2024中考备考数学重难点05 圆的综合压轴题(6大题型+满分技巧+限时分层检测
重难点05 圆的综合压轴题
中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：
一、圆中弧长和面积的综合题
二、圆与全等三角形的综合题
三、圆的综合证明问题
四、圆与等腰三角形的综合题
五、圆的阅读理解与新定义问题
六、圆与特殊四边形的综合题
圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。
考向一：圆中弧长与面积的综合题
1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.
（1）求OC的长．
操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究：在图2中．
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．
2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： ；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 ；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
考向二：圆与全等三角形综合题
1．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．
（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．
（1）如图①，求证：BC＝2OH；
（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长． 3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 45
度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAE＝180°，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∴△PBC≌△EBA（SAS）．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为
．
考向三：圆的综合证明问题
1．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC•PC＝BC2；
（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．
2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
3．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．
4．（2023•广东）综合探究
如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．
（1）求证：AA'⊥CA'； （2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
考向四：圆与等腰三角形的综合
1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 ．
2．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．
（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；
（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．
3．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；
逆向思考
（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
考向五：圆的阅读理解与新定义问题
1．（2023•青海）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．
（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C到BD的距离d1．
（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．
（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝ ．
此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C到BD的距离d3＝ （结果保留根号）．
（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小： ，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离 （填“越大”或“越小”）．
（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝ .这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．
2．（2023•陕西）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；
（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，点P到水面AB的距离PH＝8m．点P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在点P1，P2处各装有一个照明灯，图中△P1CD和△P2EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P1，P2左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分别绕点P1，P2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）
2023年中考数学专题复习《圆综合压轴题》解答题专题提升训练+
2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
2．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF＝∠BAC．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半径．
3．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长． 4．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．
6．如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．
7．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
中考各省压轴之圆综合问题(9考点39题)—2024年中考数学压轴题(全国通用)(解析版)
中考各省压轴之圆综合问题
（9考点39题）
一．圆周角定理（共3小题）
1．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已
知AE＝2，tan∠CBA＝，则AB的长为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解答】解：连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长
OF交⊙O于点G，连接OB，
∵EH是⊙O的直径，
∴∠EAH＝90°，
∴tan∠AHE＝，
∵∠AHE＝∠CBA，tan∠CBA＝，
∴tan∠AHE＝tan∠CBA＝，
∴＝，
∵AE＝2，
∴AH＝4，
∴EH＝＝2，
∴⊙O的半径为， ∴OG＝OB＝， ∵OG⊥AB于F，
∴AB＝2BF，
根据折叠的性质得，OF＝GF，
∴OF＝OG＝，
∴BF＝＝，
∴AB＝， 故选：C．
2．如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交
于点F，则＝（ ）
A． B． C．1﹣ D．
【答案】D
【解答】解：方法1：连接AE、CE．作AD∥CE，交BE于D．
∵点E是弧AC的中点，
∴可设AE＝CE＝1，
根据平行线的性质得∠ADE＝∠CED＝45°．
∴△ADE是等腰直角三角形，
则AD＝，BD＝AD＝．
所以BE＝+1． 再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA，
则EF＝＝﹣1，BF＝2．
所以＝．
方法2：过点C作CO⊥AB于点O，
∵AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，
∴点O是圆心．
连接OE，BC，OE与AC交于点M，
∵E为弧AC的中点，
易证OE⊥AC，
∵∠ACB＝90°，∠AOE＝45°，
∴OE∥BC，
设OM＝1，则AM＝1，
∴AC＝BC＝2，OA＝，
∴OE＝，
∴EM＝﹣1，
∵OE∥BC，
∴＝＝．
故选：D．
3．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，
P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ．
2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)
圆中的新定义问题
1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
(1)已知A(3,0)，B(5,0)，
①在点P1(6,0)，P2(1,-2)，P3(3,2)中，线段AB的融合点是
P1，P3 ；
②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；(2)已知⊙O的半径为4，A(a,0)，B(a+1,0)，直线l过点T(0,-1)，记线段AB关于l的对称线段为AB．若对于
实数a，存在直线l，使得⊙O上有AB的融合点，直接写出a的取值范围．
【解答】解：(1)①∵P1(6,0)，A(3,0)，
∴P
1A的线段垂直平分线与x轴的交点为92，0，
∴P1是线段AB的融合点；∵P2(1,-2)，B(5,0)，
设直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为(a,0)，∴(a-1)2+4=(5-a)2，
解得a=52，
∴直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为52，0，
∴P2不是线段AB的融合点；∵P3(3,2)，B(5,0)，
设直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为(b,0)，
∴(b-3)2+4=(5-b)2，
解得b=3，∴直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为(3,0)，
∴P3是线段AB的融合点；
故答案为：P1，P3；
②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内
部，∵A(3,0)，B(5,0)，
∴AB=2，
当y=t与圆相切时，t=2或t=-2，∴-2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点；
(2)由(1)
可知，
A
B的融合点在以A、B为圆心，AB为圆心的圆及内部，∵A(a,0)，B(a+1,0)，
·1·
∴AB=AB=1，
∵⊙O上有AB的融合点，∴圆O与圆A、B有交点，∴圆O与圆A、圆B的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域，
当a>0时，a的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，
备战中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习及答案
备战中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习及答案
一、圆的综合
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在BCuuur上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若ABAC=53，求BC的长；
②当ABAC为何值时，AB•AC的值最大？
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=42；②32
【解析】
分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得BEBGBFBA，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；
（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=26k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=12BC=6k求得DM=22CDCM=3k，可知OM=OD-DM=3-3k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC， ∴AC=CE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，
由（1）知AC=CE=CD，
备战中考数学压轴题之圆的综合(备战中考题型整理,突破提升)含答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB中，利用已知条件求得答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形， ∵∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB，
在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
考点：切线的性质．
2．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.
发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；
思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；
（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；
探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与射影定理结合型压轴题(含解析)
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与射影定理结合型压轴题（含解析）
射影定理模型：
射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，
每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理，
在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形推导过程结论
因为
ACDABCAA
ABC
∽ACD
ACAB
ADAC
①ABADAC2
;
②BABDBC2
;
③BDADCD2
1.（长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠
MNP，交PM于点E，交PQ于点F．
（1）+＝．
（2）若PN2
＝PM•MN，则＝．
【解答】解：（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN＝∠MPN＝90°，
∵NE平分∠PNM，∴∠MNE＝∠PNE，∴△PEN∽△QFN
，∴
，即①，
∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，∴∠NPQ＝∠PMQ，∵∠PQN＝∠PQM＝90°，
∴△NPQ∽△PMQ
，∴②，∴①×②
得，∵QF＝PQ﹣PF
，∴＝1
﹣，
∴
+＝1，故答案为：1；
（2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPM，∴由射影定理得：PN2
＝QN•MN，∵PN2
＝PM•MN，∴PM＝
QN
，∴
，∵
，∴
，∴，∴NQ2
＝MQ2
+MQ•NQ
，即，设
，则x2
+x﹣1＝0，解得，x
＝，或x
＝﹣＜0（舍去）．
2．（北雅）如图，点P在以
MN为直径的半圆上运动（不与M、
N重合），
PHMN于H点，过
N点作NQ
与PH平行交MP的延长线于Q点．
（1）求QPN的度数；
（2）求证：QN与
O相切；
（3）若2PNPMMN，求MH
NH的值．
【解答】（1）解：
MN是直径，
90MPN，90QPN；（2）证明：
PHMN，
90PHM，//QNPH，90QNMPHM，ONQN，
2024年中考数学压轴题型(安徽专用)专题07解答题压轴题(圆的综合)(学生版)
专题07解答压轴题（圆的综合）
压轴题密押
通用的解题思路：
一、 切割线定理
当出现圆中一条弦和一条切线（或另一条弦）所在直线交于圆外一点时，可利用相似三角形解决线段
相关问题。二、 解决三角形外接圆的问题
做这类题时可通过连接圆心（外心）和三角形的顶点，或过圆心（外心）作边的垂线，进而应用圆周
角定理、垂径定理及勾股定理解决问题。三、 证切线的方法
1、 已知半径证垂直；
2、 已知垂直证半径。
经典例题
1. （2023-安徽•中考真题）已知四边形班CD内接于。。，对角线如是。。的直径.
⑴如图1,连接OA,C4,若求证；04平分乙BCD；
（2）如图2, E为。。内一点，满足AE±BC,CE±AB,若BD = 30 AE = 3,求弦BC的长.
2. （2022.安徽.中考真题）已知AB^jQO的直径，。为。。上一点，D为BA的延长线上一点，连接
图1上
AB
图2
⑴如图 1,若 COLAB, 20=30。，0A=L 求 AQ 的长;(2)如图2,若OC与。0相切，E为OA上一点，且ZACD=ZACE,求证：CE±AB.
3. (2021.安徽.中考真题)如图，圆0中两条互相垂直的弦AB, CQ交于点E.
(1) M是CD的中点，(W=3, CD=12,求圆。的半径长；(2) 点尸在 CQ 上，＞ CE=EF,求证：AF 1BD.
压轴题预测
1. (2024-安徽六安•一模)如图，4ABC内接于O。，是。。的直径，0D 1 AB交O。于点E,交AC于
点 KDF = DC.
D
\R(1) 求证：CD是。。的切线；
(2) 若。F = 而,BC = 6,求DE的长.
2. (2024.安徽•一模)如图，已知点尸为。。外一点，点A为。。上一点，直线P4与。。的另一个交点为
点B, AC是。。的直径，APAC的平分线刀。交。。于点Q,连接CD并延长交直线霹于点M,连接OQ.
(1) 求证：OD || BM；
(2) 若tan ZACD - ,。。的直径为4,求刀B的长度.
圆基本性质的综合(压轴题专项讲练)(苏科版)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册(苏科版
圆基本性质的综合（压轴题专项讲练）
【典例1】已知，△𝐴𝐵𝐶
内接于圆𝑂
，𝐴𝐵
为圆𝑂
直径，在圆𝑂
上取点𝐷
，连接𝐴𝐷
，𝐴𝐷=𝐵𝐶
；
（1）如图1，求证：𝐴𝐶⊥𝐴𝐷
；
（2）如图2，圆𝑂
的弦𝐴𝐸
交𝐵𝐶
于点𝐹
，延长𝐴𝐷
至点𝐺
，分别连接𝐵𝐸、𝐹𝐺
，若∠𝐴𝐹𝐺=2∠𝐹𝐵𝐸
，求证：
𝐹𝐴=𝐹𝐺
；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接𝐵𝐺
，若∠𝐴𝐹𝐺=∠𝐹𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝐺
，𝐵𝐺:𝐴𝐸=17:32
，求𝐸𝐹:𝐹𝐴
．
（1）连接𝐵𝐷
，证明Rt△𝐴𝐵𝐶≌Rt△𝐵𝐴𝐷
，得出∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐷
，则𝐵𝐶∥𝐴𝐷
，根据𝐴𝐶⊥𝐵𝐶
，即可得出
𝐴𝐶⊥𝐴𝐷
；
（2）设∠𝐹𝐵𝐸=𝛼
，∠𝐴𝐹𝐶=𝛽
，则∠𝐴𝐹𝐺=2𝛼
，，得到𝛼+𝛽=90°
，进而得出∠𝐹𝐴𝐺=∠𝐺
，即可得证；
（3）过𝐵
作𝐵𝑇⊥𝐹𝐺
，在𝐴𝐸
上取一点𝐽
，连接𝐵𝐽
，使得∠𝐽𝐵𝐴=∠𝐽𝐴𝐵
，证明△𝐽𝐵𝐸≌△𝐺𝐵𝐸
(AAS)，根据◆典例分析𝐵𝐺:𝐴𝐸=17:32
设𝐵𝐺=17𝑎
，𝐴𝐸=32𝑎
，则𝐵𝐺=𝐵𝐽=𝐴𝐽=17𝑎
，勾股定理得出𝐸𝐵
=
𝐵𝐽2―𝐸𝐽2=8𝑎
，设
𝐹𝐸=𝐹𝑇=𝑏
，得出𝑏=17
2𝑎
，即可求解．
（1）证明：连接𝐵𝐷
，如图所示：
∵
𝐴𝐵
为圆𝑂
直径，
∴∠𝐶=∠𝐷=90°
，即𝐴𝐶⊥𝐵𝐶
∵
𝐴𝐷=𝐵𝐶
，𝐴𝐵=𝐴𝐵
∴Rt△𝐴𝐵𝐶≌Rt△𝐵𝐴𝐷
∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐷
∴𝐵𝐶∥𝐴𝐷
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶
∴
𝐴𝐶⊥𝐴𝐷
；
（2）证明：∵
∠𝐴𝐹𝐺=2∠𝐹𝐵𝐸
，
设∠𝐹𝐵𝐸=𝛼
，∠𝐴𝐹𝐶=𝛽
，则∠𝐴𝐹𝐺=2𝛼
2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用及参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用
1．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三
角形圆心所在边上的“伴随圆”.
（1）如图①，在ABC
中，90C
，5AB
，3AC
，则BC边上的伴随圆的半径为.
（2）如图②，ABC
中，5ABAC
，6BC
，直接写出它的所有伴随圆的半径.
（3）如图③，ABC
中90ACB
，点E在边AB上，2AEBE，D为AC
的中点，且90CED
.
①求证：CED
的外接圆是ABC
的AC
边上的伴随圆；②DE
CE的值为▲.
2．定义：有两边之比为
12：的三角形叫做智慧三角形．
（1）如图1，在智慧三角形ABC
中，222ABBCAD，，
为BC边上的中线，求AD
AC的值；
（2）如图2，ABC
是O
的内接三角形，AC
为直径，过AB的中点D作DEOA
，交线段OA
于
点F，交O
于点E，连结BE交AC
于点G
．
①求证：ABE
是智慧三角形；
②如图3，在（2）的条件下，当53AFFG：：时，则EG
EF＝▲．（直接写出结果）
3．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，
我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C
是弧BD的中点，DAB是弧BD所对的圆周角，ADAB，
连接AC
、DCCB、，
试说明ACB
与ACD是偏等三角形．
（2）如图2，ABC
与DEF是偏等三角形，其中ADACDFBCEF，，，
猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角．请填写结论，并说明理由．(以
ABC
与DEF
为例说明)；
（3）如图3，ABC
内接于63045OACAC
，，，，
若点D在O
上，且ADC
与
ABC
是偏等三角形，ADCD，
求AD的值．
4．如图1，已知ABC
是O
的内接三角形，AB为直径，38A
，D为
2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型
综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型
题型一 综合与实践
1. 综合与实践
问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的直角边AC与等腰 𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶的斜边AC 重合， ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.
(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；
(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作 𝐸𝐹⊥𝐶𝐸,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断 △𝐶𝐸𝐹的形状，并说明理由.
2. 综合与实践
【阅读理解】如题1-1图，在 △𝐴𝐵𝐶中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得 𝐴𝑀²=𝐴𝐵²−𝐵𝑀²,𝐴𝑀²=𝐴𝐶²−𝐶𝑀²,故 𝐴𝐵²−𝐵𝑀²= 𝐴𝐶²−𝐶𝑀².
【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: 𝐴𝑃²+𝐶𝑃²=𝐵𝑃²+𝐷𝑃².
【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.
【尝试应用】如题1-4图，在 △𝐴𝐵𝐶中, 𝐴𝐵=3,𝐴𝐶=4,Q为平面内一点，且 𝐴𝑄=1,∠𝐵𝑄𝐶=90°,求 BC
的最大值.
3. 如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.
(1)若AD=3AE,则 𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐷𝐸= ;
(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D重合),连接BF,求∠BFE的度数;
(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.