15.3分式方程例题与讲解(2013-2014学年新人教版七年级上)
初一数学分式方程试题答案及解析
初一数学分式方程试题答案及解析1.解方程：.【答案】x=10【解析】解分式方程的一般步骤：先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验.方程两边都乘以（x﹣2）（x+2）得，x（x+2）-3(x-2)=(x+2)(x-2)x2+2x-3x+6=x2-4-x=-10x=10经检验，x=10是原方程的解，所以，原分式方程的解是x=10．本题涉及了解分式方程，解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.2.先化简，然后从-1、1、2三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．【答案】，当时，原式=2【解析】先对小括号部分通分，同时把除化为乘，然后约分，最后选择一个合适的x的值代入求值.原式当时，原式.【考点】分式的化简求值点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.3.解分式方程：.【答案】【解析】先去分母得到整式方程，再解所得的整式方程即可，注意解分式方程最后要写检验.去分母得解得经检验是原方程的增根∴原方程无解.【考点】解分式方程点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.4.若为常数，当为时，方程有解．【答案】【解析】有解，即x-3≠0，则x≠3.把方程去分母得x-2（x-3）=m，即-x+6-m=0，所以x=6-m，则6-m≠3，解得m≠3【考点】分式方程点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程知识点的掌握，求出分母x-3的取值范围为解题关键.5.【答案】（增根）【解析】解分式方程的一般步骤：先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验.两边同乘得解这个方程得经检验是增根，所以原方程无解.【考点】解分式方程点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.6.某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【答案】甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；因为y是整数，所以y取20，21，22，23．共有四种方案．【解析】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40-x）元/件，，经检验x=15是原方程的解．∴5．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48-y）件，解得．因为y是整数，所以y取20，21，22，23．共有四种方案．【考点】分式方程和不等式组应用点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程和不等式组解决实际问题的应用。
人教版八年级上册数学试题： 15.3 分式方程 经典题、易错题(解析)
分式方程 经典题1. 如果0132=--x x ，则=+221xx ． 分析：这是一道填空题，题目与例3极为相近，唯一区别在于条件中常数项一个是“1+”，另一个是“1-”．把0132=--x x 变形后得到31=-xx ，两边平方，不难得到911222=+⋅⋅-x x x x ，整理为11122=+xx ．同学们观察后，容易发现 “1+” 与“1-”的区别，前者结果为平方后等式右边的值“2-”；而后者结果为平方后等式右边的值“2+”．解：如果0132=--x x ，则=+221x x 11 ．2．若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 . 分析：在解分式AB值为零这类问题时必须注意到A=0且B ≠0的条件，•二者缺一不可. 解：由分式值为零的条件得：|x|-1=0且x+1≠0，得x=1； 3．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 分析：原方程有增根，说明分母为0的那个值是使得方程出现增根，x=1，只要带入方程即可求出a 值。
解：去分母并整理，得ax +1=x -1，因为原方程有增根，增根只能是x =1，将x =1代入去分母后的整式方程，得a =-1．4. 解方程43.44x x x +=-++ 分析：注意到本题中有相同的分母，这是应该将其移项、合并。
解：原方程可化为43,44x x x +=-++ 合并，得43,4x x +=-+ 即1=－3，结论矛盾，故原分式方程无解．5. 解方程2.65x xx x +=-- 分析：注意到方程两边只是各有一个分式，此时应该交叉相乘比较简单。
解：由原方程，得(x+2)(x －5)=x(x －6),可得x=10.3经检验：x=103是原分式方程的解．6. 解下列方程：xx x x -++=--212253 析解：先确定最简公分母，再两边同乘以最简公分母，将原方程化为整式方程，求出根并检验即可．原方程即为212253-+-=--x x x x 方程两边同乘以（x 一2），去分母，得： 3x 一5=2（x 一2）一（x 十1）整理，得x=0检验：当x=0时，x 一2≠0 所以x=2是原方程的根．点评：去分母的关键是找出最简公分母，将分式方程转化为整式方程，但还应注意：（1）灵活运用分式符号法则，有时将能使最简分母更简单，（2）方程两边同乘以最简公分母时，别忘了常数项相乘（3）当去分母时，分数线消失，应在分子部分添上括号，并且要特别注意符号．7.解方程2x+15x +=3x －2+1.5x + 分析：本题可以将方程两边相同的分式消去解：方程左右两边分式相消，得 2x=3x －2，解得x=2.经检验：x=2是原分式方程的解． 8. 解方程11 3.22xx x-=--- 分析：本题可用一般的解题方法解答，这里还可以是一个参数，达到化简的目的 解：设x －2=y,则x －1=y+1.原方程可化为11 3.y y y+=- 即112y y=-，0=－2，结论矛盾． 所以原分式方程无解．9. 已知方程214x -＋2＝2kx -有增根，则k ＝______________. 分析：原方程有增根，说明分母为0的那个值是使得方程出现增根，增根可能是2x =或2x =-.，然后分别代入求解。
分式方程(第一课时)教案-初二数学第十五章15.3人教版
第十五章分式的方程15.3分式的方程第一课时 15.3.1分式的方程（认识、解法）1教学目标1.1知识与技能：[1]理解分式方程的意义。
[2]使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。
[3]理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。
1.2过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。
1.3 情感态度与价值观：[1]在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.[2]结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气。
2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]可化为一元一次方程的分式方程的解法。
[2]分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。
2.2 教学难点[1]理解解分式方程时可能无解的原因。
[2]解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根。
3 专家建议本节课内容难度不大，但是难点在于灵活运用。
在讲授分式方程解法时，老师应该尽量说清楚以下知识点：（1）类比整式方程与分式方程的区别。
（2）在进行解分式方程时，注意出现曾根的情况。
从下一节起将开始分式方程的应用。
因此，可以在课下带领同学进行分式的乘除、加减、幂运算以及混合运算进行专题练习，锻炼同学综合运用分式运算知识进行解题的技能。
4 教学方法[1]分组讨论。
[2]类比推理。
[2]启发引导探索的教学方法。
5 教学用具多媒体，黑板6教学过程6.1复习提问【师】同学们好。
同学们看一下大屏幕上的这个题，我们一起回亿一下之前我们学过哪些方程？我们该如何求解它呢？【生】答：（1）前面已经学过了一元一次方程．（2）一元一次方程是整式方程．（3）一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一。
分式方程及其解法公开课PPT课件
2021/7/24
12
【分式方程的解】
上面两个分式方程中，为什么
120 20+x
=
80 20-x
x1-去5 分= 母x1后20-2得5 到去的分整母式后方得程到的的解整就式是方它程的的解解，却而不
18
【例题】
解分式方程
x x-1
-1 =
3 (x-1)(x+2)
解 ：方程两边同乘以最简公分母(x－1) (x＋2),得
X(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解整式方程,得 x = 1
检验：当x = 1 时，(x－1) (x＋2)＝０，x=１不
是原分式方程的解，原分式方程无解．
解分式方程
(1)
2 x-1
如何去掉分母，化 为整式方程还保持
等式成立?
16
解方程 100 30 x x7
解 方程两边同乘以x(x-7),约去分母,得 100(x-7)=30x
解这个整式方程, 得 X=10
检验:把x=10代入x(x-7), 得
10×(10-7)≠0
所以, 2021/7/24 x=10是原方程的解.
17
(2) xx22x2164xx22
x+5=10
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使
分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解
2021/7/24
13
【分式方程解的检验】
= 120
20+x
2800-x当两x边=4同时乘,((2200++xx))((2200--xx))≠1020(20-x)=80(20+x)
分式方程ppt课件
36
根据题意，得 x ＝
＋2，
(1＋50%)x
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是方程的解．
答：该施工队原计划每天改造 6 m.
知3－练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，
某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已
知足球的单价比排球的单价多15 元．
－
③ ＝x；④
＋3＝
；
－
－
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这
车的速度.
知3－练
思路引导：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，
则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得 －
= ，解得x
.
经检验，x = 6 0 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0．
知3－练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平
＝
；(3) ＝1；
－ ＋
(4)
＝
；(5) －2＝x(a为非零常数).
＋ －
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有
人教版八年级数学上册《15.3分式方程》课件
2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。
3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。
4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。
5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午6时22分21.11.718:22November 7, 2021
x -x
x -1
2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3),
化简,得 4x=-12.
解得 x=-3.
关闭
检验:当 x=-3 时,(2x-3)(2x+3)≠0,
所以 x=-3 是原分式方程的解.
图中共有
8 个三角形,其中以 BC 为边的三角形是
(2)方程两边同乘 x(x+1)(x-1),得
A,D 是整式方程,B 不是方程,只有 C 是分式方程.
关闭
C
解析
答案
1
2
2x-4
2.要把分式方程
A.2x-4
C.2x(x-2)
3
2
3
4
= 2x化为整式方程,则方程两边同乘(
5
).
B.2x(2x-4)
D.2x
关闭
C
答案
1
1
3
3.方程x = x+2的解是
2
3
4
5
.
关闭
x=1
答案
1
3-x
1
4.解分式方程:(1) + =1;
7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观
15.3分式方程(解析版)
八年级上册数学《第十五章分式》15.3分式方程◆1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π是常数)．◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.◆2、“去分母法”解分式方程的步骤（1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；（4）写出原方程的解.简记为：“一化二解三检验”.◆3、检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解.◆4、分式方程的增根增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．◆列分式方程解应用题的一般步骤：1.审清题意；2.设出未知数；3.找相等关系；4.列出方程；5.解这个分式方程；6.检验(包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)；7.作答.【例题1】（2022秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+2=1B．x+1=2C．2x＝x﹣5D．x﹣4y＝1【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程．解题技巧提炼分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．【变式1-1】（2022秋•绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+2=1B．+1=2C．3x＝x﹣5D．2x﹣y＝1【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．【解答】解：A．该方程是一元一次方程，不符合题意；B．该方程是分式方程，符合题意；C．该方程是一元一次方程，不符合题意；D．该方程是二元一次方程，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键．【变式1-2】（2023春•渠县校级期末）下列各式中为分式方程的是（）A．+1B．1r1=12K3C．r23=5D．1+=0【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【解答】解：A、+1不是方程，故本选项错误；B、方程1r1=12K3的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；C、方程r23=5分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；D、方程1+=0的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【变式1-3】（2023春•苏家屯区期中）在①x2﹣x+1，②1−3＝a+4，③2+5x＝6，④2K3=1中，其中关于x的分式方程的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程．【解答】解：①x2﹣x+1是分式，不是分式方程；②1−3＝a+4是关于a的分式方程；③2+5x＝6是一元一次方程；④2K3=1是关于x的分式方程，故关于x的分式方程只有一个．故选：A．【点评】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键．【变式1-4】（2023春•宜宾月考）在方程1r1=3K2，3+1=2，3−2=0，=1中，分式方程有个．【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【解答】解：在方程1r1=3K2，3+1=2，3−2=0，=1中，分式方程有1r1=3K2，3+1=2，=1，一共有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【变式1-5】下列方程：①3−7=2，②=3，③4K13−r12=54，④+=5，⑤1r2+1＝0中，关于x的分式方程有（填写序号）：．【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．【解答】解：方程①3−7=2、②=3、③4K13−r12=54、④+=5的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤1r2+1＝0的分母中含有未知数，是分式方程，所以分式方程有⑤．故答案为：⑤．【点评】本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫分式方程）是解此题的关键．【例题2】（2022春•濮阳期末）解分式方程K3=53−−2去分母变形正确的是（）A．x＝5﹣2（x﹣3）B．x＝﹣5﹣2（x﹣3）C．x＝5﹣2（3﹣x）D．﹣x＝﹣5+2（3﹣x）【分析】根据等式的基本性质解决此题．【解答】解：K3=53−−2去分母，得x＝﹣5﹣2（x﹣3）．故选：B．【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．【变式1-1】关于x的分式方程K5=1，下列说法正确的是（）A．方程的解是x＝m+5B．m＞﹣5时，方程的解是正数C．m＜﹣5时，方程的解为负数D．无法确定【分析】先按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值讨论m的范围，即可作出判断．【解答】解：方程两边都乘以x﹣5，去分母得：m＝x﹣5，解得：x＝m+5，∴当x﹣5≠0，把x＝m+5代入得：m+5﹣5≠0，即m≠0，方程有解，故选项A错误；当x＞0且x≠5，即m+5＞0，解得：m＞﹣5，则当m＞﹣5且m≠0时，方程的解为正数，故选项B错误；当x＜0，即m+5＜0，解得：m＜﹣5，则m＜﹣5时，方程的解为负数，故选项C正确；显然选项D错误．故选：C．【点评】本题在判断方程的解是正数时，容易忽视m≠0的条件．【变式1-2】（2022春•南岸区期末）解分式方程K1K2=1−1的过程如下：解：方程两边都乘x（x﹣2），得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1①去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1②解这个方程，得x＝1③检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④以上解答过程中，开始出错的一步是（）A．①B．②C．③D．④【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：K1K2=1−1，方程两边都乘x（x﹣2），得：x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）①，以上解答过程中，开始出错的一步是：①，故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．【变式1-3】（2023•高新区校级模拟）解分式方程2K1+21−2=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3B．x﹣2＝3C．x+2＝3（2x﹣1）D．x﹣2＝3（2x﹣1）【分析】首先根据2K1+21−2=3，可得：2K1−22K1=3，然后方程两边同时乘（2x﹣1），判断出去分母化为一元一次方程，正确的是哪个即可．【解答】解：∵2K1+21−2=3，∴2K1−22K1=3，方程两边同时乘（2x﹣1），可得：x﹣2＝3（2x﹣1）．故选：D．【点评】此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确等式的性质的应用．【变式1-4】（2023秋•昌黎县期中）分式31−与2互为相反数，则x的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可．【解答】解：由题意得31−+2=0，去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．经检验得x＝﹣2是原方程的解．故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义及解分式方程，记忆解分式方程的步骤是解题关键．结果要检验．【变式1-5】（2023秋•长沙期中）解分式方程：（1）1r2+1K4=0；（2）K2r2−1=162−4．【分析】（1）先去分母，方程两边同乘以（m+2）（m﹣4）得到m﹣4+m＝2＝0，解得m＝1，然后检验：把m＝1代入（m+2）（m﹣4）进行计算即可得到原方程的解；（2）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）得到（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝16，解得x＝﹣2，然后进行检验得到x＝﹣2是原方程的增根，于是原方程无解．【解答】解：（1）方程两边同乘以（m+2）（m﹣4）得，m﹣4+m+2＝0，经检验m＝1是原方程的解，所以原方程的解为m＝3；（2）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）得，（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝16，解得x＝﹣2，经检验x＝﹣2是原方程的增根，所以原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程：解分式方程的基本步骤为①找出最简公分母，去分母，把分式方程转化为一元一次方程；②解一元一次方程；③检验；④确定分式方程的解．【变式1-6】（2023秋•武冈市期中）解方程：（1）2K2−22−=1；（2）r1K1−42−1−1＝0．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x+2＝x﹣2，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1﹣4﹣x2+1＝0，解得：x＝1，经检验，x＝1不是原方程的解，方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意不要忘了检验．【变式1-7】（2023秋•宁远县期中）解方程：（1）2=3r1；（2）3r2+4K2=162−4．【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：（1）2=3r1，2（x+1）＝3x，检验：当x＝2时，x（x+1）≠0，∴x＝2是原方程的根；（2）3r2+4K2=162−4，3（x﹣2）+4（x+2）＝16，解得：x＝2，检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．【例题3】（2022秋•仁寿县校级月考）若42−4=−1，则2=（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2【分析】根据用换元法解分式方程即可．【解答】解：设1=a，则12=a2，原方程可变形为4a2﹣4a＝﹣1，所以4a2﹣4a+1＝0，所以（2a﹣1）2＝0，解得a=12，所以x＝2，经检验，x＝2是原方程的根．所以2=1．故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法解分式方程是解题的关键．【变式3-1】（2023春•万源市校级期末）用换元法解方程2−12−2−12=3时，设2−12=y，则原方程可化为（）A．y−1−3＝0B．y−4−3＝0C．y−1+3＝0D．y−4+3＝0【分析】把y=2−12代入原方程，移项即可得到答案．【解答】解：设2−12=y，则原方程可化为：y−1=3，即y−1−3＝0，故选：A．【点评】本题主要考查换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．【变式3-2】（2023春•松江区期末）解方程K1−2K1=3时，设K1=y，则原方程可化为关于y的整式方程是（）A．y−2=3B．y2﹣2y＝3C．y2﹣3y﹣2＝0D．y2+3y﹣2＝0【分析】先将K1=y代入原方程，通过去分母，将原方程化为关于y的整式方程．【解答】解：解方程K1−2K1=3时，设K1=y，则原方程可化为−2=3去分母，得y2﹣2＝3y即y2﹣3y﹣2＝0故选：C．【点评】本题主要考查了换元法解分式方程，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，有时需要通过变形才能换元．【变式3-3】（2023春•虹口区期末）用换元法解分式方程时K1−2K1+1=0，如果设K1=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．y2+y﹣2＝0B．y2﹣2y+1＝0C．2y2﹣y+1＝0D．2y2﹣y﹣1＝0【分析】先换元，再化成整式方程．【解答】解：设K1=y，则：y−2+1＝0．∴y2+y﹣2＝0．故选：A．【点评】本题考查换元法，确定新未知数与方程中代数式的关系是求解本题的关键．【变式3-4】（2022秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：K1−4K1=0．解：设y=K1，则原方程化为：y−4=0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y−4=0的解．当y＝2时，K1=2，解得：x＝﹣1；当y＝﹣2时，K1=−2，解得：x=13．经检验：x1＝﹣1或x2=13都是原分式方程的解．∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：（1）若在方程K14−K1=0中，设y=K1，则原方程可化为：；（2）若在方程K1r1−4r4K1=0中，设y=K1r1，则原方程可化为：；（3）模仿上述换元法解方程：K1r2−3K1−1＝0．【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设=K1r2，将原方程化为−1=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．【解答】解：（1）将=K1代入原方程，则原方程化为4−1=0．故答案为：4−1=0；（2）将=K1r1代入方程，则原方程可化为−4=0．故答案为：−4=0；（3）原方程化为：K1r2−r2K1=0，设=K1r2，则原方程化为：−1=0，方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，经检验：y＝±1都是方程−1=0的解，当y＝1时，K1r2=1，该方程无解，当y＝﹣1时，K1r2=−1，解得：=−12，经检验：=−12是原分式方程的解，∴原分式方程的解为=−12．【点评】本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键．【变式3-5】在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（K1）2﹣4（K1）+4＝0．学生甲：老师，原方程可整理为2(K1)2−4K1+4＝0，再去分母，行得通吗？老师：很好，当然可以这样做．再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？学生乙：老师，我发现K1是整体出现的！老师：很好，我们把K1看成一个整体，用y 表示，即可设K1=y ，那么原方程就变为y 2﹣4y +4＝0．全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y ﹣2）2＝0老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y 2﹣4y +4＝0的根是y ＝2，那么就有K1=2学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x ＝2，再验根就可以了！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK ，换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：（1）（2）2−4K1+1＝0；（2+4r=3−1r=1．【分析】（1）设2K1=，则原方程变形为：y 2﹣2y +1＝0，求得y 的值，继而可得关于x 的方程，即可求得x 的值；（2）设1K =u ，1r=v ，将原方程组转化为关于u 、v 的方程组求得u 、v 的值，继而可得关于x 、y 的方程组，解方程组可得．【解答】解：（1）设2K1=，则原方程变形为：y 2﹣2y +1＝0，即（y﹣1）2＝0，故y＝1，则：2K1=1，解得：x＝﹣1，经检验：x＝﹣1是原方程的解．（2）设1K=u，1r=v，则原方程组化为：6+4=39−=1，解得：=16=12，所以+=2−=6，解得：=4=−2，经检验，=4=−2是原方程组的解．【点评】本题主要考查换元法解方程或方程组，解方程或方程组是基本技能，要熟练掌握其基本步骤和方法，将合适的整体设为新元是换元法的关键．【例题4】（2022春•盐城期末）若x＝4是分式方程K2=1K3的根，则a的值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】将x＝4代入分式方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求得答案．【解答】解：将x＝4代入分式方程可得，K24=1，解得：a＝6，故选：D．【点评】本题主要考查分式方程及其算法，关键在于正确运算解答答案．【变式4-1】（2023•淄博）已知x＝1是方程2−−1K2=3的解，那么实数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】将x＝1代入原方程即可求出m的值．【解答】解：将x＝1代入方程，得：2−1−11−2=3，解得：m＝2．故选：B．【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x＝1代入原方程中得到关于m的方程．【变式4-2】（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程2B+3K=34的解，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【分析】把x＝1代入分式方程2B+3K=34就得到关于a的方程，从而求出a的值．【解答】解：把x＝1代入分式方程2B+3K=34得：2r3K1=34，去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值为﹣3．故选：D．【点评】考查了分式方程的解，本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．【变式4-3】（2023•锦江区模拟）若关于x的分式方程K2−K12−=3的解为x＝3，则m的值为（）A．1B．2C．3D．5【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程K2−K12−=3中得：3−2−3−12−3=3，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：把x＝3代入方程K2−K12−=3中得：3−2−3−12−3=3，∴m+2＝3，解得：m＝1，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键．【变式4-4】（2023•驻马店二模）若关于x的分式方程r K1=2的解是2，则m的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】将x＝2代入原方程解答即可．【解答】解：∵关于x的分式方程r K1=2的解是2，∴r22−1=2，∴m＝﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键．【变式4-5】已知方程1K1=r1的解为x＝2，求K1−12−的值．【分析】先把x＝2代入即可得出a的值，再化简K1−12−，把a的值代入即可得出K1−12−的值．【解答】解：把x＝2代入1K1=r1得，a＝3，∴原式=22−−12−=(r1)(K1)oK1)=r1，当a＝3时，原式=r1=43．【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式的化简求值，把分式化简是解题的关键．【变式4-6】（2022秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程2r4=与分式方程32=1K1的解相同，求m2﹣2m的值．【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入2r4=，求出m，再把m的值代入m2﹣2m计算．【解答】解：32=1K1，3（x﹣1）＝2x，解得x＝3，检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0，∴x＝3是此方程的解；把x＝3代入2r4=，得23+4=3，解得m=67；把m=67代入m2﹣2m=(67)2−2×67=−4849．【点评】本题考查了分式方程解，熟练掌握分式方程解的步骤是解题关键．【例题5】（2023春•雁塔区校级期末）若关于x的分式方程K2−K12−=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣5B．m＞﹣5且m≠﹣1C．m＞﹣3D．m＞﹣3且m≠﹣1【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可．【解答】解：K2−K12−=3，m+（x﹣1）＝3（x﹣2），m+x﹣1＝3x﹣6，m﹣1+6＝3x﹣x，2x＝m+5，=r52，∵分式方程的解为正数，即=r52＞0，∴m＞﹣5，又∵使分式方程有意义，x﹣2≠0，∴r52−2≠0，∴m≠﹣1，综上：m＞﹣5且m≠﹣1．故选：B．【点评】本题考查了分式方程，掌握使分式方程解大于零且分式方程有意义是解题的关键．【变式5-1】（2023春•莲池区校级期末）若关于x的分式方程2K K2=13的解为非负数，则实数a的取值范围是（）A．≥23B．a≤23C．≥23且a≠4D．a≤23且a≠﹣4【分析】表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的范围即可．【解答】解：去分母得：6x﹣3a＝x﹣2，解得：x=3K25，由分式方程的解为非负数，得到3K25≥0，且3K25≠2，解得：a≥23且a≠4．故选：C．【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对分式方程增根的讨论是解题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）若关于x的方程r1−2r1=1的解为负数，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＜3C．m＜2且3m≠1D．m＜3且m≠2【分析】先银分式方程求得解为x＝m﹣3，再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即可．【解答】解：r1−2r1=1，m﹣2＝x+1，x＝m﹣3，∵原方程解为负数，∴m﹣3＜0，∴m＜3，∵x+1≠0，∴m﹣3+1≠0，∴m≠2，∴m＜3且m≠2，故选：D．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键．【变式5-3】（2023秋•渝中区校级期中）若整数a使关于x≥−8−2有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程K3+33−=−1的解满足y＜7，则所有满足条件的整数a的值之和为（）A．8B．6C．10D．7【分析】分别解不等式组和分式方程，确定a的取值范围，进而求解即可．≥−8−2的解集是﹣1≤x＜r86，∵该不等式组有且只有3个整数解，∴1＜r86≤2，解得﹣2＜a≤4．分式方程K3+33−=−1的解是y＝6﹣a（y≠3），∵y＜7，即6﹣a＜7，解得a＞﹣1，且a≠3．综上，﹣1＜a≤4（a为整数），且a≠3，∴a＝0，1，2，4，∴0+1+2+4＝7．故选：D．【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式组等，熟练掌握它们的解法是本题的关键．【变式5-4】（2022秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程2K4−1=K2的解为非负数，求k的取值范围．【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．【解答】解：2K4−1=K2，去分母得：k﹣2x+4＝2x，解得：x=r44，∵x﹣2≠0，∴r44≥0且r44−2≠0，解得：k≥﹣4且k≠4．所以k的取值范围为：k≥﹣4且k≠4．【点评】本题考查分式方程的解，正确进行分式的计算是解题关键．【变式5-5】若关于x的方程K4−3=K4的解不小于2，求a的取值范围．【分析】根据解分式方程，可得关于a的表达式，根据解不等式，可得答案．【解答】解：两边都乘（x﹣4），得x﹣3（x﹣4）＝a，解得x=12−2≠4，由关于x的方程K4−3=K4的解不小于2，得12−2≥2，解得a≤8，a的取值范围是a≤8且a≠4．【点评】本题考查了分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键．【变式5-6】（2022秋•石家庄期末）若关于x的分式方程K2=2−2−的解为正数，求满足条件的正整数m的值．【分析】根据分式方程的一般解法得到方程K2=2−2−的解为x＝4﹣m；由于该方程的解为正数，则x ＞0，由于要使方程有意义，则x≠2，至此可得4﹣m＞0且4﹣m≠2；根据所得的方程，求出m的值，结合题意m为正整数，可得m的值，至此可得答案．【解答】解：∵K2=2−2−，∴K2=2+K2，K K2=2，x﹣m＝2（x﹣2），解得x＝4﹣m．∵原分式方程的解为正数，∴x＞0且x≠2，即4﹣m＞0且4﹣m≠2，∴m的取值范围为m＜4且m≠2．∵m为正整数，∴m的值为1，3．【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是求出m的范围，本题属于中等题型．【例题6】（2022秋•益阳期末）已知关于x的方程K3+3=K43−有增根，则k为多少？【分析】有增根是原方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是3，然后代入化成整式方程的方程中，求得k的值．【解答】解：∵关于x的方程K3+3=K43−有增根，∴x﹣3＝0，则x＝3，∵原方程可化为4x＝13﹣k，将增根x＝3代入得k＝1．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-1】（2022秋•芝罘区期末）若关于x的分式方程1K2=2−+1有增根，则m为（）A．﹣1B．1C．2D．﹣1或2【分析】增根就是分母为零的x值，所以对分式方程去分母，得m＝x﹣3，将增根x＝2代入即可解得m 值．【解答】解：分式方程去分母，得：1＝﹣m+2﹣x，∴m＝x﹣3，∵方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，将x＝2代入m＝x﹣3中，得：m＝2﹣3＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查分式方程的解，解答的关键是理解分式方程有增根的原因．【变式6-2】（2023秋•慈利县期中）若关于x的分式方程2K4=3−K4有增根，则m的值是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x﹣4＝0，得到x＝4．【解答】解：分式方程2K4=3−K4两边同时乘x﹣4去分母，得2＝3（x﹣4）﹣m，由分式方程的最简公分母是x﹣4，∴分式方程的增根是x＝4．把x＝4代入2＝3（x﹣4）﹣m，∴m＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-3】（2022秋•武冈市期末）关于x的方程：B+1K1−21−=1．若这个方程有增根，求a的值．【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可．【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，解得：x＝1，将x＝1代入整式方程得：a﹣1＝﹣4，解得：a＝﹣3，综上，a的值为﹣3．【点评】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是确定增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-4】（2022秋•娄星区校级期中）若关于x的分式方程r1−r12+=r1有增根，求m的值．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘x（x+1），得x2﹣（m+1）＝（x+1）（x+1）∵原方程增根为x＝0或x＝﹣1，∴把x＝0代入整式方程，得m＝﹣2，把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0．【点评】本题考查了整式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-5】（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程K3−1=(K3)(K4)．（1）m为何值时，这个方程的解是5？（2）m为何值时，这个方程有增根？【分析】（1）把x＝5代入，然后解关于m的方程即可；（2）去分母化为整式方程，再求出方程有增根时x的值，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：（1）∵方程的解是5，∴把x＝5代入K3−1=(K3)(K4)，得55−3−1=(5−3)(5−4)，解得m＝3；（2）K3−1=(K3)(K4)，两边都乘以（x﹣3）（x﹣4），得x（x﹣4）﹣（x﹣3）（x﹣4）＝m，整理得3x﹣12＝m，∵方程有增根，∴x＝3或x＝4，当x＝3时，m＝3×3﹣12＝﹣3，当x＝4时，m＝3×4﹣12＝0，∴m的值为﹣3或0．【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，熟练掌握当分母等于0时分式方程有增根是解答本题关键．【例题7】（2022秋•泰山区校级期末）若关于x的分式方程K3+33−=2无解，则a的值为（）A．1B．1或12C．﹣1或12D．以上都不是【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．【解答】解：K3+33−=2，分式方程两边同乘以（3﹣x）得：﹣x+3a＝2a（3﹣x），（2a﹣1）x＝3a，要使原分式方程无解，则有以下两种情况：当2a﹣1＝0时，即=12，整式方程无解，原分式方程无解，当2a﹣1≠0时，则=32K1，令最简公分母为0，即x﹣3＝0，解得x＝3，∴当32K1=3，即a＝1时，原分式方程产生增根，无解，综上所述可得：a＝1或12时，原分式方程无解．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是关键．【变式7-1】（2023秋•海阳市期中）若分式方程2+1−B K2=12−无解，则k的值为（）A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2【分析】先去分母，方程两边同时乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出来，然后根据各个选项中的k值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案．【解答】解：2+1−B K2=12−，去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程2+1−B K2=12−无解，∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，当k＝1时，原方程为：2+1−K2=12−，2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴k＝1时，原方程无解；综上可知：分式方程2+1−B K2=12−无解时，k的值为1或2，故选：C．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法．【变式7-2】（2023•洪雅县模拟）若关于x的方程2=2r1无解，则m的值为（）A．0B．4或6C．4D．0或4【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当m﹣4＝0时，当m﹣4≠0时，x＝0或2x+1＝0，进行计算即可．【解答】解：2=2r1，方程两边同乘x（2x+1）得：2（2x+1）＝mx，整理得：（m﹣4）x＝2，∵原方程无解，∴当m﹣4＝0时，即m＝4，当m﹣4≠0时，x＝0或2x+1＝0，此时，=2K4，解得：x＝0或=−12，当x＝0时，=2K4=0无解，当=−12时，=2K4=−12，解得：m＝0．综上，m的值为0或4．故选：D．【点评】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式7-3】（2022秋•岱岳区期末）关于x的分式方程7K1+5=2K1K1无解，则m的值为．【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出x，根据方程无解即可判断．【解答】解：去分母，得7x+5（x﹣1）＝2m﹣1，整理，得6x＝m+2，解得x=r26，∵方程无解，则x＝1，r26=1，解得m＝4．故答案为：m＝4．【点评】本题考查了分式方程，正确记忆无解的条件是分母等于0是解题关键．【变式7-4】（2023春•灌云县期末）已知关于x的分式方程K K2−5=1．（1）若分式方程有增根，求a的值；（2）若分式方程无解，求a的值．【分析】（2）原方程整理得（a+3）x＝10，由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x＝2，分两种情况分别求解即可；（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，分a+3＝0和a+3≠0两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）两边都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），整理得，（a+3）x＝10，由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x＝2，把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，综上可知，a＝2；（2）由（1）可知，（a+3）x＝10，当a+3＝0时，方程无解，即a＝﹣3，当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a＝2，综上可知，a＝﹣3或a＝2．【点评】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．【变式7-5】（2023秋•冷水滩区期中）已知关于x的方程3+K1=B+2−．（1）当a＝6，b＝1时求分式方程的解；（2）当a＝6时，求b为何值时，分式方程3+K1=B+2−无解．。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程(教案)
-鼓励学生在日常生活中发现并解决分式方程问题，提高数学素养
7.课后作业（课后自主完成）
-针对本节课所学内容，布置课后习题，巩固所学知识
-鼓励学生自主探索、拓展学习，提高解题能力
五、教学反思
在本次分式方程的教学中，我发现学生们对于分式方程的概念和求解方法的理解总体上是不错的。他们能够跟随我的讲解，逐步掌握去分母、移项等基本操作。然而，我也注意到，部分学生在面对高次分式方程或者分式方程组时，会感到困惑，这成为了他们学习的难点。
举例：重点讲解分式方程2/(x-3) = 1/(x+2)，突出求解过程中每一步的关键操作，如交叉相乘去分母，合并同类项等。
2.教学难点
-分式方程去分母的技巧：对于复杂的分式方程，如何选择合适的去分母方法，避免出现计算错误。
-高次分式方程的求解：涉及高次方程的求解，如何运用降次或其他数学方法简化问题。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册：15.3分式方程
1.分式方程的定义与特点
2.分式方程的求解方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.应用题：利用分式方程解决实际生活中的问题
4.分式方程的常见类型及解题技巧
a.简单分式方程
b.复杂分式方程
c.高次分式方程
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式方程的定义及其基本性质：理解分式方程中分子、分母的关系，掌握分式方程的基本形式。
-分式方程的求解方法：重点讲解去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，强调每一步的运算规则。
-分式方程的验根方法：教会学生如何检验求得的解是否满足原方程，确保解的正确性。
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15.3 分式方程1．分式方程的概念分母中含未知数的方程叫做分式方程．谈重点 分式方程与整式方程的区别 从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数．【例1】 下列方程：①x －35＝1，②3x ＝2，③1＋x 5＋x ＝12，④x 2＋2x ＝5.其中是分式方程的有( )． A ．①② B ．②③C ．③④D ．②③④解析：根据分式方程的定义知②③④是分式方程，故选D.答案：D2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：分式方程――→去分母转化整式方程． (2)解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程； ②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．(3)对分式方程解法的理解：①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解；②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解；③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式；④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷．解技巧 分式方程验根的方法 把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误．【例2】 解下列方程：(1)7x 2＋x ＋3x 2－x ＝6x 2－1；(2)x 2x －5－1＝55－2x. 解：(1)方程两边同乘x (x ＋1)(x －1)，得7(x －1)＋3(x ＋1)＝6x .解这个方程，得x ＝1.检验：当x ＝1时，x (x ＋1)(x －1)＝0，所以x ＝1是原方程的增根，即原方程无解．(2)方程两边同乘2x －5，得x －(2x －5)＝－5.解这个方程，得x ＝10.检验：当x ＝10时，2x －5≠0，所以x ＝10是原方程的解．3．分式方程的应用 分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的．列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②找：找出相等关系；③设：设未知数；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程； ⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；⑦答：写出答案．解技巧 构建分式方程的方法 (1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系列方程；(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数．【例3】 今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？解：设原计划每天生产x 吨纯净水，则依据题意，得1 800x －1 8001.5x＝3， 整理，得4.5x ＝900，解之，得x ＝200.把x ＝200代入原方程，成立，∴x ＝200是原方程的解．答：原计划每天生产200吨纯净水．4．分式方程无解型问题解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的值)代入整式方程(因为方程若有增根，则增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程)，从而求出方程中的参数值．5．生活中的分式方程列分式方程解实际问题时，关键是从实际问题中找出等量关系．另外，还要注意对方程的根进行检验．检验时，要注意双重检验：既要根据所列方程进行检验，又要根据实际问题进行检验．举例：甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等．已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，问甲、乙两人每天各加工多少个玩具？解：设甲每天加工x 个玩具，则乙每天加工(35－x )个玩具．根据题意，得90x ＝12035－x，解得，x ＝15. 经检验，x ＝15是原方程的解且符合实际意义．所以35－x ＝35－15＝20(个)．答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．【例4－1】 已知关于x 的分式方程a －1x ＋2＝1有增根，则a ＝________. 解析：去分母得a －1＝x ＋2，将x ＝－2代入得a －1＝0，解得a ＝1.答案：1【例4－2】 若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3＋2无解，求m 的值． 解：方程两边同乘(x －3)，得x －2＝m ＋2(x －3)．整理，得m ＝－x ＋4.因为当x ＝3时，分式方程无解，所以m ＝1.【例5】 某文化用品商店用2 000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6 300元．(1)求第一批购进书包的单价是多少元？(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 解：(1)设第一批购进书包的单价是x 元，则第二批购进书包的单价为(x ＋4)元．根据题意，得2 000x ×3＝6 300x ＋4，解得x ＝80. 经检验，x ＝80是原方程的解．答：第一批购进书包的单价是80元．(2)解法一：2 00080×(120－80)＋6 30084×(120－84)＝1 000＋2 700＝3 700(元)． 解法二：2 00080×(1＋3)×120－(2 000＋6 300)＝12 000－8 300＝3 700(元)． 答：商店共盈利3 700元．6．分式方程中的阅读题在解分式方程中的阅读题时，首先要认真阅读题意，仔细观察列举的条件，观察比较所给各方程的特点和它的解与原方程的关系，发现解答过程的错误或探究得出其中的规律，然后根据题目的要求改正题目中的错误或者根据发现的规律解答提出的问题．阅读理解题是新课标理念下的创新题型，应予以重视．7．分式方程中的开放型问题分式方程中的开放型问题，其答案一般不唯一．有两种类型：一是条件开放型问题，二是结论开放型问题．解答这类题目的一般方法是：通过条件，联想有关概念或法则，探求结论．例如：请根据所给方程6x ＋6x －5＝1联系生活实际，编一道应用题．(要求题目完整，题意清楚，不要求解方程)解：甲、乙两人合作加工一批零件，已知甲比乙每小时多加工5个零件，他们合作6 h 完成了加工任务．问：甲、乙每小时各加工零件多少个？这批零件共有几个？8．列分式方程解答综合性问题解答应用题的关键是弄清题目中的数量关系，选择合适的关系式列出分式方程，求出方程的解来解决问题．如果涉及用其他知识的综合题，应认真分析题意建立适当的数学模型来解答．例如：从甲地到乙地共50千米，其中开始的10千米是平路，中间的20千米是上坡路，余下的20千米又是平路．小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路和上坡路上保持匀速)．解：设小明在平路上的速度为x 千米/时，根据题意，得136－10x＝3⎝⎛⎭⎫116－20x ， 解得x ＝15.经检验，x ＝15是所列方程的解，且符合题意．答：小明在平路上的速度为15千米/时．【例6】 先阅读下列一段文字，然后解答问题：已知方程x －1x ＝112的解是x 1＝2，x 2＝－12. 方程x －1x ＝223的解是x 1＝3，x 2＝－13. 方程x －1x ＝334的解是x 1＝4，x 2＝－14. 方程x －1x ＝445的解是x 1＝5，x 2＝－15. 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x －1x ＝101011的解．把你解题得到的收获用语言表述出来，和你的同伴互相交流．解：x 1＝11，x 2＝－111.方程的左边是未知数与其倒数的差，方程的右边是比带分数的整数部分大1的数与其倒数的差，此时方程的解就可以直接写出了．【例7】 请选择一组a ，b 的值，写出一个形如a x ＋2＝b 的关于x 的分式方程，使它的解为x ＝2，这样的分式方程可以是__________．解析：根据题意，把x ＝2代入方程a x ＋2＝b 中， 化简整理，得a ＝4b .再任意给出一对a ，b 的值，使其满足a ＝4b 即可．写出一个题目所要求的分式方程，如当a ＝4，b ＝1时，所写的方程为4x ＋2＝1.答案：4x ＋2＝1(不唯一) 【例8】 某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来． 解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设(x －20)米．根据题意得350x ＝250x －20，解得x ＝70. 检验：x ＝70是原分式方程的解．答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队(1 000－y )米．由题意，得⎩⎨⎧y 70≤10，1 000－y 50≤10.解得500≤y ≤700. 所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．。