高三数学正弦定理试题答案及解析
高三数学正弦定理试题答案及解析
1. 在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60º，∠CBD＝15º，求BC长.
【答案】4
【解析】利用已知条件及正余弦定理，即可求得BC的长.
试题解析：在ΔABCD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD•BDcos60º，
即BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8.（6分）
在ΔBCD中，由正弦定理得:.（12分）
【考点】解三角形，正弦定理，余弦定理
2. 在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由正弦定理得：，又，所以选D.
【考点】正弦定理
3. 如图,在平面四边形中,.
(1)求的值;
(2)若,,求的长.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)题目已知三角形的三条边,利用的余弦定理即可得到该角的余弦值.
(2)利用(1)问得到的的余弦结合正余弦之间的关系即可求的该角的正弦值,再利用正余弦之间的关系即可得到,而与之差即为,则利用正弦的和差角公式即可得到角的正弦值,再利用三角形的正弦定理即可求的边长.
(1)由关于的余弦定理可得
,所以.
(2)因为为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再由正弦的和差角公式可得
,再由的正弦定理可得
.
【考点】三角形正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式
4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC的面积为，则＝( )
A． B． C．2 D．2
【答案】D
【解析】S△ABC＝bcsin120°＝，即c×＝，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°＝21，∴a＝，∴由等比例性质得＝＝2．
5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，则C＝( )
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【解析】∵cos(A－C)＋cosB＝1，∴cos(A－C)－cos(A＋C)＝1,2sinA·sinC＝1．又由已知a＝2c，根据正弦定理，得sinA＝2sinC，∴sinC＝，∴C＝或．∵a>c，∴A>C，∴C＝．
6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA－cos(B＋)的最大值为( )
A． B．2 C． D．2
【答案】D
【解析】由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC．因为00，从而sinC＝cosC．又cosC≠0，所以tanC＝1，又0
7. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝2，c＝．
(1)若sinC＝，求sinA的值；
(2)设f(C)＝sinCcosC－cos2C，求f(C)的取值范围．
【答案】（1） （2）(－1，] 【解析】解：(1)由正弦定理得＝，
∴sinA＝＝＝．
(2)在△ABC中，由余弦定理，得c2＝b2＋a2－2bacosC，
∴3＝b2＋4－4bcosC，即b2－4cosC·b＋1＝0，由题知关于b的一元二次方程应该有解，
令Δ＝(4cosC)2－4≥0，得cosC≤－ (舍去)或cosC≥，
∴0
∴f(C)＝sin2C－＝sin(2C－)－ (－<2C－≤)，
∴－1
故f(C)的取值范围为(－1，]．
8. 在中，已知，且.
（1）求角和的值；
（2）若的边，求边的长.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）利用并结合两角差的余弦公式求出，然后再结合的范围求出的值，利用三角形的内角和定理得到，最后再利用两角和的正弦公式求出的值；（2）在（1）的基础上直接利用正弦定理求出的长度.
（1）由，，得且，
可得，
，
，
，，
在中，，
；
（2）在中，由正弦定理得：，.
【考点】1.两角和与差的三角函数；2.内角和定理；3.正弦定理
9. （2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）． 因为0＜A＜π，所以．
（2）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．
又由正弦定理得．
10. 在中，角对的边分别为，已知.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，角对的边分别为，已知，且.由正弦定理可用一个角B表示出b,c的值.再根据三角函数角的和差化一公式，以及角B范围.求出最值，再由三角形的三边的关系即可得到结论.
（2）由，可得到三角形边b,c与角A的余弦值的关系式，即可得角A的正弦值.再由余弦定理通过放缩以及三角形的面积公式即可得到结论.
（1），
（2分）
（4分）
.
（6分）
（2）
， （8分） （10分）
当且仅当时的面积取到最大值为． . （12分）
【考点】1.正余弦定理.2.三角形的面积公式.3.不等式的基本公式.3.最值的求法.
11. 在中，角所对的边分别为，点在直线上．
（1）求角的值；
（2）若，且，求．
【答案】（1）角的值为；（2）．
【解析】（1）由正弦定理先化角为边，得到；再由余弦定理求得，所以角 的值为；（2）先用二倍角公式化简，再结合正弦函数的性质可求角，由正弦定理知．
试题解析：（1）由题得，
由正弦定理得，即.
由余弦定理得，
结合,得.
（2）因为
因为，且所以
所以，.
【考点】正余弦定理、二倍角公式.
12. 设函数.
（1）求的值域；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，求a的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)根据两角和的余弦公式展开，再根据二倍角公式中的降幂公式展开，然后合并同类项，利用进行化简；利用三角函数的有界性求出值域.
(2)若,,得到角的取值，方法一：可以利用余弦定理，将已知代入，得到关于的方程，方法二：利用正弦定理，先求,再求角C,然后利用特殊三角形，得到的值.
试题解析：（1）
4分 因此的值域为[0，2]. 6分
（2）由得，
即，又因，故. 9分
解法1：由余弦定理，得，
解得. 12分
解法2：由正弦定理，得. 9分
当时，，从而； 10分
当时，，又，从而. 11分
故a的值为1或2. 12分
【考点】两角和的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、正弦定理.
13. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则的面积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，
，
，又是锐角三角形
，．选A.
14. △ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。
【答案】（1）
（2）
【解析】(1)∵a=bcosC+csinB
∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①
在三角形ABC中，A=－(B+C)
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②
由①和②得sinBsinC=cosBsinC
而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB
又B(0，)，∴B=
(2)△ABC的面积S=acsinB=ac
由已知及余弦定理得
4=a2+c2－2accosB ③
而a2+c2≥2ac ④
联立③和④得ac≤，当且仅当a=c时等号成立．
因此△ABC面积的最大值为
15. 设的三内角所对的边长分别为，且，A=，．
（1）求三角形ABC的面积； （2）求的值及中内角B,C的大小.
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）根据已知条件由余弦定理可得，根据三角形面积公式可求其面积。
（2）由正弦定理可得，结合已知条件可得的值。因为，则，所以，代入上式即可求得角，从而即可得角。
试题解析：（1）由余弦定理得，由此可得
.
（2）因为A=；由正弦定理：，又，所以；因为，所以，由此得，在中，或，即由此可求得，或，.
【考点】1余弦定理；2三角形面积；3正弦定理；4两角和差公式。
16. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上．
(1)若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；
（2）当时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)详见解析；（2）
【解析】（1）要证明AC1∥平面B1CD，根据线面的判定定理，只要转换证明DE//AC1即可；
（2）可以以C为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量与平面B1CD的法向量，然后利用向量夹角公式即可.
试题解析：解:(1)证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，
所以侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以DE//AC1．
因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD．6分
（2）由（1）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则B(3,0,0)，A(0,4,0)，A1(0,4,4)，B1(3,0,4)．设D(a,b,0)（，），因为点D在线段AB
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
1. 己知 ，则tan 2a=_________．
【答案】
【解析】由得，=，代入整理得，，解得=或=，
当=时，=，所以=2，所以==；
当=时，=-，所以=，所以==，
综上所述，的值为．
【考点】同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想
2. 凸四边形中，其中为定点，为动点，
满足.
（1）写出与的关系式；
（2）设的面积分别为和，求的最大值。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；
（2）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出S2+T2，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S2+T2的最大值．
（1）在⊿PAB中，由余弦定理得：
3分
同理在⊿PQB中 ∴
∴ 6分
（2） 8分
∴
当时，。 12分
【考点】1.余弦定理；2.三角形面积；3.同角三角函数间的基本关系以及二次函数的性质.
3. 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若.
（1）求B；
（2）设函数，求函数上的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由可得，然后结合余弦定理求出从而确定角B的值.
（2）结合（1）的结果，利用两角和与差的三角函数公式将函数式化简为
再由得，根据正弦函数的性质求得的取值范围. 解：（1）解法一：
因为，所以 2分
由余弦定理得，整理得
所以 4分
又因为，所以. 6分
解法二：
因为，所以 2分
由正弦定理得
所以
整理得
因为，所以，所以 4分
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
1. 已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点
如图，不能满足条件，只有
此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．
【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数
2. 若，则函数的最大值是___________．
【答案】
【解析】由题意
因为，所以，所以函数的最大值是．
【考点】求最大值．
3. 已知，，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,
【考点】三角函数的性质
4. 若，且为第二象限角，则（ ） A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．
【考点】两角差余弦公式
5. 设函数对任意的 ，都有，若函数，则的值是（ ）
A．1 B．-5或3 C．-2 D．
【答案】C
【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．
【考点】三角函数的性质．
6. 设的最小值为，则 ． 【答案】 【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以． 【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题． 7.
设函数对任意的，都有
，若函数，则 的值是（ ）
A．1 B．-5或3 C． D．-2
【答案】D
【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．
【考点】三角函数的性质．
8. 下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（ ）
A．y=sin2x+cos2x B．y=sin2xcos2x
高考数学最新真题专题解析—解三角形(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—解三角形（新高考卷）
【母题来源】2022年新高考I卷
【母题题文】
记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知cos𝐴1+sin𝐴=sin2𝐵1+cos2𝐵．
(1)若𝐶=2𝜋3，求𝐵;
(2)求𝑎2+𝑏2𝑐2的最小值．
【答案】解：(1)∵cos𝐴1+sin𝐴=sin2𝐵1+cos2𝐵，∴cos2𝐴2−sin2𝐴2cos2𝐴2+sin2𝐴2+2sin𝐴2cos𝐴2=2sin𝐵cos𝐵1+2cos2𝐵−1且cos𝐵≠0，
∴cos𝐴2−sin𝐴2cos𝐴2+sin𝐴2=sin𝐵cos𝐵∴1−tan𝐴21+tan𝐴2=tan𝐵，∴tan(𝜋4−𝐴2)=tan𝐵，
又𝐴，𝐵∈(0,𝜋)，𝜋4−𝐴2∈(−𝜋4,𝜋4)，∴𝜋4−𝐴2=𝐵．
又∵𝐶=2𝜋3，∴𝐴+𝐵=𝜋3，∴𝐵=𝜋6．
(2)由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶，得𝑎2+𝑏2𝑐2=sin2𝐴+sin2𝐵sin2𝐶=sin2𝐴+sin2(𝜋4−𝐴2)sin2(𝐴+𝜋4−𝐴2)
1−cos 2𝐴2+1−cos2 (𝜋4−𝐴2)21−cos 2(𝐴+𝜋4−𝐴2)2=1−cos 2𝐴+1−sin 𝐴1+sin 𝐴=2sin2 𝐴−sin 𝐴+11+sin 𝐴，
{𝐴∈(0,𝜋)𝜋4−𝐴2=𝐵∈(0,𝜋)⇒𝐴∈(0,𝜋2)，令𝑡=1+sin𝐴∈(1,2)，
则𝑦=2(𝑡−1)2−(𝑡−1)+1𝑡=2𝑡−5+4𝑡，𝑡∈(1,2)，
𝑦=2𝑡−5+4𝑡在𝑡∈(1,√2)时递减，在𝑡∈(√2,2)时递增，
因此𝑡=√2时，𝑦min=4√2−5．
【母题来源】2022年新高考II卷
高三数学一轮复习课时作业4： 正弦定理、余弦定理
高三数学一轮复习
1 正弦定理、余弦定理
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC等于( )
A．43 B．23 C.3 D.32
答案 B
解析 由正弦定理得ACsin B＝BCsin A，所以AC＝BCsin Bsin A＝32sin 45°sin 60°＝23.
2．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．1∶3∶2 D．2∶3∶1
答案 C
解析 由sin C＝1，∴C＝π2，由A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝π2，得A＝π6，B＝π3，由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝12∶32∶22＝1∶3∶2.
3．(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin
Bcos A＝12b，且a＞b，则B等于( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
答案 A 高三数学一轮复习
2 解析 由条件得absin Bcos C＋cbsin Bcos A＝12，
由正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝12，
∴sin(A＋C)＝12，从而sin B＝12，
又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝π6.
4．△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394
答案 B
解析 设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴BC边上的高为AB·sin B＝3×32＝332.
5．(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC等于(
)
A．5 B.5 C．2 D．1
高三数学三角函数应用试题答案及解析
高三数学三角函数应用试题答案及解析
1. 下列命题正确的个数是
①命题“ ”的否定是“ ”：
②函数 的最小正周期为“ ”是“a=1”的必要不充分条件；
③在 上恒成立在 上恒成立；
④“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ”
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由特称命题的否定知，①正确；因为=，所以T==a=±1，故②对；因为在 上恒成立在 上恒成立，故③错，
因为“平面向量 与 的夹角是钝角”“ ”，但“ ” 平面向量 与 的夹角是钝角或，故不是充要条件，故④错，故选B．
【考点】特称命题的否定，三角函数的性质，充要条件，平面向量的数量积，不等式恒成立问题
2. [2014·昆明高三调研]已知sin(x－)＝，则sin2x的值为( )
A．－ B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，得 (sinx－cosx)＝，(sinx－cosx)2＝，1－sin2x＝，sin2x＝，故选B.
3. 已知函数f(x)＝cos x(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为( )
A． B．－ C． D．－
【答案】D
【解析】假设方程f(x)＝m的两个实根x3
由函数f(x)＝cos x(x∈(0,2π))的零点为，，
又四个数按从小到大排列构成等差数列，
可得
由题意得x3＋x4＝＋＝2π，①
2x3＝＋x4，②
由①②可得x3＝，
所以m＝cos ＝－．
4. 下列命题正确的是( ) A．若,则 B．若则
C．若,则 D．若,则
【答案】D
【解析】应用基本不等式所具备的条件是：一正、二定、三相等.由，当取等号时.所以不成立，所以选项A不正确. 若则.所以B选项不正确. ，但是可以小于零，所以C选项不正确.由，所以都大于零，所以D正确.故选D.
【考点】1.基本不等式的应用.2.三角函数的知识.3.对数的知识.4.不等式的性质.
第19题 解三角形-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(含答案解析)
第19题 解三角形
一、原题呈现
【原题】记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2bac，点D在边AC上，sinsinBDABCaC．
（1）证明：BDb；
（2）若2ADDC，求cosABC．
解法一：（1）由sinsinBDABCaC及正弦定理得2sinsinaCacbBDbABCbb
（2）由余弦定理得
22222223cos2223bcbbcaAbcbc整理得22211203acb，即2211203acac，
所以233caca或，
当3ca时，由2bac得3ba，
此时31abac，不满足题意，
当23ca时，由2bac得63ba，
所以2227cos212acbABCac
解法二：（1）由题设，sinsinaCBDABC，由正弦定理知：sinsincbCABC，即sinsinCcABCb， ∴acBDb，又2bac，
∴BDb，得证．
（2）由题意知：2,,33bbBDbADDC，
∴22222241399cos24233bbbccADBbbb，同理2222221099cos2233bbbaaCDBbbb，
∵ADBCDB，
∴2222221310994233bbcabb，整理得2221123bac，又2bac，
∴42221123bbaa，整理得422461130aabb，解得2213ab或2232ab，
由余弦定理知：222224cos232acbaABCacb，
当2213ab时，7cos16ABC不合题意；当2232ab时，7cos12ABC；
综上，7cos12ABC．
【就题论题】本题第（1）问比较简单，利用正弦定理进行边角代换，即可得出结论．第（2）问求解的关键是利用正弦定理、余弦定理整理出,ab的关系式，再利用余弦定理求cosABC．
高三数学解三角形练习题及答案解析
第 1 页 共 6 页 高三数学解三角形练习题及答案解析
一、选择题
1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是（）
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
答案D
2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是（）
A.直角三角形B.等边三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
答案B
解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，
there4;tanA=tanB=tanC， there4;A=B=C.
3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是（）
A.152，+ infin;B.（10，+ infin;）
C.（0，10）D.0，403
答案D
解析∵csinC=asinA=403， there4;c=403sinC.
there4;0 第 2 页 共 6 页 4.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是（）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
答案A
解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，
there4;sin（B+C）=2sinBcosC，
there4;sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
there4;sin（B-C）=0， there4;B=C.
5.在△ABC中，已知（b+c）∶（c+a）∶（a+b）=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（）
A.6∶5∶4B.7∶5∶3
C.3∶5∶7D.4∶5∶6
答案B
解析∵（b+c）∶（c+a）∶（a+b）=4∶5∶6，
there4;b+c4=c+a5=a+b6.
令b+c4=c+a5=a+b6=k（k>0），
则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.
there4;sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.
2021届新课改高三数学复习：正弦定理、余弦定理得应用(教师版)
『高考复习|学与练』
『汇总归纳·备战高考』高考复习·学与练
精品资源·备战高考2高考复习·学与练
精品资源·备战高考3第28讲：正弦定理、余弦定理得应用
1、课程标准
1.解三角形的实际应用
2.正、余弦定理在平面几何中的应用
3.解三角形与三角函数的综合问题
2、基础知识回顾
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．高考复习·学与练
精品资源·备战高考4(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
3、自主热身、归纳总结
1、(2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为
2，则AB的长为________．3
【答案】、 27
【解析】、设角A，B，C的对边分别为a，b，c.因为sinB ＝2 sinA，由正弦定理得b＝2a，因为△ABC的
面积为
2，所以S＝
absin
120°＝
a2
＝2，解得
a＝2，所以b＝4，则AB＝c＝＝31
23
23a2＋b2－2abcos
C
＝2.4＋16－2×2×4cos120°
7
2、(2019南京学情调研）已知△ABC的面积为3，且AC－AB＝2，cosA＝－，则BC的长为151
4
________．
【答案】、. 8
【解析】
、在△ABC中，cosA＝－，所以sinA
＝＝，由
S
△ABC
2021届新课改高三数学复习：正弦定理、余弦定理(教师版)
『高考复习|学与练』
『汇总归纳·备战高考』高考复习·学与练
精品资源·备战高考2高考复习·学与练
精品资源·备战高考3第27讲：正弦定理、余弦定理
1、课程标准
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，
2、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2、基础知识回顾
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．a
sin
Ab
sin
Bc
sin
C
正弦定
理的常
见变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；a
2Rb
2Rc
2R
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)＝. a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin Ca
sin A
2．余弦定理
a2
＝b2
＋c2
－2bccos A；
b2
＝c2
＋a2
－2cacos B；
c2
＝a2
＋b2
－2abcos C.
余弦定理的常见变形高考复习·学与练
精品资源·备战高考4
(1)cos A＝；b2＋c2－a2
2bc
(2)cos B＝；c2＋a2－b2
2ca
(3)cos C＝.a2＋b2－c2
2ab3．三角形的面积公式
(1)S
△ABC＝ah
a(h
a为边a上的高)；1
2
(2)S
△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；1
21
212
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．1
2
3、自主热身、归纳总结
1、在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A. B．π
6π
3
C. D.2π
35π
6
【答案】C
【解析】 因为在△ABC
中，设AB
＝c
＝5，AC
＝b
＝3，BC
＝a
＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC
＝高考复习·学与练
精品资源·备战高考5＝＝－，因为∠BAC
为△ABC
的内角，所以∠BAC
＝.故选C.b
2＋c
2－a
2
2
bc9＋25－49
301
22π
3
2、在△ABC
中，角A
，B
，C
所对应的边分别为a
，b
，c
.若角A
，B
，C
依次成等差数列，且a
高三数学解三角形试题
高三数学解三角形试题
1. 在△ABC中，，点D在边BC上，，，，则AC＋BC＝_________________.
【答案】3＋
【解析】△ADC中，由cos∠DAC＝，得sin∠DAC＝，
同理，由cos∠C＝，得sin∠C＝
于是，sin∠ADC＝sin(∠DAC＋∠C)＝
由正弦定理：，
由此得：，
又BC＝3DC
于是，在△ABC中，由余弦定理，得
由，得DC＝1
从而BC＝3，AC＝
即AC＋BC＝3＋
考点:三角形中的三角函数，正弦定理，余弦定理
2. 如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，，，.
（1）当时，求的大小；
（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.
【答案】（1）θ＝60°；（2）当θ＝45°时，S取最小值.
【解析】本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.
在△BDE中，由正弦定理得，
在△ADF中，由正弦定理得． 4分
由tan∠DEF＝，得，整理得，
所以θ＝60°． 6分
（2）S＝DE·DF＝
． 10分
当θ＝45°时，S取最小值． 12分
【考点】正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式.
3. 在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos(A－C)=1,则有( ).