第七讲球面三角形的边角关系

所以,可以得到 ：
球面上的正弦定理 设单位球面上球面
△ABC的三个内角分别为∠A , ∠B , ∠C ，三 边长分别为 a , b , c ，则
sinA sinB sinC = = sina sinb sinc
继续考察图7-2，则OF=cosb,OE=cosc . 过点F作FG⊥OB于G点，则OE=OG+GE, OG=OFcosa=cosbcosa.过点D在平面OBC内作 DH⊥FG，垂足为H，则 DH∥OB，所以有
下面，我们首先看一下二面角A-OB-C 和二面角A-OC-B。如图7-2，过点A作 AD⊥平面OBC ，点D为垂足，再过D点分 别作DE⊥OB ，DF⊥OC，E、F为垂足， 连结AE、AF ．
因为DE是AE在平面OBC的射影， 且DE⊥OB ，所以OB⊥AE . 同理，OC⊥AF . 因此，∠DEA和∠DFA分别为二面角 A﹣OB﹣C和A﹣OC﹣B的平面角． 所以， ∠DEA=∠B , ∠DFA=∠C .
余弦定理
a b c b c cos = cos cos + sin sin cosA r r r r r b c a c a cos = cos cos + sin sin cosB r r r r r c a b a b cos = cos cos + sin sin cosC r r r r r
在Rt△ADE和Rt△ADF 中 ,因为
AD=AEsin∠DEA=OAsin∠AOBsinB
=sincsinB ,
AD=AFsin∠DFA=OAsin∠AOCsinC
=sinbsinC .
所以，
sincsinB=sinbsinC
即 同理
sinB sinC = sinb sinc
sinA sinC = sina sinc
在球上是否有类似于平面上的勾股定理？ 答案是肯定的，即存在类似于平面上的 勾股定理 ．
在球面△ABC中，若C=90°，称△ABC 为球面直角三角形．由球面上的余弦定理可 以得到球面直角三角形中三边之间的关 系．称为球面上的“勾股定理”．
球面上的“勾股定理” 设单位球面上球面△ABC的三个内角 分别为 ∠A ，∠B ，∠C ，其中一个内角 ∠C=90°，三边长分别为a, b, c ，则 cosc=cosacosb .
为方便类比，我们首先给出平面上的正弦
定理、余弦定理．
平面 ABC 如下图所示，
C b A c 图7-1 a B
则有
sinA sinB sinC 正弦定理： a = b = c ;
a2 = b2 + c2 - 2bccosA ,
余弦定理：
b2 = a2 + c2 - 2accosB ,
c2 = a2 + b2 - 2abcosC ,
也可以向量的坐标表示向量的向量积运算． 利用向量的向量积和数量积的坐标关系， 可以得到向量积和数量积之间的关系：
(a b) (c d) = (a c)(b d) - (a d)(b c) （*）
z
a×b c×d c×d a
d
c b
y
x
图7-4
给定向量a , b , c , d , 那么 a×b和c×d分别 是向量a , b 和向量c , d 所成平面的法向量 ,这
旧知回顾
定性研究和定量研究相结合是问题的
一般方法．前面几讲，我们对球面三角形
的边角关系进行了定性研究，得出了“两
边之和大于第三边”“大边对大角”“等
边对等角”等结论．
新课导入
我们知道，平面三角形的边角之 间存在定量的边角关系:正弦定理、余 弦定理．对于球面三角形，其边角之 间是否有类似平面三角形的正弦定理、 余弦定理这种定量关系呢？
似为平面上的正弦定理．
四
球面上余弦定理的应用——求地 球上两城市之间的距离
地球表面可以近似看作球面，那么
求地球上两地之间的距离就可以看成是求
球面上两点之间的距离．
1）、B 设单位球面上两点 A（1 ，
2），假设 C为北极，球面 ABC 的边 （ 2 ，
长分别为a, b, c ，由经度的定义可知球面
两个法向量所成的角与向量a , b 和向量 c , d 所成的平面二面角相等或互补，设这两 个平面所成的二面角是 ，则
(a b) (c d) = a b c d cosθ
2. 球面上余弦定理的向量证明法 如图7-5 ，设单位球面上，
C c a
球面 ABC的三边长分别为
a, b, c ，且它们满足： OA = a , OB = b , OC = c ，则
sinA sinB sinC = = ; a b c sinA sinB sinC = = . sina sinb sinc
从形式上看两个分式中，对应项的分
子相同，分母不同，一个是边长，一个是 边长的正弦值．在什么情况下，边长的正 弦值可以近似于边长的值呢？
如果弧度数越小，单位圆中的正弦线 长与相应的弧长就非常接近，即当a, b, c 很小时，有 sin a a ,sin b b ,sin c c . ，这时 球面上的正弦定理就近似为平面上的正弦 定理． 这说明，当球面三角形的边长相对于 球的半径很小时，球面上的正弦定理就近
于是，得到： 球面上的余弦定理 上球面 ABC 则 设单位球面
的三个内角分别为∠A ,
∠B , ∠C ，三边长分别为 a , b , c ， cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ， cosb=cosccosa+sincsinacosB ， cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
设单位球面上球面△ABC的三个内角
分别为 ∠A ，∠B ，∠C ，其中一个内角
∠C=90°，三边长分别为a, b, c ，则
cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa , cosB = -cosCcosA + sinCsinAcosb , cosC = -cosAcosB + sinAsinBcosc .
如果球的半径为r，那么从上图可知 BC=a=r∠BOC, AC=b=r∠AOC,AB=c=r∠AOB， 因此在推导过程中，分别用a／r , b／r ,c／r代替
a , b , c ，就得到半径为r的球面上的正弦定理与
余弦定理．
sinA sinB sinC = = 正弦定理 a b c； sin sin sin r r r
余弦定理的另一种表达式
二、用向量方法证明球面上的余弦定理
1. 向量的向量积 为了证明球面上的余弦定理，引入 一种新的运算——向量积．
a b ×b 图 7-3
设向量a、b的夹角为 ，把大小为 a b sinθ ，
方向垂直于a和b，且与a和b构成右手系的向量，
叫做a和b的向量积．
记作a×b ，大小表示为 a b
b c
B
图7-5
(a b) (a c) = a b a c cosA = ( a b sinc)( a c sinb)cosA = sinbsinccosA
又因为
(a b) (a c) = (a a)(b c) - (a c)(b a) = cosa - cosbcosc
∠DFH=∠BOC=a,且四边形DEGH是矩形．
所以 GE=DH=DFsin∠BOC=AFcosCsina =sinbsinacosC .
因此 , cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
同理 cosa=cosbcosc+sinbsinccosA .
cosb=cosacosc+sinasinccosB .
所以
cosa = cosbcosc + sinbsinccosA
.
同理
cosb = cosacosc + sinasinccosB .
cosc = cosacosb + sinasinbcosC .
这就得到球面上的余弦定理． 类似的方法可以证明正弦定理．
三 从球面上的正弦定理看球面与平面
观察平面上与球面上的正弦定理
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ， cosb=cosccosa+sincsinacosB ， cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
容易验证，向量积满足以下的运算律：
（1） a b = -b a (反交换律).
（2） (λa) b = λ(a b) = a (λb) ,(λ R) . （3） a (b + c) = a b + a c (分配律).
我们知道，在空间直角坐标系中，可以
用向量的坐标表示向量的数量积运算，同样
角
ACB = β1 - β2
，再由球面上的余弦定理得：
距离 c = arccos[sinα1sinα2 + cosα1cosα2cosβ2 - β1 ] . 若半径为R ，则两点之间的距离为Rc .
课堂小结
球面上的正弦定理和余弦定理：
sinA sinB sinC = = sina sinb sinc
如图7-2，单位球面上球面△ABC的边 长分别为a，b，c ，则 a=BC=∠BOC（弧 度）， a=BC=∠BOC（弧度）， a=BC=∠BOC（弧度），球面△ABC的三 个内角分别为∠A，∠B，∠C，根据球面 角的定义可知，∠A，∠B，∠C，分别等 于二面角C-OA-B，A-OB-C，A-OC-B的大 小．