12.3立方根和开立方ppt课件
12.3 立方根和开立方(教学课件)-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂(沪教版)
3
x 5
知识总结
平方根与立方根的区别和联系
平方根
正数 两个，互为相反数
性
0
0
质
没有平方根
负数
表示方法
被开方数
的范围
± a
非负数
立方根
一个，为正数
0
一个，为负数
3
a
可以为任何数
典例精讲
教材第12页
例1 求下列各数的立方根：
8
(1) 1000； (2) ； (3) -0.001； (4) 0.
3
3
3
3
100 （精确到 0.001），并利用你发现的规律求
3
3
0.1 ， 0.0001， 100000 的近似值.
3
0.000216 = 0.06
3
216 = 6
3
3
0.216 = 0.6
216000 = 60
总结
被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时立方根的
小数点就相应的向左或向右移动 n 位 (n 为正整数).
解：依次按键：
3
2ndF
显示：7，所以
依次按键： 2ndF
3
3
4
3
=
343 = 7.
3
显示：-1.1，所以
(-)
3
1
.
3
1.331 = 1.1.
3
1
=
例3 用计算器求
3
2 的近似值（精确到 0.001）.
解 ： 依次按键： 2ndF
显示：1.259 921 05
所以， 2 1.260.
3
A )
A.
B.－
立方根优秀课件
类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“开立方”. 立方
＋3
开立方
27
－3
－27
＋5
பைடு நூலகம்125
－5
－125
提示：“开立方”与“立方”互为逆运算.
平方根与立方根的区别和联系 平方根
立方根
正数 两个，互为相反数 一个，为正数
性 质
0
0
0
负数 没有平方根
一个，为负数
表示方法
被开方数的 范围
a 非负数
3a 可以为任何数
根，也叫做a的三次方根．记作 3 a .
立方根的表示：
一个数a的立方根可以表示为:
根指数
3a
被开方数
读作:三次根号 a， 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
立方根的性质： （1）一个正数有一个正的立方根； （2）一个负数有一个负的立方根， （3）零的立方根是零. 注：1.立方根是它本身的数有1, -1, 0；
∴217
的立方根是
1 3
,
3
即
1 27
1 3
(4)∵ (0.4)3 0.064
3 0.064 0.4
(5)∵03 =0
3 0 0
针对练习
1.下列说法正确的是( B ) A.负数没有立方根 B.-9的立方根是3 9 C. 3 9 =3 D.任何正数都有两个立方根，它们互为相反数
知识点二 立方根的有关计算
解：依次按键： 2ndF 3 3 4 3 = 显示：7 所以 3 343=7. 依次按键： 2ndF 3 - 1 . 3 3 1 显示：-1.1 所以 3 1.331= 1.1.
不同的计 算器的按 键方式可 能有所差 别！
立方根课件
开立方——求一个数的立方根的运算． 3的立方是___, 27的立方根是___.
3
27 3
3
( 27) 27
3 3
3
注意：(1) 开立方与立方互为逆运算．
(2)
( a) a
例题 求下列各数的立方根
（1）64
8 （2） 125
（3）9
小结一:
(1)立方运算与开立方运算互为逆运算,故熟记一些 常用的立方数对开立方运算是十分有益的; (2)
3
a中
当a为某个有理数的立方时,a的开立方结果不带三 次根号; 当a不是某个有理数的立方时, a的开立方结果带三 次根号; (3)学习了立方根的表示方法后,解题中用符号表示 比用语言叙述简便得多.
例二: 求下列各式的值
“平方根”与“立方根”的比 较
知识延伸：
１． ２．
3
+2,-2 的平方根是＿＿＿. 64
64
2 的立方根是＿＿＿＿＿.
３．平方根等于它本身的数的个数为ａ， 立方根等于它本身的数的个数为ｂ，算 术平方根等于它本身的数的个数为ｃ， 则ａ＋ｂ＋ｃ的立方根是＿＿． 3 6
这节课的收获是……பைடு நூலகம்
问题与思考:
某种植物细胞可近似看作是 棱长是1 的正方体，它的体积增大一倍时，这个正 方体的棱长多少？ 棱长为1时，正方体的体积是多少？
设棱长为x,根据题意，得 X3 =2
X 为多少呢?
2.4 立 方 根
定义 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a, 那么这个数x就叫做a的立方根. (也叫做三次方根) . 比如: 23 =8， 所以2叫做8的立方根;
(-２)3＝-８，所以-２叫做-8的立方根; ０3＝０， 表示方法
立方根和开立方知识讲解
立方根和开立方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根【要点梳理】 要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 .这就是说，如果3x a ，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数.开立方 和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， o 的立方根是0. 要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非 零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数 .要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题 .要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如，30.000 216 = 0.06 , 3 0. 216=0.6 , 3 216=6 , 3 216000 =60.要点五、n 次方根如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为 a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为 a 的偶次方根.求一个数a 的n 次方根的运算叫做开 n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个， 它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为 n0 0.【典型例题】 类型一、立方根的概念【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；ca3a.A. 64的立方根是土 4 C.立方根等于本身的数只有0和111B . 是的立方根26D. 3_27327【答案】D;【解析】64的立方根是丄是 1的立方根；立方根等于本身的数只有2 80 和土 1.举一反三:【变式】(2015春？滑县期末)我们知道 a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方 根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这 两个数也互为相反数.(1) 试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2) 若肝苍■与互为相反数，求1 -.・：的值.【答案】解：(1) ••• 2+ (- 2) =0, 而且 23=8, (- 2) 3= - 8,有 8 - 8=0 , •••结论成立； •••即 若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. (2)由(1)验证的结果知，1 - 2x+3x - 5=0 , • x=4 ,• 1 - . .=1 - 2= - 1. 类型二、立方根的计算2、求下列各式的值:(2)311 43 52(4)3_27 . ( 3)2 厂-.(_1)100【答案与解析】(4) 3_27 ,( 3)2 3~【总结升华】 立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方 举一反三： 【变式】计算：(1)30.008 ； (2) J 161；V 64(3)誇1—.(4)F1F —524【答案】(1)一 0.2 ; (2)；( 3)； (4)-43类型三、利用立方根解方程”是成立的.21027(2) 3 11 43 52(3)38解：(1)3、(2015春？罗平县期末)求下列各式中x的值：(1)3(X—1) 3=24.(2)(x+1 ) 3= —64.【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可.【答案与解析】解：(1) 3 ( x—1) 3=24 ,(x- 1) 3=8,x —1=2,x=3 .(2)开立方得：x+1= —4,解得：x= - 5.【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便.举一反三：【变式】求出下列各式中的a :(1)若a' = 0.343，则a = _____ ； (2)若a‘ 一3= 213,则a = _____；3 3(3)右a + 125= 0,贝V a = ______ ； (4)若a 1 = 8,贝V a = _____.【答案】(1) a = 0.7 ； (2) a = 6； (3) a =一5； (4) a = 3.类型四、立方根实际应用CP4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱3体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm，小明又将铁块从水中提16起，量得烧杯中的水位下降了cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是9多少16【思路点拨】铁块排出的64 cm3水的体积，是铁块的体积，也是高为cm烧杯的体积9【答案与解析】解：铁块排出的64 cm3的水的体积，是铁块的体积.设铁块的棱长为y cm，可列方程y364,解得y 4n 16设烧杯内部的底面半径为x cm，可列方程x264,解得x 6.9答：烧杯内部的底面半径为6 cm，铁块的棱长4 cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系(方程) ，解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和：厂的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为_____________ 琢。
12.3立方根和开立法(解析版)
12.3立方根和开立方1．理解立方根概念．2．掌握立方根的特征，会用立方根的特征和性质反推字母符号或值．一、立方根如果一个数x 的立方等于a ，即 x 3=a，那么这个数x 叫做a “3”叫做根指数，不能省略，读作“三次根号a”例子：(−2)3=−8,−2是-8−2；（13）3=127，13是127的立方根，即13求一个数的立方根的运算，叫做开立方．易见，开立方与立方也互为逆运算，即3=a =注意：① 任何一个数都有立方根、且只有一个，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0；② 平方根等于本身的只有0，算术平方根等于本身的有0和1，立方根等于本身的有0和 ±1。
．请填写上表并思考，如果两个数互为相反数、那么它们的立方根也互为相反数 ，即=题型一立方根的定义及应用【例题1-1】下列说法错误的是( )A中的a可以是正数、负数、零B．数a的立方根只有一个C2±D5的立方根【答案】C【分析】根据立方根的定义来进行判定求解．【详解】解：A中的a可以是正数、负数、零，故原选项正确，不符合题意；B．数a的立方根只有一个，故原选项正确，不符合题意；C8=2，故原选项错误，符合题意；D5的立方根，故原选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了立方根的定义，理解立方根的定义是解答关键．【例题1-2】在实数范围内，下列等式中一定成立的是（ ）．A a =B ．01a =C a =D a =(n 是大于1的整数)．【答案】C【分析】根据平方根和立方根的定义即可判断得到正确答案．a =±；故A 不符合题意．当a=0时，没有意义；故B 不符合题意．a =；故C 符合题意．当n=2a =±；故D 不符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查对平方根和立方根的定义的理解，掌握平方根和立方根的定义并灵活应用是解题的关键．【例题1-3】如果一个数的立方根是其本身，则这个数是_______．（写一个即可）【答案】1-、1、0（写出一个即可给分）【分析】根据1-、1、0的立方和立方根都是其本身即可解答；【详解】解：如果一个数的立方根是其本身，则这个数可以是1-、1、0，故答案为：1-、1、0（写出一个即可给分）【点睛】本题考查了立方根，熟记1-、1、0的立方和立方根都是其本身是解题关键．【例题1-4】方程()3164x -=的解是 _____．【答案】5【分析】根据立方根的意义可得x ﹣14．解之即可．【详解】解：∵()3164x -=，∴x ﹣1＝4．解得x ＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了立方根的意义，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，【变式1-1 3.9522==________39.522=，则x = ________；如果2.872 1.3333==________1333.3=-，则x =________．【答案】 395.22 1562 0.2872 2370000000-【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．3.9522=395.22=，39.522=，则1562x =；2.872 1.3333=0.2872=；1333.3=-，则2370000000x =-；故答案为：①395.22，②1562；③0.2872，④2370000000-．【点睛】此题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．【变式1-2】方程31250x +=的根是______．【答案】5-【分析】先将常数项移到等号右边，根据立方根定义解方程即可．【详解】解：移项得3125x =-，开立方得，5x =-，故答案为：5-．【点睛】此题考查了立方根的定义，正确理解立方根定义是解题的关键．【变式1-3】若x 的立方根等于x ，则x =______.【答案】0或±1【分析】根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0分析解答节课【详解】∵0的立方根是0,1的立方根是1，-1的立方根是-1∴立方根等于它本身的数是0或者±1【点睛】本题的关键是掌握立方根的性质【同步测试1-1】一个正数的算术平方根为2m +，它的平方根为()32m ±+，求这个正数的立方根．1．【分析】分情况讨论：①当232m m +=+时，②当()232m m +=-+时，求出m 的值，即可求出这个正数及其立方根．【详解】解：根据题意，得2m +是32m +与()32m -+两数中的一个．①当232m m +=+时，解得0m =，则22m +=，所以这个正数为4；②当()232m m +=-+，解得1m =-，则21+=m ，所以这个正数为1，它的立方根为1．1．【点睛】本题考查算术平方根，平方根，立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根，平方根，立方根．【同步测试1-2】当x 取何值时，下列各式有意义：（1； （2 （3；（4 （5） （6【答案】（1）0x ¹（2）x 为任意实数（3）2x ³（4）0x £（5）4x £（6）见解析【分析】根据开偶次方时，被开方数大于或等于0，开奇次方时，被开方数为任意实数即可逐项求解．【详解】解:（1有意义,∴0x ¹；（2∴x 为任意实数；（3,∴240x -≥，解得2x ³；（4∴()30x -³ ，∴0x -³，解得0x £；（5）∵∴40x -³，解得4x £；（6n 为奇数时，a 取一切实数；n 为偶数时，0a ³．【同步测试1-3】已知21a -的平方根是3±，324a b ++的立方根是3，求a b +的平方根．【答案】a b +的平方根是3±【分析】根据21a -的平方根是3±，能求出a 的值；根据324a b ++的立方根是3，能求出b 的值，将a ，b 的值代入到a b +来，进而求出a b +的平方根．【详解】∵21a -的平方根是3±，∴()22139a -=±=，∴5a =，∵324a b ++的立方根是3，∴3324327a b ++==，∴352427b ´++=，∴4b =，∴3==±．故a b +的平方根是3±．【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键．【同步测试1-4】解方程：31110645125x æö-+=ç÷èø．【答案】35x =-【分析】先把15x -看成一个整体，求出它的值，然后再求原方程的值【详解】原方程变形为3164()5125x -=-解得413555x \=+=-\原方程的解为：35x =-【点睛】本题考查了立方根，将15x -看成一个整体是解题的关键．【同步测试1-5】填写下表，并回答问题：（1）数a（20.1738 1.738=，求a 的值．【答案】填表见解析；（1）见解析；（2）5.25【分析】（1）根据被开方数a 右或向左移动一位解答；（2）根据（1）总结的规律解答．【详解】（1）由题可知，被开方数a 或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到 5.25a =．【点睛】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．【同步测试1-6】【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：10=100=，1000593191000000<<，∴10100<<．∴能确定59319的立方根是个两位数．第二步：∵59319的个位数是9，39729=∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题（1）求110592的立方根，写出步骤．（2=__________．【答案】（1）48；（2）28【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．【详解】解：（1）第一步：Q 10=100=，11059210100000000<<，10100\，\能确定110592的立方根是个两位数．第二步：110592Q 的个位数是2，38512=，\能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，<45<，可得4050<<，由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：Q 10=100=，1000219521000000<<，10100\<，\能确定21952的立方根是个两位数．第二步：21952Q 的个位数是2，38512=，\能确定21952的立方根的个位数是8．第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，23<<，可得2030，由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．28=，故答案为：28．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．题型二 算术平方根和立方根综合应用【例题2-1】底面积为2108cm ，高为19cm 的圆柱形容器内有若干水，水位高度为1h ，现将一个边长为6cm 的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm 的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为2h ，若2162cm 27h h -=，则=a ___________cm ．【答案】4【分析】根据21h h -是两个立方体放入水中后水位上升的高度，利用水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积，列式进行计算即可．【详解】解：由题意得：33211662*********a h h -=+=，解得：4a =；故答案为：4．【点睛】本题考查立方根的应用．解题的关键是明确水位上升的高度等于水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积．【例题2-2AB ，则A ＋B ＝________．【答案】===A+B=【例题2-3】利用计算器解方程312054x +=，所得的近似根是________．（保留三个有效数字）【答案】0.210-【分析】先求出x =【详解】解：312054x +=，31254x =-，31081x =-，0.210x =»-．故答案为：0.210-．【点睛】此题考查了利用计算器求立方根，解题的关键是根据题意求出x =【变式2-1（保留三个有效数字）．【答案】1.78的值后，再根据有效数字的定义解答即可．【详解】解：原式 3.464 1.681 1.78»-»，故答案为：1.78．【点睛】本题主要考查的是计算器-数的开方、近似数字和有效数字，利用计算器求得算式的值是解题的关键．【变式2-2】求下列各式中的x(1)281x =；(2)3810x +=．【答案】(1)±9(2)12-【分析】（1）直接根据平方根的定义求解；（2）变形得到318x =-，然后根据立方根的定义求解．【详解】（1）解：x =9x =±；（2）解：318x =-，12x =-．【点睛】本题考查了立方根、平方根，解题的关键是掌握如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 【变式2-3】李叔叔将8个正方体魔方，放入到一个容积为3512cm 的正方体纸箱中，恰好填满．求这个魔方的棱长．【答案】4cm【分析】先算出1个魔方的体积，然后根据体积公式算出魔方的棱长即可．【详解】解：1个魔方的体积为：3512cm 8．()4cm =．答：这个魔方的棱长为4cm ．【点睛】本题主要考查了立方根的实际应用，解题的关键是熟练掌握正方体的体积公式，准确进行计算．【变式2-4】已知21a -的平方根是3±，2a b -的立方根是2，求2a b +的平方根【答案】3±【分析】根据已知得出219a -=，28a b -=，求出5a =，2b =，求出2+a b 的值，最后求出2+a b的平方根即可．【详解】解：21a -Q 的平方根是3±，2a b -的立方根是2，219a \-=，28a b -=，5a \=，2b =，2549a b \+=+=，即2+a b 的平方根是3± ．【点睛】本题考查了平方根，立方根的应用，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．【同步测试2-1】观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873» 1.225»»_____»______．（31=10=100=，……小数点的变化规律是_______________________．（4 2.154»0.2154»-，则y =______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】解：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873» 1.225»12.25»0.3873»；故答案为：12.25；0.3873；（31=10=100=，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4 2.154»0.2154»-，0.2154»，0.2154»-，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．【同步测试2-2】已知a=b=，求3a b+的平方根．【答案】3±【分析】根据平方根和立方根的性质求出a，b的值，进而再求3a b+的平方根即可.【详解】∵a=，b=∴a5=，6b=-．∴3==±.【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．【同步测试2-3】阅读下列解题过程，并按要求填空：1＝﹣1，求3x yx y+-的值．1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步由①、②，得2121x yx y-=ìí-=î，解得11xy=ìí=î…第三步把x、y的值分别代入分式3x yx y+-中，得3x yx y+-＝0 …第四步以上解题过程中有两处错误，一处是第 步，忽略了 ；一处是第 步，忽略了 ；正确的结论是 （直接写出答案）．【答案】一；2x﹣y＝﹣1；四；分式有意义的条件的检验；3x yx y+-＝1．【分析】熟悉平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个，且它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．【详解】解：在第一步中，由（2x﹣y）2＝1应得到2x﹣y＝±1，忽略了2x﹣y＝﹣1；在第四步中，当11xy=ìí=î时，分式3x yx y+-无意义，忽略了分式有意义的条件的检验，当2121x yx y-=-ìí-=-î时，解得1313xyì=-ïïíï=ïî，代入分式3x yx y+-，得3x yx y+-＝1，所以正确的结论是3x yx y+-＝1．故答案为：一；2x﹣y＝﹣1；四；分式有意义的条件的检验；3x yx y+-＝1．【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的性质，同时还要注意求分式的值时，首先要保证分式有意义．课后限时训练（15min）一、单选题1．27-的立方根为( )A．3±B．9±C．3-D．9-【答案】C【分析】根据立方根的定义（如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根）解决此题．3=-．故选：C．【点睛】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．2＝0.7161.542＝6.058,( )A．716B．154.2C．605.8D．71.6【答案】B【分析】根据被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位来计算即可．=210==154.2故选：B ．【点睛】本题考查立方根的规律，掌握“被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位”是解题的关键．3．下列说法错误的是（ ）A 中的a 可以是正数、负数、零B a 不可能是负数C ．数a 的平方根一定有两个，它们互为相反数D ．数a 的立方根只有一个【答案】C【分析】按照平方根和立方根的性质判断即可．【详解】A. a 可以是正数、负数、零，正确，不符合题意；B. a 不可能是负数，正确，不符合题意；C. 0的平方根只有0，故原说法错误，符合题意；D. 数a 的立方根只有一个，正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，解题关键是掌握平方根和立方根的性质．4．李老师想制作一个体积为3900cm 的正方体教具，它的棱长大约是（结果精确到1cm ）（ ）A ．30cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm【答案】D【分析】首先对棱长的值进行一个估计，然后选取一个最接近的答案．【详解】解：∵93<900<103，93=729，103=1000，∴|93-900|>|103-900|，∴910<<，9-10»（cm ），故选D ．【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及近似数的求解是解题关键．5的立方根是 （ ）A ．2B ．2C ．8D ．-8【答案】A=8，然后根据立方根的意义，求得其立方根为2.故选A.二、填空题6．若实数a 的立方等于27，则=a ________．【答案】3【分析】根据立方根的定义即可得．【详解】解：由题意得：3a ==，故答案为：3．【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．7 1.038= 2.237= 4.820==______．【答案】10.38【分析】根据立方根的性质即可求解．1.038=，=10.38．故答案为：10.38．【点睛】此题主要考查了立方根，解题的关键是掌握小数点的移动的规律．8．已知x 没有平方根，且||27x =，则x 的立方根为________．【答案】3-【分析】根据题意，27去掉绝对值的值为±27，在根据题意x 没有平方根直接算出立方根即可．【详解】解：∵27去掉绝对值的值为±27，∴x=±27，又∵x 没有平方根∴x=27，∴x 的立方根为-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了绝对值的性质、平方根的性质和立方根的计算，解决此题的关键是不漏题9______．【答案】1214=，题目就转化为求14的算术平方根，根据算术平方根的定义可得答案．14=，21124=（）的算术平方根，即14的算术平方根是12，故答案为12【点睛】本题考查立方根和算术平方根的计算，审清题意是解题的关键．10﹣2x ﹣1＝0，则x ＝_____．【答案】0或﹣1或﹣12＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.﹣2x ﹣1＝0，＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣12．故答案为：0或﹣1或﹣12．【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.三、解答题11【答案】294【详解】解：原式(2)=--5424=++294=．【点睛】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握运算法则是解题关键．12．一个长方体的长、宽、高分别是5cm,3cm,2cm ，把它锻造成一个正方体，求这个正方体的棱长．．【分析】先求出长方体的体积，即可得到正方体的体积，再由正方体的边长是其面积的立方根求解即可．【详解】解：长方体的体积353230cm =´´=，∴锻造成的正方体的体积是330cm ，．【点睛】本题主要考查了立方根，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根的方法．13．已知21a +和7a -是某数的两个平方根，673a b ++的立方根是3-．(1)求a ，b 的值；(2)求538a b -+的算术平方根．【答案】(1)a ＝2，b ＝－6(2)5a −3b+8的算术平方根为6【分析】（1）根据某数的两个平方根互为相反数即可确定a 的值，然后代入12 + 7b + 3＝－27求解即可；（2）先求出代数式的值，然后求算术平方根即可．【详解】（1）解：根据题意可得：2170a a ++（）（－）＝，解得a ＝2．3=-，把a ＝2代入得12 + 7b + 3＝－27∴b ＝－6．（2）当a ＝2，b ＝－6时，∴5a －3b+8＝5×2－3×（－6）+8＝36，6=．【点睛】题目主要考查平方根及立方根的性质，算术平方根的计算方法，熟练掌握平方根及立方根的计算方法是解题关键．14．对于结论：当0a b +=时．330a b +=也成立．若将a 看成3a 的立方根，b 看成3b 的立方根．由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”(1)举一个具体的例子进行验证；(2)3x -的平方根是它本身，求x y +的立方根．【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）举例338,8a b ==-，根据立方根的性质进行验证即可得；（2）先根据题中给的结论可得7y -与25y -互为相反数，由此建立方程可得y 的值，再根据平方根的性质可得30x -=，由此可得x 的值，然后根据立方根的性质即可得．【详解】（1）解：举例：338,8a b ==-，2(2)0=+-=，此吋()880+-=，即8与8-互为相反数，所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立．（2∴7y -与25y -互为相反数，∴7250y y -+-=，解得=2y -，∵3x -的平方根是它本身，∴30x -=，解得3x =，∴321x y +=-=，∴x y +的立方根是1．【点睛】本题考查了平方根与立方根、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键．15．【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：10=100=，1000593191000000<<，∴10100<<．∴能确定59319的立方根是个两位数．第二步：∵59319的个位数是9，39729=∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题（1）求110592的立方根，写出步骤．（2=__________．【答案】（1）48；（2）28【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．【详解】解：（1）第一步：Q 10=100=，11059210100000000<<，10100\，\能确定110592的立方根是个两位数．第二步：110592Q 的个位数是2，38512=，\能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，<<，<，可得4050<45由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：Q10<<，=100=，1000219521000000\<，10100\能确定21952的立方根是个两位数．第二步：21952=，Q的个位数是2，38512\能确定21952的立方根的个位数是8．第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，<<，可得2030，23由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．=，28故答案为：28．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．。
立方根课件(4份)(3)数学课件PPT
被开方数扩大（缩小）1000倍时，它 的立方根扩大（缩小）10倍.
4.考一考：已球 3
体积的比为1 ：8，则甲、乙两球的半径比
为 1 ：2 .
r
R
甲
乙
27.生活是公平的，哪怕吃了很多苦，只要你坚持下去，一定会有收获，即使最后失败了，你也获得了别人不具备的经历。 41.胜利者往往是从坚持最后五分钟的时间中得来成功。——牛顿 30.我以神的姿态，闪耀在这美的瞬间。 45.一个人最大的破产是绝望，最大的资产是希望。 54.你得先感动自己，才能感动别人。 82.忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，终能收获别人收获不到的收获。 83.并非神仙才能烧陶器，有志的人总可以学得精手艺。 80.人生的胜者决不会在挫折面前失去勇气。 89.世界上最遥远的距离不是生和死的距离，而是我刚联机的那一秒，你却脱机了。 52.人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的潜力，只要立志发挥它，就一定能渡过难关。 61.在一个崇高的目的支持下，不停地工作，即使慢、也一定会获得成功。 20.外在压力增加时，就应增强内在的动力。 34.请你用慈悲心和温和的态度，把你的不满与委屈说出来，别人就容易接受。 81.付出才会杰出。 9.只有不断找寻机会的人才会及时把握机会。 12.果断的放弃是面对人生面对生活的一种清醒的选择。 51.眼泪的存在，是为了证明悲伤不是一场幻觉。 2.真正的快乐来源于宽容和帮助。
立方根
学习目标
1、掌握公式 3 a 3 a
2、理解被开立方数扩大（或缩小）与它 的立方根扩大（或缩小）的规律.
探究
因为 3 8 = -2 ， 3 8 = -2 所以 3 8 = 3 8
因为 3 2 7 =
小学教育ppt课件教案掌握代数式的根号运算平方根和立方根的计算
运算顺序
根据运算的优先级，先进行括号 内的运算，再进行乘除运算，最 后进行加减运算。例如， √(a+b)^2≠a+b，而是等于 |a+b|。
符号问题
在进行根号运算时，需要注意符 号的处理。例如，√a^2=|a|，而 不是a；√(ab)=√a×√b（ a≥0,b≥0）。
05
CATALOGUE
典型例题分析与解答
课程目标与要求
知识与技能目标
情感态度与价值观目标
通过本课程的学习，学生应掌握代数 式根号运算的基本概念和性质，能够 熟练进行平方根和立方根的计算。
通过本课程的学习，激发学生对数学 的兴趣和热爱，培养学生的数学素养 和严谨的科学态度。
过程与方法目标
通过讲解、示范、练习等多种教学方 法，引导学生积极参与课堂活动，培 养学生的数学思维和解决问题的能力 。
动。
课程拓展与延伸学习资源
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
相关数学书籍
推荐学生阅读《数学分析》、《高等代数》等相 关数学书籍，加深对代数式根号运算、平方根和 立方根计算的理解。
在线学习资源
推荐学生使用中国大学MOOC、网易公开课等在 线学习平台，学习相关数学课程，拓展知识面。
3
数学竞赛与活动
鼓励学生参加数学竞赛和数学活动，如全国大学 生数学竞赛、数学建模竞赛等，提高学生的数学 应用能力和创新能力。
THANKS
感谢观看
例题1
化简$sqrt{8}$。
解析
例题2
首先，将8进行质因数分解， 得到$8=2times2times2$。然 后，将其写成平方数的形式， 即 $sqrt{8}=sqrt{4times2}=2sq rt{2}$。
化简$sqrt[3]{27a^3}$。
《立方根》课件ppt
重点难点分析
内容结构分析
介绍立方根的背景和意义，激发学生学习的兴趣和动力。
引言
概念及运算
应用
拓展
从具体实例中抽象出立方根的概念，并对其运算性质进行总结和归纳。
通过具体实例，讲解立方根在实际生活中的应用，帮助学生了解立方根的应用价值。
介绍立方根在数学文化中的地位和作用，加深学生对立方根的认识和理解。
相关链接资D%93%E5%BA%A6%E7%B1%BD%93%E8%BF%90%E7%AE%971Biblioteka 参考资料23
《数学之书》：pdf版本，立方根部分第24页起。
对数学有兴趣的学生，特别是需要提高数学思维能力的学生。
对象要求
学生需要已经掌握数学基础知识，如代数、方程等。
学生在学习立方根之前，应具备基础的运算能力和数学思维能力。
先修课程要求
02
教学内容分析
掌握立方根的概念和运算性质；能够正确求解一个数的立方根；了解立方根与平方根的区别和联系。
重点
正确理解立方根的概念；在具体情境中灵活运用立方根解决实际问题；拓展学生对立方根的认知范围，加深对立方根的深刻理解。
探究式教学法
通过小组讨论和合作完成任务，培养学生的团队合作精神和交流能力。
合作学习法
03
问题式教学
通过问题引导和启发，激发学生的学习兴趣和思维能力，促进知识意义的自主建构。
教学手段
01
多媒体辅助
利用课件、动画、视频等多种多媒体手段，增强学生的感知和认识，提高教学效率和效果。
02
实验操作法
通过实验操作和实践活动，让学生亲手操作和感知，加深对知识的理解和掌握。
学生能力培养
通过多种教学方法和手段，培养学生的分析、综合、比较、抽象等思维能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1个数的立方根是它本身，这 个数是_±__1_,__0_____.
12
巩固练习：
3．如果 3 x3 y 0那么x和y的关系是 （ C ）.
A． x y B． x y 0 C． x y 0 D． xy 1
小杰家中有一个储物柜，是 一 个 容 积 为 27 立 方 分 米 的 正 方 体.它的棱长是多少分米？
解：设棱长为X分米： 某个数
x3 27
x3
因为：33 27
答：它的棱长是3分米？
所以：x 3
7
例题解析：
例题1、求下列各数的立方根：
(1)1000
(2) 8 27
(3)-0.001
(4)0
13
巩固练习：
4．如果a<0，那么a的立方根是（ D ）. A． 3 a B． 3 a C． 3 a D． 3 a
14
能力拓展
• 64的立方根是____2___ • 3 64的平方根是____2___
15
能力拓展
• 64的立方根是____2___ • 3 64的平方根是____2___答：
0.01
144
169
0.1
12
13
62 6
( 4)2 9
4 9 a2 a
( 81)2
81
( a )2 a(a 0)
5
复习：
(3)下列计算正确的是（ D ）
(A) 0.4=0.2
(B) 16= 4
(C) 196 14 (D) 196 14
6
问题引入：
某个数的立方
23 =8
33 =27
43 =64
53 =125
63 =216
73 =343 83 =512
93 =729
2
12.3 立方根和开立方
3
复习：
(1)下列说法正确的是（ C ）
(A)只有正数有平方根； (B)一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数； (C)2是4的一个平方根，4的平方根是±2； (D)正数的正的平方根一定比它本身小
8
课内练习
1、求下列各数的立方根
1
8
-27
64
125 216 343 512
729
9
立方根和开立方的主要性质：
10
巩固练习：
1．以下说法中正确的有（ C ）.
A．16的平方根是±4； B．64的立方根是±4； C．-27的立方根是-3； D．81的平方根是9.
11
巩固练习：
2．以下说法中正确的有（ D ）.
趣味小知识
• 你知道1~~~~19之间每个整数的平方分别是 多少吗？
112 =121 122 =144 132 =169 142 =196 152 =225 162 =256 172 =289 182 =324 192 =361
1
趣味小知识
• 你知道1~~~~9之间每个整数的立方分别是多 少吗？
13 =1
1、什么是立方根？ 2、什么是开立方运算？ 3、立方根的性质？
17
计算并总结规律
1.3 83 3 512 8
2.3 ( 1 )3 3 1 1
2
82
3 a3 a
3.3 0.13 3 0.001 0.1
18