最新数学不等式高考真题【精】
高三数学不等式试题答案及解析
高三数学不等式试题答案及解析1.已知且，若恒成立，(1)求的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）3；（2）或【解析】（1）且，若恒成立.即要求出的最大值.由柯西不等式可求得.（2）因为对任意的恒成立.所以等价于的最大值小于或等于.由（1）可得.所以等价于恒成立.通过讨论即求得x的范围.本小题的关键是关于恒成立的问题的正确理解.试题解析：（1），，（当且仅当，即时取等号）又∵恒成立，∴.故的最小值为3.（2）要使恒成立，须且只须.∴或或∴或.【考点】1.柯西不等式.2.绝对值不等式.2.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①>;②a c<b c;③logb (a-c)>loga(b-c).其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【答案】D【解析】由a>b>1可得0<<,又c<0,故>,①正确;结合幂函数y=x c的单调性可知,a>b>1时,若c<0则a c<b c;②正确;又a-c>b-c>1,故logb (a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③也正确,因此选D.3.若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.【答案】a>【解析】不等式可变形为a>=()x-()x,令()x=t,则t>0,且y=()x-()x=t-t2=-(t-)2+,因此当t=时,y取最大值,故实数a的取值范围是a>.4.已知x>0，y>0，若不等式恒成立，则实数m的最大值为() A．10B．9C．8D．7【答案】B【解析】m≤ (2x＋y)＝5＋2 ，＝9，所以m的最大值为9.5.已知平面区域， (是常数)，，记为事件，则使的常数有A．个B．个C．个D．个以上【答案】C【解析】平面区域表示的是图中边长为3的正方形内部及边界；正方形面积为9.事件表示在正方形内且在过定点的直线上方的平面区域；且该区域的面积为由图形可知：这样的直线存在两条；故选C6.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略7.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由题意得：垂直，因此选A．【考点】线性规划8.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，故选A．【考点】比较大小．9.已知是定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设．由得，即，故函数是定义在的单调递减函数．又因为，所以．【考点】构造函数利用函数的单调性比大小．10.设实数满足则的最大值为．【答案】4【解析】不等式组表示的平面区域如图三角形及其内部，且A（4，0）．目标函数可看作直线在y轴上的截距的-2倍，显然当截距越小时，z越大．易知，当直线过点A时，z最大，且最大值为4-2×0=4．【考点】线性规划求最值．11.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数x，使得，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）不等式的解集为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）解绝对值不等式的思路是利用零点法去绝对值，根据零点对变量x进行分类，分别求不等式的解最后对几种情况的解集求并集；（Ⅱ）存在性问题常转化为最值问题，本题转化为．试题解析：（Ⅰ）①当时，，所以，②当时，，所以为，③当时，，所以，综合①②③不等式的解集为．（Ⅱ）即，由绝对值的几何意义，只需．【考点】•解绝对值不等式；‚存在性问题求参数．12.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．13.设，实数满足若的最大值是0，则实数=_______，的最小值是_______．【答案】，【解析】作出实数表示的平面区域如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，即，解得；当目标函数经过点时取得最小值，所以．【考点】简单的线性规划问题．【技巧点睛】平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数中的不是直线在轴上的截距，把目标函数化可知是直线在轴上的截距，要根据的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．14.若对于一切实数，不等式恒成立，则的取值范围是_____．【答案】【解析】将不等式变形为，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，即，若，不等式显然成立，若，则须，即，综上所述，即的取值范围是；故填．【考点】1．不等式恒成立；2．函数的单调性．【易错点睛】本题考查“对号”函数的单调性和不等式恒成立问题，属于中档题；本题的易错点有两处：一是利用基本不等式求最值导致错误（因为利用基本不等式只能求的最小值，而不能求的最大值），二是易忽视对实数的讨论（忘记的情形），导致解题过程不严密．15.已知正数满足，则的最小值为_________．【答案】9【解析】，的最小值是9．【考点】基本不等式求最值．【易错点晴】本题主要考查基本不等式的应用，属中档题．利用基本不等式求最值时一定要牢牢把握住“一正、二定、三相等”这一基本原则，才能减少出错．本题最易用以下错误方法解答：（出错原因是同时成立时原式没有意义）．16.设变量满足约束条件，若目标函数的最大值为14，则值为（）A．1B．或C．D．【答案】C【解析】首先根据已知约束条件画出其所表示的平面区域，如下图所示，然后由目标函数的最大值为14，此时目标函数经过点，所以，所以，故应选．【考点】1、简单的线性规划问题．17.已知，满足约束条件，若的最大值为，则（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意作出满足约束条件下的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，所以，解得，故选C．【考点】简单的线性规划问题．18.选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对一切实数均成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（Ⅰ）通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取并集即可；（Ⅱ）利用绝对值的三角不等式可求得的最小值，从而可得m的取值范围．试题解析：（I）当x时， f（x）=2x+1-（x-4）=x+5>0，得x>-5，所以x成立．当时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3>0，得x>1，所以1<x<4成立．当时， f（x）=-x-5>0，得x<-5，所以x<-5成立．综上，原不等式的解集为．（II）f（x）+=|2x+1|+2|x-4|．当时等号成立，所以．【考点】绝对值不等式的解法．19.若满足不等式组，且的最大值为2，则实数的值为（）A．-2B．C．1D．【答案】D【解析】作出题设不等式组表示的可行域，只有如图情形都能有封闭的区域，作直线，当直线向上平移时，增大，由题意可知当过点时取最大值2，由得，所以，解得．故选D．【考点】含参数的简单线性规划问题．20.已知实数，满足，则目标函数的最大值为______．【答案】．【解析】作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，∴点的坐标为，∴，故填：．【考点】线性规划．21.选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）．；（Ⅱ）．【解析】含绝对值的函数，由绝对值定义去掉绝对值符号化为分段函数形式，解不等式时，只要分段求解，最后合并即可；（Ⅱ）若存在使不等式恒成立，即小于等于的最大值，由绝对值的性质可有，从而只要解不等式即得．试题解析：（Ⅰ）当时，，等价于或或，解得或，不等式的解集为．（Ⅱ）由不等式性质可知，若存在实数，使得不等式成立，则，解得，实数的取值范围是．【考点】解含绝对值的不等式，不等式恒成立，绝对值的性质．22.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为,求参数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】含绝对值的函数与不等式工，可根据绝对值定义，令每个绝对值里式子为0，求得的值，这些的值把实数分成若干区间，在每个区间内去绝对值符号可得解，（1）在每个区间求得不等式的解后，要求并集；（2）求出函数的最小值就可得到结论．试题解析：（1）当时，，得到，当时，，得到，当时，，得到，综上，不等式解集为．（2）由题意知，对一切实数恒成立，当时，，当时，，当时，．综上，．故．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值．23.若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】关于的不等式，即，且，在同一坐标系中，画出和函数的图象，当函数的图象则左支经过点时，求得，当函数的图象则右支和图象相切时，方程组有唯一的解，即有唯一的解，故，解得，所以实数的取值范围是，故选D．【考点】函数的图象与性质的应用．24.实数x、y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．1B．﹣1C．D．2【答案】B【解析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，则z=0﹣1=﹣1，故选B．【考点】简单线性规划．25.设为坐标原点，，若点满足，则的最大值是．【答案】【解析】的可行域如图，，由图可知，当直线与圆相切与时，可以取到最大值，原点到直线的距离等于，所以，即，故答案为．【考点】线性规划和向量数量积的坐标运算．【方法点晴】本主要考查线性规划中已知可行域求目标函数的最值，属于容易题．本题关键是将目标函数转化成坐标：，利用数形结合的方法求出目标函数的最大值．在直角坐标系画可行域时注意“直线定界，点定域”的原则．26.运行如下图所示的程序框图，当输入时的输出结果为，若变量，满足，则目标函数的最大值为 .【答案】5【解析】由程序框图，得；将化为，作出表示的平面区域和目标函数基准直线，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，由图象，得当直线过点时，取得最大值；故填5．【考点】1.程序框图；2.简单的线性规划．【方法点睛】本题考查程序框图的循环结构、简单的线性规划问题，属于基础题；处理简单的线性规划问题，一般是先画出不等式组表示的平面区域和目标函数基准直线，通过目标函数的几何意义找出最优解，要注意目标函数基准直线和可行域边界的倾斜程度，另外，还可以将可行域的顶点坐标代入目标函数求值，比较求出最值即可.27.已知x，y满足不等式组则函数z=2x+y取得最大值与最小值之和是（）A．3B．9C．12D．15【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可．解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时过点B，联立，解得，故z的最大值是：z=12，取到最小值时过点A，联立，解得，故z的最小值是：z=3，∴最大值与最小值之和是15，故选：D．【考点】简单线性规划．28.设实数满足不等式组，则的最大值为 .【答案】【解析】当，取最大值.【考点】线性规划.29.设中变量满足条件，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，由，得，令，则，由可行域可知当直线经过点时截距最小，即最小，解方程组，得，所以的最小值为，的最小值为．【考点】简单的线性规划．30.已知函数.（1）试求的值域；（2）设，若对，，恒有成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）这是含绝对值的函数，可以利用绝对值的性质求得最大值和最小值，也可利用绝对值的定义去绝对值符号后再求得最值，还可利用绝对值的几何意义得结论；（2）题意中不等式恒成立，实际上就是，由基本不等式性质知，即，列出不等式可解得的范围．试题解析：（1）∵∴，∴的值域为（2）∴，由题意知，∴【考点】含绝对值的函数的值域，不等式恒成立．31.【选修4-5，不等式选讲】设，（Ⅰ）若的解集为，求实数的值；（Ⅱ）当时，若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先解不等式，得到的不等式的解集和已知解集相同，对应系数相等，求出a的值；第二问，先将存在，使得不等式成立，转化为，再求m的取值范围.试题解析：（Ⅰ）显然，当时，解集为，，无解；当时，解集为，令，，综上所述，.（Ⅱ）当时，令由此可知，在单调减，在单调增，在单调增，则当时，取到最小值，由题意知，，则实数的取值范围是【考点】本题主要考查：1.绝对值不等式；2.恒成立问题.32.已知实数x，y满足条件，则使不等式成立的点（x，y）的区域的面积为（）A．1B．C．D．【答案】A【解析】因为实数满足条件，所以画出其表示的可行域，在直线上方部分即是的区域，如图所示，面积为，故选A.【考点】1、可行域的画法；2、二元一次不等式的几何意义.33.选修4-5：不等式选讲已知函数同时满足或.（1）求实数的值；（2）记函数的最小值为,若,求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用绝对值不等式的性质推证求解；（2）借助题设条件基本不等式进行求解.试题解析:（1）由,得,即,由,得,即,因为和同时成立, 所以.（2）,且当且仅当即时取等号, 所以,由得,所以,当且仅当,且,即时取等号. 所以的最小值为.【考点】不等式的相关知识及运用．34.选修4-5：不等式选讲已知函数。
高中数学不等式高考真题精选和解析
高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．答案解析1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解； 当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76.3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，74. 故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.6.解 (1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≥1，x ＋2，－12<x <1，－3x ，x ≤－12.当x ≥1时，由f (x )≥3得3x ≥3，解得x ≥1；当－12<x <1时，由f (x )≥3得x ＋2≥3，解得x ≥1， 这与－12<x <1矛盾，故舍去；当x ≤－12时，由f (x )≥3得－3x ≥3，解得x ≤－1.综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)， ∴k AB ＝3－321＋12＝1，∴直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行．若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4，则|CD|＝2·|a2＋a4|＝324a，平行线AB与CD间的距离d＝|a－2|2＝a－22，|AB|＝322，∴梯形ABCD的面积S＝322＋324a2·a－22＝32＋34a2·(a－2)＝92(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.故所求实数a的值为4.。
不等式高考真题
高考数学真题分类汇编不等式一、单选题1．（2021·全国（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+4．（2021·浙江）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．（2020·浙江）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >07．（2020·全国（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}9．（2019·浙江）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a => B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =-> 12．（2018·全国（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+16．（2017·山东（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A ．21log ()2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+ C ． 21log ()2a b a a b b +<+< D ． 21log ()2aba b a b +<+< 二、多选题18．（2020·海南）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．2212a b +≥ B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥- D三、填空题19．（2020·天津）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 20．（2020·江苏）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22xy +的最小值是_______．.23．（2019·天津（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为________.24．（2019·天津（文）） 设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为_________. 25．（2019·天津（理））设0,0,25x y x y >>+=，______.26．（2018·江苏）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 28．（2018·天津（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 29．（2018·天津（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________． 30．（2017·山东（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为_____． 31．（2017·天津（文））若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.32．（2017·北京（文））能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.33．（2017·江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 34．（2017·山东（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______.近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编四、不等式（答案解析）1．C 【解析】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242xxx xy -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．4．C【解析】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C. 5．C 【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C 7．D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.9．A 【分析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确. 【解析】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+=选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥，且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确；选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =，即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =，则101102a =<，故选项B 错误；选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2，同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为12x =， 同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >，则选项D 错误.故选：A.12．B 【解析】.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b∴==0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<< 又a 0,b 0>< ab 0∴<即ab a b 0<+< 故选B.16．B 【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴+= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 18．ABD 【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 19．4【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+22a b =+=.故答案为：420．45【解析】∈22451x y y += ∈0y ≠且42215y x y -=∈42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号.∈22x y +的最小值为45.故答案为：45.23．92.【解析】由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤ (1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立．故所求的最小值为92．24．2(1,)3-【解析】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<，即213x -<<，故x 的取值范围是2(1,)3-．25．(1)(2xxy +=0,0,25,0,x y x y xy >>+=>≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为26．9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9. 28．14【解析】由360a b -+=可知36a b -=-，且312228aa bb -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224a b-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14.29．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】∈当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知： 当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ∈当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合∈∈可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.30．8【解析】因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞，所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a=，即2,4a b ==时取等号，所以2a b +的最小值为831．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22,24a b ==时取等号）.32．1,2,3---【解析】()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 33．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.34．8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ，当且仅当2b a = 时取等号.。
2021-2023年高考数学真题分类汇编专题13不等式选择题
专题13不等式（选择题）近三年高考真题知识点1：不等式大小判断问题1．（2022•上海）若实数a、b满足0a b，下列不等式中恒成立的是()A．a bB．a bC．22a bD．22a b【答案】A【解析】因为0a b，所以a b，当且仅当a b时取等号，又0 a b，所以a b，故A正确，B错误，22a b22a b，即4a b时取等号，故CD错误，故选：A．2．（2022•上海）若a b c d，则下列不等式恒成立的是()A．a d b cB．a c b dC．ac bdD．ad bc【答案】B【解析】对于A，令2a ，1b ，1c ，2d ，满足a b c d，但a d b c，故A错误，对于B，a b c d∵，即a b，c d，由不等式的可加性可得，a c b d，故B正确，对于C，令2a ，1b ，1c ，2d ，满足a b c d，但ac bd，故C错误，对于D，令2a ，1b ，1c ，2d ，满足a b c d，但ad bc，故D错误．故选：B．3．（2021•上海）已知两两不相等的1x，1y，2x，2y，3x，3y，同时满足①11x y ，22x y ，33x y；②112233x y x y x y；③1133222x y x y x y，以下哪个选项恒成立()A．2132x x xB．2132x x xC．2213x x xD．2213x x x【答案】A【解析】设1122332x y x y x y m，11x m ay m a，22x m by m b，33x m cy m c，根据题意，应该有,,0a b ca b c，且2222222()0m a m c m b ，则有222222a c b m b ，则1322()()2()2()x x x m a m c m b b a c ，因为22222(2)()2()()0b a c a c a c ，所以13222()0x x x b a c ，所以A 项正确，B 错误．2222132()()()()(2)(2)2a c x x x m a m c m b b a c m ac b b a c m ，而上面已证(2)0b a c ，因为不知道m 的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：A ．知识点2：利用基本不等式求最值4．（2021•乙卷（文））下列函数中最小值为4的是()A．224y x x B．4|sin ||sin |y x x C．222x xy D．4y lnx lnx【答案】C【解析】对于A ，2224(1)33y x x x ，所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0|sin |1x ，所以4|sin |4|sin |y x x ，当且仅当4|sin ||sin |x x ，即|sin |2x 时取等号，因为|sin |1x ，所以等号取不到，所以4|sin |4|sin |y x x ，故选项B 错误；对于C ，因为20x ，所以2422242x x x x y ，当且仅当22x ，即1x 时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当1x e 时，1414541y ln e ln e，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误．故选：C ．5．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若x ，y 满足221x y xy ，则()A．1x y B．2x y C．222x y D．221x y 【答案】BC【解析】方法一：由221x y xy可得，22()()122y x y ，令cos 2sin 2y x y，则cos 33x y，cos 2sin()[26x y，2]，故A 错，B对，222214242cos ))2cos 2sin(2)[333633x y ∵，2]，故C 对，D 错，方法二：对于A ，B ，由221x y xy 可得，22()1313(2x y x y xy ，即21()14x y ，2()4x y ，22x y ，故A 错，B 对，对于C ，D ，由221x y xy 得，222212x y x y xy ，222x y ，故C 对；222x y xy ∵，222222223()122x y x y x y xy x y ， 2223x y ，故D 错误．故选：BC ．。
(完整版)高考不等式经典例题
高考不等式经典例题【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga (a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.【变式训练1】已知m＝a＋A.m＜n11－(a＞2)，n＝x2(x≥)，则m，n之间的大小关系为()2a－2B.m＞nC.m≥nD.m≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.m＝a＋111＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2＝4.2a－2a－2【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，5⎧γ=-,⎪⎧γ+4μ=9,⎪3所以⎨⇒⎨⎩-γ-μ=-1⎪μ=8⎪3⎩58故f(3)＝－(a－c)＋(4a－c)∈[－1,20].33题型三开放性问题c d【例3】已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组a b成多少个正确命题？c d bc－ad【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:＞⇔＞0.a b abbc－ad(1)由ab＞0，bc＞ad⇒＞0，即①③⇒②；abbc－ad(2)由ab＞0，＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③；abbc－ad(3)由bc－ad＞0，＞0⇒ab＞0，即②③⇒①.ab故可组成3个正确命题.【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0 (m∈R).【解析】当m＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；当m≠0时，可分为两种情况：2(1)m＞0时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝.m2所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞}；m(2)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，m＋222其对应方程两根为x1＝－1，x2＝，x2－x1＝－(－1)＝.m m m2①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，不等式的解集为{x|－1＜x＜}；m②m＝－2时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为∅；2③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x|＜x＜－1}.m【变式训练2】解关于x的不等式ax－1＞0.x＋1【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.1当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞或x＜－1}；a1当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜－1}；当a＝－1时，不等式的解集为∅；a1当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜}.a【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.1【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0，解得x＜或x＞1.32y＋1(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝的取值范围.x＋1【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大.所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是(|0－5＋2|9)2＝.221(3)z＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－)连线斜率的2倍.2x－(－1)7337因为kQA＝，kQB＝，所以z的取值范围为[，].4842【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则()1y－(－)2A .x ＋y ≥2(2＋1)B .x ＋y ≤2(2＋1) C.x ＋y ≤2(2＋1)2D.x ＋y ≥(2＋1)2(2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，a ＋b，2a 2＋b 22ab，的大小顺序是.2a ＋bx ＋y x ＋y)2，所以()2≥1＋(x ＋y ).22【解析】(1)选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y )，又xy ≤(解得x ＋y ≥2(2＋1)或x ＋y ≤2(1－2).因为x ＋y ＞0，所以x ＋y ≥2(2＋1).a ＋b 2ab 2ab(2)由≥ab 有a ＋b ≥2ab ，即a ＋b ≥，所以ab ≥.2ab a ＋b a ＋b 又＝2a 2＋2ab ＋b 2≤42(a 2＋b 2)，所以4a 2＋b 2a ＋b≥，所以22a 2＋b 2a ＋b 2ab≥≥ab ≥.22a ＋b11λ【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式＋＞恒成立，则λ的取值范围是.a －b b －c a －c 【解析】(－∞，4).因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.而(a －c )(1111＋)＝[(a －b )＋(b －c )](＋)≥4，所以λ＜4.a －b b －c a －b b －c 51【例2】(1)已知x ＜，则函数y ＝4x －2＋的最大值为；44x －5511【解析】(1)因为x ＜，所以5－4x ＞0.所以y ＝4x －2＋＝－(5－4x ＋)＋3≤－2＋3＝1.44x －55－4x1当且仅当5－4x ＝，即x ＝1时，等号成立.所以x ＝1时，y max ＝1.5－4x(a ＋b )2【变式训练2】已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求的取值范围.cd 【解析】由等差数列、等比数列的性质得a ＋b ＝x ＋y ，(a ＋b )2(x ＋y )2(a ＋b )2(a ＋b )2x y y y cd ＝xy ，所以＝＝2＋＋，当＞0时，≥4；当＜0时，≤0，cd xy y x x cd x cd (a ＋b )2故的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).cd例已知x ,y ,>0,28+=1，求xy的最小值。
高三数学不等式试题答案及解析
高三数学不等式试题答案及解析1.已知，则A．n＜m＜1B．1＜n＜m C．1＜m＜n D．m＜n＜1【答案】B【解析】函数是减函数，所以故选B2.现将一个质点随即投入区域中，则质点落在区域内的概率是【答案】【解析】略3.不等式的解集为或，则实数的取值范围．【答案】【解析】略4.如果实数满足条件，那么的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B5.一元二次不等式的解集为，则的最小值为．【答案】【解析】由已知得，解得，又，则。
【考点】一元二次不等式的解法及基本不等式的应用。
6.设，则函数的最小值是（）A．2B．C．D．3【答案】C【解析】因为，所以，令，则，由于，故知函数是减函数，因此；故选C．【考点】1．换元法；2．函数的最值．7.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为．【答案】-6【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由与的交点得到，∴，故答案为：﹣6．【考点】简单线性规划．8.已知的大小关系是（）A．a<c<b B．b<a<e C．c<a<b D．a<b<c【答案】D【解析】因为.所以,故D正确.【考点】指数函数,对数函数.9.设，则，，的大小关系是__________________．（用“<”连接）【答案】【解析】令，则，∴函数为增函数，∴，∴，∴，∴，又，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性、作差比较大小．10.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（-，-2）B．[-2，+）C．[-2,2]D．[0，+）【答案】B【解析】对一切实数x，不等式恒成立，等价于对任意实数，恒成立，因此有或，解得，故选B．【考点】不等式恒成立，二次函数的性质．【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题，由于题中含有绝对值符号，因此解题的关键是换元思想，设，这样原来对一切实数恒成立，转化为对所有非负实数，不等式恒成立，也即二次函数在区间上的最小值大于或等于0，最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题，解题中始终贯彻了转化与化归的数学思想．11.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．12.已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m＝（）．A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即变小，所以当直线过点时，取得最小值，即，解得；故选B．【考点】简单的线性规划．13.已知正数满足，则的最小值为（）A．2B．0C．-2D．-4【答案】D【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，直线的纵截距是，因此向上平移直线，当过点时，取得最小值，故选D．【考点】简单的线性规划问题．14.已知，满足约束条件若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最大值转化为轴上的截距，当直线经过点时，最小，由得：，代入直线，解得故答案选【考点】线性规划．15.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若时，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求（2）当时，即由此得讨论即可得到实数的取值范围试题解析：(1）当时，不等式为当时，不等式化为，不等式不成立；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式必成立．综上，不等式的解集为．（2）当时，即由此得当时，的最小值为7，所以的取值范围是【考点】绝对值不等式16.已知函数，其中且．（1）当时，若无解，求的范围；（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域都也为，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分析题意可知，不等式无解等价于恒成立，参变分离后即再进一步等价为，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于的不等式即可求解．试题解析：（1）∵，∴无解，等价于恒成立，即恒成立，即，求得，∴；（2）∵是单调增函数，∴，即，问题等价于关于的方程有两个不相等的解，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即，即，得．【考点】1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．17.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值．18.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【答案】．【解析】不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．的面积为，其中满足的图形面积为，所以随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【方法点晴】本题属于几何概型的问题，通常在几何概型中，事件的概率计算公式为：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．因此本题解题思路清晰，作出图形，计算相关三角形的面积，代入上述公式便得答案．19.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】试题解析：依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处取最大值是4，在处最小值是-2，所以，所以的最大值是4，故选B．【考点】简单线性规划20.选修4－5：不等式选讲已知命题“，”是真命题，记的最大值为，命题“，”是假命题，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为“，”是真命题，所以，恒成立，又，所以恒成立，所以，．又因为，“”成立当且仅当时．因此，，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“，”是假命题，所以“，”是真命题．因为（），因此，，此时，即时．即，，由绝对值的意义可知，．【考点】不等式选讲21.已知实数满足不等式组则的最小值为______．【答案】【解析】由得,则当直线在y轴上的截距最大时取得最小值,所以当直线经过A（2,3）时,z最小,即当x=2,y=3,取得最小值-4．【考点】线性规划22.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】如图，易知直线经过定点，又知道关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，且，所以，解得，故选B.【考点】线性规划.23.已知函数，且关于的不等式的解集为R．（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）9【解析】（1）由绝对值的性质可知，由此解不等式即可求出结果；（2）由（1），根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1）依题意，（2）时，当且仅当，即时等号成立。
2017-2019年高考真题“不等式”全集(含详细解析)
2017-2019年高考真题“不等式”全集（含详细解析）一．选择题（共14小题）1．（2019•天津）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A ．2B ．3C ．5D ．62．（2019•浙江）若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．123．（2019•北京）若x ，y 满足||1x y -…，且1y -…，则3x y +的最大值为( ) A ．7-B ．1C ．5D ．74．（2018•天津）设变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，则目标函数35z x y =+的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．455．（2018•北京）设集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}x ay -…，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉ C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a …时，(2,1)A ∉ 6．（2017•天津）设变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．23B ．1C ．32D ．37．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．68．（2017•山东）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( ) A ．21log ())2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2ab a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+< 9．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件250302x y x y -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y =+的最大值是( )A ．3-B ．1-C ．1D ．310．（2017•浙江）若x 、y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞11．（2017•北京）若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．912．（2017•新课标Ⅱ）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是() A ．15-B ．9-C ．1D ．913．（2017•新课标Ⅲ）设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]14．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共23小题） 15．（2020•上海）不等式13x>的解集为 ． 16．（2019•全国）若12log (41)2x ->-，则x 的取值范围是 ．17．（2019•上海）已知x ，y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则23z x y =-的最小值为 ． 18．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 ． 19．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ． 20．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为 ．21．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．22．（2019•新课标Ⅱ）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3z x y =-的最大值是 ．23．（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．24．（2019•北京）若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………则y x -的最小值为 ，最大值为 ．25．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为 ． 26．（2018•浙江）若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………，则3z x y =+的最小值是 ，最大值是 ．27．（2018•新课标Ⅲ）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则13z x y =+的最大值是 ．28．（2018•北京）若x ，y 满足12x y x +剟，则2y x -的最小值是 ．29．（2018•新课标Ⅱ）若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则z x y =+的最大值为 ．30．（2018•新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩………，则32z x y =+的最大值为 ． 31．（2017•上海）不等式11x x->的解集为 ． 32．（2017•天津）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．33．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 ．34．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 35．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 36．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()i 男学生人数多于女学生人数； ()ii 女学生人数多于教师人数； ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ．37．（2017•新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为 ．三．解答题（共3小题）38．（2018•江苏）若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 39．（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．()I 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； ()II 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？40．（2017•江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +…．2017-2019年高考真题“不等式”全集（含详细解析）参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2019•天津）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：由约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………作出可行域如图：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线4y x z =+过A 时，z 有最大值为5． 故选：C ．2．（2019•浙江）若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．12【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………作出可行域如图，联立340340x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得(2,2)A，化目标函数32z x y=+为3122y x z=-+，由图可知，当直线3122y x z=-+过(2,2)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．3．（2019•北京）若x，y满足||1x y-…，且1y-…，则3x y+的最大值为() A．7-B．1C．5D．7【解答】解：由||11x yy-⎧⎨-⎩……作出可行域如图，联立110yx y=-⎧⎨+-=⎩，解得(2,1)A-，令3z x y=+，化为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过点A时，z有最大值为3215⨯-=．故选：C．4．（2018•天津）设变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，则目标函数35z x y =+的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，得如图所示的可行域，由51x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ．当目标函数35z x y =+经过A 时，直线的截距最大， z 取得最大值．将其代入得z 的值为21， 故选：C ．5．（2018•北京）设集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}x ay -…，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉ C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a …时，(2,1)A ∉ 【解答】解：当1a =-时，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，4x y -+>，2}x y +…，显然(2,1)不满足，4x y -+>，2x y +…，所以A 不正确；当4a =，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，44x y +>，42}x y -…，显然(2,1)在可行域内，满足不等式，所以B 不正确；当1a =，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，4x y +>，2}x y -…，显然(2,1)A ∉，所以当且仅当0a <错误，所以C 不正确；故选：D ．6．（2017•天津）设变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．23B ．1C ．32D ．3【解答】解：变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图：目标函数z x y =+结果可行域的A 点时，目标函数取得最大值， 由30y x =⎧⎨=⎩可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为：3．故选：D ．7．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6【解答】解：画出约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………表示的平面区域，如图所示；由30350x x y +=⎧⎨++=⎩解得(3,4)A -，此时直线1122y x z =-+在y 轴上的截距最大，所以目标函数2z x y =+的最大值为 3245max z =-+⨯=．故选：C ．8．（2017•山东）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( ) A ．21log ())2ab a a b b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+< 【解答】解：0a b >>，且1ab =，∴可取2a =，12b =． 则14a b +=，2112228a b ==，22215log ()(2)(1,2)22a b log log +=+=∈，∴21log ()2a b a b a b<+<+． 故选：B ．9．（2017•山东）已知x，y满足约束条件250302x yxy-+⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y=+的最大值是()A．3-B．1-C．1D．3【解答】解：x，y满足约束条件250302x yxy-+⎧⎪+⎨⎪⎩………的可行域如图：目标函数2z x y=+经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由：2250yx y=⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A-，目标函数的最大值为：1223-+⨯=．故选：D．10．（2017•浙江）若x、y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y=+的取值范围是()A．[0，6]B．[0，4]C．[6，)+∞D．[4，)+∞【解答】解：x、y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，表示的可行域如图：目标函数2z x y=+经过C点时，函数取得最小值，由3020x yx y+-=⎧⎨-=⎩解得(2,1)C，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，)+∞．故选：D．11．（2017•北京）若x，y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y+的最大值为()A．1B．3C．5D．9【解答】解：x，y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩………的可行域如图：由可行域可知目标函数2z x y=+经过可行域的A时，取得最大值，由3xx y=⎧⎨=⎩，可得(3,3)A，目标函数的最大值为：3239+⨯=．故选：D．12．（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y=+的最小值是()A ．15-B ．9-C ．1D ．9【解答】解：x 、y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………的可行域如图：2z x y =+ 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由32330y x y =-⎧⎨-+=⎩解得(6,3)A --，则2z x y =+ 的最小值是：15-． 故选：A ．13．（2017•新课标Ⅲ）设x ，y 满足约束条件3260x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]【解答】解：x ，y 满足约束条件32600x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………的可行域如图： 目标函数z x y =-，经过可行域的A ，B 时，目标函数取得最值， 由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得(0,3)A ，由03260y x y =⎧⎨+-=⎩解得(2,0)B ，目标函数的最大值为：2，最小值为：3-， 目标函数的取值范围：[3-，2]． 故选：B ．14．（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z x y=+的最大值为()A．0B．1C．2D．3【解答】解：x，y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩………的可行域如图：，则z x y=+经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由33yx y=⎧⎨+=⎩解得(3,0)A，所以z x y=+的最大值为：3．故选：D．二．填空题（共23小题）15．（2020•上海）不等式13x>的解集为1(0,)3．【解答】解：由13x>得13xx->，则(13)0x x->，即(31)0x x-<，解得13x<<，所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．16．（2019•全国）若12log (41)2x ->-，则x 的取值范围是 15(,)44 ．【解答】解：1122log (41)2log 4x ->-=，∴410414x x ->⎧⎨-<⎩，∴1544x <<，x ∴的取值范围为15(,)44．故答案为：15(,)44．17．（2019•上海）已知x ，y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则23z x y =-的最小值为 6- ． 【解答】解：作出不等式组002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………表示的平面区域， 由23z x y =-即23x zy -=，表示直线在y 轴上的截距的相反数的13倍，平移直线230x y -=，当经过点(0,2)时，23z x y =-取得最小值6-， 故答案为：6-．18．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 98 ．【解答】解：132y x =+…∴298y x =…；故答案为：9819．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 2(1,)3- ．【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有： (1)(32)0x x +-<；2(1)()03x x +-<；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3-；故答案为：2(1,)3-；20．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy ++的最小值为 92．【解答】解：0x >，0y >，24x y +=， 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+； 0x >，0y >，24x y +=，由基本不等式有：42x y =+…， 02xy ∴<…， 552xy …， 故：5592222xy ++=…； （当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立）， 故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92．21．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，===；由基本不等式有：64xyxy=当且仅当时，即：3xy=，25x y+=时，即：31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，的最小值为故答案为：22．（2019•新课标Ⅱ）若变量x，y满足约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3z x y=-的最大值是9．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图：化目标函数3z x y=-为3y x z=-，由图可知，当直线3y x z=-过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：9．23．（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．【解答】解：①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得6080140+=（元)， 即有顾客需要支付14010130-=（元)； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得()80%70%m x m -⨯⨯…， 即有8mx …恒成立， 由题意可得120m …， 可得120158x =…， 则x 的最大值为15元． 故答案为：130，1524．（2019•北京）若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………则y x -的最小值为 3- ，最大值为 ．【解答】解：由约束条件2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………作出可行域如图，(2,1)A -，(2,3)B ，令z y x =-，作出直线y x =，由图可知，平移直线y x =，当直线z y x =-过A 时，z 有最小值为3-，过B 时，z 有最大值1． 故答案为：3-，1．25．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ，由22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=， 可得A ，B 两点在圆221x y +=上， 且111cos 2OA OB AOB =⨯⨯∠=， 即有60AOB ∠=︒，即三角形OAB 为等边三角形，1AB=，的几何意义为点A ，B 两点 到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行， 可设:0AB x y t ++=，(0)t >， 由圆心O到直线AB 的距离d =，可得1，解得t1=，+26．（2018•浙江）若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………，则3z x y =+的最小值是 2- ，最大值是 ．【解答】解：作出x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………表示的平面区域，如图：其中(4,2)B -，(2,2)A ． 设(,)3z F x y x y ==+，将直线:3l z x y =+进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化， 可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值．()4,22z F ∴=-=-最小值．可得当l 经过点A 时，目标函数z 达到最最大值：()2,28z F ==最大值． 故答案为：2-；8．27．（2018•新课标Ⅲ）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则13z x y =+的最大值是 3 ．【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图：由2240x x y =⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ．13z x y =+变形为33y x z =-+，作出目标函数对应的直线，当直线过(2,3)A 时，直线的纵截距最小，z 最大， 最大值为12333+⨯=，故答案为：3．28．（2018•北京）若x ，y 满足12x y x +剟，则2y x -的最小值是 3 ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设2z y x =-，则1122y x z =+， 平移1122y x z =+， 由图象知当直线1122y x z =+经过点A 时， 直线的截距最小，此时z 最小， 由12x y y x +=⎧⎨=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)A ，此时2213z =⨯-=， 故答案为：329．（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则z x y=+的最大值为9．【解答】解：由x，y满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………作出可行域如图，化目标函数z x y=+为y x z=-+，由图可知，当直线y x z=-+过A时，z取得最大值，由5230xx y=⎧⎨-+=⎩，解得(5,4)A，目标函数有最大值，为9z=．故答案为：9．30．（2018•新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩………，则32z x y =+的最大值为 6 ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=， 故答案为：631．（2017•上海）不等式11x x->的解集为 (,0)-∞ ． 【解答】解：由11x x->得： 111100x x x->⇒<⇒<， 故不等式的解集为：(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞．32．（2017•天津）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 4 ．【解答】解：【解法一】a ，b R ∈，0ab >，∴4441a b ab ++2241a b ab +=144ab ab ab ab=+=…，当且仅当44414a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b 或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．【解法二】a ，b R ∈，0ab >，∴44334141142222a b a b ab b a ab ab a ab ab++=+++=…， 当且仅当44414ab ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b 或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．故答案为：4．33．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 5- ． 【解答】解：由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ， 联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得(1,1)A -．32z x y ∴=-的最小值为31215-⨯-⨯=-．故答案为：5-．34．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 30 ．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和6000644240x x =⨯+⨯=…（万元）．当且仅当30x =时取等号． 故答案为：30． 35．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 8 ． 【解答】解：直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则121a b +=，由12442(2)()2244448a b a b a b a b a b b a b a +=+⨯+=+++=++++=…，当且仅当4a bb a=，即12a =，1b =时，取等号，2a b ∴+的最小值为8，故答案为：8．36．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()i 男学生人数多于女学生人数；()ii 女学生人数多于教师人数； ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 6 ． ②该小组人数的最小值为 ．【解答】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，即48y x <<<， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即2z y x z <<< 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，1237．（2017•新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为 1- ． 【解答】解：由34z x y =-，得344zy x =-，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线344z y x =-，由平移可知当直线344zy x =-， 经过点(1,1)B 时，直线344zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值， 将B 的坐标代入34341z x y =-=-=-， 即目标函数34z x y =-的最小值为1-． 故答案为：1-．三．解答题（共3小题）38．（2018•江苏）若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【解答】解：由柯西不等式得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++…， 226x y z ++=，2224x y z ∴++… 是当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时23x =，43y =，43z =，222x y z ∴++的最小值为439．（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．()I 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； ()II 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【解答】（Ⅰ）解：由已知，x ，y 满足的数学关系式为70606005530200x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩……………，即766062000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩……………．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+． 考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大． 又x ，y 满足约束条件，∴由图可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大． 解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为(6,3)．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．40．（2017•江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +…． 【解答】证明：224a b +=，2216c d +=， 令2cos a α=，2sin b α=，4cos c β=，4sin d β=．8(cos cos sin sin )8cos()8ac bd αβαβαβ∴+=+=-…．当且仅当cos()1αβ-=时取等号．因此8ac bd +…．另解：由柯西不等式可得：22222()()()41664ac bd a b c d +++=⨯=…，当且仅当a bc d=时取等号．88ac bd ∴-+剟．。
不等式高考试题及答案
不等式高考试题及答案一、选择题1. 若不等式3x+2>7成立，则x的取值范围是：A. x < -1B. x > -1C. x < 1D. x > 1答案：D2. 已知不等式2(x-1) > 3(x+2)，则x的取值范围是：A. x < -7/5B. x > -7/5C. x < -1D. x > -1答案：C3. 若x<y，则对x+y，下列不等式成立的是：A. x + y < 2xB. x + y < 2yC. x + y > 2xD. x + y > 2y答案：C4. 若不等式5x+3y > 6成立，下列不等式中一定成立的是：A. 10x + 6y > 12B. 5x + 6y > 12C. 5x + 3y > 6D. 10x + 3y > 6答案：D5. 下列不等式组中，解集与其他三个不同的是：A. {x | -2 < x < 3}B. {x | 0 < x < 5}C. {x | 1 < x < 4}D. {x | -3 < x < 2}答案：B二、填空题1. 若不等式2x - 1 > 5成立，则x的取值范围为________。
答案：x > 32. 若不等式-3(x - 1) < 2(x + 3)成立，则x的取值范围为________。
答案：x < 13/53. 已知不等式2x - 3 < 5x + 4，则x的取值范围为________。
答案：x > -7/34. 若不等式x + 5 > 2x - 3成立，则x的取值范围为________。
答案：x < 85. 若不等式3x - 2 > 5成立，则x的取值范围为________。
答案：x > 7/3三、解答题1. 解不等式组{x | 2x + 3 > 5, x - 1 < 4}，并将解表示在数轴上。
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1.（2018•卷Ⅱ）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围2.（2013•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．3.（2017•新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．4.（2017•新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．5.（2017•新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分）（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．6.（2017•新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．7.（2018•卷Ⅰ）已知（1）当时，求不等式的解集（2）若时，不等式成立，求的取值范围8.（2018•卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1|（1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围9.（2017•新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．10.（2014•新课标II）设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．（1）证明：f（x）≥2；（2）若f（3）＜5，求a的取值范围．11.（2015·福建)选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为4．（1）求的值；（2）求的最小值．12.（2014•新课标I）若a＞0，b＞0，且+ = ．（1）求a3+b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．13.（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（12分）（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．14.（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值；（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．15.（2018•卷Ⅲ）设函数（1）画出的图像（2）当时，，求的最小值。
16.（2013•福建）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（1）求a的值（2）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．17.（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．18.（2016•全国）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)= ∣x- ∣+∣x+ ∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.（1）求M；（2）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。
19.（2016•全国）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．20.（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．21.（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（1）求a的值；（2）若恒成立，求k的取值范围．答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）a=1时，时，由当x≥2时，由f（x）≥0得：6-2x≥0，解得：x≤3；当-1＜x＜x时，f（x）≥0；当x≤-1时，由f（x）≥0得：4+2x≥0，解得x≥-2所以f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}（2）若f（x）≤1，即恒成立也就是x∈R，恒成立当x=2时取等，所以x∈R，等价于解得：a≥2或a≤-6所以a的取值范围(-∞，-6] ∪[2，+∞）【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法易得；（2）由绝对值几何意义转化易得.2.【答案】（1）解：当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，得2≥4，无解；当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}（2）解：设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=由|h（x）|≤2得，又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以，故a=3．【解析】【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可．（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）= ．由|h（x）|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．3.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）= ，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+ ﹣1= ；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；综上，g（x）max= ，∴m的取值范围为（﹣∞，]．【解析】【分析】（Ⅰ）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m的取值范围．4.【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当= ，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤ ，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，（Ⅱ）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．5.【答案】（1）解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．【解析】【分析】（1.）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，分x＞1、x∈[﹣1，1]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2.）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立⇔x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，只需，解之即可得a的取值范围．6.【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当= ，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤ ，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，（Ⅱ）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到≤2，问题得以证明．7.【答案】（1）解：当时，，即故不等式的解集为．（2）解：当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【解析】【分析】(1)通过对x分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.8.【答案】（1）解：当a=1时，当时，-2＞1舍当时，2x＞1∴当时，2＞1,成立，综上所述结果为（2）解：∵∴∵ax＞0∴a＞0.ax＜2又所以综上所述【解析】【分析】通过对x分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.9.【答案】（1）解：∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）= ，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+ ﹣1= ；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；综上，g（x）max= ，∴m的取值范围为（﹣∞，]．【解析】【分析】（1.）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2.）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m的取值范围．10.【答案】（1）解：证明：∵a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|≥|（x+ ）﹣（x﹣a）|=|a+ |=a+ ≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（2）解：∵f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+ ＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+ ＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）【解析】【分析】（1）由a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（2）由f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．11.【答案】（1）4（2）【解析】【解答】1.因为,当且仅当时，等号成立，又,所以,所以的最小值为，所以.2.由1知，由柯西不等式得,即.d当且仅当,即时，等号成立所以的最小值为【分析】当的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如的函数的最小值，以及解析式形如的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．12.【答案】（1）解：∵a＞0，b＞0，且+ = ，∴= + ≥2 ，∴ab≥2，当且仅当a=b= 时取等号．∵a3+b3≥2 ≥2 =4 ，当且仅当a=b= 时取等号，∴a3+b3的最小值为4 ．（2）解：∵2a+3b≥2 =2 ，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2 ≥2 =4 ＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【解析】【分析】（1）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（2）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．13.【答案】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，求导f′（x）= +2ax+（2a+1）= = ，（x＞0），①当a=0时，f′（x）= +1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣．因为当x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0、当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0，所以y=f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减．综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减；（2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减，所以当x=﹣时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）．从而要证f（x）≤﹣﹣2，即证f（﹣）≤﹣﹣2，即证﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）≤﹣﹣2，即证﹣（﹣）+ln（﹣）≤﹣1+ln2．令t=﹣，则t＞0，问题转化为证明：﹣t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）令g（t）=﹣t+lnt，则g′（t）=﹣+ ，令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0，所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，即g（t）≤g（2）=﹣×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，所以当a＜0时，f（x）≤﹣﹣2成立．【解析】【分析】（1.）题干求导可知f′（x）= （x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f′（x）与0的大小关系可得结论；（2.）通过（1）可知f（x）max=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．14.【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣= ，且f（1）=0．所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)<0,这与f （x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a），又因为f（x）min=f（a）≥0，所以a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+ ）＜，k∈N*,所以，k∈N*．一方面，因为+ +…+ =1﹣＜1，所以，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2，同时当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．因为m为整数，且对于任意正整数n（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，所以m的最小值为3．【解析】【分析】（Ⅰ）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+ ）＜，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，且当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．15.【答案】（1）解：（2）解：由（1）中可得：a≥3，b≥2，当a=3，b=2时，a+b取最小值，所以a+b的最小值为5.【解析】【分析】（1）画图像，分段函数;（2）转化为一次函数分析.16.【答案】（1）解：因为，所以且，解得，因为a∈N*，所以a的值为1．（2）解：由（1）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等号，所以函数f（x）的最小值为3．【解析】【分析】（1）利用，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值．（2）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值．17.【答案】（1）解：当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y= ，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（2）解：设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤ ，故a的取值范围为（﹣1，]．【解析】【分析】（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x ﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（2）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．18.【答案】（1）解：当时，，若；当时，恒成立；当时，，若，．综上可得，（2）证明：当时，有，即，则，则，即，证毕【解析】【分析】（1）分当x＜时，当≤x≤ 时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（2）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．19.【答案】（1）解：当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}（2）解：∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥ ，当a≥3时，成立，当a＜3时，|a﹣1|≥ ＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）【解析】【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥ ，由此能求出a的取值范围．本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．20.【答案】（1）解：当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即① ，或②，或③ ．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}（2）解：原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【解析】【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．21.【答案】（1）解：由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．∴当a≤0时，不合题意；当a＞0时，，∴a=2；（2）解：记，∴h（x）=∴|h（x）|≤1∵恒成立，∴k≥1．【解析】【分析】（1）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论．（2）记，从而h（x）= ，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范围．。