234122222n n n T ++=++++ 所以，23411111111222222n n n n n T T ++-=+++++- 所以， 1111(1)1142112212n n n n T -+-+=+--所以，因为为正数，所以， 332n n n T +=-32nn +3n T <因为， 11433322n n n nn n T T ++++-=--+112642022n n n n n +++--+==>所以，所以数列为递增数列， 1n n T T +>{}n T 所以， 14312n T T ≥=-=综上所述：.13n T ≤<*()N n ∈21．在平面五边形中（如图1），是梯形，，，ABCDE ABCD //AD BC 22AD BC ==AB =，是等边三角形.现将沿折起，连接，得四棱锥90ABC ∠=ADE V ADE V ADEB EC E ABCD-（如图2）且EC =(1)求证：平面平面； EAD ⊥ABCD (2)在棱上有点，满足，求二面角的余弦值. EB F 13EF EB=E AD F --【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在图1中，取的中点，连，依题意得，，如图：AD O ,OC OE OC OA ⊥OE OA ⊥则 OC AB ==2OE ==折叠后，在图2中，，如图：OE AD ⊥在中，，所以， COE :OC =OE =EC 222EC OC OE =+OE OC ⊥由，，，平面，平面， OE AD ⊥OE OC ⊥OC AD O = OC ⊂ABCD AD ⊂ABCD 得平面，又平面， OE ⊥ABCD OE ⊂EAD 所以平面平面。
高中数学选择性必修二 北京市昌平区新学道临川学校高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
高二数学理科试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列 中，若 ， ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列通项公式可求得 ，由 可求得结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ， .
【详解】抛物线 ( )的准线为： ，
因为准线经过点 ，可得 ，即 ，
所以抛物线为 ，焦点坐标为 ，
故选：B.
11.椭圆 内有一点 过点 的弦恰好以 为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点差法得到直线斜率和中点之间的关系，即可得解.
【详解】设弦的两个端点为 ，
即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过 ，
再根据对称性可知，曲线C上的所有点到原点的距离都不超过 ，②正确；
对于③，因为在x轴上方，图形面积大于四点（﹣1，0），
（1，0），（1，1），（﹣1，1）围成的矩形面积1×2＝2，
在x轴下方，图形面积大于三点（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1）围成的等腰直角三角形的面积 ×2×1＝1，
故选：C.
2.在等比数列 中， ， ，则 与 的等比中项是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出 的值，利用等比中项的定义可求得结果.
【详解】由已知可得 ，由等比中项的性质可得 ，
因此， 与 的等比中项是 .
故选：A.
3.若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
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2019-2020学年北京市昌平区高二年级（上）期末数学试卷数学试卷 2020.1本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 命题p ：x ∃∈R ，20xx +>，则⌝p 为A. x ∀∈R ，20x x +≤ B. x ∀∈R ，20x x +< C. x ∃∈R ，20x x +≤ D. x ∃∈R ，20x x +<2. 在等差数列中，172,8a a ==，则4a 的值为A ．3B ．4C ．5D ．103．已知双曲线221x y k-= 的一个焦点坐标是20（，），那么k 的值为 A. 1 B.C. 3D. 54. 若a b >，则下列不等式成立的是 A. ac bc > B. 22a b > C.11a b< D. a c b c ->-5. 函数4()(1)1f x x x x =+>-的最小值是 A ．3 B. 4 C. 5 D. 66.“1m <-”是“关于x 的方程2(1)0mx m x m --+=无实根”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件{}n a7. 北京冬季奥运会将在2022年2月4日至2月20日举行，北京、张家口同为主办城市，这是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办的奥运赛事.冬季奥运会自1924年举办第一届以后，每四年举办一届. 因战争原因，1940年和1944年没有举办冬季奥运会. 1986年，国际奥委会全会决定将冬季奥运会和夏季奥运会从1994年起分开，每两年间隔举行，1992年冬季奥运会是最后一届与夏季奥运会同年举行的冬季奥运会.历届冬季奥运会安排时间表如下：那么n 的值为A ．32 B. 29 C. 26 D. 248. 在长方体1111D C B A ABCD -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BD 与平面ABCD 所成 角的正弦值为A ．2B ．13C ． 3D ．39. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ,点P 是椭圆上一点，且212PF F F ⊥,1230PF F ∠=︒, 那么椭圆的离心率是A. 13B. C. 1 D.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面ABCD 内的动点 . 若11D P B D ⊥，则点P 的轨迹是A ．椭圆B . 双曲线 C. 抛物线 D. 线段第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11.函数()f x =___________.12. 已知双曲线C :2214x y -=, 则双曲线C 的渐近线方程是________, 离心率=e ________.13. 若数列{}n a 满足12n n a a +=，且12a =，则数列{}n a 的通项公式=n a _________.14. 若抛物线 24x y =上一点M 到焦点F 的距离为3，则点M 到x 轴的距离是_________. 15. 不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，对,,a b c 有以下结论：① 0a >； ② 0b >； ③ 0c >； ④ 0a b c -+>. 其中所有正确结论的序号是_________.16. 大衍数列来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 我们把这个数列记作{}n a ，其通项公式2212=,2n n n a n n ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数. 若将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下三角形数表：其中第i 行有21i -个数，且(,)A i j 表示第i 行中从左向右第j 个数，*,i j ∈N , 则（1）98是第4行中从左向右第_________个数； （2）(9,5)A 的值是 _________.0 2 4 812 18 24 32 40— — — — — — —……三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. (本小题满分14分)已知抛物线C: 22(0)y px p =>过点(4,4)M .（I ） 求抛物线C 的方程,并求其准线方程；（II ）若斜率为1的直线l 过焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，求||AB .18. (本小题满分14分)已知等差数列的公差0d >，首项11a =，125,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19. (本小题满分14分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，⊥PD 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形， 2==CD PD ，1=AD ，M 是线段PC 的中点 .（Ⅰ）求证：⊥AD 平面PCD ； （Ⅱ）求二面角C BD M --的余弦值；（Ⅲ）求证：对于线段BD 上的任意一点N ，MN 与PA 都不垂直.{}n a {}n a BCD PM20. (本小题满分14分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点)0,2(-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点)0,4(P ，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆相交于M N ，两点（点,,P M N 三点不共线），记直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．试判断12k k +是否是定值？若是定值，请求出此定值；若不是定值，请说明理由．21. (本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1241n n S a n +=--，且11a =，*n ∈N .（Ⅰ）求23a a ，的值；（Ⅱ）求证：数列{}2n a +是等比数列; （Ⅲ）设数列{}n b 满足1114n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 的前n 项和15n T <.昌平区2019－2020学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 2020.1一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）11.{|1}x x ≥ 12. 12y x =± 13. 2n 14. 2 15. ③ ④ 16. 5; 2380三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分14分)解：（I ） 由题意可得2p =， ………………2分所以 抛物线C 的方程是24y x =，……………… 4分准线方程是1x =-. ………………6分 （II ）由题意可知 焦点(1,0)F ，直线l 的方程是1yx =-.………………8分设1122()()A x y B x y ，，，由 241y x y x ⎧=⎨=-⎩ ，得 22610,(6)4320x x -+=∆=--=>，………………10分可得 12126,1x x x x +==. ………………11分|8.AB == ………………14分18. (本小题满分14分)解：（I ）由题意可得2215a a a =，即2111()(4)a d a a d +=+, ………………2分得 2(1)14d d +=+，整理得 (2)0d d -=，解得 0d =或 2.d = 又因为 0d >，所以 2d =. ………………4分所以 21n a n =- . ………………6分 （II ）(2482)(135721)n n S n =++++++++++-2(12)(121)122n n n -+-=+- 1222n n +=+-. ………………14分19. (本小题满分14分)（Ⅰ）证明：因为 ⊥PD 底面ABCD ，⊂AD 平面ABCD ， 所以 PD AD ⊥.因为 底面ABCD 是矩形， 所以 CD AD ⊥. 因为 D CD PD = ,所以 ⊥AD 平面PCD . ………………4分（Ⅱ）因为 ⊥PD 平面ABCD ，CD AD ⊥， 所以 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 为x ， y ，z 轴建立空间直角坐标系xyz D -．则)0,0,0(D ，(1,0,0)A ，)0,2,1(B ，)2,0,0(P ， )0,2,0(C ，)1,1,0(M . ……5分所以 )1,1,0(=，)0,2,1(=.设平面MBD 的一个法向量),,(z y x =，ACDPM因为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅020y x DB n z y ，所以 ⎩⎨⎧-=-=yx yz 2．令1-=y，得)1,1,2(-=n ． ……………………7分因为 平面BCD 的一个法向量)1,0,0(=，………………………8分 所以cos ,6m n m n m n⋅<>===⋅. ………………………9分 因为 所求二面角为锐角，所以 二面角C BD M --的余弦值是66．……………………10分 （Ⅲ）证明：设),,(z y x N ，且)10(≤≤=λλDB DN ，由)0,2,1(),,(λ=z y x ，得)0,2,(λλN . …………………11分 所以 )1,12,(--=λλ． 因为 )2,0,1(-=，所以 2+=⋅λ， …………………12分 因为 10≤≤λ，所以 0≠⋅． …………………13分 所以 直线MN 与PA 不垂直. ………………14分20. (本小题满分14分)（Ⅰ）解：依题意得142=a ，所以 2a =．因为 12c e a ==，所以 1c =． 所以222c a b -==3．所以 椭圆C 的方程为 22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）021=+k k 是定值 . …………………5分 由题意可知 椭圆的右焦点(1,0)F ．（1）当直线 l 的斜率不存在时，1:=x l , 此时)23,1(M ，)23,1(-N ,所以21410231-=--=k ，21410232=---=k , 所以 021=+k k . ……………7分 （2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l ：(1)(0)y k x k=-≠. ……………8分由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=， 所以21441440k ∆=+>. ……………9分设11(,)M x y ，22(,)N x y ．则 2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k-=+． ………10分 所以 1212121212(1)(1)4444y y k x k x k k x x x x --+=+=+---- )4)(4()]4)(1()4)(1[(211221----+--=x x x x x x k ． ………………11分因为 8)(52)4)(1()4)(1(21211221++-=--+--x x x x x x x x0433224402488434043)3(822222222=+++--=++-+-=k k k k k k k k ． 所以 021=+k k ． ……………………………………13分综上所述，021=+k k ． ……………………………………14分21. (本小题满分14分)（Ⅰ）略解：23725a a ==；. ……………………4分 （Ⅱ）证明：当2n ≥时，1241n n S a n +=--， ①()12411n n S a n -=---，② -①② 得 ()()()1122441,n n n n S S a n a n -+-=----所以 ()11224,n n n n n S S a a a -+-==--,所以 134n n a a +=+,所以 ()1234232,n n n a a a ++=++=+ 又因为 123a +=，229a +=，所以21232a a +=+， 所以1232n n a a ++=+,*n ∈N .所以，数列{}2n a +是以3为首项，3为公比的等比数列. ……………………10分（Ⅲ） 证明： 由（Ⅱ）知 32nn a =-.因为 1114n n n b a a +=-+ 11113232113232n n n n ++=-+-<-++12n n T b b b =+++111111151111293+23+2n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11153+2n +=-. 又因为 当*n ∈N 时，11>03+2n +,所以 15n T <. ……………………14分[以上答案仅供参考]。