专题：流体力学微分方程的数学性质

∂ρ ∂x ∂u u ∂x ∂v u ∂x ∂p u ∂x u
a2 = γ
∂u ∂v ∂ρ + ρ( + ) = 0 ∂y ∂x ∂y 1 ∂p ∂u = − + v ρ ∂x ∂y 1 ∂p ∂v = − + v ρ ∂y ∂y ∂ρ ∂ρ ∂p ) = 0 + v − a 2 (u + v ∂y ∂x ∂y p + v
专题：流体力学微分方程的数学性质 当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时，不同类型的微分方程，其数 值处理方法各异，其中包括提法的适定性、物理解的性质、差分格式的适用性 等； 在一些特殊的问题中，甚至通过差分格式的特殊技巧来改变方程的数学性质 （一） 一阶拟线性微分方程组的分类 对于一阶拟线性微分方程组的向量形式：
⎛ρ⎞ ⎜ ⎟ ⎜u⎟ U=⎜ ⎟ v ⎜ ⎟ ⎜ p⎟ ⎝ ⎠ ⎧v ⎪u ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ −1 C=A B=⎨ ⎪0 ⎪ ⎪ ⎪0 ⎪ ⎩
−
ρv
2 2
ρu
u −a a2 − 2 u − a2 v u γρu u2 − a2
2
u −a uv 2 u − a2 0
−
ρva 2
u2 − a2
v ⎫ 2 u (u − a ) ⎪ ⎪ v ⎪ − 2 2 ⎪ ρ (u − a ) ⎪ ⎬ 1 ⎪ ⎪ ρu ⎪ uv ⎪ u2 − a2 ⎪ ⎭
1 ）u 2 + v 2 − a 2 > 0 2）u 2 + v 2 − a 2 < 0
2。二维非定常理想流体流动的 Euler 方程
∂U ∂U ∂U +A +B =0 ∂t ∂x ∂y ∂U ∂U ∂U +C +D =0 ∂x ∂y ∂t D = A −1 C = A −1 B
求 C 的特征值，结论与定常相同：得到在 X-Y 平面的方程性质； 求 D 的特征值，得：
∂U ∂U +A =F ∂t ∂xi
⎧ u1 ⎫ ⎪u ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪. ⎪ 其中 U = ⎨ ⎬ A 为 n 阶矩阵 ⎪. ⎪ ⎪. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩u n ⎪
若： A 的特征值为 λi (i = 1,2,...n),即 A − λI = 0的根 ,则： ⑴．当 n 个特征值全部为复数时，称方程在 (t , xi)平面上为纯椭圆型； ⑵．当 n 个特征值全部为互不相等的实数时，称方程在(t , xi)平面上为纯双 曲型；而当 n 个特征值全部为实数，但有部分为相等的实数时，称方程在(t , xi)平面上为双 曲型； ⑶．当 n 个特征值全部为零时，称方程在 (t , xi)平面上为纯抛物型； ⑷．当 n 个特征值部分为复数、部分为实数时，称方程在(t , xi)平面上为双 曲椭圆型； 二阶拟线性方程组，可以通过降阶法进行类似的分析。(实例见后) （二） 流体力学控制方程数学分类的举例： 1． 二维定常理想流体 流动的 Euler 方程
− −
µ ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂p + + ( ) = uf + vg ρ ∂x ρ ∂x 2 ∂y 2
µ ∂ 2v ∂ 2v 1 ∂p + + ( ) = uh − vf ρ ∂y ρ ∂x 2 ∂y 2 ∂g ∂f = 0 − ∂x ∂y ∂h ∂f = 0 + ∂y ∂x ∂u = f ∂x ∂v = h ∂x
ρ
写成向量形式： A
பைடு நூலகம்
∂U ∂U +B =0 ∂x ∂y
⎧u ρ ⎪0 u ⎪ A=⎨ ⎪0 0 ⎪ ⎩0 γp 0 0 u 0
2
∂U ∂U +C =0 ∂x ∂y
0 ⎫ 1 ⎪ ρ⎪ ⎬ 0 ⎪ u ⎪ ⎭ ⎧v ρ 0 ⎪0 v 0 ⎪ B=⎨ ⎪0 0 v ⎪ ⎩0 0 γp 0 ⎫ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎬ ρ⎪ v ⎪ ⎭
∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y u ∂u ∂u ∂ 2u µ ∂ 2u 1 ∂p + v = − + + ( ) ∂x ∂y ρ ∂x ρ ∂x 2 ∂y 2
∂v ∂v ∂ 2v µ ∂ 2v 1 ∂p + v = − + + u ( ) ∂x ∂y ρ ∂y ρ ∂x 2 ∂y 2
∂u ∂v =− ∂x ∂y ∂u 降阶法：令： g = ∂y ∂v h= ∂x f =
1 1 1 ( − λ)2 ( − λ )( − λ) = 0 u u+a u−a 1 1 1 λ1, 2 = , λ3 = λ4 = u u+a u−a
为四个实根，即方程在 Y-t 平面为双曲型；所以 Euler 方程可以在时间座
标方向推进，而在定常问题中能否推进计算，必须根据流动是否为超音速 （M 与 1 的关系）来定。 3．定常不可压缩 Navier –Stokes 方程的数学分类
把流动方向的二阶偏导数略去， （注意与边界层方程不同的是一阶偏导数都将保留！ ） 结论是定常 N-S 方程此时变为抛物型方程。 引用自：计算流体力学讲义（清华）， 进一步可以参考：张涵信 沈孟育《计算流体力学》；王承尧等《计算流体力学及其并行算法》
以下的分析与一阶拟线性方程组的讨论相似，结论为定常 N-S 方程为椭圆 型。 4．非定常不可压缩 Navier –Stokes 方程 5．定常可压缩 Navier –Stokes 方程 6．非定常可压缩 Navier –Stokes 方程类 7．抛物化 N –S 方程
∂2 ∂2 利用边界层流动的概念，设 X 方向为主流方向，即考虑有： 2 << ∂x ∂y 2
2
求矩阵 C 的特征值得：
v ( − λ ) 2 [uv − λ (u 2 − a 2 )]2 − a 2 (u 2 + v 2 ) + a 4 = 0 u v λ1, 2 = u
{
}
λ3, 4 =
如果：
uv ± a u 2 + v 2 − a 2 u2 − a2
⇔ M > 1 四个实根，双曲型 ⇔ M < 1 两个实根，两个复根， 双曲－椭圆型