微专题 导数小题中的构造辅助函数
辅助函数在微分中值问题中的构造及应用
辅助函数在微分中值问题中的构造及应用学生姓名：XXX(XXX)指导老师：XXX摘要：构造辅助函数是解决微分中值问题的一种重要途径.快速而又准确的构造相应的辅助函数是解决当前微分中值问题的关键.本文给出了几种辅助函数的构造方法：积分法，常数k值法，原函数法，微分方程法；并且举出具体例子加以说明. 关键词：辅助函数；微分中值定理Construction and Application of the Auxiliary Function inDifferential Mean Value ProblemsStudent：X XXInstructor：X XXAbstract：The construction of auxiliary function is an important way to solve the differential median problem. The key to solve current differential median problem is construct the auxiliary function quickly and accurately. This paper presents several methods of constructing auxiliary function: Integral method, The value of the constant K method, The original function method, The method of differential equation; And shows some specific examples to explain how to constructing.Key Word: Auxiliary function;Differential median theorem目录1 引言 (1)2 数学分析中的三种微分中值定理 (1)3 构造辅助函数的四种方法 (3)3.1 积分法 (3)3.2 常数k值法 (5)3.3 原函数法 (6)3.4 微分方程法 (8)4 结论 (10)参考文献 (12)致谢 (12)1 引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础.所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题.我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题.这部分内容理论性强，抽象程度高，教学过程中又容易照本宣科, 导致学生学习兴趣不大, 难于理解和应用.究其主要原因是中值定理证明过程中要借用到的辅助函数, 学生对辅助函数的由来不知其然, 因而辅助函数的引入一直是微分中值定理教学上的一个难点.辅助函数的构造有很大技巧性和灵活性，一般说来，应先分析命题的条件和结论，正确选择所应用的定理，然后将欲证的等式或不等式变形，将其视为对辅助函数应用定理后的结果，并作为构造辅助函数的主要依据，即: 分析条件或结论→选择定理→构造辅助函数→得出结论.根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数K 值法，原函数法，微分方程法等.下面我们就通过几个具体例子来寻求构造辅助函数的常用方法.2 数学分析中的三种微分中值定理罗尔定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导；3) )()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点c ,使0)(='c f .几何意义 在闭区间[]b a ,上有连续曲线)(x f y =,曲线上每一点都存在切线,在闭区间[]b a ,的两个端点a 与b 的函数值相等,即)()(b f a f =,则线上至少有一点,过该点的切线平行x 轴,如图1.图1拉格朗日定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点c ,使ab a f b fc f --=')()()(. 几何意义 在∆ABP 中，αtan )()(=--ab a f b f , 其中α是割线AB 与x 轴的交角，即a b a f b f --)()(是通过曲线)(x f y =上二点A ))(,(a f a 与B ))(,(b f b 的割线斜率.拉格朗日定理的几何意义是:若闭区间[]b a ,上有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点M ))(,(c f c ,过点M 的切线平行于割线AB.如图2.图2柯西中值定理 若函数)(x f 与)(x g 满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,且),(b a x ∈∀，有0)(≠'x g ，则在),(b a 内至少存在一点c ,使)()()()()()(a g b g a f b f c g c f --=''. 几何意义 若令)(x f u =,)(x g v =，这个形式可理解为参数方程，而)()()()(a g b g a f b f --则是连接参数曲线的端点斜率，)()(c g c f ''表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦.几个微分中值定理之间的关系 我们不难看出，当)()(b f a f =时，拉格朗日定理就成为罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况.拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一,也称微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.在柯西中值定理中，当x x g =)(时，1)(='x g ，a a g =)(，b b g =)(，那么柯西中值定理也就成为拉格朗日定理，即拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊情况.正确把握中值定理之间的关系，才能更好的处理微分中值问题.3 构造辅助函数的四种方法3.1 积分法在一些问题中,要借助积分法来构造出符合题设要求且满足微分中值定理条件的辅助函数.具体方法是把欲证结论中的ξ换成x ，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C ，由此可构造出相应的辅助函数.例1 设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且0)1()0(==f f ，证明存在)1,0(∈ξ，使得ξξξ-'=''1)(2)(f f . 分析：在结论中用x 替换ξ，有xx f x f -'=''1)(2)(， 将其变形为易于积分的形式： xx f x f -='''12)()(， 两边积分：x xx x f x f d 12d )()(⎰⎰-='''， 即 C x x f ln 1ln 2)(ln +--=',解得)()1(2x f x C '-=.证明：设辅助函数)()1()(F 2x f x x '-=.因为)(x f 在[]1,0上二阶可导，所以)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，故满足罗尔定理条件,所以存在)1,0(∈η使0)(='ηf .又在)1,(η内，0)()(1)F(2='-=ηηηf ,0)1()11()1F(2='-=f ,)(F x 满足罗尔定理条件，所以存在)1,(ηξ∈，使0)()1()()1(2)(F 2=''-+'--='ξξξξξf f ，即ξξξ-'=''1)(2)(f f . 例2 设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上二阶可导，且)()()()(b g a g b f a f ===，证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''=''.分析：将要证的式子移项、通分，使右端为零，得0)()()(=''''ξξξg g f ，再将ξ换为x 得0)()()()(=''-''x g x f x g x f .令)()()()()(F x g x f x g x f x ''-''=',积分（积分常数C 取0）得辅助函数：[])()()()(d )()()()()(F x g x f x f x g x x g x f x g x f x '-'=''-''=⎰.证明：令辅助函数为)()()()()(F x g x f x f x g x '-'=，则易知)(F x 在[]b a ,上可导，且0F(b))F(==a ，由罗尔定理得，在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(F ='ξ，即)()()()(ξξξξg f g f ''=''.3.2 常数k 值法在构造辅助函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，也就是说常数部分可以分离出来，那么通常采用常数K 值法来寻求构造辅助函数.其具体方法是：将题设的结论变形，使其常数部分分离出来并令其为k ，而后通过恒等变形，使等式一端为a 及)(a f 所构成的代数式，另一端b 及)(b f 所构成的代数式，将所证等式中的端点值（a 或b ）改为变量x ，移项即为辅助函数)F(x ，再用中值定理或待定系数法等方法确定k .例1 设0>a ，0>b 。
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法作者：杨光关键来源：《新课程·中旬》2013年第09期导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x∈R，求证ex≥1+x构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当xf （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x>1，求证■分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）=-x2+ax-3（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.分析：（1）略（2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，∵x>0，原不等式等价于a≤2lnx+x+■.令g （x）=2lnx+x+■，则g′ （x）=■，所以g （x）的最小值为g （1）=4，即a≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■则可求F （x）的最小值为F （■）=-■；G （x）的最大值为G （1）=-■，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y=f （x）在R上可导且满足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：af （a）>bf （b）分析：由条件移项后xf ′ （x）+f （x），可以构造函数F （x）=xf （x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ （x）>f （x），则移项后xf ′ （x）-f （x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x）=■，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…当f （x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1例6.数列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1分析：设f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，当x∈（0，1），f ′ （x）>0当x∈（1，+∞），f ′ （x）lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n∴an≤2n-1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.（1）当n=2时，求函数f （x）的极值；（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f （x）≤x-1分析（2）：当a=1时，f （x）=■+ln（x-1）.当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），则h ′ （x）=1-■=■，当x≥2时，h ′ （x）≥0，故，h （x）在[2，+∞）上单调递增，因此x≥2时，当h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.故当x≥2时，有■+ln（x-1）≤x-1.即f （x）≤x-1.另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1由以上极限不难得出，当x>0时，sinx所以函数 f （x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）？誗编辑谢尾合。
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法
2013-09教学实践导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x ∈R ，求证e x ≥1+x构造函数f （x ）=e x -1-x ，对函数求导可得f ′（x ）≥e x -1，当x ≥0时，f ′（x ）≥0，f （x ）在［0，+∞）上是增函数，f （x ）≥f （0）=0，当x <0时，f ′（x ）<0，f （x ）在（-∞，0）上为减函数，f （x ）>f （0）=0，因此，当x ∈R ，f （x ）≥f （0）=0，即e x≥1+x例2.x >-1，求证1-1x +1≤ln （x +1）≤x以证明右侧为例，设f （x ）=x -ln （x +1），f ′（x ）=1-1x +1（x >-1）令f ′（x ）=0，x =0，当x ∈（-1，0）时，f ′（x ）<0，函数递减，当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）>0，函数递增，所以x =0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x ）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x >1，求证ln x x -1<1x√分析：设f （x ）=x -1x √-ln x ，f （x ）=x √-1x√-ln x ，f ′（x ）=12x-12+12x-32-1x ，f ′（x ）=（x √-1）22x x√≥0，f （x ）≥f （1），f （1）=0，∴f （x ）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x ）=x ln x ，g （x ）=-x 2+ax -3（1）求f （x ）在［t ，t +2］（t >0）上的最小值；（2）对一切x ∈（0,+∞），2f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明对一切x ∈（0,+∞），都有ln x >1e x -2e x 成立.分析：（1）略（2）2x ln x ≥-x 2+ax -3恒成立，∵x >0，原不等式等价于a ≤2ln x +x +3x.令g （x ）=2ln x +x +3x ，则g ′（x ）=（x +3）（x -1）x 2，所以g （x ）的最小值为g （1）=4，即a ≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于x ln x >x e x -2e ，令F （x ）=x ln x ，G （x ）=x e x -2e则可求F （x ）的最小值为F （1e ）=-1e；G （x ）的最大值为G （1）=-1e，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y =f （x ）在R 上可导且满足不等式xf ′（x ）>-f （x ）恒成立，且常数a ，b 满足a>b ，求证：af （a ）>bf （b ）分析：由条件移项后xf ′（x ）+f （x ），可以构造函数F （x ）=xf （x ），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′（x ）>f （x ），则移项后xf ′（x ）-f （x ），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x ）=f （x ）x ，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x ）=f （x 0）+f ′（x 0）（x-x 0）+f ″（x 0）2！（x-x 0）2+…+f n（x 0）n ！（x-x 0）n+…当f （x ）=ln x ，取x =1，则ln x =x -1-（x -1）22！+…ln x ≈x -1例6.数列{a n }，a 1=1，a n +1=ln a n +a n +2，求证a n ≤2n -1分析：设f （x ）=ln x -（x -1），f ′（x ）=1x -1=1-x x，当x ∈（0，1），f ′（x ）>0当x ∈（1，+∞），f ′（x ）<0，f （x ）≤f （1）=0∴ln x ≤x -1ln a n ≤a n -1，a n +1=ln a n +a n +2≤2a n +1，∴a n +1+1≤2（a n +1）迭代，1+a n ≤2（1+a n -1）≤…≤2n -1（1+a 1）=2n∴a n ≤2n -1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x ）=1（1-x ）n +a ln （x -1）其中n ∈N*，a 为常数.（1）当n =2时，求函数f （x ）的极值；（2）当a =1时，证明：对任意的正整数n ，当x ≥2时，有f （x ）≤x -1分析（2）：当a =1时，f （x ）=1（1-x ）n +ln（x -1）.当x ≥2时，对任意的正整数n ，恒有1（1-x ）n ≤1，故只需证明1+ln （x -1）≤x -1.令h （x ）=x -1-［1+ln （x -1）］=x -2-ln （x -1），x ∈［2，+∞），则h ′（x ）=1-1x -1=x -2x -1，当x ≥2时，h ′（x ）≥0，故，h （x ）在［2，+∞）上单调递增，因此x ≥2时，当h （x ）≥h （2）=0，即1+ln （x -1）≤x -1成立.故当x ≥2时，有1（1-x ）n +ln （x -1）≤x -1.即f （x ）≤x -1.另外，高等数学中有一个极限结论：lim x →0sin x x =1由以上极限不难得出，当x >0时，sin x <x ，构造函数f （x ）=x -sin x ，则f ′（x ）=1-cos x ≥0，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （x ）>f （0）=0.所以x -sin x >0，即sin x <x .导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）•编辑谢尾合简析导数问题中构造辅助函数的常用方法文/杨光关键104--. All Rights Reserved.。
罗尔定理构造辅助函数万能公式
罗尔定理构造辅助函数万能公式郭元春陈思源马晓燕1.西安思源学院基础部陕西西安 710038；2.西安思源学院高等教育营销研究中心陕西西安 710038微分中值定理在微积分学中占有十分重要的地位，是用函数局部性质推断整体性质的有力工具。
罗尔定理是微分中值定理中最为基础的一个，定理内容：若函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式f′(ξ)=0。
利用罗尔定理证明中值等式问题的难点就是辅助函数的构造。
刘文武、张军、肖俊等人[1-3]采用逆向思维法对该类问题做了相应的研究。
逆向思维法是从结果出发分析中值等式的特点，选择适当的方法构造辅助函数。
微分中值等式问题常见的形式是：已知函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(x)满足某些附加条件，求证存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式F(ξ，f(ξ)，f′(ξ))=0。
该等式左边看作是某个函数g(x)在点ξ处的导数，即g′(ξ)=0。
由拉格朗日中值定理可知，g(x)=C 是满足该等式的最简单的函数。
显然这个隐函数是原微分方程的通解，因此，在微分中值问题中，一般把通解中的积分常数令为辅助函数。
本文采用逆向思维法，对微分中值问题中构造辅助函数的常见题型作归纳和总结。
一、利用分离变量法构造辅助函数(一)证明的等式是关于ξ，f(ξ)，f′(ξ)的微分方程例1[4]:设函数f(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，证明：在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。
证明：令F(x)=f(x)sinx，显然，F(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，且F(0)=F(π)，故由罗尔定理知，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ，也就是说，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。
导数小题中构造函数的技巧
导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。
（一）利用)(x f 进行抽象函数构造1、利用)(x f 与x 构造；常用构造形式有x x f x xf )(),(；这类形式是对vuv u ,⋅型函数导数计算的推广及应用，我们对vuv u ,⋅的导函数观察可得知，v u ⋅型导函数中体现的是“+”法，vu型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造v u ⋅型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造vu，我们根据得出的“优先”原则，看一看例1，例2.【例1】)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0<x 时，0)()('<+x xf x f ，且0)4(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集为____________【解析】可以推出【例2】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0)1(=f ，当0<x 时，有0)()('>-x f x xf 恒成立，则不等式0)(>x f 的解集为________________x f x xf )(),(是比较简单常见的)(x f 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.我们根据得出的结论去解决例3题【例3】已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)()(2'x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是___________【变式提升】设函数)(x f 满足x x f x x f x ln 1)(3)(2'3+=+，且ee f 21)(=，则0>x 时，)(x f （）A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值【例4】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在)0,(-∞上有0)2()2(2'<+x f x xf ，且0)2(=-f ，则不等式0)2(<x xf 的解集为___________.('x F（2）利用)(x f 与x e 构造；)(x f 与x e 构造，一方面是对uv u ,⋅函数形式的考察，另外一方面是对x x e e =)(的考察.所以对于)()('x f x f ±类型，我们可以等同xx f x xf )(),(的类型处理，“+”法优先考虑构造x e x f x F ⋅=)()(，“-”法优先考虑构造x ex f x F )()(=.【例5】已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，导函数)('x f 满足)()('x f x f <对于R x ∈恒成立，则（）A 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f >>B 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f ><C 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f <>D 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f <<【解析】构造同样xx x f x f e )(),(是比较简单常见的)(x f 与xe 之间的函数关系式，如果碰我们根据得出的结论去解决例6题.【例6】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,0)(2)('=>-f x f x f ，则不等式x e x f 2)(>的解集为___________【解析】构造【变式提升】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,04)(2)('-=>--f x f x f ，则不等式2)(2->x e x f 的解集为___________【例7】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：()()(1)[]0x f x f x '-->，()22(2)x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）（A）)0()1(f f <（B）)0()2(2f e f >（C）)0()3(3f e f >（D）)0()4(4f e f <【解析】构造（3）利用)(x f 与x x cos ,sin 构造.x x cos ,sin 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.根据得出的关系式，我们来看一下例8【例8】已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（）A、(()34f ππ<(()34f ππ-<-C、(0)()4f π<D、(0)2()3f f π<【解析】构造【变式提升】定义在)2,0(π上的函数，函数)('x f 是它的导函数，且恒有x x f x f tan )()('<成立，则（）A、)(2(3ππf f >B、1sin (2)1(πf f <C、)()(2ππf f >D、)()(3ππf f <（二）构造具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.【例9】]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是（）A、βα>B、22βα>C、βα<D、0>+βα【解析】构造【变式提升】定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对21)(,'<∈∀x f R x 则不等式21log )(log 22+>x x f 的解集为_________.【例10】等比数列}{n a 中，21=a ，48=a ，函数))...()(()(821a x a x a x x x f ---=，则=)0('f （）A 、62B 、92C 、122D 、152('x f【例11】已知实数c b a ,,满足1112=--=-d cb e a a ，其中e 是自然对数的底数，那么22)()(d bc a -+-的最小值为()c-1【变式提升】已知实数b a ,满足0ln 522=--b a a ，R c ∈，则22)()(c b c a ++-【课后作业】设函数)(x f 在R 上的导函数)('x f ，在),0(+∞上x x f 2sin )('<，且R x ∈∀，有x x f x f 2sin 2)()(=+-，则以下大小关系一定正确的是（）A、)34()65(ππf f <B、)()4(ππf f <C、34(65(ππ-<-f f D、)(4(ππ->-f f构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。
辅助函数的构造
F (a) F (b)
即 F ( x ) 满足罗尔定理，
于是，至少 一个 (a , b) ，使得 F ( ) 0
f (b) f (a ) 1 f ( ) 0 即 ， ln b ln a
ab 0
b 亦即 f (b ) f (a ) f ( ) ln a
一般来说，命题中涉及闭区间上连续函数， 但不涉
及可导，会考虑利用介值定理或零点定理. 如果证明中
缺少区间端点的函数值的性质， 要考虑利用最值定理后,
再利用介值定理.
例 1.设 f (x) 在 [a, b]上连续，xi [a, b]，ti 0 (i 1, 2, , n) ，
t 且
i 1
则 F ( x ) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
f (b ) f (a ) 又 F ( a ) f ( a ) ln b ln a ln a
ln b f (a ) ln a f (a ) ln a f (b) ln a f (a ) ln b ln a
例 5： （P146 习题 3.1 第 7 题） 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， a b 0 ，证明：在 ( a , b ) 内至少存在一个
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba
显然，这是一个对称式( a 与 b 互换等式不变)
故作辅助函数 F ( x ) xf ( x ) kx xf ( x )
bf (b ) a f (a ) x， 【证明 1】 令 F ( x ) xf ( x ) ba
解导数题的几种构造妙招
高二数学2021年4月解导数题的几种构造妙招■河南省商丘市应天高中在解导数有关问题时，常常需要构造一个辅助函数，然后利用导数解决问题，怎样构造函数就成了解决问题的关键，本文给出几种常用的构造方法，以抛砖引玉。
一.联想构造侧f函数于(工)在其定义域内满足鼻才(鼻)+于(鼻)=eS且/(I)=e,则函数于(刃()。
A.有极大值，无极小值张振继(特级教师)解：令(鼻)=e"—In鼻，则f(h)=e"——=——。
令fj)=o,则鼻云一1=0。
oc JC根据y=e"与y=丄的图像可得，两个图像交点的横坐标^O e(o,i),所以力(鼻)在(o, 1)上不单调，无法判断于(口)与于(％)的大小，A、B不正确。
同理，构造函数g(工)=兰，可证g(鼻)在(0,1)上单调递减，所以3C.B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，又无极小值分析：联想导数的运算法则,(/(x)・/(rc),于是构造函数g(x)=^/(x)o其导数已知，所以±/(h)=X+C，确定常数C,求得fS=兰JC°解：设g(鼻)=xf(h),则g'(rc)=広f Gr)+_/'Q)=eJ可设ga)=e’+C，即•x/*a)=b+C(C为常数)。
令h=1,则1・/(l)=e+C o又/'(1) =e，故C=0,g(rc)=e",即讨(rc)=e"。
q"(qr-[)所以fS=—,f'S=―。
工rc/(乂)在(一*,0),(0,1)上单调递减，在(1,+*)上单调递增。
所以/(工)有极小值，无极大值，选B。
二、同构构造侧2【2014年湖南卷】若0Vm<Z j^2 VI,则()。
A.e2—e1>ln rc2—In鼻】B.e2—e1Vln孔—In rrjC.rr2e1>5e2D.jr2e1<C je!e2分析：将等式或不等式的两边化为相同结构形式，可以根据结构形式构造辅助函数解题。
微积分学中辅助函数的构造
编号：08005110137南阳师范学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：微积分学中辅助函数的构造完成人：司玉会班级：2008-01学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：葛玉丽完成日期： 2012-03-31目录摘要 (1)0引言 (1)1构造辅助函数的原则 (1)1.1将未知化为已知 (2)1.2 将复杂化为简单 (2)1.3 利用几何特征 (3)2构造辅助函数的方法探讨 (3)2.1常数变易法 (3)2.1.1罗尔定理应用举例 (3)2.1.2构造辅助函数证明积分不等式 (4)2.2原函数法 (4)2.3微分方程法 (6)2.4积分法 (6)2.5函数增量法 (7)2.6参数变易法 (7)3构造辅助函数在微分中值定理证明中的应用分析 (8)3.1辅助函数构造在拉格朗日定理中应用 (8)3.1.1应用举例 (9)4结束语 (10)参考文献 (10)Abstract (11)微积分学中辅助函数的构造作者：司玉会指导教师：葛玉丽摘要：构造辅助函数是数学分析中解决问题的重要方法，在解决实际问题中有广泛应用．通过研究微积分学中辅助函数构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论．本文介绍了构造辅助函数的概念及其重要性，分析了构造辅助函数的原则，归纳了构造辅助函数的几种方法，并研究了构造辅助函数在微积分学中的重要作用和应用.关键词：原函数法；辅助函数；常数变易法；函数增量法0引言当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数．辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法，在数学分析中具有广泛的应用．构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解[1-2]．微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法．通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路[3]，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用[4]．通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果．1构造辅助函数的原则辅助函数的构造是有一定的规律的.当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征,性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路. 1.1将未知化为已知在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成的. 比如, 柯西中值定理的证明就是通过对几何图形的分析, 构造辅助函数()()()()()[()()]()()f b f a x f x f a F x F a F b F a ϕ-=----转化为利用已知的罗尔定理加以证明; 在牛顿- 莱布尼兹公式的证明中也是构造辅助函数()()xax f t dtϕ=⎰利用积分上限函数()x ϕ的性质得到证明的.1.2 将复杂化为简单一些命题较为复杂, 直接构造辅助函数往往较困难, 可通过恒等变形, 由复杂转化为简单, 从中探索辅助函数的构造, 以达到解决问题的目的, 这种通过巧妙的数学变换, 将一般化为特殊, 将复杂问题化为简单问题的论证思想, 是一元微积分学中的重要而常用的数学思维体现.例 1 设函数()f x ，()g x 都在[,]a b 上连续, 在)(,a b 内可导, 且()0,()()()()g x f a g b g a f b ≠=. 证明在开区间)(,a b 内存在一点ξ, 使得'()()()'()f g f g ξξξξ= ．分析 将证明的结论变形为'()()()'()0f g f g ξξξξ-=, 直接思考哪个函数求导后为'()()()'()0fg f g ξξξξ-=,发现不易找到这个函数.进一步考虑除以一个非零因子，不难发现所证结论可变形为2()'()()()'()[]'0()()f x f xg x f x g x g x g x -==.因此, 找到了辅助函数()()()f x xg x ϕ=.对此函数在[,]a b 上应用罗尔定理即得要证的结论.证明 作辅助函数()()()f x xg x ϕ= 因为()f x ，()g x 都在[,]a b 上连续，在)(,a b 内可导, 且 ()0,()()()()g x f a g b g a f b ≠=.所以()()()f x xg x ϕ=在[,]a b 上连续，在)(,a b 内可导，并且()0x ϕ≠，()()()()f a f bg a f b =，所以()()a b ϕϕ=．有罗尔定理知存在一点ξ，使得'()0ϕξ=即2()'()()()'()'()[]'0()()f fg f g g g ξξξξξϕξξξ-===．所以 '()()()'()f g f g ξξξξ=．1.3 利用几何特征利用几何图形直观形象的特点构造辅助函数. 在各种版本的“高等数学” 和“数学分析”的书中, 微分中值定理的证明大多是利用对几何图形的分析,探索辅助函数的构造, 然后加以证明的.2 构造辅助函数的方法探讨2.1常数变易法常数变易法的思想就是，将于证明题中的某个常量用变量代替而构成辅助函数，对辅助函数进行讨论，使欲证明题得到证明. 2.1.1 罗尔定理应用举例在微分学等式证明中，我们通过引入辅助函数来证明，而辅助函数构造是关键，一般情况下可以用常数变易发来构造辅助函数.例2函数()f x 在区间[],a b 上可微，证明在区间(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()'()bf b af a f f b aξξξ-=+-．证明 记()()bf b af a k b a-=-，我们来证明()'()k f f ξξξ=+因为()()()0bf b af a k b a ---=，将此式中数b 用变量x 代替，构成辅助函数()()()()F x xf x af a k x a =---显然，()()()()0F a af a af a k a a =---= 则，()F x 在在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导，且()()0F a F b ==，有罗尔定理知，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得'()0F ξ=即 '()()'()0F f f k ξξξξ=+-=．'()()'()0F f f k ξξξξ=+-=，()()()'()bf b af a f f b aξξξ-=+-.由上面这些例子看出, 一般说来在微分学中凡联系到区间端点的值与导数中间值的式子都可以用常数变易法加以证明.常数变易法在证明积分恒等式也是有效的. 2.1.2 构造辅助函数证明积分不等式例3 设a x b≤≤时，'()0,''()0fx f x >>,证明()[()()]2b ab af x dx f a f b -<+⎰.证明 需证[()()]()02b ab a f a f b f x dx -+->⎰即可.把常量b 换作变量t ，引入函数 ()[()()]()2t at a F t f a f t f x dx -=+-⎰, ()a t b ≤≤所以 1'()[()()]'()()22t a F t f a f t f t f t -=++- 1[()()]'()22t a f a f t f t -=-+当t a >时，由拉格朗日中值定理()()'()()f a f t f t a ξ-=--，()a t ξ<< 所以 '()['()()]2t a F t f t f ξ-=-又因为''()0f x >，所以'()f x 是单调递增的，有'()'()0f t f ξ->，所以'()0F t >，注意到()0F a = 所以 当t a >时，有()0F b =即 ()[()()]2bab a f x dx f a f b -<+⎰2.2 原函数法在利用微分中值定理求解介值(或零点) 问题时, 欲证明的结论往往是某个函数的导函数的零点, 因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数.其步骤为:(1) 将欲证结论中的ξ换成x(2) 通过恒等变形, 将结论化为易积分的形式.(3) 用观察法或凑微分等方法求出原函数,为简便起见,可将积分常数取为零.(4) 移项, 使等式一边为零, 则等式的另一边即为所需的辅助函数.例 4设()f x 在[,]a b 上连续，在(),a b 内可导，则在(),a b 内至少存在一点ξ使()()()222f b f a f b aξξ-'=-．分析 要证明()()()222f b f a f b aξξ-'=-，即证至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()2220f b f a f b aξξ-'-=-，用x 替换ξ得()()()2220f b f a f x x b a-'-=-，积分后得辅助函数()()()()222f b f a F x f x xb a-=--．证明 作辅助函数()()()()222f b f a F x f x xb a-=--则()F x 在[,]a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()()()()()2222222f b f a b f a a f b F a f a a b ab a--=-=--()()()()()()2222222f b f a b f a a f b F b f b b b ab a--=-=--所以 ()()F a F b =．根据罗尔定理可知，至少存在一点(),a b ξ∈使()0F ξ'=，即()()()2220f b f a f b aξξ-'-=- ()()()222f b f a f b aξξ-'=-．例 5若()f x ，()g x 在[,]a b 上可导，且()0g x ≠则存在一个(),a b ξ∈使 ()()'()()()'()f a f fg g b g ξξξξ-=-分析 结论中ξ换成x 有()'()()'()'()()()'()f a g x g b f x f x g x g x f x +=+即()'()()'()(()())'f a g x g b f x f x g x +=对等式两边积分，令0c =得即可确定原辅助函数()()()()()()()F x f x g x f a g x g b f x =--，证明 做辅助函数()()()()()()()F x f x g x f a g x g b f x =--由题设条件知()F x 在[,]a b 上连续，在(),a b 内可导，()()()F a g b f a =-，()()()F b f a g b =- 因此，()()F a F b =，则满足罗尔定理的条件：∃一个(),a b ξ∈，使得'()0F ξ= 即 ()'()()'()()'()()'()0f g g f f a g g b f ξξξξξξ+--= '()0g x ≠所以()()'()()()'()f a f fg g b g ξξξξ-=-．2.3 微分方程法所谓“微分方程法”，是指在遇到诸如“求证: 存在(),a b ξ∈，使得'()(())ff ξϕξξ=之类的问题时, 可先解微分方程'(,')y x y ϕ= 得其通解(,)G x y c =，则辅助函数可构造为()(,())F x G x f x = ．例 6 设函数()f x 在[,]a b 上连续, 在(),a b 内可导, 且()()f a f b λ==, 试证 至少存在一点(),a b ξ∈，使'()()ff ξξλ+=．证明 将结论中的ξ换成x ,得一阶线性微分方程'()()fx f x λ+=,其通解为()[]x x f x e e c λ-=+，即()x xe f x e cλ-=，于是可取辅助函数为()(())x F x e f x λ=-则()F x 在[,]a b 上连续, 在(),a b 内可导, 且'()['()()]xf x e f x f x λ=+-并且()()0F a F b ==, 由罗尔定理知, 存在(),a b ξ∈, 使()'0F ξ=, 即有'()()f f ξξλ+=．2.4 积分法将要证的结论转化为对微分方程两端进行积分来构造辅助函数. 例 7 设()f x 在)(,-∞+∞内可微, 证明在()f x 的任何两个零点之间必有()'()f x f x +的一个零点.分析 设1212,()x x x x <为()f x 的任何两个零点, 要证的是存在一点12(,)x x ξ∈使得()'()0f f ξξ+=．由于()f x 可微, 因此可用罗尔定理来证.其辅助函数构造如下, 由()'()0f x f x +=得()()df x dx f x =- 两端求不定积分得, ln ()f x x c =-+, 令0c =, 可得ln ()f x x =-, 即()x f x e -=，()1x e f x =, 从而对辅助函数()()1xx e f x ϕ=-在12[,]x x 上应用罗尔定理即可.证明 做辅助函数()()1x x e f x ϕ=-，令1212,()x x x x <为()f x 的任意两个零点.由()f x 在)(,-∞+∞内可微知()x ϕ在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导且12()()1x x ϕϕ==-. 由罗尔定理知12(,)x x ξ∃∈使得'()0ϕξ=即(()'())0e f f ξξξ+=即()'()0f f ξξ+=2.5 函数增量法Lagrange 中值定理又称为有限增量公式, 它将函数的增量与函数在一个点上的导数值联系起来, 因此在应用中常用它来处理与函数增量有关的问题,因此利用函数的增量来构造辅助函数,也是常用的方法.例 8 设0h >，f 在[,]a h b h ++上可导，证明(0,1)θ∃∈，使()2()()'()'()f a h f a f a h f a h f a h hθθ+-+-=+--分析 左边()()()()f a h f a f a h f a hh+---=+考虑到左端是函数增量的形式,故考虑辅助函数()()()F x f a x f a x =++- (,)x a h ∈,注意到(0)2()F f a = ,对F 在[0,]h 上使用拉格朗日中值定理证明 做辅助函数()()()F x f a x f a x =++-由f在[,]a h b h ++上可导，则F 在[0,]h 上可微则(0,1)θ∃∈，使得()(0)'()0F h F F h h θ-=-即()()2()'()'()'()f a h f a h f a F h f a h f a h hθθθ++--==++-所以()2()()'()'()f a h f a f a h f a h f a h hθθ+-+-=+--2.6 参数变易法参数变易法是指把要证明的结论中的某个参 数“变易”为变量x , 从而构造出辅助函数的方法.例 9 设()f x 在[,]a b 上单调递增且连续，求证：()()2b b aaa b xf x dx f x dx+=⎰⎰证明 不等式含有两个参数,a b ，将其中的参数b “变易”为变量t ，构造如下辅助函数()()()2t t aaa t F t x f x dx f x dx +=-⎰⎰，a t b <<易知()0F a =，()F t 在[,]a b 上可导，且11'()()()()[()()]222t t aaa t F t tf t f x dx f t f t f x dx+=--=-⎰⎰因为()f x 在[,]a b 上单调递增，所以当a x t b ≤≤≤时，()()f x f t ≤从而'()0F t ≥故()F t 在[,]a b 上单调递增，()()0F b F a ≥=即()()2b b aaa b xf x dx f x dx +=⎰⎰．在此归纳总结了辅助函数构造的六种方法和一般规律，一般的辅助函数构造都以用这几种方法来构造，此外还有分析法，尝试法，待定系数法[5]．构造辅助函数没有什么万能的方法，它是一种创造性思维的过程，具有较大的灵活性，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入思考构造辅助函数是解题关键.3 构造辅助函数在微分中值定理证明中的应用分析罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，积分中值定理是微积分学中的重要内容[6]，这些定理贯穿了微积分学的始终，利用它们证明有关命题[7]，往往需要构造辅助函数，便可以把微积分学中较难的问题转化为易解决的问题，下面以拉格朗日中值定理为例说明辅助函数在解决微积分学问题中的应用．3.1 辅助函数构造在拉格朗日中值定理中的应用 拉格朗日中值定理 若函数()f x 满足如下条件：(1) ()f x 在闭区间[],a b 上连续；(2)()f x 在开区间(),a b 内可导；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-． 证明 记()()f b f a kb a-=- 则()()()0f b f a k b a ---=作辅助函数()()()()F x f x f a k x a =---则显然有()()F a F b =又因为()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，所以显然有()F x 满足罗尔定理的条件：(1) ()F x 在闭区间[],a b 上连续； (2) ()F x 在开区间(),a b 内可导；(3)()()F a F b =；所以在(),a b 内至少存在一点ξ，使得'()0F ξ=，即()0f kξ'-=从而()()()f b f a f b aξ-'=-定理得证．3.1.1应用举例例10 对一切1,0h h >-≠，成立不等式()ln 11h h hh<+<+．证明 构造辅助函数()()ln 1f x x =+，则由拉格朗日中值定理可得()()ln 1ln 1ln 11h h h hθ+=+-=+，01θ<<当0h >时，由01θ<<可推知111,11h h h h h hhθθ<+<+<<++ ，当10h -<<时，由01θ<<可推得1110,11h hh h hhhθθ>+>+><<++ ．从而得到所要证明的结论．例11 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，若()f x 不是线性函数，且()()f b f a >，求证：(),a b ξ∃∈使得()()()f b f a f b a ξ-'>-． 证明 利用原函数法构造辅助函数()()()()f b f a F x f x xb a-=--，[],x a b ∈则()[],F x C a b ∈，在(),a b 内可导，且()()F a F b =，因为()f x 不是线性函数，所以()0,x a b ∃∈，使()()()0F x F a F b ≠=．若()()0F a F x >，则在[]0,x b 上应用拉格朗日中值定理，()0,x b ξ∃∈，使()()()00F b F x F b x ξ-'=>- 即()()()f b f a f b aξ-'>-.若()()0F a F x <，则在[]0,a x 上应用拉格朗日中值定理()0,a x ξ∃∈，使()()()000F x F a F x aξ-'=>-即()()()f b f a f b aξ-'>- ．所以()()()f b f a f b aξ-'>-4结束语辅助函数的构造在数学分析中一直占有重要地位，尤其是在微积分学中，构造辅助函数解题得到了广泛的应用[8]．辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具，对它的研究从没中断过，众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究，也取得了很多学术成果[9]．本文从构造辅助函数的基本概念入手，总结了几种辅助函数的构造方法，对其在微积分学中的应用做了大量的问题举例，同时也体现出了构造辅助函数解决问题对培养学生创新思维能力的重要作用[10]．参 考 文 献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京：高等教育出版社，2001：119-127.[2] 陈静等.浅析一元微积分学中的构造辅助函数方法[J].高等数学研究.2006(9):16-18.[3] 李君士.两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[J].数学的实践与认识，2004，（10）；165-169.[4] 丁凯.微分中值定理在辅助函数构造中的应用初探[J].魅力中国.2010(4):47[5] 夏银红,王宝银 Lagrange 定理证明中辅助函数的构造[J].黄淮学院学报2010.09.[6] 惠存阳.对微分中值定理证明中辅助函数构造探讨[J].延安教育学报.1997(2):26-27.[7] 同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，2002:127-131.[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006：206-222.[9] 赵志云.微分中值定理教学的几点思考[J].阴山学刊，自然科学报.1998(12):72-73.[10] 曹金文.教学中如何培养学生猜想和分析能力的尝试[J].1994(4):56-58.Construct The Auxiliary Function In The CalculusSI Yu-huiAbstract:The construction of auxiliary function in mathematical analysis is the important method to solve the problem ,in the solution of practical problems have wide application. Through the research on the construction of auxiliary function in calculus, construction and problems related to the auxiliary function , thus to prove the conclusion. This paper introduces the concept and importance of constructing auxiliary function, analysis of the structural auxiliary function principle , summarizes several methods of constructing auxiliary function, and study of constructing auxiliary function in calculus to the important role and application.Key words : the original function method; auxiliary function ; the method of constant variation; function increment method.。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法在数学证明中，构造辅助函数方法是一种常用的策略，旨在帮助我们证明一个定理或问题。
构造辅助函数是指通过引入一个新的函数，使得我们可以利用该函数的性质来简化或解决证明过程中的一些难点。
本文将介绍构造辅助函数方法的基本思想、应用场景和具体的技巧，并通过几个例子来说明其应用。
构造辅助函数的基本思想是从原问题出发，通过引入一个新的函数来构造辅助问题或中间结果，以便更好地理解原问题或证明定理。
这种方法常用于证明中的两种情况：一是证明原问题的直接方法困难或复杂，通过构造辅助函数可以转化为更容易处理的问题；二是证明中需要利用一些性质，而该性质在辅助函数中更容易得到或应用。
构造辅助函数方法的应用场景很广泛。
例如，在证明问题的存在性时，可以构造一个满足特定条件的函数，从而证明至少存在一个解。
在证明一些等式或不等式时，可以通过构造一个与原式相似的函数来得到一些有用的结论。
在证明中的归纳法中，可以构造一个递归函数来辅助归纳过程。
在证明中的反证法中，可以构造一个辅助函数来推导出矛盾，从而证明反设不成立。
具体来说，下面将介绍几个常见的构造辅助函数的技巧：1.构造函数的特性：首先观察原问题或定理的特点，然后构造一个函数，使得该函数满足一些已知条件。
通过分析该函数的性质，可以得到一些有用的结论。
例如，在证明一些整数性质时，可以构造一个多项式函数，利用多项式的性质进行推导。
2.构造递归函数：递归函数广泛应用于数学证明中的归纳法。
通过构造一个递归函数，将原问题分解为一个或多个较简单的子问题，然后证明子问题的正确性。
递归函数的构造需要注意递推关系、初始条件和边界条件的选取。
3.构造辅助问题：有时，原问题的证明比较困难，但可以通过构造一个辅助问题来简化证明过程。
辅助问题的结论与原问题相关，但在形式上更简单或更容易处理。
通过解决辅助问题，可以获得一些有用的结论或性质，从而推导出原问题的结论。
4.构造矛盾函数：反证法是数学证明中常用的一种方法。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
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k k ⎝ ⎭ ⎝ ⎭k ( 微专题导数小题中的构造辅助函数成都市实验外国语学校 王琳鑫新课程的教育理念，必须遵循教育规律，符合学生的认知能力，循序渐进螺旋式上升，能力的培养不能一步到位，也不可能一步到位，正如我们高一教学生最基本的数学方法，如配方，换元，构造等技能，高二讲逻辑推理，分析与综合，归纳与演绎等，到了高三，讲数学思想，培养学生用数学思想来解决问题，虽说我们高一就渗透数学思想，但学生达到的高度是不够的，常见数学思想有数形结合，函数方程，类比转化，极限思想等，其中函数方程，构造法与其交汇，体现得淋漓尽致。
（一）利用导函数不等式：f 1(x)>(或< )k,构造：g (x)=f (x)-kx+m例 1 已知定义在实数集 R 上的函数 f (x ) 满足 f (1) = 4 ，且 f (x ) 的导函数满足f '(x ) < 3，则不等式 f (ln x ) > 3ln x +1的解集为（ ）A ． (1,+∞)B ． (e ,+∞)C ． (0,1)D ． (0, e )【解析】令t = ln x ，则； f (ln x ) > 3ln x +1， f (t ) > 3t +1, f (t ) - 3t -1 > 0 ，可构造函数 g (t )=f(t)-3t-1,g '(t )=f '(t)-3,f '(t)<3,g '(t ) < 0 为减函数． 又 f (1) = 4 可得； g (1) = f (1) - 3 -1 = 0 ，使 f (ln x ) > 3ln x +1成立，即； t < 1, ln x < 1, x ∈ (0, e ) 【答案】D变式 1：（15 福建）若定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (0) = -1，其导函数 f '(x )满足 f '(x ) > k > 1 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A ． f ⎛ 1 ⎫ < 1B ． f ⎛ 1 ⎫ > 1 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ k -1C ． f ⎛ 1 ⎫ < 1D ． f ⎛ 1 ⎫ > kk -1 ⎪ k -1 k -1 ⎪ k -1解：由已知条件，构造函数 g (x ) = f (x ) - kx +1，则 g ' (x ) = f ' (x ) - k > 0，故函数g (x )在 R 上 单 调 递 增 ， 且 1 > 0， 故 k -11g k -1 ) > g (0) ， 所 以 f ( 1 ) - k + 1> 0， f ( 1 ) > 1，所以结论中一定错误的是 C ，选项 D k -1 k -1 k -1 k -1 无法判断；构造函数h (x ) = f (x ) - x ，则 h ' (x ) = f ' (x ) -1 > 0，所以函数h (x )在 R上单调递增，且 1 > 0，所以h ( 1 ) > h (0)，即 f ( 1 ) - 1 > -1， f ( 1 ) > 1-1，选k k 项 A,B 无法判断，故选 C ．k k k k⎣⎦ 222 变式 2 设奇函数 f (x ) 在 R 上存在导数 f '(x ),且在(0, +∞)上 f '(x ) < x 2 , 若 f (1- m )- f (m ) ≥ 1 ⎡(1- m )3- m 3 ⎤ ,则实数m 的取值范围为（ ）3 A． ⎡- 1 , 1 ⎤ B． ⎡ 1 , +∞ ⎫ C． ⎛ -∞, 1 ⎤ D． ⎛ -∞, 1 ⎤ ⎡ 1 , +∞ ⎫⎢ 2 2 ⎥ ⎢ 2 ⎪ 2 ⎥ 2 ⎥ ⎢ 2⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎭ ⎝ ⎦ ⎝ ⎦ ⎣ ⎭解：令 g (x ) = f (x ) - 1 x 3 ，因为 g (-x ) + g (x ) = f (-x ) - 1 (-x 3 ) + f (x ) - 1x 3 = 0 ，3 3 3 所以函数 g (x ) 的奇函数，因为 x ∈ (0, +∞) 时， g '( x ) = f '( x ) - x 2 < 0 ，所以函数g (x )在(0, +∞) 为减函数，又题意可知， f (0) = 0, g (0) = 0 ，所以函数 g (x )在 R 上为减函数， 所以 f (1- m ) - f (m ) ≥ 1 [(1- m )3 - m 3] ，即 g (1- m )≥ 3g (m ，所以1- m ≤ m ，所以m ≥ 1，故选 B.2（二）利用求导法则：[x f (x)]' =f (x)+ x f 1(x),构造：g (x)=x f (x)例 2.已知定义域为 R 的奇函数 y = f (x ) 的导函数为 y = f ' (x ) ，当 x ≠ 0 时，f ' (x ) +f ( x ) > 0 ， 若 a = 1 f ⎛ 1 ⎫， b = -2 f(-2) ， c = ⎛ ln 1 ⎫ f ⎛ ln1 ⎫， 则x2 2 ⎪2 ⎪2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭a ，b ，c 的 大 小 关 系 是 （ ）A． a < b < c B． b < c < a C． c < a < b D． a < c < b 【解析】构造 g (x ) = xf (x ) ，则 g '(x ) = f (x ) + xf '(x ) ，由已知， g (x ) 为偶函数，所以 1 f (1) = - 1 f (- 1) ，又 f ' (x ) + f (x ) > 0 ，即 xf '(x ) + f (x ) > 0 ， 当 x < 0 时， 2 2 2 2 x xf (x ) + xf '(x ) < 0 ，即g ' (x ) < 0 ，所以函数 g (x ) 在 (-∞,0) 单调递减，又- 2 < ln 1 2 < - 1 2 ，所以- 2 f (-2) > (ln 1) f (ln 21) > - 12 2 f (- 1) ，即a < c < b ．选 D2变式 1 已知定义在 R 上的可导函数 f (x ) 满足： f '(x ) + f (x ) < 0 ，则 f (m - m 2)e m -m +1与 f (1) 的 大 小 关 系 是 （ ）f (m - m 2 ) A ． em -m +1> f (1) B ． f (m - m 2 ) e m -m +1 < f (1)22C ． f (m - m 2) e m -m +1= f (1) D ． 不 确 定【解析】设 g (x ) = e x f (x ), 因为 f ' (x ) + f (x ) < 0, 所以 g ' (x ) = e x ( f ' (x ) + f (x )) < 0.g (x ) 为 R 上的减函数，又因为m 2 - m +1 > 0 所以m - m 2 < 1，g (m - m 2 ) > g (1).即em -m 2f (m - m 2) > ef (1), 所以 f (m - m 2) e m -m +1> f (1) .故选 A.变式 2：已知函数 f (x ) 的导数为 f '(x ) ，且(x +1) f (x ) + xf '(x ) > 0 对 x ∈ R 恒成立，若 f (1) = 1 ，则不等式 xf (x ) > 1 e e x的 解 集 为 （ ）A ． (1,+∞)B ． (e ,+∞)C ． (0,1)D ． (0, e ) 解:设F (x ) = xe x f (x )-1,则 F '(x )= (x +1)e x f (x )+ xe x f '(x )= e x [(x +1)f (x )+ xf '(x )],∴(x +1)f (x )+ xf '(x )> 0 对 x ∈ R 恒成立, e x > 0,∴F '(x )> 0,∴F (x )在 R 上递增, F (1) = 0, 故不等式 xf (x ) > 1 e x的解集为(1,+∞) ，选 A.f (x) ' f 1(x)g(x ) - f (x)g 1 (x ) f (x)（三）利用求导法则：[ ]= g(x ) [g(x )]2,构造：h (x)= g(x )例 3. 已知定义在(0,+∞) 上的函数 f (x ) ，满足(1) f (x )＞0 ；(2) f (x )＜f '(x )＜2 f (x )(其中 f '(x ) 是 f (x ) 的导函数，e 是自然对数的底数)，则f (1) 的 范 围 为 ( )f (2)A. ( 1 , 1)B. ( 1 , 1) C. (e ,2e ) D. (e , e 3 )2e 2 e e 2 e解：设 g (x ) =f (x )，则 g '(x ) = e xf '(x ) - f (x ) > 0 ，所以函数g (x ) 在区间(0, +∞) 上 e xf (1)< f ( 2) f(1) f (x )单调递增，所以 g (1)< g( 2，即 e e 2, < ；令 h (x ) = f ( 2) ，则 e 2 xh '(x )=f '( x )- e 2 x2 f (x <)0，所以函数 h (x ) 在区间 (0 ,+∞ 上单调递减 ， 所以h (1) > h (2) ，即 h (1) < h (2) , f (1) > 1 ，综上 1 < f (1) < 1，故选 B.e 2 e4f (2) e 2e f (2) e 21(ln x 1) 变式：已知 f (x ) 为定义在(-∞, +∞)上的可导函数，且 f (x ) > f '(x ) 对于 x ∈ R 恒成立（ e 为自然对数的底），则（ ）A． e 2019 ⋅ f (2020) > e 2020 ⋅ f (2019) B． e 2020 ⋅ f (2020) = e 2019 ⋅ f (2019) C ．e 2019 ⋅ f (2020) < e 2020 ⋅ f (2019) D ．e 2019 ⋅ f (2020)与e 2020 ⋅ f (2019)大小不定f (x ) 'f ' (x ) - f (x )解;令 g (x ) =，则 g (x ) =e xe x< 0 ，所以 g (x ) 在 R 上单调递减,有g (2020) < g (2019) 即 f (2020) < e 2020 f (2019)，所以e 2019 f (2020) < e 2020 f (2019) ，选 C. e 2019（四）利用求导法则和对数函数交汇，构造新函数例 4.设 f '(x ) 为函数 f (x ) 的导函数，已知 x 2 f '(x ) + xf (x ) = ln x , f (e ) = 1，则下列e结 论 正 确 的 是 ( )A ． f (x ) 在(0, +∞) 单调递增B ． f (x ) 在(0, +∞) 单调递减C ． f (x ) 在(0, +∞) 上有极大值D ． f (x ) 在(0, +∞) 上有极小值 解法一： 由 x 2 f '(x ) + xf (x ) = ln x ，得 xf '(x ) + f (x ) =ln x，从而[xf (x )]' =ln x ，xx 令 g (x ) = xf (x ) ，则 f (x ) = g (x )，∴ f '(x ) = xg '(x ) - g (x ) = ln x - g (x )，x x 2 x 2令h (x ) = ln x - g (x ) ，则h '(x ) = 1 - g '(x ) = 1 - ln x = 1- ln x（ x > 0 ），x x x x 令h '(x ) > 0 ，即1- ln x > 0 ，因此当0 < x < e 时， h (x ) 是增函数， 令h '(x ) < 0 ，即1- ln x < 0 ，因此当 x > e 时， h (x ) 是减函数， 由 f (e ) = 1，得 g (e ) = ef (e ) = 1 ，e∴ h (x ) 在(0, +∞) 上有极大值h (e ) = ln e - g (e ) = 1-1 = 0 ，也是最大值．∴ h (x ) ≤ 0 ，即 f '(x ) ≤ 0 ，当且仅当 x = e 时， f '(x ) = 0 ，∴ f (x ) 在(0, +∞) 上为减函数． 故选 B ．1 2（ln x ）2+ 2C 1 1 解法二：设xf (x ) = （ln x ）+C, f (x ) = , f (e ) = ⇒ C =2 2x e 2 （ln x ）2+1 ∴ f (x ) = , f 2x- 2 (x ) = - ≤ 0, 答案：B2x 2变式 1：设 f '(x ) 为函数 f (x ) 的导函数，已知 x 2 f '(x ) + xf (x ) = ln x , f (e ) =1，e则不等式f (x +1) - f (e+1) > x - e 的解集为--------------------------------------------分析：构造g(x ) = f (x ) - x 即可，答案:x ∈（-1，e ）（五）利用求导法则和三角函数交汇，构造新函数例 5.设函数 f (x ) 在 R 上的导函数为 f '(x ) ，在(0 ，+ ∞) 上 f '(x ) < sin 2x ，且∀x ∈ R ，有f (-x ) + f (x ) = 2sin 2 x ，则以下大小关系一定正确的是（ ）变式 2：解析：3 f (π) > 2 cos1 f (1)6 g ( ) f ( ) cos f ( ) cos f ( ) 3 f ( )A. f (5π) < 6 f ( 4π) B. 3 f ( π) < 4 f (π)C. f (-5π) < f (- 4π) D. f (- π) > f (-π )6 34【解析】由 f (-x ) + f (x ) = 2sin 2 x ，可得 f (-x )- s in 2 (-x ) + f (x )- s in 2 x = 0 ，设g (x ) = f (x )- sin 2 x 则 g (-x )+ g (x ) = 0 ，所以 g (x ) 是 R 上的奇函数， 又在(0 ，+ ∞) 上 f '(x ) < sin 2x ，即 g '(x ) = f '(x )- 2sin x ⋅ c os x = f '(x )- sin 2x < 0 ，所以 g (x )在(0 ，+ ∞) 上是减函数，又 g (x )是 R 上的奇函数，所以 g (x )是 R 上的减函数，所以 g ⎛ - 5π ⎫ < g ⎛ - 4π ⎫，即 f ⎛ - 5π ⎫- 1< f ⎛ -π4 ⎫ -，因此6 ⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ 2 3⎪f (- 5π) < 6⎝ ⎭ ⎝ ⎭f (- 4π) ，故答案选 C3 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭变式 1 ： 定 义 在 (0, π) 上 的 函 数 2f (x ) ，f '(x ) 是 它 的 导 函 数 ， 且 恒 有f '(x ) > f (x ) tan x 成 立 . 则 有 （ ）A． 3 f (π ) < f (π ) B ． 6 3 C ． 2 f (π ) < 6 f (π ) D ． 2 f (π ) > f (π)4 6 【解析】由 f '(x ) > f (x ) tan x 且 x ∈ (0, π) 2 4 3，则 f '(x ) cos x - f (x ) sin x > 0 ，π设 g (x ) = f (x ) cos x ，则 g '(x ) = f '(x ) cos x - f (x ) sin x > 0 ，g (x ) 在(0, ) 上递增， 2g (π ) > π ，即 π π > π π ，即 π > π ．故选 A ．3 6 3 3 6 6 3 6 变式 2：（六）利用求导法则和幂函数交汇，构造新函数例 6.函数f (x) 是定义在(-∞,0) 上的可导函数，其导函数为 f ' (x) 且有3 f (x )+ xf'( x)<，则不等式 (x + 2 0 2 0)3 f (x+ 2 0 2)0 +f(8-) <2的解集为A．(-2022, -2020)B．(-∞, -2020)C．(-2022, -2018)D．(-∞, -2022)【解析】依题意，有⎡⎣x3f (x)⎤⎦'=x2⎡⎣3 f (x)+xf '(x )⎤⎦< 0 ，故x3f (x)是减函数，化为：(x + 2020)3 f (x + 2020)<(-2)3 f (-2)，即【答案】A0 >x+20202,>- x2022∈,2(02-0-).变式：设函数 f ' (x) 是奇函数 f ( x) (x∈ R 的导函数， f (- 1)= 0 当x > 0 时，x f ' ( x)- f ( x)<，则使得f (x) > 0 成立的x 的取值范围是（）A. (-1, 0) ⋃ (1, +∞)B. (-∞, -1) ⋃ (0,1)C.(-∞, -1) ⋃ (-1, 0) D. (0,1) ⋃ (1, +∞)【解析】根据已知条件可构造函数 g(x) = f (x)，则g(x) 为偶函数，由f (-1) = 0, 可x知 g(-1) =g(1) = 0可求得导函数 g'(x) =xf '(x) -f (x)x2 ，因为当x > 0 时，解析：x 2xf ' (x ) - f (x ) < 0 ，所以 g '(x ) < 0 ，则当 x < 0 时，g '(x ) > 0 ，所以在区间(-1,0) (0,1)上有 g (x ) > 0 ， 在区间 (-∞,-1) （1，+ ∞）上有 g (x ) < 0 ，又 f (x ) = xg (x ) ，可知f (x ) > 0的解集应该为(-∞, -1) ⋃ (0,1) ，所以本题的正确选项为 B.（七）利用求导法则和指数函数交汇，构造新函数例 7. 设 f '(x ) 为函数 f (x ) 的导函数，已知 xf '(x ) + 2f (x ) = e , 且f (2) = ex 4则下列结论正确的是( )A ． f (x ) 在(0, +∞) 单调递增B ． f (x ) 在(0, +∞) 单调递减C ． f (x ) 在(0, +∞) 上仅有极大值D ． f (x ) 在(0, +∞) 上仅有极小值e x2 x 2 x【解析】由 xf '(x ) + 2f (x ) =，得[x f (x )]' = e x，令 g (x ) = x f (x ) = e + C ，e 2e x1(x - 2)e x则 f (2) = ，C=0， f (x ) = ⇒ f (x ) =, 答案：D4 x2x3变式：已知定义在 R 上的可导函数 y = f (x ) 的导函数为 f '(x ) ，满足 f '(x ) < f (x ) ，且 y = f (x +1) 为偶函数，f (2) = 1，则不等式 f (x ) < e x 的解集为（ ） A. (-∞, 0) B. (0, +∞) C. (-∞, e 4 ) D. (e 4 , +∞)解：y = f (x +1) 为偶函数， f (1- x ) = f (x +1) ， f (0) = f (2) = 1 ．令 h (x )= f (x ) ， e x则h (x ) < h (0)．又 h '(x ) = f '(x ) ⋅ e x - f (x ) ⋅ e x e 2 x= f '(x ) - f (x ) e x ， f '(x ) < f (x ) ，即 h '(x ) < 0 ，所以函数h (x ) 在 R 是减函数，所以由h (x )< h (0)得 x > 0 ，故选 B ． （八）构造新函数，研究其他问题1.构造函数研究零点例 8.已知 f (x ) 是 R 上的减函数，其导函数 f '(x ) 满足结 论 中 正 确 的 是 （ ） f (x )+ x < 1，那么下列f '(x )A． ∀x ∈ R ， f (x ) < 0B．当且仅当∀x ∈ (-∞,1) ， f (x ) < 0C． ∀x ∈ R ， f (x ) > 0 D．当且仅当∀x ∈ (1，+∞) ， f (x ) > 0解：因为f (x)+x < 1 ，f '(x)f (x) 是定义在R 上的减函数， f '(x) < 0 ，所以f (x) + f '(x) •x >f '(x) ，所以f (x) +f '(x)(x -1) > 0 ，所以[(x -1) f (x)]'> 0 ，所以函数y =（x-1) f (x) 在R 上单调递增，而x = 1时，y= 0 ，则x <1时，y < 0 ，当x > 1 时，x -1 > 0, 故 f (x) > 0 ，又 f (x) 是定义在 R 上的减函数，所以x ≤ 1时，f (x) > 0 也成立，∴f (x) > 0 对任意x ∈ R 成立．变式：解析2.构造方程,落实根的分布求参数范围例 9. 定义 : 如 果 函 数 f(x) 在区间 [a,b] 上存在 x 1,x 2(a<x 1<x 2<b) 满足f'(x )=f (b )-f (a ),f'(x )=f (b )-f (a ),则称函数 f(x)是区间[a,b]上的一个双中1b -a2b -a 值函数.已知函数 f(x)=x 3-6x 2 是区间[0,t]上的一个双中值函数,则实数 t 5的取值范围是( )A .3 62 62 36( , ) B .( , ) C .( , )D .(1, )5 55 55 55解：由题意知,在区间[0,t ]上存在 x 1,x 2(0<x 1<x 2<t )满足f (t )-f (0) t 3-6t 26f'(x )=f'(x )= =5=t 2- t.1 2t t5∵f (x )=x 3-6x 2,∴f'(x )=3x 2-12x ,55∴构造方程 3x 2-12x=t 2-6t ，即在区间(0,t )上有两个不同的实数解.55令 g(x)=3x 2-12x-t 2+6t(0<x<t),5 5 12 262( 5 ) -12 ( 5 t -t ) > 0, g (0) 6 -t 2 > 0,则需满足= t 5解得3<t<6, g (t ) = 2t 2- 6t > 0,555 2{t > 5 ,∴实数 t 的取值范围是 3 , 6,故选 A .( )5 53.构造新函数研究单调性，求参数范围（含证明）例 10. 已知函数 f (x ) = a ln x + 1x 2 (a > 0) ，若对任意两个不相等的正实数 x , x 都21 2有 f (x 1 ) - f (x 2 ) > 2 恒成立，则a 的取值范围是x 1 - x 2--------------------------------------------解：不妨设：x > x > 0, f (x 1) - f (x 2 ) > 2，f (x ) - f (x ) > 2（x - x ） 1 2即： x - x1 2 1 2 ∴ f (x 1 ) - 2x 1 > 1 2f (x 2 ) - 2x 2，即：f (x ) - 2x 在（0，+∞）上递增， 令g(x )=f (x ) - 2x , g(x ) = a ln x + 1 x 2 - 2x , g 1 (x ) = a+ x - 2 ≥ 0恒成立；即2 xa ≥ 2x - x 2 = -(x -1)2+1, a ≥ 1成立+ ≤ x 变式 1：（10 辽宁改编）设a < -1，已知函数 f (x ) = (a +1) ln x + ax 2 +1对任意 x 1 , x 2 ∈ (0,+∞) ， | f (x 1 ) - f (x 2 ) ≥ 4 | x 1 - x 2 | ，则实数a 的取值范围--------------------------------------------解：不妨假设 x 1 ≥ x 2 ，而a ＜-1，知 f(x)在（0，+∞）单调减少，从而∀x 1, x 2 ∈(0, +∞) ， f (x 1 ) - f (x 2 ) ≥ 4 x 1 - x 2等价于∀x 1, x 2 ∈(0, +∞) ， f (x 2 ) + 4x 2 ≥ f (x 1) + 4x 1① 令 g (x ) = f (x ) + 4x ，则 g '(x ) =a +1 + 2ax + 4x ①等价于 g (x ) 在（0，+∞）单调递减少，即a +1 + x -4x -1 (2x -1)2 - 4x 2 - 2 (2x -1)2 2ax 4 0 .从而a ≤ = = - 2 2x 2 +1 2x 2 +1 2x 2 +1故 a 的取值范围为（-∞，-2]. 变式 2.（06 四川改编）已知函数 f (x ) = x 2 + 2 + a ln x x(x > 0) ，f (x ) 的导数是 f '(x ) 。