三角函数的最值PPT
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三角函数的最值和周期
y asin wx bcoswx
化为 a2 b2 sin(wx )
最值与周期
例4 求函数 f (x) sin x cos x的 最3值sin与2 x周期.
分析
f (x) sin x cos x 3 sin2 x
1 (2sin x cosx) 2
- 3 (1 2sin2 x) 3
2
2
1 sin 2x 3 cos 2x 3
三角函数的最值与周期
授课老师：xxx
最值与周期
例1 求函数 y 2sin的x 最1 值与周期.
最大值: 2111 最小值: 2（1）1 -3
周期： T 2
函数 y si的n x最大值 ，1当x=
最小值 ，当-x1=
周期： T 2
2k时取2到, k最大Z值； 2时k取到最, k小值Z；
2
最值与周期
最大值: 5
周期： T 2
最小值: -5
函数y asin wx b的c最os值wx和周期.
y asin wx bcoswx a2 b2 sin(wx )
总结
最值和周期三种形式
y asin x b 利用 y sin的x有界性
y Asin(wx )
将 wቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 看 成整体X,转化为
y Asin X
2
2
2
最值与周期
例4 求函数 f (x) sin x cos x的 最3值sin与2 x周期.
解
f (x) sin x cos x 3 sin2 x
1 (2sin x cos x) - 3 (1 2sin2 x) 3
2
2
2
1 sin 2x 3 cos 2x 3
2
1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
栏目 导引
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)
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12
(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
28
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(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．
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30
正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的 单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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三角函数的最值与奇偶性-课件
(2)由11－ ＋ssiinn xx>0，得(1－sin x)(1＋sin x)>0，
∴－1<sin x<1.
∴x≠kπ＋π2(k∈Z)，函数定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝lg11－ ＋ssiinn－ －xx＝lg11＋ －ssiinn
x x
＝lg11－＋ssiinn xx－1＝－lg11－ ＋ssiinn xx＝－f(x)，
[错解]
配方得
y＝－3sin
x－322＋8，
故函数的最大值是 ymax＝8.
上述解法的错误在于把题中函数与通常的二次函数
等同起来了，它们虽有相似之处但也有严格的区分，忽视了－
1≤sin x≤1 的隐含条件．
[正解] 事实上，二次函数 y＝－3t－322＋8 在 t∈[－1,1]上递 增．故原函数当 sin x＝1 时取最大值，即 ymax＝－3×1－322＋8＝ 29 4.
∴函数
f(x)＝lg11－ ＋ssiinn
x为奇函数． x
规律方法 判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于 原点对称，如果是，再验证 f(－x)是否等于－f(x)或 f(x)，进而判断 函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
【变式 1】
判断函数
f(x)＝11＋＋ssiinn
x－cos x＋cos
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
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三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
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1．sin(－315°)的值是( )
三角函数的最值PPT优秀课件
=
(2+sinx)2-1 2+sinx
=2+sinx-
1 2+sinx
.
令 2+sinx=t,
则
y=f(t)=t-
1 t
(1≤t≤3).
对于任意的 t1, t2[1, 3], 且 t1<t2 有
f(t1)-f(t2)=(t1-
1 t1
)-(t2-
1 t2
)
=(t1-t2)(
1+t1t2 t1t2
) <0.
求 m 的取
解法 2 题中不等式即为 2(1-sin)m>-1-sin2.
∵[0,
2
],
∴0≤sin≤1.
当 sin=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mR;
当 0≤sin<1 时,
m>-
1+sin2 2(1-sin)
恒成立.
令 t=1-sin, 则 t(0, 1], 且
m>-
一、高考要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象 等, 求三角函数的最大值和最小值.
2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值.
3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决.
二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方 法有:
1 2
[(t+a)2+a2-1].
∵a 为常数, ∴只需求 y=(t+a)2 的最值.
∵t[- 2 , 2 ], 且 a≥0,
三角函数求最值高三第一轮复习课件
高三数学第一轮复习
一、学习目标： 三角函数的最值问题是高考热点之一， 通过复习，应熟练掌握三角函数最值的求法。 二、重点难点: 通过三角变换结合代数变换求三角函数的 最值。
知识与基础
⑴函数f(x)=sinx+cosx在[0,
4
] 上的值域为(
)
A.[ 2,
2]
B.[1, D.[0,
2] 2]
sin x cos x,sin x cos x
同时出现的题型，用换元法解决。
t 2 -1 常通过换元令 sin x cos x t，则 sin x cos x 2
但要注意新元t的范围.
能力与技巧
【例2】 (05重庆) 若函数
的最大值为2，试确定常数a的值. [思维点拨]： 形如 y a sin x b cos x
a sin x b a cos x b ⑥y (或 )型. c sin x d c cos x d 可采用分离常数法或反 解出sin x, 化归为sin x 1解决.
k ⑦ y sin x 型. sin x 利用均值不等式或函数 f ( x) x a (a 0)的单调性求解 . x
会用到 a sin x bcox a 2 b2 sin( x )
2、可化为关于某一个三角函数的二次函数形式， 再利用配方法求最值； 3、利用均值不等式或三角函数的单调性.
能力与技巧
【例1】求函数
y (sin x 2)(cosx 2) 的最大值和
最小值.
[思维点拨]：
② 形如y a sin x b cos x型，引入辅助角 b 2 2 转化为 a b sin(x ), 其中tan ， a 再利用有界性 .
一、学习目标： 三角函数的最值问题是高考热点之一， 通过复习，应熟练掌握三角函数最值的求法。 二、重点难点: 通过三角变换结合代数变换求三角函数的 最值。
知识与基础
⑴函数f(x)=sinx+cosx在[0,
4
] 上的值域为(
)
A.[ 2,
2]
B.[1, D.[0,
2] 2]
sin x cos x,sin x cos x
同时出现的题型，用换元法解决。
t 2 -1 常通过换元令 sin x cos x t，则 sin x cos x 2
但要注意新元t的范围.
能力与技巧
【例2】 (05重庆) 若函数
的最大值为2，试确定常数a的值. [思维点拨]： 形如 y a sin x b cos x
a sin x b a cos x b ⑥y (或 )型. c sin x d c cos x d 可采用分离常数法或反 解出sin x, 化归为sin x 1解决.
k ⑦ y sin x 型. sin x 利用均值不等式或函数 f ( x) x a (a 0)的单调性求解 . x
会用到 a sin x bcox a 2 b2 sin( x )
2、可化为关于某一个三角函数的二次函数形式， 再利用配方法求最值； 3、利用均值不等式或三角函数的单调性.
能力与技巧
【例1】求函数
y (sin x 2)(cosx 2) 的最大值和
最小值.
[思维点拨]：
② 形如y a sin x b cos x型，引入辅助角 b 2 2 转化为 a b sin(x ), 其中tan ， a 再利用有界性 .
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2010届高考数学复习 强化双基系列课件
22《三角函数三角函数的最值》
一、高考要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象 等, 求三角函数的最大值和最小值. 2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值. 3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决.
(2)∵x[0, 2 ], ∴2x+ [ , 5 ]. 4 4 4
, 即 x=0 时, f(x) 取得最大值 1; ∴当 2x+ = 4 4
3 ∴当 2x+ = , 即 x = 8 时, f(x) 取得最小值 - 2 . 4
4.设 0≤x≤, 求函数 y=sin2x-8(sinx+cosx)+19 的最大值和最 小值. 解: y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.
解得: a=2, b=-5 或 a=-2, b=1.
=-2asin(2x+ 6 )+2a+b.
(1+sinx)(3+sinx) 6.求 y= 的最值及对应的 x 的集合. 2+sinx 1 sin2x+4sinx+3 (2+sinx)2-1 = 解: y= 2+sinx 2+sinx =2+sinx- 2+sinx . 1 令 2+sinx=t, 则 y=f(t)=t- t (1≤t≤3). 对于任意的 t1, t2[1, 3], 且 t1<t2 有 1+t1t2 1 1 f(t1)-f(t2)=(t1- t )-(t2- t ) =(t1-t2)( t t ) <0.Байду номын сангаас1 2 1 2 即 f(t1)-f(t2)<0 f(t1)<f(t2). ∴f(t) 在 [1, 3] 上是增函数. ∴当 t=1 时, ymin=f(t)min=0, 此时, sinx=-1, x 的集合为: {x | x=2k- 2 , kZ}; 当 t=3 时, ymax=f(t)max= 8 3 , 此时, sinx=1, x 的集合为: {x | x=2k+ 2 , kZ}.
典型例题
1.求函数 y=2sec2x+cot4x 的最值. 解: y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x
≥2+3
3
tan2xtan2xcot4x =2+3=5.
仅当 tan2x=cot4x, 即 tanx=1 时取等号.
∴当 x=k 4 (kZ) 时, y 取最小值 5;
3.已知函数 f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x. (1)求 f(x) 的最小正周 期; (2)若 x[0, 2 ], 求 f(x) 的最大值、最小值. 解: (1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x =(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x ∴f(x) 的最小正周期为 . = 2 cos(2x+ 4 ).
5.已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinxcosx+a+b(a0) 的定义域 为[0, 2 ], 值域为 [-5, 1], 求常数 a, b 的值. 解: f(x)=a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b =-a(cos2x+ 3 sin2x)+2a+b
[ , 7 ], 由已知 x[0, ], ∴ 2 x + 6 6 6 2 ∴- 1 ≤sin(2x+ )≤1. 因此由 f(x) 的值域为 [-5, 1] 可得: 2 6 a>0, a<0, 或 -2a×(- 1 )+2a+b=-5, -2a×(- 1 )+2 a + b =1, 2 2 -2a×1+2a+b=-5, -2a×1+2a+b=1.
二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方 法有: 1.涉及正、余弦函数以及 asin+bcos, 可考虑利用三角函 数的有界性.
2.形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通 过适当变换、配方求解. 3.形如 sinx+cosx, sinxcosx 在关系式中时, 可考虑换元法 处理.
<<) 或 x=csc 5.对于 x2-1 , 可设 x=sec(0≤< 或 2 2 (- ≤<0 或 0<≤ ); 2 2
6.对于 x+y+z=xyz, 由在 △ABC 中, 有 tanA+tanB+tanC=tanA tanBtanC, 可设 x=tanA, y=tanB, z=tanC(A+B+C=); 7.令 t=sinx+cosx, 则 2sinxcosx=t2-1, t[- 2, 2 ].
三、知识要点
常见的三角换元
1.若 x2+y2=1, 可设 x=cos, y=sin; 2.若 a≤x2+y2≤b, 可设 x=rcos, y=rsin, a≤r2≤b; 3.对于 1-x2 , 由于 |x|≤1, 可设 x=cos(0≤≤) 或 x=sin (- ≤≤ ); 2 2 ) 或 x=cot(0<<); 4.对于 1+x2 , 可设 x=tan(- < < 2 2
y 无最大值.
x 2.求函数 y=(1+cosx)sin 2 (0<x<) 的最值. 解: 由已知 y>0, 只需考察 y2 的最值. x x x 2 2 2 x 2 x 2 x ≤2( 2sin 2 +cos 2 +cos 2 )3 16 2 2 ∵y =4cos 2 cos sin 2 = . 2 3 27 x x x 2 (∵0<x<) 时取等号. 2 2 仅当 2sin 2 =cos 2 , 即 tan 2 = 2 16 2 2 ∴当 x=2arctan 时, y 取最大值 27 . 2 ∴当 x=2arctan 2 时, y 取最大值 4 3 ; 2 9 y 无最小值.
2-1-8t+19=(t-4)2+2. 令 t=sinx+cosx, 则 t= 2 sin(x+ ), y = t 4
∵0≤x≤, ∴ ≤x+ ≤ 5 . 4 4 4 2 ∴- 2 ≤sin(x+ ) ≤1. ∴-1≤t≤ 2 . 4
∴当 t=-1, 即 x= 时, y 取最大值 27. 当 t= 2 , 即 x= 4 时, y 取最小值 20-8 2 .
22《三角函数三角函数的最值》
一、高考要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象 等, 求三角函数的最大值和最小值. 2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值. 3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决.
(2)∵x[0, 2 ], ∴2x+ [ , 5 ]. 4 4 4
, 即 x=0 时, f(x) 取得最大值 1; ∴当 2x+ = 4 4
3 ∴当 2x+ = , 即 x = 8 时, f(x) 取得最小值 - 2 . 4
4.设 0≤x≤, 求函数 y=sin2x-8(sinx+cosx)+19 的最大值和最 小值. 解: y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.
解得: a=2, b=-5 或 a=-2, b=1.
=-2asin(2x+ 6 )+2a+b.
(1+sinx)(3+sinx) 6.求 y= 的最值及对应的 x 的集合. 2+sinx 1 sin2x+4sinx+3 (2+sinx)2-1 = 解: y= 2+sinx 2+sinx =2+sinx- 2+sinx . 1 令 2+sinx=t, 则 y=f(t)=t- t (1≤t≤3). 对于任意的 t1, t2[1, 3], 且 t1<t2 有 1+t1t2 1 1 f(t1)-f(t2)=(t1- t )-(t2- t ) =(t1-t2)( t t ) <0.Байду номын сангаас1 2 1 2 即 f(t1)-f(t2)<0 f(t1)<f(t2). ∴f(t) 在 [1, 3] 上是增函数. ∴当 t=1 时, ymin=f(t)min=0, 此时, sinx=-1, x 的集合为: {x | x=2k- 2 , kZ}; 当 t=3 时, ymax=f(t)max= 8 3 , 此时, sinx=1, x 的集合为: {x | x=2k+ 2 , kZ}.
典型例题
1.求函数 y=2sec2x+cot4x 的最值. 解: y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x
≥2+3
3
tan2xtan2xcot4x =2+3=5.
仅当 tan2x=cot4x, 即 tanx=1 时取等号.
∴当 x=k 4 (kZ) 时, y 取最小值 5;
3.已知函数 f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x. (1)求 f(x) 的最小正周 期; (2)若 x[0, 2 ], 求 f(x) 的最大值、最小值. 解: (1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x =(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x ∴f(x) 的最小正周期为 . = 2 cos(2x+ 4 ).
5.已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinxcosx+a+b(a0) 的定义域 为[0, 2 ], 值域为 [-5, 1], 求常数 a, b 的值. 解: f(x)=a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b =-a(cos2x+ 3 sin2x)+2a+b
[ , 7 ], 由已知 x[0, ], ∴ 2 x + 6 6 6 2 ∴- 1 ≤sin(2x+ )≤1. 因此由 f(x) 的值域为 [-5, 1] 可得: 2 6 a>0, a<0, 或 -2a×(- 1 )+2a+b=-5, -2a×(- 1 )+2 a + b =1, 2 2 -2a×1+2a+b=-5, -2a×1+2a+b=1.
二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方 法有: 1.涉及正、余弦函数以及 asin+bcos, 可考虑利用三角函 数的有界性.
2.形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通 过适当变换、配方求解. 3.形如 sinx+cosx, sinxcosx 在关系式中时, 可考虑换元法 处理.
<<) 或 x=csc 5.对于 x2-1 , 可设 x=sec(0≤< 或 2 2 (- ≤<0 或 0<≤ ); 2 2
6.对于 x+y+z=xyz, 由在 △ABC 中, 有 tanA+tanB+tanC=tanA tanBtanC, 可设 x=tanA, y=tanB, z=tanC(A+B+C=); 7.令 t=sinx+cosx, 则 2sinxcosx=t2-1, t[- 2, 2 ].
三、知识要点
常见的三角换元
1.若 x2+y2=1, 可设 x=cos, y=sin; 2.若 a≤x2+y2≤b, 可设 x=rcos, y=rsin, a≤r2≤b; 3.对于 1-x2 , 由于 |x|≤1, 可设 x=cos(0≤≤) 或 x=sin (- ≤≤ ); 2 2 ) 或 x=cot(0<<); 4.对于 1+x2 , 可设 x=tan(- < < 2 2
y 无最大值.
x 2.求函数 y=(1+cosx)sin 2 (0<x<) 的最值. 解: 由已知 y>0, 只需考察 y2 的最值. x x x 2 2 2 x 2 x 2 x ≤2( 2sin 2 +cos 2 +cos 2 )3 16 2 2 ∵y =4cos 2 cos sin 2 = . 2 3 27 x x x 2 (∵0<x<) 时取等号. 2 2 仅当 2sin 2 =cos 2 , 即 tan 2 = 2 16 2 2 ∴当 x=2arctan 时, y 取最大值 27 . 2 ∴当 x=2arctan 2 时, y 取最大值 4 3 ; 2 9 y 无最小值.
2-1-8t+19=(t-4)2+2. 令 t=sinx+cosx, 则 t= 2 sin(x+ ), y = t 4
∵0≤x≤, ∴ ≤x+ ≤ 5 . 4 4 4 2 ∴- 2 ≤sin(x+ ) ≤1. ∴-1≤t≤ 2 . 4
∴当 t=-1, 即 x= 时, y 取最大值 27. 当 t= 2 , 即 x= 4 时, y 取最小值 20-8 2 .