中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习附答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。
（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；
（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）
【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－247，247）；（3）M（－2，2）
【解析】
分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；
（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=34x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6得出关于a的方程，求出即可．
（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO求得r=2，据此可得答案．
详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：
设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，
∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，
∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．
又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；
（2）如图2，连接ME，MF，
∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴806kbb，解得：k=34，b=6，即直线AB的函数关系式是y=34x+6．
∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6，得：﹣a=34a+6，得：a=﹣247，∴点M的坐标为（﹣242477，）．
（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，
∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设ME=MF=MG=r，则S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO．
∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB=22AOBO=10，∴12r•8+12r•6+12r•10=12×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．
点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O相切．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，
交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．
（1）求证：DA是⊙O切线；
（2）求证：△CED∽△ACD；
（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】
分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；
（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；
（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．
详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．
∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．
∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；
（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．
∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．
∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．
∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；
（3）在Rt△AOD中，OA=1，sinD=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．
∵AD=22ODOA=22．
又∵△CED∽△ACD，∴ADCDCDDE，∴DE=2CDAD=2，
∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．
点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．
3．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．
（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为 ；
（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD
表达式；
（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．
【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1
【解析】
分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；
（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；
（3）分两种情况：
①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；
②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．
详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=22223（）=4，∴∠ABO=30°．
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．
∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．
故答案为：60°；
（2）如图2．
∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．
过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；
（3）分两种情况：
①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．
∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．
∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．
∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；
②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4． ∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．
∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．
∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；
综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．
点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．
4．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．
【答案】(1)见解析;(2)1010.
【解析】
分析：（1）要证DE是⊙O的切线，必须证ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又BD⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．
详解：（1）证明：连接O、D与B、D两点，
∵△BDC是Rt△，且E为BC中点，
∴∠EDB=∠EBD．（2分）
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，
若要四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，
又∵BD⊥AC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∴∠CAB=45°．
过E作EH⊥AC于H，
设BC=2k，则EH=22k，AE=5k，
∴sin∠CAE=1010EHAE．
点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
5．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF：
（2）求证：PA是⊙O的切线； （3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）22
【解析】
分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；
（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD的长度．
详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，
∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE.
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，
∴BFDG=EFAG，
∵G是AD的中点，
∴DG=AG，
∴BF=EF；
(2)连接AO，AB.
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，
又∵OA=OB，
哈尔滨中考数学——圆与相似的综合压轴题专题复习.doc
哈尔滨中考数学——圆与相似的综合压轴题专题复习
一、相似
1．在 △ ABC 中， ∠ABC=90°．
（1 ）如图 1，分别过
A、 C
两点作经过点
B 的直线的垂线，垂足分别为
M 、 N，求证：
△ABM ∽△ BCN；
（2）如图 2，P 是边 BC上一点， ∠ BAP=∠ C， tan∠ PAC= ，求 tanC 的值；
（3）如图 3， D 是边 CA 延长线上一点， AE=AB， ∠ DEB=90°， sin∠BAC=
，
，直
接写出 tan ∠ CEB的值．
【答案】 （1）解： ∵AM ⊥ MN ， CN⊥MN ，
∴∠ AMB=∠ BNC=90 ，°
∴∠ BAM+∠ ABM=90 °，
∵∠ ABC=90 ，°
∴∠ ABM+∠ CBN=90 ，°
∴∠ BAM=∠ CBN，
∵∠ AMB=∠ NBC，
∴△ ABM∽ △ BCN
（ 2）解：如图 2，过点 P 作 PM⊥ AP 交 AC 于 M， PN⊥ AM 于 N.
∵∠ BAP+∠1=∠ CPM+∠1=90 ，°
∴∠ BAP=∠CPM=∠ C，
∴MP=MC
∵tan ∠ PAC=
设 MN=2m,PN=
m,
，
根据勾股定理得， PM= ,
∴ tanC=
（3）解：在 Rt△ ABC中， sin∠BAC= = ，
过点 A 作 AG⊥ BE于 G，过点 C 作 CH⊥ BE交 EB 的延长线于 H，
∵∠ DEB=90 ，°
∴CH∥AG∥ DE，
∴ =
同（ 1）的方法得， △ABG∽ △ BCH
∴ ，
设 BG=4m， CH=3m，AG=4n， BH=3n，
2024中考备考数学重难点05 圆的综合压轴题(6大题型+满分技巧+限时分层检测
重难点05 圆的综合压轴题
中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：
一、圆中弧长和面积的综合题
二、圆与全等三角形的综合题
三、圆的综合证明问题
四、圆与等腰三角形的综合题
五、圆的阅读理解与新定义问题
六、圆与特殊四边形的综合题
圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。
考向一：圆中弧长与面积的综合题
1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.
（1）求OC的长．
操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究：在图2中．
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．
2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： ；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．
中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题及答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB中，利用已知条件求得答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA， ∵
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形， ∵∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB，
在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
考点：切线的性质．
2．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．
(1)如图(1),求证:AD∥BC；
(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；
(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=53,tan∠ADF=43,求⊙O的半径。
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129
【解析】
试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．
人教备战中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题含答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．
（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °
（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．
要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．
【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．
【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．
（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．
试题解析：（1）连接FE，
∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，
∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．
∵，即．
∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．
（2）作图如下：
P（7，7），PH是分割线．
考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．
2．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．
（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．
【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（2）352
【解析】
试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．
（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．
试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．
备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析及答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．
（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °
（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．
要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．
【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．
【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．
（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．
试题解析：（1）连接FE，
∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，
∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．
∵，即．
∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．
（2）作图如下：
P（7，7），PH是分割线．
考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．
2．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《圆的综合》(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《圆的综合》
1．如图，在等边△ABC中，已知AB＝8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN＝3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点．
（1）填空：∠DCE＝ 60
度，CN＝ 5
cm，AM＝ 4 cm．
（2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．
（3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ＝ 6 cm．
当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ＝ 6 cm．
解：（1）∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝∠BCD+∠CAD＝∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝60°；
∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，
∴BC＝AB＝8cm，
CM＝BC＝×8＝4cm，
在Rt△CMN中，CN＝＝＝5cm；
在Rt△ACM中，AM＝＝＝4cm；
（2）过点C作CF⊥PQ于F， ∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
∴CF＝BC＝×8＝4cm，
连接CP，则PC＝CN＝5cm，
在Rt△PCF中，PF＝＝＝3cm，
由垂径定理得，PQ＝2PF＝2×3＝6cm；
（3）①如图，点D在MA的延长线上时，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBQ＝∠CAM＝30°，
与（2）同理可求PQ＝6cm，
②如图，点D在AM的延长线上时，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
与（2）同理可求PQ＝6cm，
综上所述，PQ的长度不变都是6cm．
中考数学圆的综合综合练习题附详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切（2）4
【解析】
试题分析：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴EADOAD＝，∵OAOD＝，∴ODAOAD＝，∴ODAEAD＝，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切
（2）
如图1，作DF⊥AB，垂足为F，∴DFADEA90＝＝，∵EADFAD＝，ADAD＝，∴△EAD≌△FAD，∴AFAE8＝＝，DFDE＝，∵OAOD5＝＝，∴OF3＝，在Rt△DOF中，22DF4ODOF＝＝，∴AFAE8＝＝
考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系
点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．
2．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．
（1）求证：∠ACE=∠DCE；
（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数； （3）若AC=4，23CDFCOESS，求CF的长．
【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）433
【解析】
【分析】
（1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；
（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；
（3）易证12COECAESS，由于23CDFCOESS，所以CDFCAESS=13，由圆周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．
2021年 中考一轮复习数学专题突破训练：《圆综合性压轴题》(一)
2021年 中考一轮复习数学专题突破训练：
《圆综合性压轴题》（一）
1．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连结DE分别交AC，BC于点F，G．
（1）求证：△DFC∽△CGE；
（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；
（3）如图2，连结AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．
2．如图，已知△ABC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连结CE交AB于点F，且AF＝AC．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，sinA＝，求CE的长．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AO＝，求的长；
（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．
4．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结CA．
（1）若∠ACD＝30°，求劣弧AB的度数；
（2）如图2，连结BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连结AG．
①若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；
②设tan∠CAE＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．
5．如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．
（1）如图1．①求证：点P为的中点；
②求sin∠BAC的值；
（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；
（3）若△ABC为非锐角三角形，求PA•AE的最大值．
6．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．
（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．
i）若⊙O的直径为，sinB＝，求AD的长；
备战中考数学压轴题之圆的综合(备战中考题型整理,突破提升)含答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB中，利用已知条件求得答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形， ∵∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB，
在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
考点：切线的性质．
2．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.
发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；
思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；
（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；
探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
2020-2021中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)含答案
2020-2021中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)含答案
一、圆的综合
1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tanA=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．
【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．
【解析】
试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；
（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；
（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．
试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DEBEBDAEDEAD．∵Rt△ABD中，tanA=BDAD=12，∴DEBEAEDE=12，
∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；
（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x．∵OF=1，∴OE=1+2x．
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣29（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．