数学物理方程剖析
第一章+数学物理方程概述
第一章 数学物理方程概述数学物理方程，其定义是研究反映物理规律的数学方程。
由于一般的物理量基本都具有多个变量()t z y x ,,,，因此，它所满足的微分方程属于偏微分方程。
本章的目的，归纳出几个常见物理问题对应的数学物理方程。
§1.1 常见数学物理方程的导出1.1.1 常见的几个偏微分方程波动方程：数学上称双曲型方程，表现为场的波动性。
热传导方程或扩散方程：数学上称抛物型方程，表现为不可逆的输运过程。
拉普拉斯（Laplace ）方程和泊松方程：数学上称椭圆型方程，表现为场的稳定分布。
()⎪⎩⎪⎨⎧−=∇=∇zy x u u ,,022ρ其中，算符z y x e ze y e x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇，∇⋅∇=∇=Δ2称为拉普拉斯算子。
直角坐标系下， ()xx u xux u =∂∂=∇222一维yy xx u u y uxu y x u +=∂∂+∂∂=∇22222),( 二维 ()zz yy xx u u u zuy u x u z y x u ++=∂∂+∂∂+∂∂=∇2222222,, 三维1.1.2 常见数学物理方程的导出一、波动方程的导出1、弦的横振动如图1所示，一根拉紧的弦在平衡位置（x 轴）附近做横向微小振动()1<<α。
已知弦的线密度为ρ，作用于弦单位长度的外力为()t x F ,，方向垂直x 轴，弦上的张力为T ，()t x u ,表示弦上x 点在时刻t 的距离平衡位置的垂直位移。
推导弦横向振动所满足的方程。
图1 弦的横振动将弦上任意一小段()x x x Δ+,作为研究对象，由牛顿第二定律，小弦纵向和横向的运动方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅Δ=Δ+−=2211222211sin sin cos cos t ul l F T T T T ραααα由于弦的振动幅度比较小（α较小），所以有如下近似条件： T T T ==⇒≈=21111cos cos αα,T 为常数； x x u ∂∂=⇒==1111sin sin tan αααα，xx xuΔ+∂∂=2sin α；弦长x dx x u l xx xΔ≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+=Δ∫Δ+21。
数学中的数学物理方程解析与计算方法研究
数学中的数学物理方程解析与计算方法研究在物理学和工程学等科学领域中，有许多经典的数学物理方程。
这些方程往往具有比较高的复杂性和抽象性，而且很难用常规的数学方法求解。
因此，数学物理方程的研究一直是数学领域中的热门问题之一。
本文将介绍数学中的数学物理方程解析与计算方法研究。
一、常见的数学物理方程在现实中，许多物理现象都可以用方程来描述。
这些方程中，有一些比较特殊，就是数学物理方程。
常见的数学物理方程包括：1、薛定谔方程：描述量子力学中的粒子运动。
2、连续介质力学方程：描述物质的运动。
3、热传导方程：描述热的传递过程。
4、流体力学方程：描述流体的运动。
5、波动方程：描述波的传播过程。
这些方程非常有用，可以用来预测物理现象和现象参数，例如速度、振幅、密度、压强等等，因此，数学物理方程的解析和计算方法的研究对于很多物理学和工程学的研究非常重要。
二、解析方法的研究解析方法是指通过求解数学物理方程的解析解的方法。
解析解通常是指使用特定的数学函数和工具，将方程化简为一组已知参数和常数的等式。
解析方法的研究主要包括以下内容：1、分离变量法：分离变量法是解决偏微分方程的常用方法。
分离变量法通过分离变量的方式，将多元函数的偏微分方程简化为多个一元函数的常微分方程。
2、变形法：变形法是一种用于求解非线性方程的方法。
变形法主要分为赋格方法、B¨a¨cklund变形法、Hirota双线性法和Jacobi椭圆函数法等等。
3、模拟方法：模拟方法是一种模拟数字模型的方法，可以通过数学计算机模拟实验，并得到一些有用数据。
模拟方法分为泊松方程的负载解法和有限差分法等等。
解析方法在数学物理方程中具有广泛的应用。
通过解析方法求解的解析解，可以对物理现象做出普遍性的分析和预测。
三、计算方法的研究除了解析方法，还有一种求解数学物理方程的方法就是计算方法。
计算方法主要包括：1、数值差分法：数值差分法是求解偏微分方程的数值计算方法，其基本思想就是根据方程的差分形式将连续变量离散化并用有限差分近似离散偏微分算子。
数学物理方程归纳总结
数学物理方程归纳总结数学和物理方程是科学研究中的重要工具，广泛应用于各个领域。
本文将对一些常见的数学物理方程进行归纳总结，分析其数学意义和物理应用，并探讨其背后的原理和推导过程。
1. 一维运动方程一维运动是物理学中最简单的情形之一，其运动状态只涉及一个方向的变化。
常见的一维运动方程有：- 位移公式：$S = V_0t + \frac{1}{2}at^2$- 速度公式：$V = V_0 + at$- 速度与位移的关系：$V^2 = V_0^2 + 2aS$这些方程描述了质点在匀加速度下的运动规律，其中$S$ 表示位移，$V_0$ 表示初始速度，$a$ 表示加速度，$t$ 表示时间，$V$ 表示末速度。
这些方程在解决一维运动问题时具有重要的应用价值，可以帮助我们计算物体的位移、速度和加速度等物理量。
2. 牛顿力学方程牛顿力学是经典力学的基础理论，在描述宏观物体运动和相互作用时非常重要。
牛顿三定律是牛顿力学的核心，其表述为：- 第一定律（惯性定律）：物体在不受外力作用时保持静止或匀速直线运动。
- 第二定律（运动定律）：物体受到的合力等于质量乘以加速度，即 $F = ma$。
- 第三定律（作用与反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出一些重要的等式，用于解决各种力学问题。
例如，结合万有引力定律，我们可以得到开普勒第三定律 $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$，其中 $T$ 是行星公转周期，$G$ 是引力常数，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是行星与太阳的平均距离。
3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程，描述了电磁场的产生和传播规律。
麦克斯韦方程组包括四个方程：- 高斯定律：$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$- 安培定律：$\nabla \cdot B = 0$- 法拉第电磁感应定律：$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$- 完整的麦克斯韦方程：$\nabla \times B =\mu_0J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$其中，$E$ 和 $B$ 分别表示电场和磁场，$\rho$ 表示电荷密度，$J$ 表示电流密度，$\varepsilon_0$ 是真空中的介电常数，$\mu_0$ 是真空中的磁导率。
数学物理方程的分析与数值求解
数学物理方程的分析与数值求解在科学领域中，数学物理方程是不可或缺的工具。
它可以用来解释自然现象并预测未来事件的发生。
然而，由于这些方程通常非常复杂，解决它们需要深入的数学分析和高度准确的数值计算。
在本文中，我们将探讨数学物理方程的分析和数值求解方法。
一、数学物理方程的分类数学物理方程可以分为几类：恒定系数方程、非恒定系数方程和偏微分方程。
1.恒定系数方程恒定系数方程的特点是常数系数。
这种类型的方程很容易求解，因为它们可以通过代数法或解矩阵等方法求解。
例如，线性代数的矩阵理论可以用来解决线性方程，如$Ax=b$,其中$A,b$均为已知矩阵，$x$为待求矩阵。
2.非恒定系数方程非恒定系数方程的特点是常数系数的一部分是时间的函数。
这种类型的方程通常非常复杂，需要各种数值和解析技术来解决。
一个常见的解法是用级数解法，将系数展开成无限项级数，然后通过逐项求和得到一般解。
然而，这种方法通常只是一种近似解法，在近似程度和条件限制方面都存在挑战。
3.偏微分方程偏微分方程是另一种重要的数学物理方程。
它们描述了物理现象和工程的各方面（如电磁场、温度场、运动场），有很多种类型，包括椭圆型方程、双曲型方程和抛物型方程等。
二、数学物理方程的分析要分析数学物理方程，需要考虑方程的主导因素、边界条件和初值条件等等。
对于具有特殊结构和性质的方程，人们发现通过采用不同的转换或变换可以简化方程形式，使得方程更容易处理。
例如，在热传导方程中，除非初始温度在整个区域内恒定，否则恒定温度解不存在。
此外，热传导方程极少有代数解，一般数量解只适用于特殊边界条件，因此人们需要使用数值方法进行求解。
三、数值求解数值求解是一种将微积分方程转换为代数方程，并通过计算机进行求解的方法，主要思路是将给定的微积分方程离散成网格空间的差分方程。
这种方法的优点是可以更好地控制近似误差，并且可以在适当的情况下得到非常精确的解。
目前，许多数值方法已经被开发出来用于求解数学物理方程，例如：有限元方法、有限差分方法、谱方法和边界元方法等。
解读物理方程
解读物理方程
物理方程是用来描述物理现象和过程的数学模型，通常包含变量、常数和运算符。
这些方程可以用来预测物理系统的行为，也可以用来解释已经观察到的现象。
物理方程的种类很多，包括力学方程、热力学方程、电磁学方程、光学方程等等。
这些方程都是基于物理原理和实验数据的，因此它们的准确性和有效性取决于所描述的物理系统的特性和条件。
解读物理方程需要注意以下几点：
1. 理解方程的意义和背景：物理方程通常是根据物理原理和实验数据推导出来的，因此需要理解方程的意义和背景，才能更好地应用和解释结果。
2. 掌握方程的解法：物理方程的解法通常涉及到数学和物理的知识，需要掌握各种求解方法，如分离变量法、有限差分法、有限元法等。
3. 注意方程的限制条件：物理方程的使用有严格的限制条件，如温度、压力、物质属性等。
在使用方程时需要注意这些限制条件，以免出现错误的结果。
4. 结合实验验证：物理方程的预测结果需要通过实验验证来确认其准确性和有效性。
因此，在解读物理方程时需要结合实验验证，以更好地理解方程的意义和应用范围。
总之，解读物理方程需要具备一定的数学和物理知识，以及实验验证的能力。
只有深入理解物理方程的意义和应用范围，才能更好地应用到实际研究和工程实践中。
数学中的数学物理方程与数理方程
在数学领域中，数学物理方程和数理方程是两个重要的分支。
它们都是数学与物理或者数学与理论科学的交叉学科，旨在描述和解决自然界中的现象和问题。
虽然它们具有一定的相似性，但却有一些不同之处。
首先，数学物理方程主要关注描述自然界中的物理现象，如力学、电磁学、热力学等。
它们通过建立数学模型来描述物理系统的行为和规律。
以牛顿运动定律为例，它可以用微分方程的形式表示为 F = m*a，其中 F 是物体所受的力，m 是物体的质量，a 是物体的加速度。
这个方程描述了物体在受力作用下的运动规律。
数学物理方程的研究需要运用数学工具和理论，如微分方程、偏微分方程、分析方法等。
通过解数学物理方程，我们可以推导出物理定律和规律，预测和解释自然界中的现象。
而数理方程则更广泛地涵盖了数学与理论科学的交叉领域。
数理方程研究的对象不仅限于物理现象，还包括经济学、生物学、社会科学等其他领域中的问题。
数理方程通过建立数学模型来描述和解决这些领域中的各种问题。
常见的数理方程有线性方程、非线性方程、微分方程、差分方程等。
这些方程能够用数学语言准确地描述问题的背后的规律和关系，从而为问题的解决提供数学工具和方法。
例如，在经济学中，我们可以使用微分方程来描述经济系统的变化和演化，帮助我们预测和解释经济现象。
数学物理方程和数理方程的研究对于我们认识和理解自然界和社会现象起到了重要的作用。
数学物理方程帮助我们从物理规律的角度理解自然界中的现象，为科学研究提供理论基础和工具；而数理方程则拓展了数学的应用领域，帮助我们理解和解决更广泛领域中的问题。
在数学物理方程和数理方程的研究过程中，数学与理论科学的交叉应用是不可忽视的。
数学为物理学和理论科学提供了严密的逻辑和推理基础，而物理学和理论科学则为数学提供了实践和应用的背景。
两者的相互作用和结合促进了科学的发展。
数学物理方程与数理方程的研究不仅在学术研究上具有重要意义，也在应用领域为我们解决实际问题提供了帮助。
数学物理方程的解析解法
数学物理方程的解析解法在数学和物理领域，解析解法是一种重要的方法，用于求解各种数学物理方程。
与数值解法相比，解析解法能够给出方程的精确解，对于深入理解问题的本质和推导更深层次的结论非常有帮助。
本文将介绍几种常见的数学物理方程解析解法，并探讨其应用。
一、一阶常微分方程的解析解法一阶常微分方程是描述许多物理现象的重要工具，其解析解法可以通过分离变量、齐次线性微分方程、一阶线性非齐次微分方程、可降阶的方程等方法来求解。
1. 分离变量法分离变量法适用于可将微分方程写成dy/dx=f(x)g(y)的形式。
通过将方程两边同时对x和y进行积分，将方程分离成两个单独的积分方程，再通过求解这些积分方程得到最终解。
2. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程形式为dy/dx=f(ax+by)，其中a和b为常数。
通过令y=vx，将原微分方程转换成常数系数线性微分方程，然后利用常数系数线性微分方程的求解方法，求解得到最终解。
3. 一阶线性非齐次微分方程法一阶线性非齐次微分方程可写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。
通过求解对应的齐次线性微分方程的通解，再通过变量分离法求解非齐次线性微分方程特解，最后将通解和特解相加得到最终解。
4. 可降阶的微分方程法可降阶的微分方程法适用于微分方程可以通过降低微分方程的阶数来求解的情况。
通过采用变量替换的方法，将高阶微分方程转化为一阶微分方程，然后利用一阶微分方程的解析解法求解。
二、二阶常微分方程的解析解法二阶常微分方程常见于描述自由振动、电路分析、传热过程等物理问题。
解析解法可以通过特征根法、常系数非齐次线性微分方程法等方法来求解。
1. 特征根法特征根法适用于形如d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)的二阶常微分方程。
通过假设y=e^(mx)，将方程代入原方程得到特征方程，然后求解特征方程的根，再根据特征根的求解结果构造齐次解和非齐次解，最终得到最终解。
数学物理方程问题详解谷超豪
第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程 tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+ 利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(t u x ∂∂ρ=))((xu x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的力xux E t l T ∂∂=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为xu∂∂|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
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dS nv
M V
S
热场
Q1 ku dSˆ
S
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
Q1 k2udV
V
流入的热量： Q1 k2udV
V
单位时间热源释放的热量 Q2 FdV
V
单位时间流入的热量和热源释放的热
量导致V内的温度发生变化
dS nv
M V
S
热场
温度发生变化需要的热量为：Q
T
n
u
S
w k u H (u T )
s
n
s
其中H为热传递系数。
du (u T )
dt
人体在死亡后, 温度调节功能随即消失, 因此由正常体温 (37℃) 与室温的比较, 利用牛顿冷却定律, 可以帮忙判定死亡的时间.
某冬晨, 警局接到报案, 在街头发现一流浪汉的尸体, 6:30AM时测量其体温为 18℃, 到7:30AM时, 其体温已降到 16℃, 若假设室外温度约维持在 10℃, 且人体 正常体温为 37℃,判定死亡的时间。
w ku
其中k为导热系数，表示单位时间，单位面积，单位温度负梯度下的导热量。 （或在单位温度梯度作用下通过物体的热流密度。）
闭合曲面S上任选一微元S，其法线方向为 n
那么流出S的热流为
dq w Sn
S nv
M V
S
热场
那么流入S的热流为
dq w Sn
➢牛顿冷却定律（Newton cooling law） ：温度高于 周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵 循的规律。当物体表面与周围存在温度差时，单位时 间从单位面积散失的热量与温度差成正比，即
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t0
(x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布：u(M ,t) |t0 (M )
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。
V
c
udV t
Q1 Q2 Q
V
k2udV
V
FdV
c
V
udV t
k2u F c u
t
u k 2u F
t c
c
热传导方程
2u 0
u a 22u f t
练习
• 导出均匀细杆的热传导方程，设杆上x点时 刻t的温度为u(x,t)，杆的比热容、密度和热
源强度各位c, 和F（均为常量）.
• 1）设杆的侧面是绝热的，方程如何？ • 2）如果杆的侧面不是绝热的，而是按牛顿
T1 x x+dx
o
x
设x处t时刻的位移为u(x,t)，T1和T2分别为dx微元两端所 受的张力，且与水平方向的夹角为1和2.
由牛顿第二定律得：
x方向 T2 cos2 T1 cos1 dx 2 x (1)
u方向
T2 sin 2 T1 sin 1 dxutt
(2)
由于是微小的横振动，所以
cos2 cos1 1
泊松方程
2u 0
拉普拉斯方程
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
思考题
一长为l的均匀柔软细绳（绳的重量忽略），其一端固定在竖 直轴上。绳子和轴以匀角速 转动，试导出此绳相对水平线
的横振动方程。
解：由于研究的是柔软的轻绳，故弦的重力可忽略不计。 取绳的平衡位置，即水平线为x轴，如图所示。
u
x x+dx
o
x
在绳中取一小段dx，考虑它的受力和运动情况。
u 1
2 T2
例4、热传导
当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流
向低温处，求温度随空间时间变化的规律。
所要研究的物理量： 温度 u(x, y, z,t)
根据热学中的傅立叶实验定律
在单位时间内从dS流入V的热量为：
dQ
w
dS
k
u dS
ku nˆdS
ku dSˆ
n
在单位时间内通过S流入V的热量为
sin2 tan2 ux xdx sin1 tan1 ux x
u 1
2 T2
T1 x x+dx
o
x
那么，有(1)可知张力T只与位置有关，且
T (x) l 2xdx 1 2 (l 2 x2 )
x
2
所以(2)式变为
(Tux ) xdx (Tux ) x utt dx
故
utt
12
(u u ) f (t)
n S
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或： u(a,t) 0 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u
TY
0
x xa
u 0 x xa
ux (a,t) 0
冷却定律与周围环境交换热量（设环境温度 u0和传热系数H 均为常量），设杆的横截面 的面积和周长各为S和L，则方程如何？
例5、静电势
确定所要研究的物理量： 电势u
根据物理规律建立微分方程：
S
E
dSˆ
1
0
V
dV
u E
E
0
对方程进行化简：
E (u) u 2u / 0
2u / 0
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
u STY x xa k u xa
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
u |s f S——给定区域v 的边界
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量
在边界上的数值，即
三 类
u f (t) S
边
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边
界
界外法线方向上方向导数的数值，即
条 件
u f (t)
n S
第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其 外法向导数的线性组合在边界的数值，即
2
x
[(l 2
x2 )ux ]
0
热传导问题
➢几个概念：
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
热流强度（密度）：单位时间通过单位横截面积的热量，记为 w
热源强度：单位时间单位体积放出的热量，记为F 能量密度：单位体积内具有的能量，记为q
➢热传导定律（Fourier实验定律）：当物体内存在温差时， 会产生热量流动，热流密度与温度负梯度成正比，即