课时训练： 简单的逻辑联结词
一轮复习课时训练§1.3：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第一章§3：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＞3”的否定是A ．∃x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＜3B ．∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3C ．∃x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3D ．∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＜32．如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题．其中正确的结论是A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④3．已知p ：∀x ∈R ，x ＋1>0，q ：∃x ∈R ，x 2－ax －1＝0(a ∈R)，则下列判断正确的是A ．p ∨q 是真命题B ．p ∨q 是真命题C ．p ∧(⌝q)是真命题D ．(⌝p)∧(⌝q)是真命题4．已知命题：p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数， 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 45．命题P ：将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π2个单位长度得到函数y ＝sin2x 的图象；命题Q ：函数y ＝sin(x ＋π6)cos(π3－x)的最小正周期是π，则下列复合命题中是真命题的是 A ．⌝Q B ．P ∧Q C ．P ∨Q D ．⌝Q ∧P二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．下列四个命题：①∀n ∈R ，n 2≥n ；②∀n ∈R ，n 2＜n ；③∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2＜n ；④∃n ∈R ，∀m ∈R ，m·n ＝m. 其中真命题的序号是________．7．命题p ：“∃x ∈[1,2]，x 2≥a ”，命题q ：“∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ≥0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．8．已知命题p ：∃x ∈R ＋，x －1x＞0，命题p 的否定为命题q ，则q 应写成______．q 是______(填“真”或“假”)命题．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解；(2)存在实数x 0，使得1x 20－2x 0＋3＝34.10．（本小题满分16分）已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈[12，2]时，函数 f(x)＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：在写否定时，需要把全称量词与特称量词互换，然后再否定结论．所以C 项正确． 答案：C2．解析：由已知得非p 为假命题，且非q 为假命题，∴p 为真命题，且q 为真命题．∴p 且q 是真命题，p 或q 是真命题．答案：A3．解析：由已知p 假，q 真．则p ∨q 为真命题．答案：B4．解析：∵y ＝2x 在R 上是增函数，y ＝2－x 在R 上是减函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上是增函数，所以p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数为真命题．对于p 2，y ′＝2x ln2＋(12)x ln 12＝ln2[2x －(12)x ]，y ′＜0不一定成立，p 2为假命题．故q 1：p 1∨p 2为真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：(⌝p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(⌝p 2)是真命题．故真命题是q 1，q 4，故选C 项．答案：C5．解析：命题P 是假命题，平移后应该为y ＝cos2(x －π2)＝cos(2x －π)＝－cos2x.而不是 y ＝sin2x 的图象；命题Q 是真命题，y ＝sin(x ＋π6)cos(π3－x)＝sin(x ＋π6)cos[π2－(π3＋x)]＝sin 2(x ＋π6) ＝－12cos(2x ＋π3)＋12，所以最小正周期为T ＝π，所以⌝Q 为假，P ∧Q 为假，P ∨Q 为真，⌝Q ∧P 为假．答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：根据全称命题、特称命题真假的判断方法，对命题①，当n ＝12时，不成立，所以①是假命题；对命题②，当n ＝2时不成立，所以②也是假命题；对命题③，当n ＝－1时，不存在m ∈R ，使m 2＜－1，所以③也是假命题；对命题④，当n ＝1时∀m ∈R ，m·1＝m ，④正确．答案：④7．解析：当p 真时a ≤4，当q 真时Δ＝4a 2－4(2－a)≤0，即－2≤a ≤1，由“p ∧q 为真”得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4－2≤a ≤1，即－2≤a ≤1. 答案：[－2,1]8．解析：易知q 为∀x ∈R ＋，x －1x ≤0，而x ＝2时，2－12＝32＞0，故q 为假命题． 答案：∀x ∈R ＋，x －1x≤0 假三、解答题：本大题共2小题，共36分．9. （本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））解：(1)∀a ∈R ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有唯一解．假命题．∵a ＝0，b ＝1时无解．(2)∃x 0∈R ，1x 20－2x 0＋3＝34.假命题．∵x 20－2x 0＋3＝(x 0－1)2＋2≥2， ∴1(x 0－1)2＋2≤12.∴不存在x 0∈R ，使得1x 20－2x 0＋3＝34.10. （本小题满分16分）解：当p 为真时：0＜c ＜1.对于命题q ：∵2≤x ＋1x ≤52， 要使x ＋1x >1c 恒成立，只要2＞1c ，即c ＞12，即q 为真时c ＞12. 又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p ，q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12. 当p 为假，q 为真时，c ≥1.综上，c 的取值范围为{c|0＜c ≤12或c ≥1}．。
1.3简单的逻辑联结词(张用)
将下列命题用“且”、“或”联结成新命题： (1)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等． (2)p：35 是 5 的倍数；q：35 是 7 的倍数． (3)p：方程 2x2－2 6x＋3＝0 的两根都是实数；q：方程 2x2－2 6x＋3＝0 的两根不等．
解析：
若方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负根，
Δ＝m2－4>0， 则 m>0，
解得 m>2， 即 p：m>2. 若方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根， 则 Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0， 解得 1<m<3， 即 q：1<m<3.
因 p 或 q 为真，p 且 q 为假， 所以 p、q 有一个为真一个为假． (1)若 p 真，q 假，
解析： (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有 一组对边相等． p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相 等． (2)此命题为“p且q”形式的命题，其中， p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除； q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被3整除． 此命题为真命题，因为p为真命题，q也是真命 题．所以“p且q”为真命题．
1.3简单的逻辑联结词
在数学中常常要使用逻辑联结词 “或”、“且”、“非”，它们与日常生 活中这些词语所表达的含义和用法是不尽 相同的，下面我们就分别介绍数学中使用 联结词“或”、“且”、“非”联结命题 时的含义与用法。
为了叙述简便，今后常用小写字母 p，q，r，s，…表示命题。
一、由“且”构成的复合命题
同步练习：简单的逻辑联结词2
简单的逻辑联结词一、综合题:a2b2<0a,b∈R;命题q:a-22|b-3|≥0a,b∈R,下列结论正确的是∨q为真∧q为真C┐p为假D┐q为真,b,c都是实数,已知命题p:若a>b,则ac>bc;命题q:若a>b>0,则ac>bc则下列命题中为真命题的是A┐p∨q∧qC┐p∧┐qD┐p∨┐q:设∈R,若||=,则>0,命题q:设∈R,若2=3,则则下列命题为真命题的是∨q∧qC┐p∧q D┐p∨q,q,则命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件:|2-|≥6,q:∈Z若“p∧q”与“┐q”同时为假命题,则的值为,2 ,0,1,2:点P在直线y=2-3上,q:点P在抛物线y=-2上,则使“p∧q”为真命题的点P,y可能是A0,-3B1,2C1,-1D-1,1:函数f=|lg|为偶函数,q:函数g=lg||为奇函数,由它们构成的“p∨q”“p∧q”和“┐p”形式的命题中,真命题是:2-≥6,q:∈Z,若“p∧q”“┐q”都是假命题,则的值组成的集合为:方程22-23=0的两根都是实数,q:方程22-23=0的两根不相等,试写出由这组命题构成的“p∨q”“p∧q”“┐p”形式的命题,并指出其真假>0,a≠1,设p:函数y=log a1在区间0,∞内单调递减;q:曲线y=22a-31与轴交于不同的两点,如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围参考答案1答案:A解析:∵命题p为假,命题q为真,∴p∨q为真,p∧q为假,┐p为真,┐q为假2答案:D解析:∵p真q假,∴┐p∨q为假,p∧q为假,┐p∧┐q为假,┐p∨┐q为真3答案:D解析:由||=应得≥0而不是>0,故p为假命题;而不只有,故q为假命题由2=34答案:B解析:当p或q为真时,可以得到p和q中至少有一个为真,这时q且p不一定为真;反之,当q且p为真时,必有p和q都为真,一定可得p或q为真5答案:D解析:∵p∧q为假,∴p,q至少有一个为假又“┐q”为假,∴q为真,从而可知p为假由p假q真,可得|2-|<6且∈Z,故的值为-1,0,1,26答案:C解析:使“p∧q”为真命题的点P,y即为直线y=2-3与抛物线y=-2的交点,即可解得7答案:┐p解析:函数f=|lg|为非奇非偶函数,g=lg||为偶函数,故命题p和q均为假命题,从而只有“┐p”为真命题8答案:{-1,0,1,2}解析:由于“p∧q”为假,“┐q”为假,所以q为真,p为假故因此的值可以是:-1,0,1,29解:“p∧q”的形式:方程22-23=0的两根都是实数或不相等“p∧q”的形式:方程22-23=0的两根都是实数且不相等“┐p”的形式:方程22-23=0无实根∵Δ=24-24=0,∴方程有两个相等的实根∴p真,q假,∴p∨q真,p∧q假,┐p假10提示:当0<a<1时,函数y=log a1在区间0,∞内单调递减;当a>1时,函数y=log a1在区间0,∞内不单调递减曲线y=22a-31与轴交于不同的两点,等价于Δ=2a-32-4>0,即0<a<或a>因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p与q恰好一真一假当p真,q假时,函数y=log a1在区间0,∞内单调递减,曲线y=22a-31与轴交于一点或没有交点,当p假,q真时,函数y=log a1在区间0,∞内不单调递减,曲线y=22a-31与轴交于不同的两点。
1.3简单的逻辑连接词
我们可以从并联电路理解联结词“或”的 含义。若开关p,q的闭合与断开分别对应命 题p,q的真与假，则整个电路的接通与断开 分别对应命题p∨q的真与假。
p
q
同假为假,一真必真.
s
总结思考
如果p∧q为真命题,那么p∨q一定是真 命题吗?反之,如果p∨q为真命题,那么 p∧q一定是真命题吗?
假
（2）p:3 < 2
解： p ： 3≥2.
真
(3) p:空集是集合A的子集
解： p ： 空集不是集合A的子集。 假
课堂小结
1、逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的含义 2、判断含有逻辑连接词的命题真假的步骤
（1）把命题写成两个简单命题，并确定命题的构成 形式；
（2）判断简单命题的真假； （3）根据真值表判断命题的真假.
2.在下列命题中
（1）命题“不等式 | x 2 | 0 没有实数解”；
（2）命题“－1是偶数或奇数”；
（3）命题“ 2 既属于集合Q ，也属于集合R”；
（4）命题“A A U B ”
其中，真命题为_（__2__）__（__4_）___.
3.
命题p：“不等式
x
x 1
0
的解集为
{x | x 0或x 1}”；命题q：“不等式 x2 4
1.3简单的逻辑联结词
★★ 1.3.1 且 （and）
思考 下面三个命题间有什么关系？ （1）12能被3整除； （2）12能被4整除；
命题(3)是由命 题(1)(2)使用联 结词“且”联 结得到的新命 题.
（3）12能被3整除且能被4整除。
一般的，用逻辑联结词“ ”把命题p和q连接起来， 就得到一个新命题， 记作p∧q，读作“p且q”.
简单的逻辑联结词
§1.3 简单的逻辑联结词1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“______”、“______”、“______”叫做逻辑联结词. (2)用来判断复合命题真假的真值表：2. “p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”； “p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”. [难点正本 疑点清源]1.逻辑联结词“或”的含义有三种逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同.如“x ∈A 或x ∈B ”，是指：x ∈A 且x ∉B ；x ∉A 且x ∈B ；x ∈A 且x ∈B 三种情况.再如“p 真或q 真”是指：p 真且q 假；p 假且q 真；p 真且q 真三种情况.因此，在遇到逻辑联结词“或”时，要注意分析三种情况. 2.正确区别：命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既 否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论. 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.1.命题p ：有的三角形是等边三角形.命题綈p ：______________________________.2．p ：2∉{1,3}，q ：2∉{x |x 2－4＝0}，则p ∧q 是________________，是________命题，p ∨q 是____________，是________命题．3.下列命题中，所有真命题的序号是________. ①5>2且7>4；②3>4或4>3；③2不是无理数.4．下列命题中既是p ∧q 形式的命题，又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是4和－1C ．集合A 是A ∩B 的子集或是A ∪B 的子集D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 5．下列命题中的真命题是( ) A ．存在x ∈R ，使得sin x cos x ＝35B ．存在x ∈(－∞，0),2x >1C ．对任意x ∈R ，x 2≥x －1D ．对任意x ∈(0，π)，sin x >cos x题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断 例1 已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是________. 探究提高 (1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解.(2)解决该类问题的基本步骤是：①弄清构成复合命题中简单命题p 和q 的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题真假规律判断构成新命题的真假.写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假.(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等.题型二 根据含有逻辑联结词的命题的真假，求参数的取值范围例2 设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫12|x －1|≥a 的解集为∅，命题q ：函数f (x )＝lg ⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －2)x ＋98的定义域为R ，若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求a 的取值范围.探究提高 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对任意x ∈R 恒成立.若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围.1.借助逻辑联结词求解参数范围问题试题：(14分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围.审题视角 (1)p 、q 真时，分别求出相应的a 的范围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的范围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假. 规范解答解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1. [2分] 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.[3分]又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.[7分]又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真.[9分]①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. [11分] ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.[13分] 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[14分]第一步：求命题p、q对应的参数的范围.第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围.第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p真q假”或“p假q真”.第四步：根据新命题，确定参数的范围.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.批阅笔记解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算.答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整.老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1．要写一个命题的否定，需先分清其条件和结论，然后对结论全盘否定，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假．失误与防范1.p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p∧q为真命题，必须p、q同时为真.2.p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.3.简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系.§1.3简单的逻辑联结词(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那 么( )A.“綈p ”是假命题B.q 是真命题C.“p 或q ”为假命题D.“p 且q ”为真命题2.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤－2或a ＝1}B.{a |a ≥1}C.{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D.{a |－2≤a ≤1}3.已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A.a <－1或a >6B.a ≤－1或a ≥6C.－1≤a ≤6D.－1<a <6二、填空题4．给定下列命题：p ：0不是自然数，q ：2是无理数，在命题“p ∧q ”“p ∨q ”中，真命题是__________．5.令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________.6.若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中， 是真命题的有________. 三、解答题7.已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数.命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立.如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围.8.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.B 组 专项能力提升题组一、选择题1.若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( )A.∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B.∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C.∃a ∈R ，f (x )是偶函数D.∃a ∈R ，f (x )是奇函数2．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真3.已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x ∈R ，sin x －cos x ＝ 2.则下列判断正确的是 ( ) A.p 是真命题 B.q 是假命题 C.綈p 是假命题 D.綈q 是假命题 二、填空题4.已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.5.已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m的取值范围是__________.6.设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是____________.7.下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”.其中正确结论的序号为________. 三、解答题8.已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围.答案要点梳理1．(1)或 且 非 (2)真 假 假 真 假 假 真 真 假 真 假 真 真 基础自测1．所有的三角形都不是等边三角形2．2∉{1,3}且2∉{x |x 2－4＝0} 假 2∉{1,3}或2∉{x |x 2－4＝0} 真 3．①② 4．D 5．C 题型分类·深度剖析 例1 q 1，q 4变式训练1 解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题． p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题． 綈p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题． 綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题． p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题． 綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题． 例2 解 ①若p 正确，则由0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，得a >1. ②若q 正确，则ax 2＋(a －2)x ＋98>0解集为R .当a ＝0时，－2x ＋98>0不合题意，舍去；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0(a －2)2－4a ×98<0， 解得12<a <8.③∵p 和q 中有且仅有一个正确， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤112<a <8，∴a ≥8或12<a ≤1.变式训练2 解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a >1. 不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， ∴a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4， ∴q ：0<a <4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真， ∴p 、q 中必有一真一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≥4，得a ≥4.②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤10<a <4，得0<a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)． 课时规范训练 A 组1．C 2．A 3．C 4．p ∨q 5．a >1 6．綈p 、綈q 7.解 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， 则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1. 综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.8.解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数， ∴3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2. 综上可知，所求实数a 的取值范围为 1≤a <2，或a ≤－2. B 组 1．C 2．C 3．D 4.⎣⎡⎦⎤0，12 5．(－∞，1] 6．(－∞，－2]∪[－1,3) 7．①③8．解 由2x 2＋ax －a 2＝0 得(2x －a )(x ＋a )＝0, ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2. 即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．。
1.2简单的逻辑联结词
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 = > 是
都是
至多有 至少有 任 一个 一个 意
的
所有 的
否定 ≠ ≤ 不是 不都是 至少有 没有一 某 某些
两个 个
个
题型二 全称命题的否定
例2 写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练； （2）p：xR，x2＋x+1>0；
（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. (4) p：所有能被3整除的整数都是奇数． (5) p：任意两个等边三角形都是相似的． (6) q：任一个四边形的四个顶点共圆．
其真假性． (难点)
引例： 判断下面的语句是否为命题?若是命
题，指出它的真假。 (1)请全体同学起立！ （不是命题）
(2)X2+x>0（. 不是命题）
(3)对于任意的实数a,都有
（真命题）
a(42+)x1=>-0a. （不是命题） (5)91是质数. （真命题）
只含有一个结论的命题，称 为简单命题。
题型四 “p∨q”命题与“p∧q”命题的否定
例4：写出下列命题的否定：
(1) 3是9的约数或18的约数； (2) 菱形的对角线相等且互相垂直；
(3) 方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等； (4) a<0，或b≤0.
(5)“△ABC是直角三角形或等腰三角形”． (6)“AB∥CD”且“AB=CD”； (7) 100既能被4整除，又能被5整除．
(4) 不是整数；
(5)2是偶数，且2是质数；
【变式1】写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q” “ p ”形式
的命题． (1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等； (2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，
简单的逻辑联结词
高二数学学案使用时间：2015年 11月 23 日编印者：段会茹审定者：赵国宾一、学习目标：1、了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2、正确应用“或”、“且”解决问题。
3、掌握真值表并会用真值表解决问题。
二、自主学习：基础梳理1．且(and)．(1)定义：一般地，用联结词“”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“．(2)当p，q两个命题都为真命题时，p∧q就为；当p，q两个命题中只要有一个命题为假命题时，p∧q就为．2．或(or)．(1)定义：一般地，用联结词“”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“”．(2)当p，q两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p∨q就为；当p，q 两个命题都为假命题时，p∨q就为．3．非(not)．(1)定义：一般地，对一个命题p ，就得到一个新命题，记作綈p.读作“”或“”．(2)若p为真命题时，则綈p必为；若p为假命题，则綈p为．4．复合命题真值表．复合命题的真假可通过真值表加以判断：注意：判断复合命题真假的基本程序是：(1)确定复合命题的构成形式(先找出逻辑联结词，后确定被联结的简单命题)；(2)判断各个简单命题的真假；(3)结合真值表推断复合命题的真假．5．复合命题的否定．(1)命题的否定：“⌝p”是命题“p”的否定，命题“⌝p”与命题“p”的真假正好相反．(2)命题(p∧q)的否定：命题(p∧q)的否定是“⌝p∨⌝q”．(3)命题(p∨q)的否定：命题(p∨q)的否定是“⌝p∧⌝q”．6．常用词语及其否定．例1、将下列命题用“且”联结成新命题，并判断他们的真假。
p:平行四边形的对角线互相平分，q；平行四边形的对角线相等。
p:菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分。
p：35是15的倍数，q:35是7的倍数。
例2、用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断他们的真假：（1）1即是奇数，有是素数。
（2）2和3都是素数。
1.3简单的逻辑联结词
简记为：有假则假
p 真 真 假 假
q 真 假 真 假
p且q 真 假 假 假
例题
例1：将下列命题用“且”联结成新命题,并 判断它们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行 四边形的对角线相等; (2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角 线互相平分; 平行四边形的对角线 (3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数. 互相平分且相等 互相平分且平行四边
p 真 ﹁p 假
假
真
例题应用
例3:写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1) p: y=sinx是周期函数; (2) p: 3<2; (3) p: 空集是集合A的子集. 解(1) ﹁p : y=sinx不是周期函数 命题p是真命题, ﹁p 是假命题 (2) ﹁p :3≥2 命题p是假命题, ﹁p 是真命题 (3) ﹁p :空集不是集合A的子集 命题p是真命题, ﹁p 是假命题
下列两个命题间有什么关系？ （1）35能被5整除; （2）35不能被5整除. 命题(2)是命题(1)的否定.
归纳新知
一般地,对一个命题p全盘否定, 就得到一个新命题,记作:﹁p 读作“非p”或“p的否定”
思考:p与﹁p的真假关系：
若p是真命题,则﹁p必是假命题; 若p是假命题,则﹁p必是真命题.
简单的逻辑联结词
自主探索一 下列三个命题之间有什么关系？ （1）12能被3整除； （2）12能被4整除； （3）12能被3整除且能被4整除；
归纳新知
一般地,用联结词“且”把命 题p和q联结起来，就得到一个新 命题，记作：p∧q读作p且q.
如何确定命题“p且q”的真假性呢？
规定： · 当p,q都是真命题时, “p且q”是 真命题; · 当p,q两个命题中有一个是假 命题时， “ p且q”是假命题
简单的逻辑联结词
【变式与拓展】 1．写出下列各命题构成“p 或 q” 、“p 且 q”和“非 p”
形式的复合命题： (1)p： 3是无理数，q： 3是实数； (2)p：4>6，q：4＋6≤10； (3)p：8 是 30 的约数，q：6 是 30 的约数； (4)p：矩形的对角线互相垂直，q：矩形的对角线互相平分．
误认为它们就是简单命题，要根据语句所表达的含义进行命题 结构的判断．对“或”“且”“非(不)”的理解要与集合中的“并集 “交集”和“补集”的概念结合起来．特别是“否命题”，要对命 的关键词进行否定．
自主解答：(1)这个命题是“非 p”形式的命题，其中 p：方程 x2－3＝0 有有理根．
(2)这个命题是“p 且 q”形式的命题，其中 p：两个角是45° 的三角形是等腰三角形，q：两个角是 45°的三角形是直角三 角形．
题型1 用逻辑联结词构成复合命题 例1：分别写出由下列各组命题构成“p 或 q”、“p 且 q”
和“非 p”形式的复合命题： (1)p： 2是无理数，q： 2大于 1； (2)p：N⊆Z，q：0∈N； (3)p：x2＋1＞x－4，q：x2＋1＜x－4.
思维突破：由简单命题写出复合命题时，可直接使用逻辑 联结词，如本题的(1)(2)，也可以不使用逻辑联结词，如例(3) 中的“p 或 q”，“非 p”．写复合命题的关键是要搞清楚 “且”“或”“非”的意义．
(3)这个命题是“p 或 q”形式的命题，其中 p：如果 xy＜0， 则点 P(x，y)的位置在第二象限，q：如果 xy＜0，则点 P(x，y) 的位置在第四象限．
【变式与拓展】
2．用“p 或 q”“p 且 q”“非 p”填空： (1)“6 是自然数且是偶数”是_p_且______形式；
q (2)“3≥2”是____p_或__q___形式； (3)“4 的算术平方根不是－2”是__非__p____形式；
《1.3简单的逻辑联结词》课时提升作业
《1简单的逻辑联结词(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q【解题指南】先判定出命题p,q的真假,再利用逻辑联结词进行有关判定.【解析】选A.易知命题p为真命题,q为假命题,故p∧q为真命题,p∧q为假命题,p∧q为假命题,p∧q为假命题.2.(2014·驻马店高二检测)若p∨q是假命题,则()A.p是真命题,q是假命题B.p,q均为假命题C.p,q至少有一个是假命题D.p,q至少有一个是真命题【解析】选B.只有当p,q均为假命题时,p∨q才是假命题,故选B.A.“p∨q”为真B.“p∧q”为真C.“p”为假D.“q”为真【解析】选A.明显p假q真,故“p∨q”为真,“p∧q”为假,“p”为真,“q”为假,故选A.4.命题p:“若a<b,则2a<2b”的否命题及命题p的否定为()A.否命题:若a≥b,则2a≥2b,否定:若a<b,则2a≥2bB.否命题:若a<b,则2a≥2b,否定:若a≥b,则2a≥2bC.否命题:若2a<2b,则a<b,否定:若2a<2b,则a≥b.D.否命题:若a>b,则2a>2b,否定:若a<b,则2a>2b.【解析】选A.命题“若a<b,则2a<2b”的否命题为“若a≥b,则2a≥2b”,命题p的否定为“若a<b,则2a≥2b”.5.在下列结论中,正确的结论为()①“p∧q”为真是“p∨q”为确实充分不必要条件;②“p∧q”为假是“p∨q”为确实充分不必要条件;③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.A.①②B.①③C.②④D.③④【解析】选B.充分明白得含逻辑联结词的命题真假的判定方法,关于①,当p∧q为真时,p与q均为真,p∨q为真,但当p∨q为真时,p与q至少有一个为真,但p∧q不一定为真,故是充分不必要条件.关于②,p∧q为假,即p与q中至少有一个为假,则p∨q真假不确定,而当p∨q为真时,即p与q中至少有一个为真,则p∧q真假不确定,故既不是充分条件也不是必要条件.关于③,p∨q为真,则p与q至少有一个为真,但p真假不确定,但当p为假,即p为真时,p∨q一定为真,故是必要不充分条件.关于④p为真,即p为假,则p∧q为假,但当p∧q为假,即p与q至少有一个为假时,p真假不确定,故是充分不必要条件.A.a>0B.a≥0C.a>1D.a≥1【解题指南】先分不求出命题p,q为确实充要条件,再分不求出p,q为假的充要条件,利用分类讨论思想求解.【解析】选B.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”的充要条件为Δ=4 -4a≥0,即a≤1,则p为真时,a>1;则“q”为真命题时,0≤a≤1.由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,得p,q一真一假:若p真q假,则0≤a≤1;若p假q真,则a>1.因此实数a的取值范畴是a≥0.【举一反三】若本题变为“q”为假命题且“p∨(q)”为真命题,其余条件不变,则实数a的取值范畴是.【解析】由“q”为假命题且“p∨(q)”为真命题,得p真q真,因此实数a的取值范畴是a<0.答案:a<0二、填空题(每小题4分,共12分)【解析】若p为真命题,则按照绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题,则7-3m>1,因此m<2,若p真q假,则m∈.若p假q真,则1<m<2.综上所述,1<m<2.答案:1<m<2因此p∧q为假,①错误;p∨q为真,②正确;p为假,③错误;q为真,④错误.答案:②因为p且q为假命题,因此p,q中至少有一个为假,因此x≥3或x≤-1.答案:(-∞,-1]∪[3,+∞).三、解答题(每小题10分,共20分)10.分不指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“p”形式,并判定真假:【解析】(1)p∨q,2n-1(n∈Z)是奇数或是偶数;(真)p:2n-1(n∈Z)不是奇数.(假)p:a2+b2≥0.(真)p集合中的元素是不确定的.(假).(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范畴.(2)若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范畴.(1)当a=1时,确定p:1<x<3,再由p∧q为真,可知p,q均为真,故所求实数x的取值范畴确实是命题p,q所表示的集合的交集.(2)由条件可知,q是p的充分不必要条件,故命题q所表示的集合是命题p所表示的集合的真子集,然后借用数轴求解即可.【解析】(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)·(x-a)<0,又a>0,因此a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真命题时,实数x的取值范畴是1<x<3,由x2-5x +6≤0得2≤x≤3,因此q为真时实数x的取值范畴是2≤x≤3.若p∧q为真,则2≤x<3,因此实数x的取值范畴是[2,3).(2)设A={x|a<x<3a},B={x|2≤x≤3},由题意可知q是p的充分不必要条件,则B A,因此⇒1<a<2,因此实数a的取值范畴是(1,2).(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范畴”,q是“乙降落在指定范畴”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范畴”可表示为()A.(p)∨(q)B.p∨(q)C.(p)∧(q)D.p∨q【解题指南】本题考查了逻辑联结词的应用.【解析】选A.至少有一位学员没有降落在指定范畴指的是甲没有降落在指定范畴或乙没有降落在指定范畴,故选A.A.p真B.q假C.p∧q真D.p∨q假【解析】选B.命题p为假命题,命题q为真命题,故选B.A.(p)∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.(p)∨(q)【解析】选D.关于p,函数对应的方程x2-x-1=0的判不式Δ=(-1)2-4×(-1)=5>0.可知函数有两个不同的零点,故p为真.当x<0时,不等式<1恒成立;当x>0时,不等式的解为x>1.故不等式<1的解为x<0或x>1.故命题q为假命题.因此只有(p)∨(q)为真,故选D.3.已知命题(p∧q)∧(p∨q)为真命题,则()A.p,q都为真B.p真,q假C.p假,q真D.p,q都为假【解析】选B.因为(p∧q)∧(p∨q)为真命题,因此(p∧q)为真命题,(p∨q)也为真命题,因为(p∧q)为真命题,因此p和q差不多上真命题,因此p真,q假.现在(p∨q)也为真命题,符合题意.【误区警示】解答本题易显现如下错误现象:(1)不知从何处入手,找不到咨询题突破口.(2)层次不清,推理纷乱.(3)步骤不衔接,前后矛盾.(4)对逻辑联结词明白得不准,显现知识性错误.A.{x|x≤-1或x≥3,x∉Z}B.{x|-1≤x≤3,x∉Z}C.{x|x<-1或x∈Z}D.{x|-1<x<3,x∈Z}因此满足-1<x<3且x∈Z,故满足条件的集合为{x|-1<x<3,x∈Z}.二、填空题(每小题5分,共10分)命题,命题p∨q是命题.【解析】命题p:2∉{1,3}是真命题.因为{x|x2-4=0}={-2,2},因此命题p∧q是假命题,命题p∨q是真命题.答案:假真①p∨q;②p∧q;③p;④q.其中真命题的序号是.【解析】因为π是y=|sinx|的最小正周期,因此q为假.又因为p为真,因此p∨q为真,p∧q为假,p为假,q为真.答案:①④三、解答题(每小题12分,共24分)【解析】当p为真命题时,Δ=k2-4≤0,因此,-2≤k≤2.当q为真命题时,令f(x)=x2+(2k-1)x+k2,方程有两个大于1的实数根⇔即因此k<-2.要使p且q为假,p或q为真,则p真q假,或者是p假q真.当p真q假时,-2≤k≤2,当p假q真时,k<-2.综上:k≤2.(1)若p为真命题,求实数a的取值范畴.(2)试咨询:p∧q是否有可能为真命题?若有可能,求出a的取值范畴;若不可能,请讲明理由.【解析】(1)若p为真命题,令f(x)=2x2+x+a,则f(1)<0,即3+a<0,因此a<-3.(2)假设p∧q是真命题,则p,q均为真命题,由(1)知p真时a<-3.当q为真命题时,需即a>1.明显p,q均为真命题时需现在a不存在,故不存在a的值使p∧q为真命题.。
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全国名校高中数学优质课时训练汇编（附详解）
课时训练：简单的逻辑联结词
1.已知p:2+2=5,q:3≥2,则下列判断中,错误的是( )
A.p或q为真,非q为假
B.p或q为真,非p为真
C.p且q为假,非p为假
D.p且q为假,p或q为真
【解析】选C.对于命题p:2+2=5,是假命题;
对于q:3≥2,是真命题.
所以p∨q为真命题,p∧q是假命题,¬p为真命题,¬q为假命题.所以C判断错误.
2.已知条件p:|x+1|>2,条件q:5x-6>x2,则¬p是¬q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为p:|x+1|>2,所以x>1或x<-3,因为q:5x-6>x2,所以2<x<3,所以q⇒p,所以¬p⇒¬q,所以¬p是¬q的充分不必要条件.
3.设命题p:函数y=sin2x 的最小正周期为;命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真
B.¬q为假
C.p∧q为假
D.p∨q为真
【解析】选C.由函数y=sin2x的最小正周期为π可知命题p是假命题;由函数y=cosx的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称可知命题q是假命题,所以p∧q为假命题.
4.已知p:不等式ax+b>0的解集为,q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a<x<b}.若“p∨q”是假命题,则a,b满足的条件是________.
【解析】因为p∨q为假命题,所以p,q均为假命题.p假⇔a≤0,q假⇔a≥b,则b
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