高中数学课程数列中的放缩法（在全...
高中数学放缩法教程
高中数学放缩法教程一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是向高中学生传授数学中的放缩法技巧。
放缩法是高中数学中一种重要的解题方法，尤其在解决函数、数列、不等式等问题时具有广泛的应用。
通过本教程的学习，学生将理解放缩法的原理，掌握放缩法在不同题型中的应用，并能够灵活运用该方法解决数学问题。
2、教学对象本教程的教学对象为高中二年级的学生。
他们已经掌握了基本的数学知识，如函数、数列、不等式等，具备一定的数学推理和逻辑思维能力。
然而，大部分学生对放缩法的理解尚浅，应用能力有限。
因此，本教程旨在提升学生运用放缩法解决问题的能力，为后续数学学习打下坚实基础。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解放缩法的概念和基本原理，能够解释放缩法在数学问题中的重要性。
（2）掌握放缩法在不同数学领域（如函数、数列、不等式等）的应用，能够运用放缩法解决具体问题。
（3）学会利用放缩法分析数学问题，提高解题效率，形成系统的解题思路。
（4）能够将放缩法与其他数学方法（如构造法、归纳法等）相结合，解决更复杂的数学问题。
2、过程与方法（1）通过分析实际例题，让学生体验放缩法的运用过程，培养他们的观察、分析和解决问题的能力。
（2）采用启发式教学，引导学生主动探究放缩法的原理和应用，提高他们的自主学习能力。
（3）组织课堂讨论，让学生在讨论中碰撞思维火花，互相学习，提高合作能力。
（4）布置有针对性的练习题，使学生在实践中掌握放缩法，培养他们的实际操作能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学的兴趣，培养他们积极向上的学习态度。
（2）通过解决数学问题，让学生体会数学的美妙和挑战性，增强他们克服困难的信心。
（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，提高他们的数学素养。
（4）培养学生严谨、细致的思考习惯，使他们形成科学的价值观。
（5）鼓励学生勇于发表自己的观点，尊重他人意见，培养良好的沟通能力和团队合作精神。
三、教学策略1、以退为进在放缩法的教学中，采用“以退为进”的策略，即在教学过程中，教师有意识地引导学生从已知的简单问题出发，逐步深入，让学生在解决问题的过程中自然地发现放缩法的原理和应用。
数列放缩法技巧全总结
数列放缩法技巧全总结引言数列放缩法（Sequence Squeezing Method）是指在解决数学问题时，通过限制或放缩数列的取值范围，从而简化问题的求解过程。
数列放缩法是数学竞赛和高等数学中常见的一种技巧，本文将总结数列放缩法常用的技巧和应用场景。
1. 加减不等式放缩法加减不等式放缩法是通过对等式进行加减操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。
常见的加减不等式放缩技巧有如下几个：1.1. 约束条件加减法设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行加减操作，将原不等式放缩为C<D。
常见的约束条件包括正整数、正实数等。
1.2. 平方项加减法对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行加减操作，从而得到一个更易于处理的不等式。
例如，对于a2+b2<2ab，可以将不等式变换为(a−b)2>0，从而得到更容易求解的形式。
1.3. 倒数项加减法对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行加减操作，从而放缩不等式。
例如，在2ab<a2+b2中，可以将不等式变换为$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b} > \\frac{2}{a+b}$，从而得到更容易处理的形式。
2. 乘除不等式放缩法乘除不等式放缩法是通过对等式进行乘除操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。
常见的乘除不等式放缩技巧有如下几个：2.1. 约束条件乘除法设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行乘除操作，将原不等式放缩为C<D。
常见的约束条件包括正整数、正实数等。
2.2. 平方项乘除法对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行乘除操作，从而得到一个更易于处理的不等式。
例如，在a2+b2<2ab中，可以将不等式变换为a2−2ab+b2<0，从而得到更容易求解的形式。
2.3. 倒数项乘除法对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行乘除操作，从而放缩不等式。
数列及函数不等式放缩如何一步到位
——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常 出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和 技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行 合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类 问题的重要原则。
熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见 的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到 的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、 对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、 等比放缩、切线放缩等等。
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。
基本结论：
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n
nx
1 n 1 dx ln n ln( n 1)
n n1 x
1
n 1
1
dx 2
n
nx
x
| n 1 n
1
n1
dx 2
n n1 x
x
|n n 1
f (x) 1 或 1
x
(
1 2
1 31
)
（1 4
1 5
...
1 32
）
...
（3n11
1
1 3n1
2
...
1 3n
）
n段，每个括号都 5 ？
6
下证f
(n)
1 3n1 1
1 3n1 2
...
1 3n
5 6
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n nx
1
1
1
1 3n1 2
1 3n1 3
1 3n 1
)
3n
1
5n 6
1 2
1 ... 3
1 3n
5n 6
高中数学解题技巧数列放缩
n n n ,所以 ∑n4 ⎛ 1 1 ⎫ = 2 - ⎪ k 2 < 1 + 2 - +Λ + - ⎪ < 1 + (7) 2( n + 1 - n ) < 1 < 2( n - n - 1) (8) ⎛ 22n + 3 ⎭ 2n = n(9)1 ⎛ ⎫ - n 1 1n(n - 1)(n + 1) n(n - 1) n(n + 1) ⎭ n + 1 - n - 1⎛ ⎫= i 2 - j 2(i - j)( i 2 + 1 +j + 1)2数列放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例 1.(1)求 ∑k =12 4k 2 - 1 的值; (2)求证: ∑ 1 < 5 .k 2 3k =1解析:(1)因为2 4n 2 - 1 = 2 1 1 = - (2n - 1)(2n + 1) 2n - 1 2n + 1 ,所以 ∑ k =12 1 2n= 1 - = 4k 2 - 1 2n + 1 2n + 1(2)因为 1n 2<1n 2 -= 1 4n 2 - 1 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭ k =141 ⎛ 1 1 1 1 ⎫ 25⎝ 3 5 2n - 1 2n + 1 ⎭ 3 3=奇巧积累:(1) 14 4 ⎛1 1 ⎫ n2 4n 2 4n 2 - 1 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭= < = 2 - ⎪(2) 1 2 1 1= = -C 1 C 2 (n + 1)n(n - 1) n(n - 1) n(n + 1)n +1 n(3)T r +1= C r ⋅ n1 n! 1 1 1 1 1= ⋅ < < = - (r ≥ 2)n r r!(n - r)! n r r! r(r - 1) r - 1 r(4) (1 + 1 ) n < 1 + 1 + 1 + 1 + Λ +n2 ⨯ 13 ⨯ 21 5<n (n - 1) 2(5)1 11=-2 n (2 n - 1)2 n - 1 2 n(6)1n + 2< n + 2 - n1 ⎫ 1 ⎪⋅ ⎝ 2n + 1= + ⎪ , = - ⎪k (n + 1 - k ) ⎝ n + 1 - k k ⎭ n + 1 n (n + 1 + k ) k + 1 ⎝ n n + 1 + k ⎭1 1 - (2n + 1) ⋅ 2n -1 (2n + 3) ⋅ 2n(10) (11)= -(n + 1) ! n ! (n + 1) !1 n < 2( 2n + 1 - 2n - 1) =2 2 2n + 1 + 2n - 1 =n +21 1 + n -2 2(11) 2n 2n 2n 2n -1 1 1= < = = -(2n - 1)2 (2n - 1)(2n - 1) (2n - 1)(2n - 2) (2n - 1)(2n -1 - 1) 2n -1 - 1 2n - 1(n ≥ 2)(12)1n 3 = 1n ⋅ n 2 < 1 1 1 1 = - ⎪⋅ ⎝⎪⎛ 1 = - ⎝ n - 1 1 ⎫ n + 1 + n - 1 ⎪⋅n + 1 ⎭ 2 n< 1 1 - n - 1 n + 1(13)2n +1 = 2 ⋅ 2n = (3 - 1) ⋅ 2n > 3 ⇒ 3(2n - 1) > 2n ⇒ 2n - 1 > 2n 1 2n ⇒ <3 2n - 1 3(14) k + 2 1 1= -k!+(k + 1)! + (k + 2)! (k + 1) ! (k + 2) !(15) 1n (n + 1)< n - n - 1(n ≥ 2)(15)i 2 + 1 -j 2 + 1 i - j=i + ji 2 + 1 + j 2 + 1 < 1例 2.(1)求证:1 + 1 + 1 + Λ +32521 7 1> - (n ≥ 2) (2n - 1) 2 6 2(2n - 1)1 / 24(2n -1)2 (2n - 1)(2n + 1) n 2 + 2 + 例 3.求证:6n1 1 1 5 n2 - 1 < 1 + 2 - +Λ + - ⎪ < 1 + = n n 6n,当 n = 1 时, 6n1 1 1 ,所以综上有1< 1 . a.设 b ∈ (a ， ，整数解析:由数学归纳法可以证明{a }是递增数列,故存在正整数 m ≤ k ,使 a ≥b ,则(2)求证: 1 + 1 + 1 + Λ + 1 < 1 - 14 16 36 4n 2 2 4n(3)求证: 1 + 1⋅ 3 + 1⋅ 3 ⋅ 5 + Λ + 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅Λ ⋅ (2n - 1) <2n + 1 - 12 2 ⋅ 4 2 ⋅ 4 ⋅ 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅Λ ⋅ 2n(4) 求证： 2( n + 1 - 1) < 1 + 1 + 12 3 +Λ + 1< 2( 2n + 1 - 1)n解析:(1)因为1 1 1 ⎛ 1 1 ⎫,所以> = - ⎪2 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭∑ 1 (2i -1) i =12 1 1 1 1 1 1 > 1 + ( - ) > 1 + ( - )2 3 2n + 1 2 3 2n -1(2) 1 + 1 + 1 + Λ + 1 = 1 (1 + 1 + Λ + 1 ) < 1 (1 + 1 - 1 )4 16 364n 24 2 2 n 2 4 n(3)先运用分式放缩法证明出 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅Λ ⋅ (2n - 1)2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅Λ ⋅ 2n< 1 2n + 1 ,再结合 1n + 2 < n + 2 - n进行裂项 ,最后就可以得到答案(4)首先 1n > 2( n + 1 - n ) =2n + 1 + n,所以容易经过裂项得到2( n + 1 - 1) < 1 + 1 1 3 +Λ +1n再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以1 n < 2( 2n + 1 - 2n -1) =2 2 2n + 1 + 2n -1 = n + 21 1+ n -2 21 + 1 1 3 +Λ + 1 n < 2( 2n + 1 - 1)≤ 1 + + +Λ + <(n + 1)(2n + 1) 4 9 n 2 3解析:一方面:因为 ,所以1 1 4 ⎛ 11 ⎫ < = =2 - ⎪ n 2 4n 2 - 1 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭4∑ 1k 2 k =1⎛ 1 1 1 1 ⎫ 2 5⎝ 3 5 2n - 1 2n + 1 ⎭ 3 3另一方面:1 + 1 + 1+ Λ + 1 > 1 + 1 + 1 + Λ +4 9n 22 ⨯3 3 ⨯ 41 1 n= 1 - =n (n + 1) n + 1 n + 1当 n ≥ 3 时, >n + 1 (n + 1)(2n + 1)6n 1 1 1 = 1 + + +Λ + (n + 1)(2n + 1) 4 9 n 2 ,当 n = 2 时,< 1 + + +Λ +(n + 1)(2n + 1) 4 9 n 26n 1 1 1 5≤ 1 + + +Λ + <(n + 1)(2n + 1) 4 9 n 2 3例 4.(2008 年全国一卷 ) 设函数 f ( x) = x - x ln x .数列 {a }满足 0 < a nk ≥ a 1 - b .证明: a> b .k +1a lnb 1n +1 = f (a ) n1nmak +1> a ≥ b ,否则若 a < b (m ≤ k ) ,则由 0 < a ≤ a < b < 1 知k m 1 m2 / 24= a - a ln a = a - ∑ a ln a k ∑[k∑[k- (k - 1)m +1] < (m + 1)∑ k m < (n + 1)m +1 - 1 = (n + 1)m +1 - n m +1 + n m +1 - (n - 1)m +1 + Λ + 2m +1 -1m +1 = ∑[(k + 1) [km +1- (k - 1)m +1] < (m + 1)∑ k m< ∑[(k + 1)n2 1 - 4 1 - 2 34 (4n - 1) + 2(1 - 2n ) - + 2 - 2n +1 + - 2n +1 = 3 - T + T + T +Λ + T = 3 ⎛ 2 ⎝ 3 3 7 2n - 1 例 7.已知 x = 1,n ⎩n - 1(n = 2k, k ∈ Z ) +Λ + ln 3n 1 1 2 3n + 1 +Λ + 1⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 > + + ⎪+ + ⎪ + Λ + ⎪⎪ = 6 ⎝ 6 9 ⎭ ⎝ 18 27 ⎭ ⎝ 2 ⋅ 3n -1 3n ⎭⎛ 3n -1a m ln a m ≤ a 1 ln a m < a 1 lnb < 0 , a k +1k k k 1 m k m ,因为 ∑ a ln a < k (a ln b ) , m m 1m =1m =1于是 ak +1> a + k | a ln b |≥ a + (b - a ) = b1 1 1 1例 5.已知 n , m ∈ N , x > -1, S = 1m + 2m + 3m + Λ + n m ,求证: n m +1 < (m + 1)S < (n + 1)m +1 - 1 .+mn解析:首先可以证明: (1 + x)n ≥ 1 + nxnm +1= nm +1- (n - 1)m +1+ (n - 1)m +1- (n - 2)m +1+ Λ + 1m +1- 0 =nm +1- (k - 1)m +1]所以要证k =1n m +1 < (m + 1)S < (n + 1)m +1 - 1 只要证:nnk =1m +1n n k =1k =1m +1- k m +1]故只要证 ∑n nm +1 - k m +1],即等价于k =1k =1k =1k m +1 - (k - 1)m +1 < (m + 1)k m < (k + 1)m +1 - k m ,即等价于1 + m + 1 < (1 + 1 )m +1,1 - m + 1 < (1 - 1 )m +1k k k k而正是成立的,所以原命题成立.例 6.已知 a = 4n - 2n ,nT =n2na + a +Λ + a1 2n,求证:T + T + T + Λ + T < 3 . 1 2 3 n解析:T = 41 + 42 + 43 + Λ + 4n - (21 + 22 + Λ + 2n ) = 4(1 - 4n ) - 2(1 - 2n ) = 4 (4n - 1) + 2(1 - 2n )n所以T = n 2n 2n 2n 3 ⋅ 2n 3 2n= = = = ⋅ 4n +1 4 4n +1 2 4n +1 - 3 ⋅ 2n +1 + 2 2 2 ⋅ (2n )2 - 3 ⋅ 2n + 13 3 3 3 32n 3 ⎛ 1 1 ⎫ ⋅ = ⎪ 2 (2 ⋅ 2n - 1)(2n - 1) 2 ⎝ 2n - 1 2n +1 - 1⎭从而 1 2 3 n 1 1 1 1 1 - + - +Λ + - 1 ⎫ 3 ⎪< 2n +1 - 1 ⎭ 21⎧n(n = 2k - 1, k ∈ Z ) ,求证: x = ⎨ 4 1 x ⋅ x 2 3+ 4 1x ⋅ x 4 5+Λ + 1 4 x x2n 2n +1> 2( n + 1 - 1)(n ∈ N *)证明:4 1 x x 2n2n +1= 4 1 (2n - 1)(2n + 1) = 1 4 4n 2 - 1 > 1 4 4n 2= 1 2 ⋅ n=2 2 n ,因为 2 n < n + n + 1 ,所以4 1 x x 2n 2n +1> 2 2 n > 2 n + n + 1 = 2( n + 1 - n ) 所以4 二、函数放缩1 x ⋅ x23 + 14 x ⋅ x 45 +Λ + 14 x x 2n 2n +1 > 2( n + 1 - 1)(n ∈ N *)例 8.求证： ln 2 + ln 3 + ln 4 + Λ + ln 3n < 3n - 5n + 6 (n ∈ N * ) .23 4 3n6解析:先构造函数有 ln x ≤ x -1 ⇒ ln x ≤ 1 - 1 ,从而 ln 2 + ln 3 + ln 4x x 2 3 4< 3n - 1 - ( + +Λ + 3 3n1)因为 1 2 31 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 = + ⎪+ + + + + + ⎪ +Λ + 3n ⎝23 ⎭ ⎝456789 ⎭ ⎝ 2n + 1 1 ⎫+Λ + ⎪2n + 1 3n ⎭5 ⎛ 3 3 ⎫ ⎛ 9 9 ⎫3n -1 ⎫ 5n + 63 / 24⎰ 1 ,从而, 1 ⋅ i < ⎰ 1 = ln x | xnx E 取 i = 1有, 1< ln n - ln(n -1) ,nOA ⎰ 1 ,从而有 1 取 i = 1有, 1 ⋅ i > ⎰ = ln x |n = ln n - ln(n - i) 1 ,所以综上有 1 +Λ + 1(1 + 1 )(1 + ) ⋅Λ ⋅ (1 + 1 ) < e 和1 2! 3! n! 9 例 13.证明: ln 22 - x ,令 ,所以 ln 2所以 ln 2 + ln 3 + ln 4 + Λ + ln 3n < 3n - 1 - 5n = 3n - 5n + 62343n66例 9.求证:(1)α ≥ 2, ln 2α + ln 3α + Λ + ln n α < 2n 2 - n - 1 (n ≥ 2)2α3α n α 2(n + 1)解析:构造函数f (x) =ln x x,得到 ln n n αα ≤ln n 2 n 2,再进行裂项 ln n 2 ≤ 1 - 1 < 1 -n 2 n 21 ,求和后可以得到答案n(n + 1)函数构造形式: ln x ≤ x -1 , ln n α ≤ n α - 1(α ≥ 2)例 10.求证: 1 + 1 + Λ + 1 < ln(n + 1) < 1 + 1 + Λ + 12 3n + 1 2 n解析:提示: ln(n + 1) = ln n + 1 ⋅ n ⋅Λ ⋅ 2 = ln n + 1 + ln n + Λ + ln 2n n - 1 1 n n - 1函数构造形式:ln x < x, ln x > 1 -1x当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数f (x) = 1 ,x首先:nn S<n = ln n - ln(n - i)ABCFn -in -in -iyFn-in D C Bx所以有 12 < ln 2, 1 < ln 3 - ln 2 ,…, 1 < ln n - ln(n -1) ,3 n1 n + 1< ln(n + 1) - ln n , 相 加 后 可 以 得 到 :1 1 1 + +Λ + < ln(n + 1)23 n + 1另一方面SABDE> n n -ix所以有ln(n +1) < 1+ 1 +Λ + + 1 2 n 2 31 1 < ln(n + 1) < 1 + +Λ +n + 1 2 n例 11.求证: 1 (1 + )(1 + 1 1) ⋅Λ ⋅ (1 + 81 32n) < e .解析:构造函数后即可证明例 12.求证: (1 + 1⨯ 2) ⋅ (1 + 2 ⨯ 3) ⋅Λ ⋅ [1 + n(n + 1)] > e 2n -3解析:ln[n(n + 1) + 1] > 2 -3n(n + 1) + 1,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:ln(x + 1) > 2 -3 1 + ln(1 + x) 3 (x > 0) ⇔ > (x > 0)x + 1 x x + 1(加强命题)+ ln 3 + ln 4 3 4 5 +Λ + ln n n (n -1)< (n ∈ N *,n > 1) n + 1 4解析:构造函数 f (x) = ln(x - 1) - (x - 1) + 1(x > 1) ,求导,可以得到:f '(x) = 1-1 =x -1 x -1f ' ( x ) > 0 有1 < x < 2 ,令 f ' ( x ) < 0 有 x > 2 ,所以 f ( x ) ≤ f (2) = 0 ,所以 ln(x - 1) ≤ x - 2 ,令 x = n 2 + 1 有, ln n 2 ≤ n 2 - 1所以ln n n +1 ≤n -12+ ln 3 + ln 4 3 4 5 +Λ + ln n n(n -1) < (n ∈ N *,n > 1) n + 1 44 / 242n n (n +1) 2 n (n +1) 2 nn ln a < ln(1 +1+ 1) + ln a≤ (1+ 1 n 2 + n 2n≤ ln(1 + 1 ≤ ln a + 1 。
数列的放缩技巧
数列的放缩技巧
数列的放缩技巧主要有以下几种：
1. 利用单调性放缩：如果数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式。
2. 分式放缩：通过改变数列的项的分母来达到放缩的目的。
3. 部分放缩：只对数列的部分项进行放缩，常用方法有：舍弃一部分不需要的项，或者将一部分项的值直接取为1等。
4. 迭代放缩：通过多次迭代的方式，逐步将数列的项进行放缩。
5. 基于递推结构的放缩：根据数列的递推公式，通过逐步推导的方式进行放缩。
6. 利用导数不等式放缩：对数列的项进行求导，再利用不等式，达到放缩的目的。
高中数列放缩法技巧
高中数列放缩法技巧
高中数列放缩法是一种用于求解数列问题的技巧。
通过适当的方法对数列进行放缩，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
在高中数学中，数列是一个非常重要的概念。
通过研究数列的性质和规律，可以帮助学生培养数学思维和分析问题的能力。
数列放缩法的基本思想是通过一系列变换将原始数列转化为一个更
加简单或者更加易于处理的数列，从而使问题的求解变得更加容易。
下面介绍几种常用的数列放缩方法：
1. 数列的倍数放缩：如果一个数列的每一项都乘以一个相同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。
这种放缩方法常用于求解具有明显倍数关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等比数列，从而更加方便地求解。
2. 数列的平移放缩：如果一个数列的每一项都加上或者减去一个相
同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。
这种放缩方法常用于求解具有明显递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等差数列，从而更加方便地求解。
3. 数列的递推放缩：如果一个数列的每一项都是前一项的某个函数，
那么这个数列的性质和规律不会改变。
这种放缩方法常用于求解具有复杂递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个递推公式，从而更加方便地求解。
除了以上几种基本的放缩方法，还可以根据具体问题的特点进行其他类型的放缩。
数列放缩法在高中数学中有着广泛的应用，可以帮助学生解决各种数列问题，提高数学分析和推理能力。
总之，高中数列放缩法是一种重要的解题技巧，通过适当的放缩方法可以简化数列问题的求解过程，提高解题效率。
掌握数列放缩法对于高中数学的学习和应试都具有重要的意义。
八个放缩公式一览表
以下是八个放缩公式一览表：
1.等差数列的放缩公式：如果将每一项都乘以一个常数k，那么新得到的数列仍然是等差数列，且公差变为原来的k倍。
2.等比数列的放缩公式：如果将每一项都乘以一个常数k，那么新得到的数列仍然是等比数列，且公比变为原来的k倍。
3.y=c（c为常数）：这个公式表示当x取任意值时，y都等于常数c。
4.y'=0：这个公式表示函数y的导数为0，即函数y是常数函数。
5.y=x^n：这个公式表示当x取任意值时，y等于x的n次方。
6.y'=nx^(n-1)：这个公式表示函数y的导数为nx的n-1次方，即函数y是x的n次方的导数。
7.y=a^x：这个公式表示当x取任意值时，y等于a的x次方。
8.y'=a^xlna：这个公式表示函数y的导数为a的x次方的自然对数，即函数y是a的x次方的导数。
高中数学数列与不等式综合题放缩法技巧
数列型不等式放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n ++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 131211)11(2++++<-+ ,再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(,∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于mm m m m k k k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n na a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+, 所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n=+⋅⋅nn 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩例21.求证:212131211nn>-++++ 解析: +++++++++>-++++ )21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(n n nn n n n >-+=-+++ 六、借助数列递推关系例27.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则nn n n n a na a n a n n a +=+⇒++=++2)1(2)1(21211,从而n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到1221)22(1321)1(22)1(21121-+⋅+<-+⋅+<-+=++++n n n n a a n a a a n n ,所以1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n 例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则111)12(]1)1(2[)1(212+++++=++⇒++=n n n n n a a n a n a n n a ,从而n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到11223121)12(3)12(1121-+<-+⋅+<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n解析:nn n n n n n a a a a a n a a -=⇒+⋅=+=⋅+++++21112112所以就有2122111121121121-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n 九、均值不等式放缩例32.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ， 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnn n n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
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高中数学课程数列中的放缩法（在全...
数列中的放缩法
(在全国卷高考中数列已经远远降低了难度再也不会出现那种丧心病狂虐死人不犯罪的压轴题了)
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在全国卷高考中，数列已经远远降低了难度，再也不会出现那种丧心病狂，虐死人不犯罪的压轴题了。
相应的放缩技巧，在数列考查中也几乎绝迹了，就算偶尔出现意外，也不会太难，掌握下面这几类，完全可以搞定。
一·放缩法
1·放缩法的步骤：
【注意】
放缩法在很多时候会保留第一项或前几项不放缩，这样才不至于使得结果过大或者过小。
2·放缩成等比数列模型：
3·放缩成裂项相消模型：
二·放缩法的应用
1·直接可求和放缩：
2·放缩成等比数列：
3·错位相减法放缩：
4·裂项相消放缩：。