高考数学二轮复习 不等式试题体验应用 理(1)
高考数学(理)二轮练习：数列、不等式(含答案)
数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . (4)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A3．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n －m .(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . (5)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)10 4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________． 答案 925．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫23，16．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件． 答案 充分不必要7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)(1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． (2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案 98．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．答案22易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 错解 －1找准失分点 当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1. 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 错解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132 所以S k ＝2k 2－23k ＋132.找准失分点 忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．正解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0. 当k ≤6时，S k ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝－2k 2＋23k .当k ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132，所以S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7).易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 错解 150或－200找准失分点 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2或r ＝－3(舍去)， ∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150.答案 150易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．错解 由⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4 ≥2ab ＋2ab＋4≥4ab ·1ab＋4＝8， 得⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是8. 找准失分点 两次利用基本不等式，等号不能同时取到． 正解 ⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋4 ＝[(a ＋b )2－2ab ]＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－2ab ＋4＝(1－2ab )⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4 由ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，得1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b 2≥16,1＋1a 2b 2≥17. ∴原式≥12×17＋4＝252(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是252.1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28答案 C解析 因为a 3＋a 8＝10，所以由等差数列的性质，得a 5＋a 6＝10， 所以3a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝20，选C.2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 由1a <1b<0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确； 由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，所以a >b ，即③错误，选B.3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e答案 A解析 x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，14ln x ·ln y ＝(14)2，即14＝ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y 2)2，ln x ＋ln y ≥1，ln xy ≥1，故xy ≥e.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3答案 A解析 ∵{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也构成等比数列， 记S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，可得S 10－S 5＝－k ， 进而得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，故S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．396答案 C解析 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.6．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________． 答案 2 2解析 点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则m ＋2n ＝1；2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ·22n ＝22m＋2n＝2 2.7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．答案 4解析 由x ，a ，b ，y 成等差数列知a ＋b ＝x ＋y ，① 由x ，c ，d ，y 成等比数列知cd ＝xy ，②把①②代入(a ＋b )2cd 得(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ≥4，∴(a ＋b )2cd的最小值为4.8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．答案 4解析 画出可行域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z ， 令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时， 截距z 有最大值， 故z max ＝2×2＋2＝4.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________． 答案 (4,8)解析 ∵{a n }是单调递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2>0a >1(4－a 2)×6＋4<a2，⎩⎪⎨⎪⎧a <8a >1a <－7或a >4， ∴4<a <8.10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，①知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1， 整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项． 当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，① 2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n ＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。
福建省福州市高考数学二轮复习 专题训练一 不等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的取值范围是( )A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23 B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23 C ． []6,1-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,6【答案】A2．已知c d <, 0a b >>,下列不等式中必然成立．．．．的一个是( ) A ． a c b d +>+ B ．a c b d ->- C ．ad bc <D ．dbc a > 【答案】B3．下列命题正确的是( )A ．ac bc a b <⇒<B ．lg lg a b a b <⇒<C ．11a b a b<⇒> Da b <【答案】D4．对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ． )2,(--∞B ． ),2[+∞-C ． ]2,2[-D ． ),0[+∞【答案】B5．点P 的坐标(,)x y 满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线l 与圆22:14C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值是( ) A．B ．4C．D ．3【答案】B6．当[]12x ∈,时不等式240x mx -+-<恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ． (],4-∞B ． []4,5C ． (),4-∞D ． [)5,+∞【答案】C7．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师人数最多是( ) A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C8．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为( )A ．12＜x ＜1B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜1 【答案】B9．已知,x y 满足约束条件02,02,32,x y z ax y y x ≤≤⎧⎪≤≤=-⎨⎪-≥⎩如果的最大值的最优解为4(2,)3，则a 的取值范围是( ) A ．1[,1]3B ．1(,1)3C ．1[,)3+∞D ．1(,)3+∞【答案】C10．已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，则OA ·OM的取值范围是( ) A ．[-1．0] B ．[0．1] C ．[0．2] D ．[-1．2] 【答案】C11．已知实数,x y 满足220,2,1,x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则342z x y =+-的最大值为( ) A ．8B ．6C ．5D ．1【答案】A12．若实数a 、b 满足2a b +=，则33a b +的最小值是( )A ．18B ．6C ．D ．【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在R 上定义运算⊙：a ⊙b b a ab ++=2，则满足x ⊙()02<-x 的实数x 的取值范围是____________。
高考数学二轮复习 不等式的综合运用
高考数学二轮复习 不等式的综合运用主干知识提炼1知识精讲：在前面几节课学习的不等式的性质、证明和解不等式的基础上运用不等式的的知识和思想方法分析、解决一些涉及不等式关系的问题.2重点难点: 善于将一个表面上看来并非是不等式的问题借助不等式的有关部门知识来解决. 3思维方式: 合理转化；正确应用基本不等式；必要时数形结合.4特别注意: 应用基本不等式时一定要注意应用的条件有否满足，还要检验等号能否成立. 典型问题研究1．★某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则 【 】A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。
正确答案为B 。
2．★已知函数y=㏒21(3x )52+-ax 在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值X 围A a ≤-6B -60＜a ＜-6C -8＜a ≤-6D －8≤a ≤-6【 】 正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。
3．★★已知实数x 、y 、z 满足x+y+z=0,xyz ＞0记T=x 1＋y 1＋z1,则【 】 A T ＞0 B T=0 C T ＜0 D 以上都非正确答案： C 错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断T 的符号改为判定 xyz(x1＋y 1＋z1)的符号。
4．★★下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是【 】 A ． 甲 a ＞b ，乙a 1 ＜b1B 甲 ab ＜0，乙 ∣a+b ∣＜∣a －b ∣C 甲 a=b ，乙 a ＋b=2abD 甲 ⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙 ⎩⎨⎧<-<-<+<2120b a b a正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。
5．f(x)=︱2x—1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则【 】 A a ＜0,b ＜0,c ＜0 B a ＜0,b ＞0,c ＞0 C 2a-＜2c D 22+a c＜2正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。
高考数学第二轮复习不等式含详解
2009年高考数学第二轮执点专题测试：不等式（含详解）2、已知集合{1,1}M=-，1{|22,}4x N x x Z -=<<∈则M N =I （ ） (A) {1,1}- (B) {1}- (C) {1}(D) {1,0}-3、设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①22(3)2611a a a +>++；②)1(222--≥+b a b a ；③3322a b a b ab +>+；④2>+abb a 。
上述4个式子中恒成立的有 （ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4、对于实数a b 、，“()0b b a -≤”是“1ab≥”成立的( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件5、若关于x 的不等式4)1(42+≤+k x k 的解集是M ，则对任意实数k ，总有 （ ）A ．2∈M ，0∉MB ．2∉M ，0∉MC ．2∉M ，0∈MD ．2∈M ，0∈M6、函数y ＝)3(2log x x -的定义域是（ ）（A ）{x ∣0＜x ＜3} （B ）{x ∣x<0或x ＞3} （C ）{x ∣x ≤0或x ≥3} （D ）{x ∣0≤x ≤3} 7、已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a （ ）(A)21≤ab (B) 21≥ab (C) 322≤+b a (D) 222≥+b a 8、若不等式f （x ）＝2ax x c --＞0的解集{}|21x x -<<，则函数y ＝f （－x ）的图象为（ ）9．若直线）0,(022>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ba 11+的最小值是（ ）A ．4B ．2C ．41 D ．21 10、若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( ) A ．34B ．1C ．74D ．511、若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 12、已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ，则事件A 发生的概率为（ ） （A ）165 （B ）83 （C ）85 （D ）87 二、填空题13、集合{}2|430A x x x =-+<，{}|(2)(4)0B x x x =--<，则A B =I ．14、已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ．15、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为＿＿＿16、若不等式142x x a +--≥0在[1，2]上恒成立，则a 的取值范围为 ．三、解答题17、记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．18、如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为,x y (单位:米)的矩形,上部是斜边长为x 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米. （Ⅰ）求,x y 的关系式，并求x 的取值范围； （Ⅱ）问,x y 分别为多少时用料最省?19、某物流公司购买了一块长30AM =米，宽20AN =米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．（1）要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围内？（2）若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体形建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？（墙体及楼板所占空间忽略不计） 20、某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备？MCB A21、命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <，命题:q 实数x 满足260x x --≤或2280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．22、某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5m ，060BCD ∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造解：由11224x -<<，得211222x --<<，即,－2＜x －1＜1，即－1＜x ＜2，又x ∈Z ，所以x 为0，1，即N ＝{0，1}，故可选（C ）。
高考数学(理)二轮专题练习：数列、不等式(含答案)
数列、不等式S 1n ＝ 1．已知前 n 和 S n ＝a 1＋ a 2＋ a 3＋ ⋯ ＋a n ， a n ＝ .S n － S n －1n由 S n 求 a n ，易忽视 n ＝1 的状况．[1] 已知数列 { a n } 的前 n 和 S n ＝ n 2＋ 1， a n ＝ ________. 答案2， n ＝ 12n － 1，n ≥22．等差数列的相关观点及性(1) 等差数列的判断方法：定 法a n ＋ 1－ a n ＝ d(d 常数 )或 a n ＋1－ a n ＝ a n － a n －1 (n ≥ 2)．(2) 等差数列的通 ： a n ＝ a 1＋ ( n － 1)d 或 a n ＝ a m ＋ (n － m)d.(3) 等差数列的前 n 和： S n ＝n a 1＋ a n ， S n ＝ na 1＋ n n －d.22(4) 等差数列的性①当公差 d ≠0 ，等差数列的通 公式a n ＝ a 1＋ (n － 1) ·d ＝ dn ＋ a 1 －d 是对于 n 的一次函数， n n －d 2 d且斜率 公差 d ；前 n 和 S n ＝ na 1＋2d ＝n ＋(a 1－ )n 是对于 n 的二次函数且常数220.②若公差 d>0， 增等差数列；若公差 d<0， 减等差数列；若公差d ＝ 0， 常数列．③当 m ＋ n ＝ p ＋ q ， 有 a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q ，特 地，当 m ＋ n ＝ 2p ， 有 a m ＋ a n ＝ 2a p .④ S n ， S 2n － S n ， S 3n － S 2n 成等差数列．nn ，且 S 10＝ 12，S 20＝17， S 30 ()[2] 已知等差数列 { a } 的前 n 和 SA ．15B ． 20C ． 25D ．30答案 A3．等比数列的相关观点及性(1) 等比数列的判断方法：定 法a n＋1＝ q(q 常数 )，此中 q ≠0， a n ≠0或a n＋1＝a n(n ≥ 2)．如一a na n a n －1个等比数列 { a n } 共有 2n ＋ 1 ，奇数 之100，偶数 之120， a n ＋ 1＝5.6(2) 等比数列的通 ： a n ＝ a 1q n － 1 或 a n ＝a m q n － m.(3) a 1－q n a 1－ a n q等比数列的前 n 和：当 q ＝1 ， S n ＝ na 1 ；当 q ≠1 ， S n ＝1－ q＝.1－ q易 警告 ：因为等比数列前n 和公式有两种形式， 此在求等比数列前n 和 ，第一要判断公比 q 能否1，再由q 的状况 乞降公式的形式，当不可以判断公比q 能否1 ，要q 分 q ＝ 1 和q ≠1两种情况 求解．(4) 等比中 ：若a ， A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中 ． 得注意的是，不是任何两数都有等比中 ，只有同号两数才存在等比中 ，且有两个，即 ± ab.如已知两个正数 a ， b( a ≠b)的等差中A ，等比中B ，A 与B 的大小关系A>B.(5) 等比数列的性当 m ＋ n ＝ p ＋ q ， 有a m ·a n ＝ a p ·a q ，特 地，当 m ＋ n ＝ 2p ， 有 a m ·a n ＝ a2p.[3] (1)在等比数列 { a n } 中，a 3＋ a 8＝ 124，a 4a 7＝－ 512，公比 q 是整数，a 10＝________.(2) 各 均 正数的等比数列 { a n } 中，若 a 5·a 6＝ 9， log 3a 1＋log 3a 2＋ ⋯＋ log 3a 10＝ ________.答案(1)512 (2)104．数列乞降的方法(1) 公式法：等差数列、等比数列乞降公式；(2) 分 乞降法； (3) 倒序相加法； (4) 位相减法；(5) 裂 法；如：11－ 1；1 ＝ 1 1 1 n n ＋＝n ＋ kk －n ＋ k.n n ＋ 1 nn(6) 并 法．数列乞降 要明确： 数、通 ，并注意依据通 的特色 取适合的方法．[ 4] 数列 { a n } 足 a n ＋ a n ＋1 ＝12(n ∈ N ， n ≥ 1)，若 a 2＝ 1，S n 是 { a n } 的前 n 和， S 21 的________．9 答案25．在求不等式的解集、定 域及 域 ，其 果必定要用会合或区 表示，不可以直接用不等式表示．[ 5]不等式－ 3x 2＋ 5x － 2>0 的解集 ________．2答案， 16．不等式两头同 乘以一个数或同 除以一个数，必 个数的正 ．两个不等式相乘，必 注意同向同正 才能 行．[6] 已知 a ， b ， c ， d 正 数，且 c>d ， “a>b ”是 “ac>bd ”的 ________条件．答案 充足不用要a＋ b7．基本不等式：≥ ab (a，b>0)2(1) 推行：a2＋ b2 a＋ b2(a， b>0) ．≥≥ ab≥221＋1a b(2) 用法：已知 x， y 都是正数，①若 xy 是定 p，当 x＝ y ，和 x＋y 有最小 2 p；②若和 x＋ y 是定 s，当 x＝y ， xy 有最大1 2 4s .易警告：利用基本不等式求最，要注意“一正、二定、三相等”的条件．[7]1＋4的最小是 ________．已知 a>0， b>0， a＋ b＝1， y＝a b答案 98．解性划，要注意界的虚；注意目函数中y 的系数的正；注意最整数解．[8]x≥0，定点 A(0,1)，点 P(x， y)的坐足条件|PA|的最小是 ________．y≤x，答案22易点 1 忽等比数列中公比的分致例 1等比数列 { a n} 的前 n 和 S n，若 S3＋ S6＝ S9，数列的公比q 是 ________．解－ 1找准失分点当 q＝ 1 ，切合要求．好多考生在做本都想自然地q≠1.正解①当 q＝ 1 ， S3＋ S6＝ 9a1， S9＝9a1，∴ S3＋ S6＝ S9建立．②当 q≠1 ，由 S3＋ S6＝ S9得 a1－ q 3＋ a1－ q6＝ a1－ q91－ q1－ q1－ q∴q9－ q6－ q3＋ 1＝ 0，即 (q3－ 1)(q6－ 1)＝ 0.36∵ q≠1，∴ q － 1≠0，∴ q ＝ 1，∴ q＝－ 1.易点 2忽分或不妥致例 2 若等差数列 { a n} 的首 a1＝ 21，公差 d＝－ 4，求： S k＝ |a1 |＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a k|.解由意，知a n＝ 21－ 4(n－1)＝ 25－ 4n，25，即数列 { a n} 的前 6大于 0，从第 7 开始，此后各均小于 0.所以由 a n≥0，解得 n≤4|a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a k|＝(a1＋ a2＋ a3＋⋯＋a6 )－ (a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2(a1＋ a2＋⋯＋a6)－ (a1＋ a2＋⋯＋ a6＋ a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2k2－ 23k＋132所以 S k＝ 2k2－ 23k＋132.找准失分点忽了 k≤6 的状况，只出了k≥7 的状况．正解由意，知 a n＝ 21－ 4(n－1)＝ 25－ 4n，所以由25，即数列 { a n} 的前 6 a n≥0，解得 n≤4大于 0，从第 7 开始，此后各均小于0.当 k≤6 ，S k＝ |a1|＋ |a2 |＋⋯＋ |a k|＝ a1＋ a2＋⋯＋a k＝－ 2k2＋ 23k.当 k≥7 ， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a k|＝(a1＋ a2＋ a3＋⋯＋a6 )－ (a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2(a1＋ a2＋⋯＋a6)－ (a1＋ a2＋⋯＋ a6＋ a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2k2－ 23k＋132，－2k2＋23k k所以 S k＝k .2k2－23k＋易点 3忽等比数列中的含条件致例 3各均数的等比数列{ a n} 的前 n 和 S n，若 S10＝10，S30＝ 70， S40＝________.解150 或－ 200找准失分点数列 S10， S20－ S10， S30－ S20， S40－S30的公比 q10>0.忽视了此含条件，就生了增解－ 200.正解b1＝ S10， b2＝ S20－ S10，b3＝ S30－S20，b4＝S40－S30，b1， b2， b3， b4是以公比r ＝q10>0 的等比数列．∴b1＋ b2＋ b3＝ 10＋ 10r＋ 10r 2＝ S30＝ 70，∴r2＋ r－ 6＝ 0，∴ r ＝ 2 或 r＝－ 3(舍去 )，∴ S40＝ b1＋ b2＋ b3＋ b4＝－ 24＝150. 1－ 2答案 150易点 4忽基本不等式中等号建立的条件致例 4 已知： a>0，b>0， a＋ b＝ 1，求 a＋12＋ b＋12的最小．a b121 22 21 1错解 由 a ＋ a ＋ b ＋b ＝ a ＋ b ＋ a 2＋ b 2＋ 42 ＋ 4≥4 1 ≥2ab ＋ab ab · ＋ 4＝ 8，ab得 a ＋1a 2＋ b ＋1b 2的最小值是 8.找准失分点 两次利用基本不等式，等号不可以同时取到．正解1 2＋1 2a ＋ ab ＋b221 1 2211＝ a ＋ b ＋ a 2＋ b 2＋ 4＝ (a ＋ b)＋ a 2＋b 2＋ 4 21122＝ [(a ＋ b) －2ab]＋＋ －＋ 41＝ (1－ 2ab) 1＋a 2b 2 ＋ 4由 ab ≤a ＋ b 2＝ 1，得 1－ 2ab ≥1－1＝ 1，24 2 211且 a 2b 2≥16,1＋ a 2b 2≥17.1 2511 2＋ 1 2 的最小值是 25∴原式 ≥时，等号建立 )， ∴a ＋ab ＋ b2.2×17＋ 4＝ 2 (当且仅当 a ＝ b ＝21．在等差数列 { a n } 中，已知 a 3＋ a 8＝ 10，则 3a 5＋ a 7 等于 ( )A ．10B ．18C ． 20D ．28答案 C分析因为 a 3＋ a 8＝ 10，所以由等差数列的性质，得a 5＋ a 6＝ 10，所以 3a 5 ＋ a 7＝2a 5＋ 2a 6＝ 20，选 C.1 12．若 a <b <0 ，则以下不等式：① a ＋ b<ab ；② |a|>|b|；③ a<b 中，正确的不等式有 () A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个答案B分析1 < 1由 <0，得 a<0， b<0 ，a b故 a ＋ b<0 且 ab>0，所以 a ＋ b<ab ，即 ① 正确；1 1 <0，得1 > 1， 由 < a b a b两 同乘 |ab|，得 |b|>|a|，故 ② ；由 ①② 知 |b|>|a|， a<0， b<0，所以 a>b ，即 ③ ， B.1 13．已知， x>1 ， y>1，且 4ln x ， 4，ln y 成等比数列， xy 有 ()A ．最小 eB ．最小 eC ．最大 eD ．最大e答案 A分析x>1， y>1，且 1ln x ，1， ln y 成等比数列， 1ln x ·ln y ＝ ( 1 )2，即 1＝ ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y )2，44 4 4 42ln x ＋ ln y ≥1， ln xy ≥1，故 xy ≥e.4． 等比数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 S 10∶ S 5＝ 1∶ 2， S 15∶ S 5 等于 ( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶3答案A分析∵ { a n } 是等比数列，∴ S 5， S 10－ S 5， S 15－ S 10 也组成等比数列，S 5＝ 2k(k ≠0)， S 10＝k ，可得 S 10－ S 5＝－ k ，而得 S 15－ S 10＝12k ，于是 S 15＝ 32k ，3故S 15∶S 5＝2k ∶ 2k ＝ 3∶ 4.5．把一数列挨次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，⋯ 循 分 (1)， (3,5)，(7,9,11) ，(13)， (15,17) ，(19,21,23) ， (25) ，⋯ ， 第50 个括号内各数之和 ()A ．195B ．197C ． 392D ．396答案 C分析将三个括号作 一 ， 由 50＝ 16×3＋2，知第 50 个括号 第 17 的第二个括号，即第 50 个括号中 是两个数．又因 每 中含有6 个数，所以第 48 个括号的最末一个数数列 {2 n － 1} 的第 16×6＝96 ，第 50 个括号的第一个数 数列 {2 n － 1} 的第 98 ，即 2×98－ 1＝ 195，第二个数2×99－ 1＝ 197，故第 50 个括号内各数之和 195＋ 197＝ 392.故 C.6．已知点 A(m ， n)在直 x ＋ 2y － 1＝ 0 上， 2m ＋ 4n 的最小 ________． 答案 2 2分析点 A(m ，n)在直 x ＋ 2y －1＝ 0 上， m ＋ 2n ＝ 1；2m ＋ 4n ＝ 2m ＋22 n ≥2 2m ·22n ＝2 2m ＋2n＝ 2 2.a＋b27．已知 x>0， y>0， x， a， b，y 成等差数列， x，c， d， y 成等比数列，的最小cd是 ________．答案4分析由 x， a， b， y 成等差数列知a＋b＝ x＋ y，①由 x， c，d， y 成等比数列知 cd＝ xy，②a＋ b2a＋ b 2x＋ y 2x2＋ y2＋ 2xy≥4，∴a＋ b2把①② 代入得＝＝xy cd 的最小 4.cd cd xy0≤x≤ 28．已知平面直角坐系xOy 上的地区 D 由不等式 y≤2定．若 M(x，y) D 上的x≤ 2y点，点 A 的坐→ →( 2， 1)， z＝ OM ·OA的最大 ________．答案4分析画出可行域 D ，如中暗影部分所示，而→ →2x＋ y，z＝ OM·OA＝∴y＝－ 2x＋z，令 l0： y＝－ 2x，将 l0平移到点 ( 2， 2)，截距 z 有最大，故 z max＝2× 2＋ 2＝ 4.9．已知函数 f(x)＝－ax＋x，*)，且2(a>0， a≠ 1)．数列 { a n} 足 a n＝ f(n)(n∈Nx－5xa{ a n} 是增数列，数 a 的取范是 ________．答案(4,8)分析∵ { a n} 是增数列，a4－2>0a<8∴ a>1，a>1，－a×6＋ 4<a2a<－ 7或a>42∴ 4<a<8.10．已知正数列{ a n} ，其前 n 和 S n足 8S n＝ a2n＋ 4a n＋3，且 a2是 a1和 a7的等比中．(1)求数列 { a n} 的通公式；(2) 符号 [x] 表示不超数x 的最大整数，b n＝ [log 2(a n＋ 34)] ，求 b1＋ b2＋ b3＋⋯＋ b2n.解(1)由 8S n＝ a2n＋ 4a n＋ 3，①知 8S n－1＝a2n－1＋4a n－1＋ 3(n≥2， n∈N)．②由① －②得 8a n＝ (a n－ a n－1)( a n＋ a n－1)＋4a n－ 4a n－1，整理得 (a n－ a n－1－ 4)(a n＋ a n－1)＝ 0(n≥2， n∈N)．∵{ a n} 正数列，∴a n＋ a n－1>0，∴a n－ a n－1＝ 4(n≥2， n∈N )．∴{ a n} 公差 4 的等差数列，由 8a1＝ a21＋ 4a1＋3，得 a1＝ 3 或 a1＝ 1.当 a1＝ 3 ， a2＝ 7， a7＝ 27，不足 a2是 a1和 a7的等比中．当 a1＝ 1 ， a2＝ 5， a7＝ 25，足 a2是 a1和 a7的等比中．∴ a n＝ 1＋(n－1)4＝ 4n－ 3.(2) 由 a n＝ 4n－ 3 得 b n＝ [log 2a n＋ 3( 4)] ＝ [log 2n] ，由符号 [x]表示不超数 x的最大整数知，当2m≤n<2 m＋1，n [log 2n]＝ m，所以令S＝ b1＋ b2＋ b3＋⋯＋ b2n＝ [log 2 1]＋ [log 22]＋ [log 23]＋⋯＋ [log 22 ]＝ 0＋ 1＋ 1＋ 2＋⋯＋ 3＋⋯＋ 4＋⋯＋n－ 1＋⋯＋ n.∴S＝ 1×21＋ 2×22＋ 3×23＋ 4×24＋ (n－ 1) ×2n－1＋ n，①2345n2S＝ 1×2 ＋2×2 ＋ 3×2 ＋ 4×2 ＋( n－ 1) ×2 ＋ 2n.②－S＝ 2＋ 22＋ 23＋ 24＋⋯＋2n－1－ (n－ 1)2n－ n＝－2n－ 1－ (n－ 1)2n－n＝ (2－ n)2n－ n－ 2，1－ 2∴S＝ (n－ 2)2n＋n＋ 2，即 b1＋ b2＋ b3＋⋯＋ b2n＝ (n－ 2)2n＋ n＋ 2.。
高三数学(理科)二轮复习-不等式
第3讲不等式一、本章知识结构：实数的性质二、高考要求（1）理解不等式的性质及其证明。
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。
（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
（4）掌握某些简单不等式的解法。
（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。
三、热点分析1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。
2021-2022年高三数学专题复习 专题一 函数、不等式及其应用真题体验 理
2021年高三数学专题复习 专题一 函数、不等式及其应用真题体验理一、选择题1．(xx·浙江高考)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝( ) A ．[0，1) B ．(0，2] C ．(1，2)D ．[1，2]2．(xx·浙江高考)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 03．(xx·浙江高考)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|4．(xx·山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－35．(xx·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )6．(xx·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 二、填空题7．(xx·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．8．(xx·浙江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．9．(xx·湖南高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b有两个零点，则a 的取值范围是________． 三、解答题10．(xx·湖北高考改编)a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0，1]上的最大值记为g (a )．当a 为何值时，g (a )的值最小？11．(xx·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1，1]上的最大值．(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值．12．(xx·浙江高考(文))设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1，1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1，1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．参考答案 第一部分 专题集训 专题一 函数、不等式及其应用真题体验·引领卷1．C [∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.]2．D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]3．D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sinx 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，∴C 不对，故选D.]4．B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，易知A(2，0)，由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A(2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，只有B 项满足．]5．B [当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.]6．D [法一 当x >2时，g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根． 当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋8＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x －(－x )＝0，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋2＝0，无解． 所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有1解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝2－x ，有无数个解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有1解． 所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋7＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为1－x ＝2－x ，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋1＝0，无解． 所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.法二 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象在y 轴右边与f (x )的图象有两个公共点，同理，在y 轴左方也有两个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有4个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.]7．0 22－3 [f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.]8．3 [设z ＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |.∵x 2＋y 2≤1，∴6－x －3y >0， ∴z ＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y .①若2x ＋y －2≥0，则z ＝x －2y ＋4.由数形结合知，x ＝35，y ＝45时，z min ＝3；②若2x ＋y －2≤0，则z ＝－3x －4y ＋8.由数形结合知，x ＝35，y ＝45时，z min ＝3；由①②知，z min＝3.故答案为3.]9．(－∞，0)∪(1，＋∞) [若0≤a ≤1时，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3（x ≤a ），x 2 （x >a ）在R 上递增，其与直线y ＝b 至多有一个公共点；若a >1或a <0时，由图象知y ＝f (x )－b 存在b 使之有两个零点，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．]10．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，函数f (x )在区间[0，1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝1.(2)当a <0时，函数f (x )的图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[0，1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝1－a .(3)当0<a <1时，函数f (x )的图象如图(2)所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，f (1)＝1－a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)＝a 24－(1－a )＝（a ＋2）2－84.①当0<a <22－2时，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)<0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<f (1)，所以g (a )＝f (1)＝1－a ；②当22－2≤a <1时，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)≥0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≥f (1)，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24.(4)当1≤a <2时，函数f (x )的图象如图(3)所示，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，1上单调递减，故g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24.(5)当a ≥2时，函数f (x )的图象如图(4)所示，因为函数f (x )在区间[0，1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝a －1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，a <22－2，a24，22－2≤a <2，a －1，a ≥2，当a <22－2时，g (a )>g (22－2)＝3－22； 当22－2≤a <2时，g (a )≥g (22－2)＝3－22； 当a ≥2时，g (a )≥g (2)＝1>3－2 2. 综上，当a ＝22－2时，g (a )min ＝3－2 2.11．(1)证明 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，得对称轴为直线x ＝－a 2.由|a |≥2，得|－a2|≥1，故f (x )在[－1，1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}． 当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4， 得max{f (1)，－f (－1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4， 得max{f (－1)，－f (1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)解 由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2， 故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎨⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab ＜0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在[－1，1]上的最大值为2. 即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.12．解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎨⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－23≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3，9－45]．。
2020-2021学年高考总复习数学(理)二轮专项复习精选《不等式》试题及答案解析
最新高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）选修4-5 不等式1、设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是（ ）A.B.【答案】A33x y +≥===当52x y ==时等号成立. 2、已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当 ()().32210222a a x a x x f x --+-=≥时， 若任意x R ∈，(1)()f x f x -≤成立，则实数a 的取值范围为（）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66,66D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-61,61 【答案】C【解析】当0x ≥时，()2222223,2,2,0x a x a f x a a x a x x a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩，，由()()2223,2,f x x a x a f x a =->>-得，当()2222,a x a f x a <≤=-，由()()22,0,f x x x a f x a =-<≤≥-得。
0x ∴>时，()2min f x a =-，∴当0x <时，()2max f x a =，因为x R ∀∈，都有()()()221,24166f x f x a a a -≤∴--≤⇒-≤≤选C 。
考点：绝对值不等式的解法3、设集合{}1,A x x a x =-<∈R ，{}2,B x x b x =->∈R ．若A B ⊆，则实数,a b 必满足（ ）． Ａ．3a b +≤ Ｂ．3a b +≥ Ｃ．3a b -≤ Ｄ．3a b -≥【答案】D4、设0ab >，下列4个不等式：①a b a +>；②a b b +<；③a b a b +<-；④a b a b +>-，其中正确的是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④【答案】C5、设，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是A 、B 、C 、D 、 【答案】D因为2=c+d,1=ab,则当22222222(a b)a b 2ab 4ab 4(c d)d c 2cd 4d c 2cd 4cd cd 1+=++≥=+=++∴=++≥∴≤Q显然D 成立。