方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式

方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式

1.根式运算法则：

(1) ， ，

；

(2) ，

，

(m

a =≥0)

a =≥0,P ≠0)

(5) ,

0),,a m n N =≥∈其中

2.指数运算法则：

， ， ，

，

，

，

（7）1

(0)m

m a a

a

-=≠， （8）1

n a = （9）m

n a =（10） d b

d

b

a c a c =⇔=

3.对数运算法则：

i 性质：若a ＞0且a≠1，则

，

， （3）零与负数没有对数，

（4）log log 1a b b a ⨯= ⑥,

（7）log log log 1a b c b c a ⨯⨯=

ii 运算法则： 若a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，b ＞0且b≠1，n ∈R 则

， ，

， log log (,01)m n a a n

b b a b m

=>≠且 （4）

, log log n n

a

a m m =， 1log log n

a a m m n

=

（5）换底公式 ， a>0 a ≠1, b>0 b ≠1, N>0,

（6）倒数公式 1

log ,0,1log a b b a a a

=

>≠, b>0 b ≠1 (7) 十进制对数 10log lg N N = ， l g 10x

N x N =⇔=

（8）自然对数 log e N InN = ， x InN x e N =⇔= ， 1lim(1) 2.71828...n n e n

→∞

=+≈

4.指数与对数式的恒等变形：

；

。

5、指数方程和对数方程解题：

()(1)()log ,log ()()(f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=定义法）

()()(2)()(),log ()log ()()()0(f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>转化法） ()()(3)b ()log ()log ,f x g x m m a f x a g x b =⇔=（取对数法）

()(4)log log ()log ()log ()/log ,f x a b a a a g x f x g x b =⇔=（换底法）

6、理解对数

①两种log a b 理解方法

1、表示a 的“指数”，这个指数能让a 变成b 。

2、表示a 的多少次方等于b 。

② log log (...)n

a a m M M M =⨯⨯⨯

n 个

log log ...log a a a M M M =+++ n 个 log a n M =

③ log log n

a a M n M

()n

aaaaaaaaaa

多少个a 相乘等于M ？

= aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa … aaaaaaaaaa

log a M 个a 相乘 log a M 个a 相乘 log a M 个a 相乘

n 组

=aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa … aaaaaaaaaa

log a M 个a 相乘 log a M 个a 相乘 log a M 个a 相乘

(log )a n M 个

④

我们知道log b N 表示的是N 是b 的多少次方，也就是表示N 是多少个b 相乘得到，如果知道N ，b 是多少个a 相乘得到的，就可以算出N 是多少个b 相乘得到了。 如下：

∵ N = aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

log a N 个a 相乘

b = aaaaaaaaaaa

log a b 个a 相乘

∴ N = aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa (原式照搬)

log a N 个a 相乘

= bbb

log b N 个b 相乘

= aaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaa （把b 换成了aaaaaaaaaaa ）

log a b 个a 相乘log a b 个a 相乘log a b 个a 相乘 log a b 个a 相乘

log b N 个b 相乘 这里的log b N ，可以轻易看出来等于

log log a a N

b

。