yyf§7.1 数学物理方程的导出

F
所放出的热量；
ρ
= f0
称为热源强度，即：单位时间、单位 质量所放出的热量； 为按单位热容量计算的热源强度。
f ( x, t )
三维情况 相应地
ut − a Δ3u = 0 2 ut −a Δ3u = f ( x, y, z,t )
2
24
例三、稳定场方程 在输运方程中，当
ut = 0
时，方程变为
33
体积为
z ( h + η )( du + dx )
y
u
u + du
h
o
η
x
31
x x + dx
由水的不可压缩性，得
zhdx = z ( h + η )( du + dx )
= z [ hdu + hdx + η du + η dx ]
⇒ 0 = hdu + η du + η dx
略去二阶无穷小量 η du
以时间为自变量 的常微分方程
以时间和空间 坐标为自变量 的偏微分方程
9
物理和工程技术问题用偏微分方程 泛定方程 表达出来，叫做数学物理方程 物理问题 物理规律 边界条件 初始条件 满足的方程 (共性) 定解条件 (个性)
周围环境影响 系统初始状态
定解问题
10
§7.1 数学物理方程的导出
导出---“翻译” 与定解条件无关 一 导出步骤: i)确定物理量u； ii)从所研究的系统中划出一个小部分，根据物理 规律分析邻近部分和这个小部分的相互作用； iii)这种相互作用在一个短时间段如何影响物理 量u，把这种影响用算式表达出来。
可得
ρutt − Yuxx = 0
这就是杆的纵振动方程．
18
讨论 Y (1) 对于均匀杆， 和 ρ 是常数，上式可以改写成
utt = a uxx
2
（7.１.9）
其中
a
2
=
Y
ρ
这与弦振动方程具有完全相同的形式． （2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程 完全一样， 只是其中 f (x, t) 应是杆的单位长度上单位 横截面积所受纵向外力
19
例二、输运方程： 研究一维热传导问题 考察一根均匀细杆内热量传播的过程：设细杆 横截面积A（常数），细杆中无热源和热汇，侧面绝 热。
o
l
x
20
1、物理量是温度 ： 2、物理规律：
u = u ( x, t )
v （1）热传导定律（傅立叶定律） q = −k∇u v q是热流强度——单位时间内垂直通过单位
又
dx ⇒ ρ utt = Tu xx = 0
uxx =
ux x+dx − ux x
utt − a u xx = 0
2
自由振动方程 齐次一维波动方程
a =
2
T
ρ
a 为振动传播速度
16
一般情况：
非齐次项
utt − a2uxx = f ( x, t )
受迫振动方程
非齐次一维波动方程 f ( x, t ) : 力密度（强迫力），t时刻作用于单位质 量上的横向外力。 三维情况： 或 相应地
η 随x而异，且随t而
η
y
h o x
x + dx
x
29
（2）取x处的截面与x+dx处截面的水进行分析： x方向运动方程：
由于两处 η不同，这部分水前后方所受压力不等。
( ρ zηdx ) u
tt
= ⎡ − ρ g η x + dx + ρ g η x ⎤ η z ⎣ ⎦
= − ρ gzη xηdx
第二篇
数学物理方法
1
为全书中心内容： （1）将物理问题翻译(转化)成数学问题(偏微分 方程,积分方程或微分积分方程）； 常见的三种方程：波动方程，输运方程，以及 稳定场（拉普拉斯）方程。
（2）该数学问题的求解。
2
引
一、数理方程简介： 1、数学物理方程：
言
数学物理方程是指从物理问题中导出的反映 客观物理量在各个地、时刻之间相互制约关系 的一些偏微分方程。 偏微分方程分为线性和非线性，这里主要 讨论二阶线性方程。
4
(3)十九世纪末到二十世纪初，其它方程如：
高阶方程：
utt = a uxxxx + f (x, t)
2
Schrodinger方程
∂Ψ h ih = − ΔΨ+U(r)Ψ 2m ∂t
2
5
二、用数理方法研究问题的步骤: 1、写出定解问题 包括: 泛定方程(共性，一般规律) 定解条件(初始，边界等) 把物理问题转化为数学语言 如：
u t t − a ( u xx + u yy + u z z ) = 0
2
2
utt − a Δ 3u = 0
2
齐次 非齐次
17
utt − a Δ3u = f ( x, y, z, t )
2、 均匀杆的纵振动
B 段的运动方程为
∂ux dx = ρ(Sdx)utt YSux x+dx −YSux x = YS ∂x
y′′(t ) − 4 y = 0
y = C1e + C2e
2t −2t
⎧ y ′′(t ) − 4 y = 0 泛定方程 ⎪ ⎨ y (0) = 0 定解条件 ⎪ y ′(0) = 4 ⎩
6
2、求解： 数理方程的求解方法大致有行波法、分离 变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换 法、复变函数法、变分法。我们将在以后有选 择地阐述。 3、分析解答： 解出答案，需分析其意义及适定性。 适定性：指解是存在的、唯一的而且是稳定的。
7
三、数理方程的特点： 数理方程一方面联系着物理学中的许 多问题；另一方面又要运用数学中的许多成果。 所以它是数学和物理学之间的桥梁。
8
第七章
数学物理定解问题
物理规律或工程科学与技术问题的数学表达式中，有 许多是微分方程。
例
质点力学 —— 质点的位移 电路 —— 电流、电压 空间连续分布的物理场—— 静电场 电场强度或电势 电磁场 电场强度或磁场强度
面积的热量； 一维情况 （2）能量守恒定律；
du ∇u = dx
21
3、研究对象：在杆上任取一小段 A
x
x + dx
o
x x + dx
l
x
分析： 由能量守恒定律 dx段温度随时间的变化所需热量 =单位时间流入dx的热量
t t + dt
内
dQ净 = c ⋅ ρ Adx ⋅ ut dt
22
净流入的热量
2
T2 cosα2 − T1Fra bibliotekcosα1 = 0
1
14
对微小振动：
cos α1 ≈ cos α 2 ≈ 1
sin α1 ≈ tgα1 = ux
sin α 2 ≈ tgα 2 = ux
x
x + dx
ds =
( dx ) + ( dy )
2
2
= 1 + ( u x ) dx ≈ dx
2
15
⎧T2 − T1 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ ⎪T2 u x x + dx − T1 u x x = utt ρ dx ⎩
dQ净 = Q x入 − Q x + dx出
= ⎡ − ku x ( x, t ) ⋅ Adt ⎤ − ⎡ − ku x ( x + dx, t ) ⋅ Adt ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= kA ⎡u x ( x + dx, t ) − u x ( x, t ) ⎤ dt ⎣ ⎦
= kA u xx dxdt
⇒ cρAudx = kAuxxdx t
ut − a u xx = 0
2
k a = cρ
2
k ⇒ ut − uxx = 0 cρ
23
一般情况：当有热源、热汇存在时
ut − a u xx = f ( x, t )
2
F ( x , t ) 为t时刻，x处单位时间、单位长度上
F ( x, t ) f ( x, t ) = cρ
26
1. 静电场的电势 静电场中，电荷分布与电场强度满足方程
r ∇⋅E = ρ /ε
（1）
静电场是保守场，存在着势函数，设电势为u ， r 则有
E = −∇u
代入(1)式，则得静电势满足的方程
Δ 3u = − ρ / ε
3
泊松方程
非齐次
对于不存在电荷的区域， ρ＝0，静电势满 足方程 Δ u = 0 拉普拉斯方程 齐次
du ⇒ η = −h = − hu x dx
②
32
由①②，消去 η ，得
utt = ghu xx
③
即重力波的纵向运动方程； ②式微分
∂ ∂ ηtt = −h 2 u x = − h utt ∂t ∂x
2
④
代入①，有
ηtt = ghη xx
⑤
即为重力波的横向运动方程。
c = gh 表明浅水波在水深时比水浅时传播快。
（2）物理规律：
u = u ( x, t ) uv v F = ma
（3）研究对象：在弦上任取一小段
B ( x x + dx )
13
分析： 两端沿切向受力分别为 纵向： 横向：
u v u v T1 , T 2
，
T2 sinα2 −T1 sinα1 = ma = ( ρ ⋅ ds) utt
α2 α1
3
2、发展史： (1)十八世纪初(Taylor):
utt = a u xx + f