大学物理论文_刚体转动

物理论文——《受力分析》刚体的转动摘要：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。

关键字：刚体是理想模型刚体模型是为简化问题引进的。

1、刚体运动刚体运动：（1）平动：刚体内任一直线方位不变。

特点：各点运动状态一样，如：a 、v 等都相同，故可用一个点来代表刚体运动。

（2）转动：1）绕点转动2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。

（如：乒乓球飞行等） 2、定轴转动（本章仅讨论此情况）定义：转轴固定时称为定轴转动。

转动特点：⑴刚体上各点的角位移θ∆相同（如：皮带轮），各点的ω、α相同。

⑵刚体上各点的)(ωr v =、)(2ωr a n =、 ()αr a t =一般情况下不同。

说明：⑴ω是矢量，方向可由右手螺旋法则确定。

见图4-1。

⑵r v ⨯=ω3、力矩1、外力F在垂直于轴的平面内如图4-2： 定义：⑴力矩： F r M⨯= （4-1）⑵力矩 ：大小：θsin Fr Fd M ==（θsin r d =，称为力臂）；方向：沿（F r⨯）方向，它垂直于r、F 构成的平面即M 与轴平行。

注意：θ是r、F 间夹角。

2、外力F不在垂直于轴的平面内如图4-3： （垂直轴）平行轴）⊥+=F F F (// ∵ //F对转动无贡献∴ 对转动有贡献的仅是⊥F 。

F产生的力矩即⊥F 的力矩，图 4-1⊥F故上面的结果仍适用。

说明：F平行轴或经过轴时 0=M 。

4、转动定律0≠M 时，转动状态改变，即0≠α ，那么α与M 的关系如何？这就是转动定律的内容。

推导：如图4-4，把刚体看成由许多质点组成的系统， 这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。

考虑第i 个质点： 质量：i m ∆到轴的距离：i r受力：外力：i F；内力：i f （设i F、i f在垂直于转轴的平面内）在切线方向上由牛顿定律有：αi i t i it it r m a m f F ∆=∆=+ （4-2）即 αθϕi i i i i i r m f F ∆=+sin sin （4-3） （4-3）×i r : αθϕ2sin sin i i i i i i i i r m r f r F ∆=+⇒ （4-4） 每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有αθϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=+∑∑∑i i i i i i i i i i i r m r f r F 2sin sin （4-5） 可证明0sin =∑iii i r F θ合内力矩。

证明如下：如图4-5，刚体内力是各质点间的相互作用力， 他们是一对一对的作用力和反作用力。

对i 、j 两质点，相互作用力的力矩之和=？设ij f为第i 个质点对第j 个质点作用力，ji f 为第j 个质点对第i 个质点作 用力。

∵ij f 与ji f共线∴力臂相等 又 ∵ji f 与ji f等值反向∴ij f 与ji f 产生力矩等值反向，故ij f 与ji f力矩合=0 由此可知：刚体的所有内力矩之和两两抵消，结果为0。

0sin =⇒∑ii i i r f θ图 4-4图 4-5令⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑i 2ii i i i i r m J sin r f M ∆ϕ（4-6）即：刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定律。

说明：⑴α J M =,α与M 方向相同⑵αJ M =为瞬时关系⑶转动中α J M =与平动中a m F =地位相同，F 是产生a 的原因，M 是产生α 的原因。

*比较⎩⎨⎧==am F J M α⑷M为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。

5、转动惯量1、∑∆=ii i r m J 2： 转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘积的和。

⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++=⎰⎰m m n n dV dV r dm r n r m r m r m J 组成的刚体）为体积元）（由连续体为密度，（个质点组成）（刚体由ρρ2222222112、转动惯量的意义：转动惯性的量度。

例4-1：如图4-6，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶角上，各固定一个质量为m 的小球，三角形边长为l 。

求： ⑴系统对过质心且与三角形平面垂直轴C 的转动惯量； ⑵系统对过A 点，且平行于轴C 的转动惯量； ⑶若A 处质点也固定在B 处，⑵的结果如何？解：⑴222333⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=l m l m l m J c )3(312m M Ml ==⑵22232Ml ml ml J A =+=⑶2222Ml ml ml J A =+=讨论：⑴J 与质量有关（见⑴、⑵、⑶结果）⑵J 与轴的位置有关（比较⑴、⑵结果） ⑶J 与刚体质量分布有关（比较⑵、⑶结果）m m 图 4-6⑷平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量×该轴与质心轴之距离平方。

如22223313132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==l M J Ml Ml Ml J c A例4-2：如图4-7，质量为m 长为l 的匀质杆，求：⑴它对过质心且与杆垂直的轴c 的转动惯量为多少？⑵它对过一端且平行于c 轴的A 轴转动惯量为多少？解：⑴如图4-7所取坐标，22/2/2121ml dx l m x Jl l c ==⎰-⑵如图4-8所取坐标，20231ml dx l m x J l A ==⎰用平行轴定理解：22223141212ml l m ml l m J J c A =+=⎪⎭⎫⎝⎛+=说明：一些特殊形状的刚体转动惯量应会计算并记住。

如：匀质杆、圆柱、圆盘、圆环、球等。

例4-3：如图4-9，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮c 连接两物体A 和B ，A 、B 质量分别为A m 、B m ，滑轮视为圆盘，其质量为c m 半径为R ，AC 水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B 的加速度，AC 、BC 间绳的张力大小。

解：受力分析：A m：重力g m A，桌面支持力1N ，绳的拉力1T ； B m：重力g m B，绳的拉力2T ； c m ：重力g m c，轴作用力2N ，绳作用力'1T 、'2T 取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=α2122121''R m R T R T a m T g m a m T c B B A 及11'T T =，22'T T =，αR a =图 4-7图 4-8oC图 4-9解得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++⎪⎭⎫⎝⎛+=++=++=c B A B c A cB A B A c BA B m m m g m m m T m m m g m m T m m m g m a 2121212121讨论：不计c m 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=B A B A BA B m m gm m T T m m g m a 21（即为质点情况）例4-4：一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一轮轴的轴上，如图4-11。

轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的固定轴承上。

当物体从静止释放后，在时间t 内下降了一段距离S ，试求整个滑轮的转动惯量（用m ，r ，t 和S 表示）解：受力分析⎪⎩⎪⎨⎧':T N g M T g m m、绳作用力、轴作用力轮：重力、绳作用力重力 由牛顿第二定律及转动定律得：⎩⎨⎧==-αJ r 'T maT mg 及T T ='，αr a =，221at S =)1S2gt (mr J 22-=⇒ 6、转动动能如图4-13，刚体绕过O点都具有动能，刚体转动动能=各个质点动能之和。

设各质点质量为1m ∆，2m ∆，3m ∆，…，与轴距离为1r ，2r ，3r ，…，转动动能为：()()()⋅⋅⋅+∆+∆+∆=233222211212121ωωωr m r m r m E k[]223322221121ω⋅⋅⋅+∆+∆+∆=r m r m r m图 4-10gB B2图 4-11图 4-122222121ωωJ r m i i i =⎥⎤⎢⎣⎡∆=∑ （4-6）*比较：⎪⎩⎪⎨⎧==平动转动222121mv E J E k k ω7、力矩的功如图4-14，刚体绕定轴转动，设作用在刚体P 点 力F（可以是内力，或外力，也可以是合力或单个力）， 在F作用下刚体有一角位移θd ，力的作用点的位移为r d，则F 在该位移中作的功为： )2cos(Fdr cos Fdr r d F dW ϕπα-==⋅=θθϕϕMd d Fr Fdr ===sin sin （4-7）即 ：力矩元功=力矩×角位移（力矩与角位移点积） 在力矩作用下，从21θθ-（4-8） 说明：⑴常力矩功)(12θθ-=M W⑵力矩功是力矩的空间积累效应⑶内力矩功之和=0（与质点情况不同）⑷力矩的功功率：ωθM dt Md dt dW p ===比较：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⋅=⋅=⎰⎰b a d M W r d F W M p v F p b aθθθω转动平动 8、刚体定轴转动的动能定理βI M =θωωθθωωd d J dt d d d J dt d JM =⋅==⇒即 ωωθd J Md =做如下积分⎰⎰=2121d J Md ωωθθωωθ图 4-14可得（4-9）即：合外力矩功等于刚体转动动能增量，称此为刚体的转动动能定理。

例4-5：在例4-3中，若B 从静止开始下落h 时，⑴合外力矩对c 做的功=？⑵c 的角速度=？解：⑴由例3知，对cR T R T M 12''-=R mm m gm m m c B A B c A 2121-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cB A B c m m m gRm m 2121++=()R hM R S M M W 12==-=⇒∆θθR h m m m gR m m c B A B c /)21(2++=)21(2c B A B c m m m ghm m ++=⑵ 0I 21W 2-=ω2c cB A B c R m 21/m 21m m gh m m J A 2++==ω2)21(2R m m m ghm c B A B ++=例4-6：如图4-16所示，一轻弹簧与一匀质细杆m l 1=相连，弹簧倔强系数140-⋅=m N K ，细杆质量 为kg m 3=。

杆可绕c 轴无摩擦转动。

若当0=θ时弹簧为原长，那么细杆在 0=θ的位m .1置上至少具有多大的角速度才能转到水平位置？解：取K 、杆、地为系统，由题意知系统机械能守恒。

[]2222231211215.00.15.121ω⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅=-+⇒ml mg K 140-⋅=⇒m N K ，kg m 3=。