高考真题 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换2019年1.（2019北京9）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B．5C．3D55.（2019江苏13）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-2．（2016年全国III ）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425 B ．4825 C ．1 D ．16253．（2016年全国II ）若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-=A． BC ．12-D ．125．（2015重庆）若tan 2tan5πα=，则3cos()10sin()5παπα--＝A ．1B ．2C ．3D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则A ．0sin >αB ． 0cos >αC ． 02sin >αD ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=8．（2014江西）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ）A ．19-B ．13 C ．1 D ．729．(2013新课标Ⅱ)已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．2310．（2013浙江）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A ．34 B ．43C ．43-D ．34-11．（2012山东）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ，8732sin =θ，则=θsin A ．53 B ．54 C ．47 D ．4312．(2012江西)若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=A ．−34B ．34C ．−43D ．4313．（2011新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ= A ．45-B ．35-C ．35D ．4514．（2011浙江）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=则cos()2βα+= AB．- CD．15．（2010新课标）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- A ．12-B ．12C ．2D ．-2二、填空题16．(2018全国卷Ⅰ)已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是_____． 17．(2018全国卷Ⅱ)已知sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，则sin()+=αβ___． 18．（2017新课标Ⅱ）函数23()sin 4f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是 ． 19．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________． 20．（2017江苏）若1tan()46πα-=，则tan α= ．21．（2015四川）=+75sin 15sin ． 22．（2015江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______． 23．（2014新课标Ⅱ）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为____． 24．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=___． 25．（2013四川）设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是_____．26．（2012江苏）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．三、解答题27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值．28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．29．（2017浙江）已知函数22()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．（Ⅰ）求2()3f π的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 30．(2014江苏)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值．31．（2014江西）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ．（1）求θ，a 的值； （2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值．32．（2013广东）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．33．（2013北京）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期及最大值；（2）若(,)2παπ∈，且()2f α=，求α的值． 34．（2012广东）已知函数()2cos()6f x x πω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π． (1)求ω的值； (2)设,[0,]2παβ∈,56(5)35f απ+=-,516(5)617f βπ-=,求cos()αβ+的值．答 案 2019年1.解析：因为21cos 411sin 2cos 422x f x x x -===-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π， 所以1229510ω<，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<，故③正确． 故选D ．3.解析 因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin2f x A x =.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 28842f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．4.解析：由2sin 2cos21αα=+，得24sin cos 2cos ααα=. 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin αα=.由22cos 2sin sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得sin α=.故选B. 5.解析 由tan 23tan()4αα=-π+，得tan 23tan tan 41tan tan4ααα=-π+π-， 所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin21tan 5ααα==+，221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin 44455αααπππ+=+=-=当1tan 3α=-时，22tan 3sin21tan 5ααα==-+，221tan 4cos21tan 5ααα-==+，所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=. 综上，sin(2)4απ+的值是10． 6.解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1． 2010-2018年1．B 【解析】2217cos 212cos 12()39αα=-=-⨯=．故选B ． 2．A 【解析】由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或 3sin 5α=-，4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==， 则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A ． 3．D【解析】因为3cos cos )45πααα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5αα+=， 所以181sin 225α+=,所以7sin 225α=-,故选D ． 4．D 【解析】原式=1sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302+=+==． 5．C 【解析】3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin1010tan cos sin55ππαππα+=- 33cos 2tan sin 105102tancossin555ππππππ+=-33cos cos 2sin sin510510sincos55ππππππ+= ＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C ． 6．C 【解析】 tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ． 7．B 【解析】由条件得sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos (1sin )αβαβ=+， 得sin()cos sin()2παβαα-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，所以22παβ-=．8．D 【解析】2222sin sin sin B A A -=22sin 2()12()1sin B b A a -=-，∵32a b=，∴上式=72． 9．A 【解析】因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===， 所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，选A. 10．C【解析】由22(sin 2cos )αα+=可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--． 11．D 【解析】由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ， 4322cos 1sin =-=θθ，答案应选D ． 另解：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2=8θ，可得sin cos θθ+==344===+，而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时 θθcos sin >，结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ． 12．B 【解析】分子分母同除cos α得：sin cos tan 11,sin cos tan 12αααααα++==--∴tan 3α=-，∴22tan 3tan 21tan 4ααα==- 13．B 【解析】由角θ的终边在直线2y x =上可得，tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++．14．C 【解析】cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-，而3(,)444πππα+∈，(,)4242πβππ-∈，因此sin()43πα+=，sin()423πβ-=，则1cos()233339βα+=⨯+=． 15．A 【解析】 ∵4cos 5α=-，且α是第三象限，∴3sin 5α=-， ∴1tan21tan2αα+=-2cossin(cossin )2222cos sin (cos sin )(cos sin )222222αααααααααα++=--+221sin 1sin 1cos 2cos sin 22ααααα++===--．16．2-【解析】解法一 因为()2sin sin 2=+f x x x ， 所以21()2cos 2cos 24cos 2cos 24(cos )(cos 1)2'=+=+-=-+f x x x x x x x ，由()0'≥f x 得1cos 12≤≤x ，即2233ππππ-+≤≤k x k ，， 由()0'≤f x 得11cos 2-≤≤x ，即223ππππ++≤≤k x k或223ππππ--≤≤k x k ，∈Z k ，所以当23ππ=-x k （∈Z k ）时，()f x 取得最小值，且min ()(2)2sin(2)sin 2(2)3332ππππππ=-=-+-=-f x f k k k ． 解法二 因为()2sin sin 22sin (1cos )=+=+f x x x x x ， 所以2223[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )=+=-+f x x x x x443(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )27[]344-++++++⋅=≤x x x x ，当且仅当3(1cos )1cos -=+x x ，即1cos 2=x 时取等号， 所以2270[()]4≤≤f x ， 所以()f x的最小值为． 17．12-【解析】∵sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ， ∴22sin cos 2sin cos 1αβαβ++= ①，22cos sin 2cos sin 0αβαβ++= ②，①②两式相加可得2222sin cos sin cos 2(sin cos cos sin )1ααββαβαβ+++++=，∴1sin()2αβ+=-． 18．1【解析】化简三角函数的解析式，则()22311cos cos 44f x x x x x =--=-+=2(cos 1x -+， 由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 19．79-【解析】∵角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+， 所以1sin sin(2)sin 3k βππαα=+-==，cos cos βα=-；222cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1αβαβαβααα-=+=-+=-2172()139=⨯-=-．20．75【解析】tan()tan744tan tan[()]4451tan()tan 44ππαππααππα-+=-+==--⨯． 21．26sin15sin 75sin15cos152sin(1545)+=+=+=．22．3【解析】12tan()tan 7tan tan()321tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-． 23．1【解析】()sin[()]2sin cos()f x x x ϕϕϕϕ=++-+sin()cos cos()sin x x ϕϕϕϕ=+-+sin()sin x x ϕϕ=+-=．∵x R ∈，所以()f x 的最大值为1．24．5-【解析】∵1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,可得1tan 3θ=-，∴sin θθ==，sin cos θθ+=5-．25【解析】 sin 22sin cos sin αααα==-，则1cos 2α=-，又(,)2παπ∈，则tan α=22tan tan 21tan ααα===-26．50217【解析】 因为α为锐角，cos()6πα+=45,∴sin()6πα+=35， ∴sin2(,2524)6=+παcos2(7)625πα+=， 所以sin(50217251722]4)6(2sin[)122=⨯=-+=+ππαπα． 27．【解析】(1)因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=sin()αβ+= 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-．29．【解析】（Ⅰ）由2sin3π=21cos 32π=-，2()3f π2211()()22=---- 得2()23f π=． （Ⅱ）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin(2)6f x x x x π=-=-+所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+++≤≤，k ∈Z 解得263k x k ππππ++≤≤,k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++(k ∈Z )．30．【解析】（1）∵()sin 2ααπ∈π=，，，∴cos α==()sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=++=；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-=31．【解析】（1）因为()()()22cos cos 2f x a x x θ=++是奇函数，而212cos y a x =+为偶函数，所以2cos(2)y x θ=+为奇函数，又()0,θπ∈，得2πθ=．所以()f x =2sin 22cos x a x -⋅+（）由04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得(1)0a -+=，即 1.a =- （2）由（1）得：()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得4sin ,5α=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=- 因此sin sin cos sin cos 333πππααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭32．【解析】（1）() 1.3124f πππ-==（2）33cos ,52πθ=由于<θ<2π，所以4sin 5θ===-，因此())6612f πππθθ-=--=)cos sin )444341()52525πππθθθ=-==⨯-⨯=-33．【解析】：（1）21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+11sin 4cos 422x x =+sin(4)24x π=+ 所以，最小正周期242T ππ== 当4242x k πππ+=+(k Z ∈)，即216k x ππ=+(k Z ∈)时，max ()2f x =． （2）因为())242f παα=+=，所以sin(4)14πα+=， 因为2παπ<<，所以9174444πππα<+<， 所以5442ππα+=，即916πα=．34．【解析】（1）21105T ππωω==⇔=．（2）56334(5)cos()sin ,cos 352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==．4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-．。
三角函数的概念及三角恒等变换
三角函数专题复习知识点一：三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式一．考试要求二．基础知识1.角的概念的推广：按逆时针方向旋转所形成的角叫 角，按顺时针方向旋转所形成的角叫_______角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个 角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角（1）定义：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角 任何象限。
（2）象限角的集合：第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为___________________________________第四象限角的集合为___________________________________终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为______________________终边在坐标轴上的角的集合为_____________________（3）终边相同的角：与终边相同的角注意：相等的角的终边一定________，终边相同的角_____________.3、与的终边关系：若是第二象限角，则是第_____象限角4.弧度制:弧度与角度互换公式：1rad＝、1°＝（rad）。
弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：【典例】已知扇形周长为10，面积为4，求扇形的圆心角.5、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，.注：三角函数值与角的大小关，与终边上点P的位置关。
思考：判断各三角函数在每个象限的符号？【典型例题】1.（2014全国）已知角的终边经过点，则=（）A.B.C.D.2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=____________,=____________,=____________3.（2011江西）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则=_____________.【变式训练】1.（2014湖北孝感）点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若，且，则所在的象限为_______________.3.已知角的终边上一点，且，求的值.6.特殊角的三角函数值：7.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）商数关系：【典型例题】1.已知，，则（）A.B.C.D.无法确定2：已知,,则__________3.（2012江西）若，则=_________.【变式训练】1.（2011全国）已知，，则=______.2.如果，且，那么的值是（）A.B.或C.D.或3.若，则=____________，=_______，=_____________.8、三角函数的诱导公式（重难点）【规律总结】奇偶（对而言，取奇数或偶数），符号___________（看原函数，同时把看成是锐角）.诱导公式的应用的一般步骤：（1）负角变正角，再写成+,；（2）转化为锐角三角函数.【典型例题】1.（2013广东）已知，那么（）A．B．C．D．2.如果为锐角，（）A.B．C．D．3.的值等于（）A.B．－C．D．－4.+的值是 .【变式训练】1.=_________；2.已知的值等于___________.3.已知.（1）化简；（2）若角的终边在第二象限且，求.【迁移应用】1．下列各命题正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于的角都是锐角2．等于（）ABCD3.（2013山东诸城）集合中的角的终边所在的范围（阴影部分）是（）4.化为弧度等于（）A.B.C.D.5．点在第（）象限.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6.点在第三象限,则角的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7.点从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为（）A.B.C.D.8.设,角的终边经过点,那么的值等于( )A.B.C.D.9.已知,且,则的值为( )A.B.[C.D.10.化简的结果是（）A．B．1 C．D．11.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴正半轴重合,终边在直线上，则=（）A．B．2 C．0 D．12.（2014山东济南质检）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=_________.13.（2011全国）已知，，则__________.14.已知,则____________.15..扇形的圆心角是，半径为20cm，则扇形的面积为16.（2012山东）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为__________________.17.化简：（1）（2）18.已知，求（1）；（2）的值19.（2013江苏启东中学测试）已知是关于的方程的两个根.（1）求的值.（2）求的值.知识点二：三角恒等变换1．考试要求二．基础知识（1）两角和与差的三角函数（正余余正号相同）（余余正正号相反）（2）．二倍角公式______________=_____________=______________.（3）降幂公式；____________；___________.（4）辅助角公式。
三角恒等变换(试题部分)
4.3三角恒等变换探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题例如考向关联考点两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,会用二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2021浙江,18,14分两角差的余弦公式任意角的三角函数的定义、诱导公式★★☆2021浙江,16,14分二倍角公式解三角形2021浙江,16,14分二倍角公式正弦定理简单的三角恒等变换能利用两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的三角恒等变换.2021浙江,18,14分二倍角公式三角函数的性质★★★2021浙江,10,6分三角恒等变换分析解读 1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2021浙江,10).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2021年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.破考点练考向【考点集训】考点一两角和与差的三角函数1.(2021浙江台州中学一模,2)计算:sin5°cos55°-cos175°sin55°的结果是()A.-12B.12C.-√32D.√32答案D2.(2021浙江杭州二中期中,15)假设α满足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),那么tanα=.答案 √3考点二 简单的三角恒等变换1.(2021课标全国Ⅱ理,10,5分)α∈(0,π2),2sin 2α=cos 2α+1,那么sin α=( )A.15B.√55C.√33D.2√55答案 B2.(2021浙江镇海中学期中,7)sin (π6-α)=-√23,那么cos 2α+√3sin 2α=( )A.109B.-109C.-59D.59答案 A3.(2021届山东夏季高考模拟,14)cos (α+π6)-sin α=4√35,那么sin (α+11π6)= .答案 -454.(2021届浙江镇海中学期中,18)f(x)=sin x 2·(cos x 2+sin x 2)+a 的最大值为√22.(1)求实数a 的值;(2)假设f (α+π4)+f (α-π4)=√23,求√2sin (2α-π4)+11+tanα的值. 解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的求值;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f(x)=sin x 2cos x 2+sin 2x 2+a=12(2sin x 2cos x 2)+12(1-cos x)+a=12sin x-12cos x+a+12=√22sin (x -π4)+a+12,当x=2kπ+3π4(k ∈Z)时,sin (x -π4)=1, f(x)取得最大值为√22+a+12,结合条件,可知a=-12.(2)√2sin (2α-π4)+11+tanα=sin2α-cos2α+11+sinαcosα=2sinαcosα+sin 2α-cos 2α+sin 2α+cos 2αcosα+sinαcosα=2sin αcos α①,由(1)知f(x)=√22sin (x -π4),那么f (α+π4)=√22sin α, f (α-π4)=-√22cos α,结合条件,可知sin α-cos α=23, 又因为sin 2α+cos 2α=1,所以2sin αcos α=59②,由①②得√2sin (2α-π4)+11+tanα=59.炼技法 提能力 【方法集训】方法1 三角函数式的化简方法1.tan α=2 018tan π2 018,那么sin (α+2 017π2 018)sin (α+π2 018)=( )A.-1B.1C.-2 0172 019D.2 0172 019答案 C2.化简(sin θ2-cos θ2)√2+2cosθ(0<θ<π)= .答案 -cos θ3.(2021届浙江绍兴一中期中,18)函数f(x)=cos x(msin x+cos x),且满足f (π4)=1.(1)求m 的值;(2)假设x ∈[0,π4],求f(x)的最大值和最小值,并求出相应的x 的值.解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的化简、三角函数最值的求法;考查数学运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f (π4)=cos π4(msin π4+cos π4)=√22(√22m +√22)=1⇒m=1.(2)f(x)=cos x(sin x+cos x)=12sin 2x+12cos 2x+12=√22sin (2x +π4)+12,因为x ∈[0,π4],所以2x+π4∈[π4,3π4],因此当2x+π4=π4或2x+π4=3π4时, f(x)min =1,此时x=0或x=π4.当2x+π4=π2时, f(x)max =√2+12,此时x=π8.方法2 三角函数式的求值方法1.(2021浙江台州中学一模,15)α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55,那么cos 2α= ,tan(α-β)= .答案 -725;-2112.(2021安徽江南十校联考改编,14)sinα·cosα1+3cos 2α=14,且tan(α+β)=13,其中β∈(0,π),那么β的值为 .答案3π43.(2021届浙江慈溪期中,16)α∈(0,π2)且tan 2α=43,那么tan (α+π4)tan (α-π4)的值等于 .答案 -9方法3 利用辅助角公式解决问题的方法1.(2021浙江诸暨期末,18)函数f(x)=-2√3sin 2x+2sin xcos x. (1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域;(2)设α∈(0,π),f (α2)=12-√3,求cos α的值.解析 (1)f(x)=-2√3·1−cos2x2+sin 2x =sin 2x+√3cos 2x-√3 =2sin (2x +π3)-√3,∵x ∈[0,π2],∴2x+π3∈[π3,4π3], ∴sin (2x +π3)∈[-√32,1],∴f(x)∈[-2√3,2-√3].(2)∵f(α2)=2sin(α+π3)-√3=12-√3,∴sin(α+π3)=14.又∵α∈(0,π),∴α+π3∈(π3,4π3),∴α+π3必在第二象限,∴cos(α+π3)=-√154,∴cosα=cos[(α+π3)-π3]=cos(α+π3)cosπ3+sin(α+π3)sinπ3=-√154×12+14×√32=√3-√158.2.(2021浙江“七彩阳光〞联盟期初联考,18)f(x)=2√3cos2x+sin2x-√3+1(x∈R).(1)求f(x)的单调增区间;(2)当x∈[-π4,π4]时,求f(x)的值域.解析由题可知f(x)=sin2x+√3(2cos2x-1)+1=sin2x+√3cos2x+1=2sin(2x+π3)+1.(1)令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,即2kπ-5π6≤2x≤2kπ+π6,k∈Z,∴kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-5π12,kπ+π12](k∈Z).(2)∵x∈[-π4,π4],∴2x+π3∈[-π6,5π6],∴sin(2x+π3)∈[-12,1],∴f(x)∈[0,3].3.(2021届浙江湖州、衢州、丽水三地联考,18)平面向量a=(√32sinx,cosx),b=(cos x,0),函数f(x)=|2a+b|(x∈R).(1)求函数f(x)图象的对称轴;(2)当x∈(0,π2)时,求f(x)的值域.解析此题考查平面向量的模的求法、三角恒等变换、辅助角公式的应用;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)2a+b=(√3sin x+cos x,2cos x),f(x)=|2a+b|=√(√3sinx+cosx)2+(2cosx)2=√2sin(2x+π6)+4(x∈R).由2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+π6,k∈Z.(2)因为x∈(0,π2),所以2x+π6∈(π6,7π6),所以sin(2x+π6)∈(-12,1],可得f(x)∈(√3,√6],即f(x)的值域为(√3,√6].【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组(2021浙江,10,6分)2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),那么A=,b=.答案√2;1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一两角和与差的三角函数1.(2021课标全国Ⅲ理,4,5分)假设sinα=13,那么cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B2.(2021课标全国Ⅱ,9,5分)假设cos(π4-α)=35,那么sin2α=()A.725 B.15 C.-15 D.-725答案 D 3.(2021江苏,13,5分)tanαtan (α+π4)=-23,那么sin (2α+π4)的值是 .答案√2104.(2021课标全国Ⅰ文,15,5分)α∈(0,π2),tan α=2,那么cos (α-π4)= .答案3√1010考点二 简单的三角恒等变换1.(2021课标全国Ⅲ文,4,5分)sin α-cos α=43,那么sin 2α=( )A.-79B.-29C.29D.79答案 A2.(2021四川,11,5分)cos 2π8-sin 2π8= .答案√22C 组 教师专用题组考点一 两角和与差的三角函数1.(2021课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-√32B.√32C.-12 D.12答案 D2.(2021重庆,9,5分)假设tanα=2tanπ5,那么cos(α-3π10)sin(α-π5)=()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2021江苏,5,5分)假设tan(α-π4)=16,那么tanα=.答案754.(2021江苏,8,5分)tanα=-2,tan(α+β)=17,那么tanβ的值为. 答案3考点二简单的三角恒等变换1.(2021山东文,4,5分)cos x=34,那么cos2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D2.(2021四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案√623.(2021江苏,16,14分)向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)假设a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b,所以-√3cos x=3sin x.假设cos x=0,那么sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-√33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(x+π6).因为x∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而-1≤cos(x+π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-2√3.【三年模拟】一、选择题(每题4分,共12分)1.(2021届浙江杭州二中开学考,3)cos(π6-α)=23,那么cos(5π3+2α)的值为()A.59B.19C.-19D.-59答案C2.(2021浙江绍兴一中新高考调研卷五,5)△ABC,有关系式tan C(sin2B-sin A)=cos2B+cos A成立,那么△ABC为()A.等腰三角形B.∠A=60°的三角形C.等腰三角形或∠A=60°的三角形D.等腰直角三角形答案C3.(2021届浙江五校十月联考,9)在△ABC中,sinAsinB +cos C=0,tan A=√24,那么tan B=()A.√2B.2√2C.√23D.√22答案D二、填空题(每空3分,共12分)4.(2021届浙江名校协作体开学联考,12)设函数f(x)=cos2x-sin x,那么f(5π6)=,假设f(x)≥0,那么实数x的取值范围是.答案0;[2kπ-7π6,2kπ+π6](k∈Z)5.(2021届浙江之江教育联盟联考,14)函数f(x)=sin2x-sin2(x-π6),x∈R,那么f(x)的最小正周期为,单调递增区间为.答案π;[-π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)三、解答题(共90分)6.(2021届浙江金丽衢十二校联考,18)设函数f(x)=sin x+cos x,x∈R.(1)求f(x)·f(π-x)的最小正周期;(2)求函数g(x)=sin3x+cos3x的最大值.解析此题考查三角恒等变换以及三角函数的性质;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)f(x)·f(π-x)=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=-cos2x.所以最小正周期T=2π2=π.(2)g(x)=sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(1-sin xcos x),令sin x+cos x=t,那么t∈[-√2,√2],所以sin x·cos x=t2-12,所以g(t)=t(1−t2-12)=t·3−t22=3t-t32,g'(t)=3−3t22,即g(t)在[-√2,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,在[1,√2]上单调递减,所以g(t)max=g(1)=1.7.(2021浙江三校联考,18)函数f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx-3(ω>0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.(1)求ω的值及f(x)的单调增区间;(2)假设f(x0)=6√35,且x0∈(23,143),求f(x0+1)的值.解析(1)f(x)=3cosωx+√3sinωx=2√3sin(ωx+π3).由题意得T=8,所以ω=2π8=π4 ,所以f(x)=2√3sin(πx4+π3).令-π2+2kπ≤πx4+π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得-103+8k≤x≤23+8k,k∈Z.所以f(x)的单调增区间为[-103+8k,23+8k],k∈Z.(2)由(1)知f(x0)=2√3sin(πx04+π3)=6√35,即sin(πx04+π3)=35,因为x0∈(23,14 3),所以πx04+π3∈(π2,3π2),所以cos(πx04+π3)=-45.所以f(x0+1)=2√3sin(πx04+π4+π3)=2√3[sin(πx04+π3)cosπ4+cos(πx04+π3)sinπ4]=2√3×(35×√22-45×√22)=-√65.8.(2021浙江杭州高级中学期中,18)函数f(x)=cos2x+√3cos xcos(x+π2).(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;(2)假设f(x0)=-110,x0∈(π12,π3),求cos2x0的值.解析(1)f(x)=-sin(2x-π6)+12.易知当sin(2x-π6)=-1时,f(x)取得最大值,此时2x-π6=-π2+2kπ,k∈Z,故x=-π6+kπ,k∈Z,所以当x=-π6+kπ,k∈Z时,f(x)max=32.(2)因为f(x0)=-sin(2x0-π6)+12=-110,所以sin(2x0-π6)=35.因为x0∈(π12,π3 ),所以2x0-π6∈(0,π2),故cos(2x0-π6)=45.所以cos2x0=cos[(2x0-π6)+π6]=cos(2x0-π6)cosπ6-sin(2x0-π6)sinπ6=4√3-310.9.(2021浙江高考数学仿真卷(二),18)函数f(x)=-√3sin2x-2cos2x+1.(1)求函数f(x)的振幅和单调递增区间;(2)在△ABC中,C为锐角,满足sin2C+2sin2A=1,假设f(C)=12,求cos2A的值.解析(1)f(x)=-√3sin2x-cos2x=-2sin(2x+π6),∴f(x)的振幅为2.令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),那么π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z).∴f(x)的单调递增区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).(2)∵sin 2C+2sin 2A=1,∴sin 2C=1-2sin 2A=cos 2A=sin (π2+2A),∴2C=π2+2A 或2C+2A+π2=π,所以C-A=π4或C+A=π4.∵C 为锐角,∴2C+π6∈(π6,7π6),∵f(C)=12, ∴-2sin (2C +π6)=12,∴sin (2C +π6)=-14,∴2C+π6∈(π,7π6), ∴C ∈(5π12,π2), ∴C-A=π4,此时cos (2C +π6)=-√154,∴cos 2A=cos [2(C -π4)]=cos (2C -π2)=sin 2C=sin [(2C +π6)-π6]=sin (2C +π6)cos π6-cos (2C +π6)sin π6=-14×√32-(-√154)×12=√15-√38.10.(2021浙江高考信息优化卷(一),18)函数f(x)=2√3sin ωxsin (ωx +π2)-2sin 2ωx+1(ω>0),且f(x)的最小正周期为π.(1)求ω的值以及f(x)在区间[0,π3]上的值域;(2)假设f(α)=2√55,且α∈[π6,π2],求cos 2α的值.解析 (1)f(x)=2√3sin ωxcos ωx+cos 2ωx=√3sin 2ωx+cos 2ωx=2sin (2ωx +π6),∵T=2π2ω=π,∴ω=1, ∴f(x)=2sin (2x +π6),∵x ∈[0,π3],∴2x+π6∈[π6,5π6],∴sin(2x+π6)∈[12,1],∴f(x)∈[1,2].(2)易知f(α)=2sin(2α+π6)=2√55⇒sin(2α+π6)=√55,∵α∈[π6,π2],∴2α+π6∈[π2,7π6],∴cos(2α+π6)=-2√55,∴cos2α=cos[(2α+π6)-π6]=cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ6=√5-2√1510.11.(2021届浙江Z20联盟开学联考,18)函数f(x)=cos2x+√3sin xcos x.(1)求f(π3)的值;(2)假设f(α2)=1310,α∈(0,π3),求cosα的值.解析此题考查简单的三角恒等变换;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)因为f(x)=cos2x+√3sin xcos x=1+cos2x2+√32sin2x=12+sin(2x+π6),所以f(π3)=12+sin(2π3+π6)=12+sin5π6=12+12=1.(2)由f(α2)=1310,α∈(0,π3),得sin(α+π6)=45,cos(α+π6)=35,所以cosα=cos(α+π6-π6)=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)·sinπ6=3√3+410.。
三角函数的概念、同角关系、诱导公式及三角恒等变换
三角函数的概念、同角关系、诱导公式及三等恒等变换1、（2014.全国新课标卷.2）若tan α>0,则（ ）A.sin α>0B.cos α>0C.sin2α>0D.cos2α>02、（2014.全国大纲卷.2）已知角α的终边经过点（-4,3），则cos α=( )54.53.53.54.--D C B A3、（2014.山东卷.12）函数x x y 2cos 2sin 23+=的最小正周期为______4、（2014.江苏卷.15）已知α∈（2π，π），sin α=55.(I)求sin(4π+α)的值；（II ）求cos(65π-2α )的值.5、（2013.全国新课标卷.6）已知sin2α=32,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2πα( ) 32.21.31.61.D C B A 6、（2013.江西卷.3）若332sin=α，则cos α=( ) 32.31.31.32.D C B A -- 7、（2013.四川卷.14）设sin2α=-sin α,α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，则tan2α的值是_____8、（2013.广东卷.4）已知5125sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ，那么cos α=( ) 52.51.51-.52-.D C B A 9、（2013.广东卷.16）已知函数.,12cos 2)(R x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π（I ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf 的值. （II ）若),2,23(,53cos ππθθ∈=求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πθf . 10、（2013.上海卷.9）若,31sin sin cos cos =+y x y x 则=-)22cos(y x _____ 11、（2012.广东卷.16）已知函数,),64cos()(R x x A x f ∈+=π且.2)3(=πf（I ）求A 的值；（II ）设58324,1730344,2,0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβαf f ，求cos(α+β)的值.12、（2012.江苏卷.11）设α为锐角，若,546cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα则⎪⎭⎫ ⎝⎛+122sin πα的值为_____ 13、（2012.江苏卷.15）在ABC ∆中，已知.3BC BA AC AB ⋅=⋅(I)求证：tanB=3tanA; (II)若,55cos =C 求A 的值.14、（2012.江西卷.4）若21cos sin cos sin =-+αααα，则=α2tan （ ） 34.34.43.43.D C B A --15、（2011.山东卷.3）若点（a ，9）在函数3x y =的图像上，则6tan πa 的值为（ ）A.0B.33C.1D.316、（2010.全国新课标卷.10）若54cos =α,α是第三象限的角，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πα=（） 102.102.1027.1027.D C B A --。
2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测4-1三角恒等变换带讲解
☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第四章 三角函数4.1 三角恒等变换单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识相结合．题型一.同角三角函数的基本关系、诱导公式1．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α＞0 B ．cos2α＜0 C ．sin2α＞0 D ．sin2α＜0【答案】D ．【解答】解：α为第四象限角，则−π2+2k π＜α＜2k π，k ∈Z ，则﹣π+4k π＜2α＜4k π，∴2α是第三或第四象限角或为y 轴负半轴上的角，∴sin2α＜0， 故选：D ．2．（2018•新课标Ⅱ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=23，则|a ﹣b |＝（ ） A ．15B ．√55C ．2√55D ．1【答案】B ．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=23， ∴cos2α＝2cos 2α﹣1=23，解得cos 2α=56，∴|cosα|=√306，∴|sinα|=√1−3036=√66，|tanα|＝|b−a 2−1|＝|a ﹣b |=|sinα||cosα|=√66√306=√55．故选：B ．3．（2017•新课标Ⅱ）已知sinα﹣cosα=43，则sin2α＝（ ） A ．−79B ．−29C ．29D ．79【答案】A ．【解答】解：∵sinα﹣cosα=43，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α=169， ∴sin2α=−79， 故选：A ．4．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin （α+β）＝ −12． 【答案】−12．【解答】解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin 2α+2sinαcosβ+cos 2β＝1，①， cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos 2α+2cosαsinβ+sin 2β＝0，②， 由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin （α+β）＝1， ∴2sin （α+β）＝﹣1． ∴sin （α+β）=−12． 故答案为：−12．5．（2015•四川）已知sinα+2cosα＝0，则2sinαcosα﹣cos 2α的值是 ﹣1 ． 【答案】﹣1【解答】解：∵sinα+2cosα＝0，即sinα＝﹣2cosα， ∴tanα＝﹣2，则原式=2sinαcosα−cos 2α1=2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα−1tan 2α+1=−54+1=−1， 故答案为：﹣16．（2021•新高考Ⅱ）若tanθ＝﹣2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（ ）A ．−65 B ．−25C ．25D ．65【答案】C ．【解答】解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ) =sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ1+tan 2θ =4−21+4=25． 故选：C ．7．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos （α﹣β）＝ −79． 【答案】−79【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sinα＝sinβ=13，cosα＝﹣cosβ，∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−79： ∵sinα=13，当α在第二象限时，cosα=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα=2√23， ∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79， 故答案为：−79题型二.两角和与差公式1．（2017•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π2），tanα＝2，则cos （α−π4）＝3√1010．【答案】3√1010【解答】解：∵α∈（0，π2），tanα＝2，∴sinα＝2cosα，∵sin 2α+cos 2α＝1，解得sinα=2√55，cosα=√55， ∴cos （α−π4）＝cosαcos π4+sinαsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010， 故答案为：3√10102．（2020•新课标Ⅱ）已知2tanθ﹣tan （θ+π4）＝7，则tanθ＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2【答案】D ．【解答】解：由2tanθ﹣tan （θ+π4）＝7，得2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，即2tanθ﹣2tan 2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan 2θ﹣8tanθ+8＝0， 即tan 2θ﹣4tanθ+4＝0， 即（tanθ﹣2）2＝0， 则tanθ＝2， 故选：D ．3．（2014•新课标Ⅱ）设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，则（ ）A ．3α﹣β=π2 B ．3α+β=π2C ．2α﹣β=π2D ．2α+β=π2【答案】C ． 【解答】解：由tanα=1+sinβcosβ，得： sinαcosα=1+sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin （α﹣β）＝cosα＝sin （π2−α）， ∵α∈（0，π2），β∈（0，π2），∴当2α−β=π2时，sin （α﹣β）＝sin （π2−α）＝cosα成立．故选：C ．4．（2015•江苏）已知tanα＝﹣2，tan （α+β）=17，则tanβ的值为 3 ．【答案】3．【解答】解：tanα＝﹣2，tan （α+β）=17， 可知tan （α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=17， 即−2+tanβ1+2tanβ=17，解得tanβ＝3．故答案为：3．5．（2013•新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若tan （θ+π4）=12，则sinθ+cosθ＝ −√105 ． 【答案】−√105【解答】解：∵tan （θ+π4）=tanθ+11−tanθ=12，∴tanθ=−13， 而cos 2θ=cos 2θsin 2θ+cos 2θ=11+tan 2θ， ∵θ为第二象限角， ∴cosθ=−√11+tan 2θ=−3√1010，sinθ=√1−cos2θ=√1010， 则sinθ+cosθ=√1010−3√1010=−√105． 故答案为：−√1056．（2016•新课标Ⅱ）已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ−π4）＝ −43 ． 【答案】−43．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴−π2+2kπ＜θ＜2kπ，则−π4+2kπ＜θ+π4＜π4+2kπ，k ∈Z ， 又sin （θ+π4）=35，∴cos （θ+π4）=√1−sin 2(θ+π4)=√1−(35)2=45． ∴cos （π4−θ）＝sin （θ+π4）=35，sin （π4−θ）＝cos （θ+π4）=45．则tan （θ−π4）＝﹣tan （π4−θ）=−sin(π4−θ)cos(π4−θ)=−4535=−43． 故答案为：−43．7．（2015•重庆）若tanα＝2tan π5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C ．【解答】解：tanα＝2tan π5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=cosαcos3π10+sinαsin 3π10sinαcos π5−cosαsinπ5=cos3π10+tanαsin 3π10tanαcos π5−sinπ5=cos 3π10+2tan π5sin 3π102tan π5cos π5−sin π5=cos 3π10+2sin π5cosπ5sin 3π102sin π5cosπ5cos π5−sin π5=cos π5cos 3π10+2sin π5sin 3π102sin π5cos π5−cos π5sin π5=cos(π5−3π10)+sin π5sin 3π10sin π5cos π5+sin(π5−π5)=cos π10+sin π5sin 3π10sin π5cos π5=cos π10−12[cos(π5+3π10)−cos(π5−3π10)]12sin 2π5=cos π10+12cos π1012sin 2π5=3cos π10sin 2π5=3cos π10sin(π2−π10)=3cos π10cos π10=3． 故选：C ．题型三.倍角公式1．（2021•乙卷）cos 2π12−cos 25π12=（ ）A ．12B ．√33C ．√22D ．√32【答案】D ．【解答】解：法一、cos2π12−cos25π12=1+cos π62−1+cos5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32． 法二、cos 2π12−cos 25π12＝cos 2π12−sin 2π12＝cosπ6=√32． 故选：D ．2．（2020•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（ ） A ．√53B ．23C ．13D ．√59【答案】A ．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos 2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0， 即3cos 2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos α=−23．∵α∈（0，π），∴α∈（π2，π），则sinα=√1−cos 2α=√1−(−23)2=√53．故选：A ．3．（2019•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（ ）A ．15B ．√55C ．√33D ．2√55【答案】B ．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1， ∴可得：4sinαcosα＝2cos 2α， ∵α∈（0，π2），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin 2α+cos 2α＝sin 2α+（2sinα）2＝5sin 2α＝1， ∴解得：sinα=√55． 故选：B ．4．（2016•新课标Ⅱ）若cos （π4−α）=35，则sin2α＝（ ）A ．725B ．15C ．−15D ．−725【答案】D ．【解答】解：法1°：∵cos （π4−α）=35，∴sin2α＝cos （π2−2α）＝cos2（π4−α）＝2cos 2（π4−α）﹣1＝2×925−1=−725，法2°：∵cos （π4−α）=√22（sinα+cosα）=35，∴12（1+sin2α）=925，∴sin2α＝2×925−1=−725，故选：D ．5．（2013•浙江）已知α∈R ，sinα+2cosα=√102，则tan2α＝（ ） A ．43B ．34C ．−34D ．−43【答案】C ．【解答】解：由sinα+2cosα=√102，则（sinα+2cosα）2=52，即sin 2α+4sinαcosα+4cos 2α=52， 可得tan 2α+4tanα+4tan 2α+1=52，解得tanα＝3或−13．那么tan2α=2tanα1−tan 2α=−34．故选：C ．6．（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α=23，则cos 2（α+π4）＝（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A ．【解答】解：∵sin2α=23，∴cos 2（α+π4）=12[1+cos （2α+π2）]=12（1﹣sin2α）=12×（1−23）=16． 故选：A ．7．（2021•甲卷）若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tanα＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153【答案】A ．【解答】解：由tan2α=cosα2−sinα，得sin2αcos2α=cosα2−sinα，即2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈（0，π2），∴cosα≠0，则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin 2α，解得sinα=14，则cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=14√154=√1515． 故选：A ．8．（2010•宁夏）若cosα=−45，α是第三象限的角，则1+tanα21−tanα2=（ ）A ．−12 B ．12C ．2D ．﹣2【答案】A ．【解答】解：由cosα=−45，α是第三象限的角， ∴可得sinα=−35，则1+tanα21−tanα2=cos α2+sinα2cos α2−sinα2=1+sinαcosα=1−35−45=−12，故选：A ．9．（2012•江苏）设α为锐角，若cos （α+π6）=45，则sin （2α+π12）的值为 17√250． 【答案】17√250． 【解答】解：设β＝α+π6，∴sinβ=35，sin2β＝2sinβcosβ=2425，cos2β＝2cos 2β﹣1=725， ∴sin （2α+π12）＝sin （2α+π3−π4）＝sin （2β−π4）＝sin2βcos π4−cos2βsin π4=17√250． 故答案为：17√250．10．（2011•重庆）已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），则cos2αsin(α−π4)的值为 −√142 ． 【答案】−√142 【解答】解：由sinα=12+cosα，得到sinα﹣cosα=12①， 又sin 2α+cos 2α＝1②，且α∈（0，π2）， 联立①②解得：sinα=√7+14，cosα=√7−14，∴cos2α＝cos 2α﹣sin 2α=−√74，sin （α−π4）=√22（sinα﹣cosα）=√24，则cos2αsin(α−π4)=−√74√24=−√142． 故答案为：−√142题型四.三角函数的最值——辅助角公式1．（2021•乙卷）函数f （x ）＝sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3π和√2B ．3π和2C ．6π和√2D ．6π和2【答案】C ．【解答】解：∵f （x ）＝sin x 3+cos x3=√2sin （x 3+π4）， ∴T =2π13=6π．当sin （x3+π4）＝1时，函数f （x ）取得最大值√2；∴函数f （x ）的周期为 6π，最大值√2． 故选：C ．2．（2017•新课标Ⅱ）函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A ．【解答】解：函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）=15sin （x +π3）+cos （﹣x +π6）=15sin （x +π3）+sin （x +π3）=65sin （x +π3）≤65． 故选：A ．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f （x ）＝sin 2x +√3cos x −34（x ∈[0，π2]）的最大值是 1 ．【答案】1【解答】解：f （x ）＝sin 2x +√3cos x −34=1﹣cos 2x +√3cos x −34， 令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，则y ＝﹣t 2+√3t +14=−（t −√32）2+1， 当t =√32时，f （t ）max ＝1， 即f （x ）的最大值为1， 故答案为：14．（2018•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）＝2sin x +sin2x ，则f （x ）的最小值是 −3√32． 【答案】−3√32． 【解答】解：由题意可得T ＝2π是f （x ）＝2sin x +sin2x 的一个周期， 故只需考虑f （x ）＝2sin x +sin2x 在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f ′（x ）＝2cos x +2cos2x ＝2cos x +2（2cos 2x ﹣1）＝2（2cos x ﹣1）（cos x +1），令f ′（x ）＝0可解得cos x =12或cos x ＝﹣1， 可得此时x =π3，π或5π3；∴y ＝2sin x +sin2x 的最小值只能在点x =π3，π或5π3和边界点x ＝0中取到，计算可得f （ π3）=3√32，f （π）＝0，f （ 5π3）=−3√32，f （0）＝0，∴函数的最小值为−3√32， 故答案为：−3√32．5（2020•北京）若函数f （x ）＝sin （x +φ）+cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为 π2．【答案】π2．【解答】解：∵sin （x +φ）≤1，cos x ≤1，又函数f （x ）＝sin （x +φ）+cos x 的最大值为2，所以当且仅当sin （x +φ）＝1，cos x ＝1时函数f （x ）取到最大值， 此时x ＝2k π，k ∈Z ，则sin （x +φ）＝sinφ＝1， 于是φ=π2+2k π，k ∈Z 时φ均满足题意， 故可选k ＝0时，φ=π2． 故答案为：π2．1．（2020•广州模拟）sin80°cos50°+cos140°sin10°＝（ ） A ．−√32 B ．√32C ．−12D ．12【答案】D ．【解答】解：sin80°cos50°+cos140°sin10°＝cos10°cos50°﹣sin50°sin10°＝cos （50°+10°）＝cos60°=12． 故选：D ．2．（2018•沈阳一模）已知tanθ＝2，则sinθ+cosθsinθ+sin 2θ的值为（ ）A ．195B ．165C ．2310D ．1710【答案】C ．【解答】解：∵tanθ＝2，则sinθ+cosθsinθ+sin 2θ=1+1tanθ+sin 2θsin 2θ+cos 2θ＝1+12+tan 2θtan 2θ+1=32+44+1=2310，故选：C ．3．（2020•福州一模）若tan(π2−α)=3cos(α−π)，则cos2α＝（ ） A ．﹣1 B ．79C ．0或79D ．﹣1或79【答案】D ．【解答】解：由tan(π2−α)=3cos(α−π)，得sin(π2−α)cos(π2−α)=−3cosα，所以cosαsinα=−3cosα，所以cosα＝0或sinα=−13，故cos2α＝2cos 2α﹣1＝﹣1，或cos2α=1−2sin 2α=79． 故选：D ．4．（2017秋•乐山期末）已知cos(α+β)=35，sin(β−π6)=13，且α，β均为锐角，则sin(α+π6)=（ ） A ．8√2−315B ．8√2−415C ．8−3√215D ．8−4√215【答案】A ．【解答】解：∵α，β均为锐角， ∴α+β∈（0，π），β−π6∈（−π6，π3）， 由cos(α+β)=35，sin(β−π6)=13，得sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=45，cos （β−π6）=√1−sin 2(β−π6)=2√23．∴sin(α+π6)=sin[（α+β）﹣（β−π6）]＝sin （α+β）cos （β−π6）﹣cos （α+β）sin （β−π6）] =45×2√23−35×13=8√2−315． 故选：A ．5．（2019秋•湖北月考）若sin （π6−θ）=35，则sin （π6+2θ）＝（ ）A ．−2425B ．2425C ．−725D ．725【答案】D ．【解答】解：sin （π6+2θ）＝sin[π2−2（π6−θ）]＝cos2（π6−θ）＝1﹣2sin 2（π6−θ）＝1−1825=725，故选：D ．6．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为 12．【答案】12．【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3）＝sin 2x +（ 12sin x +√32cos x ）2=54sin 2x +34cos 2x +√34sin2x =12sin（2x −π6）+1，当sin （2x −π6）＝﹣1时，函数f （x ）min ＝1−12=12． 故答案为：12．7．已知α，β都是锐角，且tanαtanβ=1+1cosβ，则（ ） A ．2α＝β+πB ．2α＝π﹣βC ．3α＝π+βD ．3α＝π﹣β【解答】解：∵α，β都是锐角，且tanαtanβ=1+1cosβ， ∴sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=1+1cosβ， ∴cosαcosβ+cosα＝sinαsinβ， ∴cos （α+β）＝﹣cosα＝cos （π±α），∴α+β＝2k π+π+α（k ∈Z ），或α+β＝2k π+π﹣α（k ∈Z ）， ∴β＝2k π+π+α（k ∈Z ）（舍去），或2α＝2k π+π﹣β（k ∈Z ）， ∵α，β都是锐角， 当k ＝0时，2α＝π﹣β， 故选：B ．8．已知α，β∈（0，π），cosα=−3√1010，若sin （2α+β）=12sinβ，则α+β＝（ ）A ．54πB ．23πC ．76πD ．74π【解答】解：∵α（0，π），cosα=−3√1010， ∴sinα=√1−cos 2α=√1010， ∴sin2α＝2sinαcosα＝2×√1010×（−3√1010）=−35，cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×(√1010)2=45， ∵sin （2α+β）=12sinβ， ∴sin2αcosβ+cos2αsinβ=12sinβ，∴−35cosβ+45sinβ=12sinβ，即sinβ＝2cosβ， 又sin 2β+cos 2β＝1，且β∈（0，π）， ∴sinβ=2√55，cosβ=√55，∴sin （α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ=√1010×√55+（−3√1010）×2√55=−√22＜0， ∵α，β∈（0，π），且cosα＜0，cosβ＞0，∴α∈（π2，π），β∈（0，π2），∴α+β∈（π2，3π2），∴α+β=5π4． 故选：A ．。
题组9三角函数的概念、同角关系、诱导公式、恒等变换
高考圈题（新课标II数学文）题组9三角函数的概念、同角关系、诱导公式、恒等变换一、考法解法命题特点分析2014年新课标全国Ⅱ卷第一个解答题为数列题,且2014年数列题考查的放缩难度较大,2015年第一个大题为三角综合问题的可能性极大.对本部分的考查,重点考查性质、化简求值、图像变换、恒等变换.简答题重视解三角形，特别是实际应用问题，当然，还得重视与其他知识的综合，如平面向量。
三角恒等变换是高考考查的重点内容之一,是三角函数的基础常与解三角形以及三角函数的图像与性质结合起来综合考察少单独考察.常见题型以选择题、填空题为主，解答题.难度系数在0.6左右.解题方法荟萃计算转化为主要解题方法.掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍.和差公式,二倍角公式及降幂公式,辅助角公式是解高考题必用公式.二、真题剖析【题干】(2012高考真题全国卷7)已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α=(A) B ） (C) 【解析】(命题意图)本题主要考查同角三角函数关系、二倍角公式的应用. (解题点拨)因为33c o s s i n =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα， 所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. (点评)注意题目中的角的范围, 结合平方关系与三角恒等变形来做,难度不大.这里要注意sin cos αα±与sin cos αα之间的关系.【题干】（2013•全国新课标卷•Ⅱ）设θ为第二象限角，若π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin θ＋cos θ＝__________.【答案】 【解析】 (命题意图) 考查三角函数定义，两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，三角函数在各个象限的符号等4个知识点.(解题点拨)由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得210cos 19θ=.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θsin θ＋cos θ＝.(点评) 主要利用三角函数定义及化一公式求解;涉及方程、转化与化归等数学思想.本题属于中档题，也是高考中的主要考点之一 【题干】（2014•全国新课标Ⅰ卷）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 ( )A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】B(命题意图)本题三角函数中的恒等变换应用和切割化弦的技巧 (解题点拨)解法1.选B （演绎推理） ∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-= 解法2.选B （特殊角） 取6πβ=代入1sin tan cos βαβ+=，可得3tan =α，所以3πα=，通过四个选项验证，只有选项B 符合。
专题09三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换（解析版）
专题09三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换（解析版）考查同角三角函数基本关系及三角恒等变换历来都是高考热点问题之一，题型一般为选择题或填空题，难度为基础题或中档题.易错点1:不能正确理解三角函数的定义当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误。
根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。
易错点2:单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘,应用意识不强，另—方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的球易错点3：不瞄常数T的代换1=sin2a+cos2 a=sec2a-tan2a=tancrcotcr=tan—=sin—=cos()这些统称42为1的代换。
易错点4:易遗忘关于sin。
和cos。
齐次式的处理方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降皋或升皋.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降"是基本的规律,根号中含有三角函数式时，一般需要升次.易错点5:不能准确运用诱导公式进行化简求值三角化简的通性通法…奇变偶不变，符号看象限（切化弦、降慕公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次）：易错点6:没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象；易错点7:不重视弧度制下弧长公式和扇形面积公式的记忆（/=1q I r.5扇形=§/尸）。
题组一：三角函数的定义1.(2014新课标I)若tana>0,则()A.sin>0B.cosa>0C.siii2tZ>0D.cos2tz>0【解析】tana＞（）w匚第一象限或第三象限.此时sinaL cosa|“E.故sin la=2sin acosa>01选C.2.（2011新课标）已知角0的顶点与原点重合,始边与X轴的正半轴重合，终边在直线y=2a上，则cos2^=()4 A.—5B.——53C.-54D.-5【解析】由角。
专题4三角函数与解三角形四大考点与真题训练 -2022年高考数学考前30天提分方案(原卷版)
2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）专题1.4三角函数与解三角形四大考点与真题训练考点一：三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式一、单选题1．（2022·贵州·模拟预测（文））已知tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin cos cos 3sin αααα+=-（ ） A ．3-B ．35C ．17-D ．152．（2022·陕西榆林·三模（理））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 315，1b c -=，1cos 4A =，则=a （ ）A ．10B ．3C 10D 33．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））若tan 2tan 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2x =（ ） A ．35B ．35C ．13-D ．134．（2022·贵州·模拟预测（理））已知tan()34πα+=-，则cos2=α（ ） A ．35B ．35C ．34-D ．34二、多选题5．（2022·河北·模拟预测）已知tan 2θ=，则下列结论正确的是（ ） A ．tan()2πθ-=-B ．tan()2πθ+=-C ．sin 3cos 12sin 3cos 7θθθθ-=-+D ．4sin 25θ=6．（2022·福建·模拟预测）已知函数()sin 4cos 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的最大值为2B ．f （x ）在,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．f （x ）在[0,]π上有4个零点D ．把f （x ）的图象向右平移12π个单位长度，得到的图象关于直线8x π=-对称 三、填空题7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知2,0πα⎛∈⎫⎪⎝⎭，且1sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=__________，tan α=__________．8．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知角θ的终边过点()4,A a ，且3sin(π)5θ-=，则tan θ=___________.9．（2022·全国·模拟预测）定义运算：12142334a a a a a a a a =-.若22cos 21sin 5αα-=，()0,απ∈，则tan α=___________.10．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知1(0,),sin()cos(2)4θππθπθ∈-+-=，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______． 11．（2022·陕西·二模（理））角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线20x y +=上，则sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________.12．（2022·陕西榆林·三模（理））已知2sin 5cos αα=，则2sin 2cos αα+=________.四、解答题13．（2022·福建龙岩·一模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 是三个连续的正整数，且a b c <<，2C A =．(1)求a ；(2)将线段AB 绕点A 顺时针旋转3π到AD ，求ACD △的面积．考点二：三角函数的性质与应用一、单选题1．（2022·天津河北·一模）将函数()sin 23f x x x =的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．（2022·广东梅州·二模）已知函数()1cos (0)f x x ωω=+>的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向左平移(0)m m >个单位长度，所得图象关于直线π3x =对称，则实数m 的最小值为（ ） A ．6πB ．π4C ．π3D ．2π33．（2022·陕西榆林·三模（理））已知0>ω，函数()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且对任意,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()0f x ≥，则ω的取值范围为（ ）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,3]D ．(1,3)4．（2022·广东佛山·二模）已知函数()sin (0)f x x ωω=>图象上相邻两条对称轴之间的距离为32π，则ω=（ ）A ．32B ．43C ．23D ．13二、多选题5．（2022·天津五十七中模拟预测）已知函数()3cos 2f x x =的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列选项不正确的是（ ）． A ．最小正周期为π B ．2()3cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()g x 是偶函数D ．当()12x k k ππ=-∈Z 时()g x 取得最大值6．（2022·湖南师大附中一模）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0>ω，0A >），若3x π=为()f x 的一个极值点，且()f x 的最小正周期为π，则（ ）A ．3A f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．6k ϕπ=π-（k ∈Z ） C ．()f x 的图象关于点（712π，0）对称 D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数7．（2022·江苏连云港·二模）已知函数()23sin cos 222x x xf x =-，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为4πB ．点2π33⎛- ⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．将函数()f x 图象向左平移5π6个单位长度，所得到的函数图象关于y 轴对称 D ．函数()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减8．（2022·海南·模拟预测）已知函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象.则（ ） A ．()5cos 612g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于58x π=对称 C ．()g x 的最小正周期为3π D ．()g x 在（58π，178π）上单调递减9．（2022·辽宁·模拟预测）已知函数()()sin 2f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 的图象关于y 轴对称，若()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，则下列说法正确的是（ ）A ．()cos2g x x =B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 在[]0,π上的单调增区间是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[2π3,π]D ．()f x 的图象关于点17,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称 三、填空题10．（2022·陕西榆林·三模（文））已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点(01)A -,，且()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大整数值为________.11．（2022·山东·昌乐二中模拟预测）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.12．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.13．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数()f x ，①函数()f x 的图象关于直线6x π=-对称，②当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的取值范围是[2,1]-，则同时满足条件①②的函数()f x 的一个解析式为________.14．（2022·北京朝阳·一模）已知直线3x π=和56x π=是曲线()()sin 0y x ωϕω=+>的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个ϕ的值是___________.15．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已知函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将得到的图象关于x 轴翻折，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在[0,2]π上的单调递增区间为________；16．（2022·山西太原·一模（理））设函数()3sin cos f x x x -，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的值域为3⎡-⎣；③()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增； ④()f x 在[],ππ-上有4个零点.其中所有正确结论的序号是__________.四、解答题17．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））设()()23sin sin cos 12f x x x x x π⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期及()y f x =图象的对称轴方程；(2)求()f x 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．考点三：三角恒等变换一、单选题1．（2022·重庆·二模）已知(),0,παβ∈，()5sin 6αβ-=，tan 1tan 4αβ=-，则αβ+=（ ） A ．5π6B ．πC ．7π6D ．11π62．（2022·河南焦作·二模（文））已知cos 2323x x =x 的值可以是（ ）A ．0B ．6πC ．4π D ．3π 3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10cos θ=，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-4．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知()2sin cos 3παα++=，则sin2α= （ ） A ．79B ．59C ．49D ．295．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247B ．247-C ．3117D ．3117-二、多选题6．（2022·广东江门·模拟预测）在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点(,)P x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值r x、r y、xy 分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作sec α、csc α、cot α，把sec y x =、csc y x =、cot y x =分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是( ) A ．cos sec 2αα+≥B ．sec y x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈C ．2cot 1cot 22cot ααα-=D ．22(sec cos )(csc sin )9αααα+++≥7．（2022·福建莆田·模拟预测）已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，其图象相邻的两条对称轴之间的距离是2π，则（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 的图象关于点()π,0对称D ．()f x 的图象关于直线5π3x =-对称 8．（2022·山东临沂·一模）已知函数()()3sin 2cos20f x x x ωωω+>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把()f x 的图象沿x 轴向右平移3π个单位得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的一个对称中心C ．()g x 是奇函数D ．()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,2三、填空题9．（2022·广东佛山·二模）已知sin π2α4⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=___________.10．（2022·山东青岛·一模）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=______．11．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．12．（2022·陕西陕西·二模（理））已知ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()226c a b =-+，若ABC 33sin sin A B ⋅的取值范围为______. 13．（2020·四川·模拟预测（理））已知cos()2cos 2παα+=，则tan2α=________．四、解答题14．（2022·广东梅州·二模）在ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠，已知2DB =，3DC =，60BDC ∠=︒(1)求BC 的长； (2)求sin A 的值.15．（2022·重庆·二模）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，ππ1cos sin sin sin 632C A C A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求B ；(2)若△ABC 的周长为43b .16．（2022·江西宜春·模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22,2,sin b c A a c ===>． (1)求a 的值；(2)求cos()cos A B C -+的值．考点四：解三角形一、单选题1．（2021·四川省泸县第二中学模拟预测（文））命题:p 不等式()lg 110x x ⎡⎤⎣-⎦+>的解集为{}1|0x x <<，命题:q 在ABC 中，A B >是22cos cos 2424A Bππ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立的必要不充分条件，则下列命题中为真命题的是( ) A ．()p q ∧⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则△ABC 的面积的最大值（ ） A ．1B 3C ．2D ．23二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，()()cos 2cos cos a C B A ab c -=-，则以下四个命题中正确的是（ ）A ．2b c =B ．△ABC 面积的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．已知M 是边BC 的中点，则MA MB ⋅的取值范围为1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当2A C =时，ABC 的周长为23+三、填空题4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2A Ca b c=-，则A =___________. 5．（2022·河南焦作·二模（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin 12cos cos A C A C =+，3sin a c B +=，则b 的最小值为_______.6．（2022·安徽宣城·二模（文））已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积是__________． 7．（2022·山东潍坊·模拟预测）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin∠CBD ：sin∠BDC ：sin∠BAD =1：1：3AC =4，则△ABD 面积的最大值为________．四、解答题8．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2cos a b BC-=，且2c =． (1)求角C ；(2)若D 为AB 中点，求CD 的最大值．9．（2022·广东佛山·二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23B π=，且()sin sin sin cos21A B C C ++=(1)求证53a c =；(2)若ABC 的面积为153c .10．（2022·山西临汾·二模（文））ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5C =，sin sin 2sin A C B +=. (1)求b a； (2)求cos B 的值.11．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为AC 的中点，若2cos 2b C a c =+． (1)求B ；(2)若6a c +=，求BD 的最小值．【真题训练】一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473 3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．655．（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos 2c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3B ．13-C ．3或13-D ．-3或136．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数sin()4y x π=+的图象，只需要sin y x =将的图象（ ） A ．向上平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向下平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 8．（2021·江苏·高考真题）若函数()()4sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（ ） A ．12x π=- B ．0x = C ．6x π=D ．23x π=9．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2 B ．偶函数，且最大值为2 C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为98二、多选题10．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．（2020·海南·高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 三、填空题12．（2021·北京·高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．13．（2020·山东·高考真题）已知ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若sin 0.8α=，则α=______rad .14．（2021·湖南·高考真题）已知tan 3α=-α为第四象限角，则cos α=____________15．（2021·江苏·高考真题）已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.四、解答题16．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+； 条件③：ABC 3317．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．18．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.19．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：x6π-12π3π712π56πx ωϕ+0 2π π32π2πsin()A x ωϕ+30 -3 0根据表中数据，求： （1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.。
2023年高考数学真题分训练 三角函数定义与三角函数恒等变换(含答案含解析)
专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换十年大数据x 全景展示年份题号考点 考查内容理 5 三角函数定义 文 7 三角恒等变换2011课标三角函数定义与二倍角正弦公式同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系式、三角函数在各象限 的符号及两角和的正切公式 卷 2理 15三角恒等变换 2023同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换卷 2文 6理 8二倍角公式及诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 此题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、 三角函数性质等根底知识 卷 12023卷 1文 2 三角函数定义同角三角函数根本关系与诱导公式 三角函数在各象限的符号 2023卷 1理 2 诱导公式及两角和与差的三角公式三角恒等变换 三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数根本关系、 卷 2 理 9二倍角公式二倍角正弦公式、同角三角函数根本关系、三卷 3理 5 同角三角函数根本关系与诱导公式角函数式求值．2023诱导公式、同角三角函数根本关系、三角函数卷 1文 14 同角三角函数根本关系与诱导公式求值利用二倍角公式及同角三角函数根本关系求卷 3 文 6 同角三角函数根本关系与诱导公式 值三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与 转化思想卷 1文 14同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换2023卷 3文 4二倍角的正弦公式与同角三角函数根本关系． 同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归 与转化思想卷 2 理 15 同角三角函数根本关系与诱导公式 理 4 三角恒等变换2023 卷 3 二倍角余弦公式，运算求解能力文 4卷 三角函数定义三角函数定义、同角三角函数根本关系，转化 与化归思想与运算求解能力文 111同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化 归思想与运算求解能力卷 2文 15二倍角公式及同角三角函数根本关系，运算求解能力卷 2 理 10 三角恒等变换三角恒等变换卷 3卷 1文 5文 7二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．诱导公式，两角和的正切公式函数零点2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 同角三角函数根本关系、二倍角公式、已知函 数值求角，运算求解能力 二倍角公式，平方关系 二倍角公式，三角函数的符号 二倍角公式 卷 2 文 11 卷 1 卷 2理 9 三角恒等变换 理 2三角恒等变换2023文 13 三角恒等变换 理 9 三角恒等变换 文 5三角恒等变换卷 3 卷 3两角和的正切公式 两角和的正弦公式大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数定义4/232023 年高考仍将重点考查同角三角函数根本关系及三 角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍 为选择题或填空题，难度为根底题或中档题．同角三角函数根本关系与诱导公式 16/23 三角恒等变换13/23十年真题分类x 探求规律考点 36 三角函数定义1．(2023•新课标Ⅰ，文 11)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，2B (2,b )，且cos 2 ，则| a b | ()3 1 55 2 5 5A ．B ．C ．D ．15（答案）B2（解析） 角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，B (2,b ) ，且cos 2 ， 3 2 3 5630 630 36 6 cos 2 2 c os 2 1， 解 得 cos 2， | cos | ， | sin | 1，66b a 2 1 | s in | | cos | 56 30 6 | tan | | | | a b | ，应选 B ．52．(2023 新课标 I ，文 2)假设 tan 0，则 A. sin 2 0 B ． cos 0C ． sin 0D ． cos 2 0（答案）A（解析）由tan 0知， 在第—、第三象限，即k k 即2 在第—、第二象限，故只有sin 2 0，应选 A ．(k Z )，∴2k 2 2k，23．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则cos 2 =4 53 53 5 45(A)(B)(C)(D) （答案）By 2 5（解析）在直线 y 2x 取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sin ==， r 53∴cos2=1 2 s in 2 = ，应选 B ． 53 4 4．(2023 浙江)已知角 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P ( , ) ．5 5(1)求sin( )的值； 5(2)假设角 满足sin( )，求cos 的值． 133 4 （解析）(1)由角 的终边过点P ( , ) 得sin ，5 545 45 所以sin() sin ． 3 4 3 (2)由角 的终边过点P ( , ) 得cos ，5 555 得cos( ) 12 由sin( ) ． 13 13由 ( ) 得cos cos( ) c os sin( ) s in ，56 或cos 16 所以cos．65 65考点 37 同角三角函数根本关系与诱导公式1．(2023•新课标Ⅱ，文 11)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 5 5A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1 ， 可得： 4sin cos 2 c os2， (0, ) ， sin 0 ， cos 0 ，25cos 2sin ， sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， 解得：sin ，应选 B ． 53 4 tan，则cos 2sin 222．(2023 新课标卷 3，理 5)假设 6448 25 16 25(A)(B)(C) 1(D)25（答案）A 3 4 3 4 5 3 45 （解析）由tan，得 sin , c os 或 sin , c os ，所以 5 5 16 2512 64cos22sin 2 4 ，应选 A ．25 25 1 3．(2023 全国课标卷 3，文 6)假设tan ，则cos2 ( )3451 5 15 4 5(A) (B)(C) (D) （答案）D104．(2023 浙江)已知R ,sin 2costan 2 ，则( )2 43 34 3 4 A ． B ．C ．D ．43（答案）C10 2sin 2 4c os 2 4 s in cos 10 （解析）由 (sin 2 c os )( ) 可得 ，进一步整理可得 22 sin cos 4 2 212 t an 33 t an 2 8 t an 3 0，解得 tan 3或tan ，于是 tan 2，应选 C ．31 tan2 4sin cos 1sin cos 25．(2023 江西)假设，则 tan2α=( )3 34 4 3A ．−B ．C ．−D ．4 43（答案）B（解析）分子分母同除cos 得： sin cos tan 1 1,∴ tan 3，sin cos tan 1 22 t an 3∴tan 24 1 tan25 1 5 6．(2023 广东)已知sin( ) ，那么 cos22 5B ． 151 25A ．C ．D ．5（答案）C 5 215 （解析）sin( ) sin(2 + ) sin cos ，选 C ．2 2 37．(2023•新课标Ⅰ，文 14)已知 是第四象限角，且sin( ) ，则 tan( )．4 5 4 43（答案）（解析） 是第四象限角， 2k 2k ，则 2k2k ,k Z ， 2 4 4 43533 45 又 sin( ) ， cos( ) 1 sin2( ) 1 ( ) 2 ， ∴ cos() = sin( ) =， 4 5 44 5 4 44sin( )4 44 5 3 sin( ) cos( ) ，则tan( ) = tan( ) = = = ．4 45 4 43 cos( )4 51 28．(2023 新课标Ⅱ，理 15)假设 为第二象限角，tan( ，则sin cos．) 4 （答案）1 2 tan 1，即cos 3sin ，∵sin （解析）(法 1)由 tan() 得，= 2cos 2 1，为第二4 310 3 10 10105象限角，∴sin =，cos = ，∴sin cos ． 1059．(2023 江苏)已知 ( , ) ，sin． 25(1)求sin( ) 的值；45(2)求cos( 2 ) 的值．65 52 55 （解析）(1)∵， ，sin ，∴cos 1 sin 2 24 4 2 2 10 10sin sin cos cos sin(cos sin ) ； 4 4 5 35(2)∵sin 2 2sin cos ，cos 2 cos sin 2 26 63 3 1 43 34 ∴cos 2 cos cos 2 sin sin 2 ． 6 25 2 5 10 考点 38 三角恒等变换1．(2023 全国Ⅰ理 9)已知 0,π ，且3cos2 8cos 5，则sin ()52 31 35 A ．B ．C ．D ．39（答案）A（思路导引）用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论． （解析）3cos 28cos 5，得6cos 2 8cos 8 0，即3cos 4 c os4 0，解得225cos 或cos 2(舍去)，又 1 cos 20,, sin ，应选 A ． 332．(2023 全国Ⅱ理 2)假设 为第四象限角，则 ()A ．cos 2 0 （答案）DB ．cos 2 0C ．sin 2 0D ．sin 2 0（思路导引）由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．0，选项 B 错误；当2时，cos2 cos 3（解析）当 时，cos2 cos 0，6 3sin 0, c os 3 0 ，则sin2 2sin cos 0 选项 A 错误；由 在第四象限可得： ，选项 C 错误，选项 D 正确，应选 D ．363．(2023 全国Ⅲ文 5)已知sin sin 1，则sin( )1 23 2 3 2 A ．B ．C ．D ．32（答案）B（思路导引）将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值． 1 23 3 3 3 13 （解析）由题意可得：sinsin cos 1，则： sin cos 1， sin cos，2 2 2 2 2 3从而有：sin coscos sin3 ，即6 3 ．应选 B ．sin6 63 34．(2023 全国Ⅲ理 9)已知2 t an tan 7 ，则 tan4()A ． 2B ． 1C ．1D ．2（答案）D（思路导引）利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．4tan 1 1 t 2 t an tan7， 2tan 1 tan 7，令t tan ,t 1，则2t 1 t 7，整（解析） 理得t 24t 4 0 ，解得t 2，即 tan 2．应选 D ．5．(2023•新课标Ⅱ，理 10)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 55A ．B ．C ．D ．53（答 案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1， 4sin cos 2 c os2， (0, ) ，sin 0，cos 0 ， cos 2sin ，25sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， sin ，应选 B ． 56．(2023•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5（答案）B（解析）函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数，即：2sin x sin 2x 0在区间0 ，2 ]的根个数， 即2sin x sin 2x ，即sin x (1 cos x ) 0，即sin x 0或cos x 1，∵ x 0 ，2 ]，∴ x 0, ,2 ，应选B ．7．(2023•新课标Ⅰ，文 7) tan 255 ( )A ． 2 3 （答案）DB ． 2 3C ．2 3D ．2 3（解析）∵tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )31tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 3 (3 3) 2 12 6 3 3 2 3 ，应选 D ． 3 3 36 6 1 1318．(2023•新课标Ⅲ，理 4 文 4)假设sin ，则cos 2 ()3 8 97 97 98 A ．B ．C ．D ．9（答案）B11 71 2 ，应选 B ．9 9（解析） sin ， cos 2 1 2sin2349．(2023 新课标卷 3，文 4)已知sin cos ，则sin 2 = 37 92 92 97 9A ．B ．C ．D ．（答案）Acos 21 sin 79（解析）因为sin 2 2sin cos，应选 A ．1 310．(2023•新课标Ⅱ，理 9)假设cos( ) ，则sin 2 ()4 5 715C ． 17 A ．B ．D ．25 525（答案）D3（解析）法1 : cos( ) ，4 59 7sin 2 cos( 2 ) cos 2( ) 2 c os 2 ( ) 1 2 125 25 ， 2 4 4 法2 : cos( ) 2(sin cos ) ， (1 sin 2 ) 3 1 9 ， sin 2 2 1259 7， 4 2 5 2 25 25 应选 D ．11．(2023 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=3 3 1 2 1 2A ．B ．C ．D ．22（答案）D1 （解析）原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，应选 D ． 21 sincos 12．(2023 新课标Ⅰ，理 8)设 (0, )， (0, ) ，且 tan，则2 2 A ．3（答案）BB ．2C ．3D ．22222sin 1 sin（解析）∵tan，∴sin cos cos cos sin cos cos2sin cos ,0 sin ， 2 2 2 2 ∴，即2 ，选 B 2 22 313．(2023 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2 ，则cos 2( ) ()4 161 3 1 22 3(A)(B)(C)(D)（答案）A2 1 1 1 （解析）因为sin 2，所以cos 2( ) 1 cos 2( )]= (1 sin 2 ) = ，应选 A ．， 3 4 2 4 2 63cos()10 14．(2023 重庆)假设tan 2 t an ，则＝( ) 5 sin( ) 5A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C3 3 3 3 3 cos() cos cos sin sin cos tan sin 10 10 10 10 10（解析）sin( ) sin cos cos sin tan cos sin5 5 5 5 53 3 3 3cos 2 t an sin cos cos 2s in sin 10 5 10 5 10 5 102 t an cos sin sin cos5 5 5 5 51 2(cos 5cos 5 cos ) (cos ) 3cos cos 10 10 1 10 10 10 ＝ 3，选 C ． 22sin5 104 23 7 8 15．(2023 山东)假设, ，sin 2 ，则sin ( ) 34 57 43 A ．B ．C ．D ．5 4（答案）D 4 2 2 1， （解析）由2 , cos 2 1 sin ， 2， 可得 2 81 cos2 34sin，应选 D ． 21 316．(2011 浙江)假设0＜ ＜ ，- ＜ ＜0，cos( ) ，cos( )，则cos( ) 22434 2 3 233 5 3 96 A ． B ．C ．D ．339（答案）C) cos(（解析）cos() ( )] ) cos( ) c os( )2 4 4 2 4 4 23sin( ) s in( ) ( , ( , )，，而 ， 4 4 2 4 4 4 4 2 4 2 2 2 3 ，sin( ) 4 26因此sin( )， 4 31 32 26 5 3 则cos( )3 3． 2 3 3 9 217．(2023 全国Ⅱ文 13)设sin x ，则cos 2x．3 1 9（答案）（思路导引）直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可． 2 8 1 1 （解析）cos2x 1 2sin 2x 1 2 ( ) 1 2．故答案为：．3 9 992 18．(2023 江苏 8)已知sin 2 ( ) ，则sin 2 的值是________．4 31（答案）32 1 1 21 3（解析）∵sin2( ) ，由sin 2 ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin 2 ) ，解得sin 2 ． 4 3 4 2 2 2 3π419．(2023 浙江 13)已知tan 2，则cos2 ； tan ．3 1（答案）； 5 3（思路导引）利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2 ，依据两角差正切公式得 tan( )4cos cos 2 2 sin sin 2 2 1 tan 1 tan 2 2 3tan 1 14 1 tan 3 （解析） cos 2 cos 2sin 2， tan ，故 5 3 1答案为： ；．5 320．(2023 北京 14)假设函数 f (x ) sin(x ) cos x 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．（答案）2（解析）∵ f (x ) sin(x ) cos x sin x cos cos x sin cos x sin x cos cos x (sin 1)cos (sin 1) sin(x )，(sin 1) 4，cos sin 2 2则cos 2 2 22 2sin 1 1 2sin 1 4，∴sin 1，∴． 221．(2023•新课标Ⅱ，理 15)已知sin cos 1，cos sin 0 ，则sin( ) ．1 （答案）2（解析）sin cos 1，两边平方可得：sin 22sin cos cos 2 1，①，cos sin 0 ， 两 边 平 方 可 得 ： cos22cos sin sin 2 0 ， ② ， 由 ① ② 得 ：1 2 2(sin cos cos sin ) 1 ，即2 2sin( ) 1， 2sin( ) 1， sin( ) ． 25 122．(2023•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan( ) ，则 tan ．4 53 2 （答案） 5 1 515（解析）tan() ，tan( )， 则4 4 15 tan( ) tan1 1 5 6 3 ．4 4 tan tan( ) 15 1 4 2 4 4 1 tan( ) t an 1 14 45 ππcos ( ) 23．(2023 新课标卷，文 14)已知a (0，) ，tan α=2，则=__________．243 10 10（答案）1（解析）由tan 2得sin 2cos ，又sin2cos 2 1，所以cos 2 ，因为 (0, )，所5 2 5 2 55以cos,sin ，因为． cos( ) cos cos sin sin，所以5 4 4 45 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10f (x ) sin2x 的最小正周期是 ________． 2 24．(2023 北京 9)函数（答案）21 cos 4x 1 12π πf x 〕 sin 〔22x 〕cos 4x ，所以 f x 的最小正周期T 2 2 （解析）因为 ． 2 4 2tan 23π4 π 4 sin 2 ，则25．(2023 江苏 13)已知 的值是_________． tan2（答案）10tan 2 tan 2 3 （解析）由，得 ，3 tan( ) tan tan 1 tan tan4 44tan (1 tan ) 2 1所以，解得 tan 2或 tan ．1 tan 3 32tan 4 1 tan 2 3 5当tan 2时，sin2 5 ，cos2 ， 1 tan 2 1 tan 2 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 101 tan2 4 1时，sin2 2tan，cos2 3 当tan ， 3 1 tan 2 51 tan 5 23 24 22 所以sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 102 综上，sin(2 )的值是． 4 1026．(2023 北京)在平面直角坐标系 中，角与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 轴对称．假设yxOy1 3 sin cos( ) =___________．，则 7 （答案）9y 2k， 所 以（ 解 析 ） ∵ 角与 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ， 所 以 ；1sin sin(2k ) sin ，cos cos31 2 379cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 1 2 ( ) 1 ．127．(2023 江苏)假设tan( ) ，则tan =． 4 67 5（答案）tan( ) tan7 4 4 （解析） tan tan( )． 4451 tan( ) tan4 428．(2023 四川)sin15sin75．6（答案）26（解析）sin15 sin 75 sin15 cos15 2 s in(15 45 )． 2129．(2023 江苏)已知 tan 2， tan（答案）3，则 tan 的值为_______． 71 2tan( ) tan 1 tan( ) t an 7 （解析） tan tan( )3． 21 730．(2023 四川)设sin 2 sin ， ( , )，则 tan 2 的值是_____． 2（答案） 31（解析） sin 2 2sin cos sin ，则cos，又 ( , ) ，2 22 t an 2 31 3 则tan 3，tan 23．1 tan 24 6 531．(2023 江苏)设 为锐角，假设cossin 2 ，则 ．的值为1217 2 50（答案）4 324 7（解析） 因为 为锐角，cos( )= ，∴sin( )= ，∴sin2( ) cos2( )， 6 5 6 5 625,6 25 2 17 17 2 所以 sin(2) sin2( ) ] ．12 6 4 2 25 5045 32．(2023 江苏)已知 , 为锐角， tan，cos( ) ． 3 5(1)求cos 2 的值； (2)求 tan( )的值． 4sin cos 4（解析）(1)因为 tan ，tan，所以 ， sin cos ． 33 9因为sin 2 cos 2 1 ，所以cos 2257因此，cos 2 2c os 1 2． 25(2)因为 , 为锐角，所以 (0, π) ． 5 2 55又因为cos( ) ，所以sin( ) 1 cos 2 ( )， 5 因此 tan( ) 2 ．4 2 t an 247 因为 tan ，所以 tan 2 ，3 1 tan 2 tan 2 tan( ) 1+ t an 2 tan( ) 2因此，tan( ) tan2 ( )．11f x a 2cos 2 x cos 2x 为奇函数 ，且 f 0 33．(2023江西)已知函数 (1)求a ， 的值；，其中a R ， 0， ． 44 2 23(2)假设 f ，， ，求sin 的值． 5 （解析）(1)因为 f x a 2 c os2x cos 2x 是奇函数，而 y a 2c os x 为偶函数，所以 21y 2 cos(2x )为奇函数，又 0， ,得． 2f 0，得 (a 1) 0 ，即a 1. f x = sin 2x a 2 c os x由 2 所以 〔 44 1 25 1 4(2)由(1)得： f x f sinsin , ，得 sin 4x , 因为 2 2 5 235 又 ， ，所以cos ,3 4 3 3 sin sin cos sin cos 因此. 3 3 1012f (x ) 2 cos x,x R 34．(2023 广东)已知函数 ． 3 f (1) 求 的值； 33 2cos , ,2 f ，求 (2) 假设． 65（解析）(1) f () 2 cos 1. 3 12 43 3 94 (2)由于cos ,<θ<2π，所以sin 1 cos 21 ， 5 225 5 66 12因此 f 2 cos43 24 2 21 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 .4 45 2 5 2 5。
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目(附解析)
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目（附解析） 一、三角函数的定义若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)．1.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cosθ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43.[答案] －45 －43 注：利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13 B ．±13 C ．－3D ．±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)． 则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.4．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限． 解析：∵θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限． 答案：三二、同角三角函数的基本关系及诱导公式①牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．②诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．5.已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.注：三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．6．若sin(π＋α)＝35，且α是第三象限角，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝()A．1B．7 C．－7 D．－1解析：选B由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35.又α是第三象限角，所以cos α＝－4 5，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝7.7．已知sin θ＋cos θ＝43，且0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13解析：选B ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，则2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，所以sin θ－cos θ＜0，故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.8．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m,2sin αcos α＝m 2，则m 的值为________．解析：由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得4m 2＝1＋m 2，即m 2＝13.又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，则m <0，所以m ＝－33.答案：－339．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12. 又0＜α＜π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12.又0＜β＜π，故cos β＝±32.三、简单的三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.10.已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.注：条件求值的解题策略(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．11．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3等于( )A ．－45 B ．－35 C.35D.45解析：选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－435，所以32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，所以－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，即－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π3＝－435，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，故选D.13．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29D.79解析：选A 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79.14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，函数f (x )＝a ·b .(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，∴f (x )＝a ·b ＝sin x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝sin x －3cos x .∵f (θ)＝0，即sin θ－3cos θ＝0，∴tan θ＝3，∴2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θtan θ＋1＝1－33＋1＝－2＋ 3.(2)由(1)知f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )min ＝－3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )max ＝2，∴当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域为[－3，2]．。
高三理科数学培优专题——三角函数(含答案)
三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。
（2）角的配凑。
α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。
（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。
asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。
2.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、例题集锦： 考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值； （2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．考点二：三角函数的图象和性质2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为 （ ）A.①②③B. ②③④C. ②④D. ①③3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A.15[,]24B.13[,]24C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()0,24.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 A ．12- B ．12C．6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换7.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值； （Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.8.已知向量(cos ,sin ),a x x =r 向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=⋅r r r（1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程； （2）若x 是第一象限角且'3()2()f x f x =-，求tan()4x π+的值.考点六：解三角形9．ABC ∆中，角,,A B C成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥C ．()()sin sin f A f B ≥D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .12.（2014年河南焦作联考）在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2abc 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足()222.AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r（1）求角A 的大小； （2）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.14．（2009全国II ， 17，10分） 设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB +=-，2b ac =.求B ∠的大小.14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是 单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα……………2分6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………4分（Ⅱ）()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………6分ααsin 21cos 23+=………………7分 sin 3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭………………8分[0,)απ∈Q 4[,)333πππα∴+∈………9分 sin 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭ (12)分()αf ∴的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ (13)分2．（2011年西城期末理15）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin α=，1cos 2α=， ………………2分 所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=-………………4分21(2(32=⨯-⨯=-. ………………5分 （Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π． ……2分 所以2ω=．当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分 所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266xx x ππ=+- 12cos 22x x =- sin(2)6x π=-． ……10分 因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤． 当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分2T =相邻平衡点（最值点）横坐标的差等；2||T =πω ；()max min 12y y A =- ;φ----代点法 4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分 由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分 所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分 （2）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ，换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ω意义 ……4分因为 22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤， 无范围讨论扣分所以 当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. 和差角公式逆用 ………………3分 （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分 令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤.所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=， …………………9分 两边平方，得021sin 29x += 同角关系式 所以 07sin 29x =-…………11分 因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-. 所以20742cos 21()99x =--=. ……………………………………13分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分 又因为000ππ2()2)2)2244x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=. ……………………………………10分 所以20π122cos()1()43x +=-=……………………………………11分 所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=. 诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知πsin()410A+=，ππ(,)42A∈．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sin sin2f x x A x=+的值域．解：（Ⅰ）因为ππ42A<<，且πsin()410A+=，πcos()410A+=-．ππππcos()cossin()sin4444A A+++31021025=-⋅+=．所以3cos5A=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin5A=．212sin2sinx x=-+2132(sin)22x=--+，x∈R．因为sin[1,1]x∈-，所以，当1sin2x=时，()f x取最大值32；当sin1x=-时，()f x取最小值3-．所以函数()f x的值域为3[3,]2-．8．（2011年朝阳期末理15）已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)A A=m，12(, 1)5=-n，求当⋅m n取最小值时，)4tan(π-A值.解：和差角公式逆用所以2sin cos sin()sin()sinA B B C A A=+=π-=. ……… 3分因为0A p<<，所以sin0A¹.所以1cos2B=. ……… 5分3Bπ=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos25A A⋅=-+m n，………………… 8分所以2212343cos2cos12(cos)5525A A A⋅=-+-=--m n. …10分所以当3cos5A=时，⋅m n取得最小值.同角关系或三角函数定义……12分所以tan11tan()4tan17AAAπ--==+. …………… 13分9．（2011年石景山期末理15）已知函数23cossinsin3)(2-+=xxxxf()Rx∈．（Ⅰ）求)4(πf的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC∆中，若BA<，21)()(==BfAf，求ABBC的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2-+=ππππf21=． 4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf-=+232sin21-xxx2cos232sin21-=)32sin(π-=x．…6分2π<<xΘ，32323πππ<-<-∴x．∴当232xππ-=时，即125π=x时，)(xf的最大值为1．…8分（Ⅲ）Θ)32sin()(π-=xxf，若x是三角形的内角，则π<<x令21)(=xf，得解得4π=x或127π=x．……10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA<且21)()(==BfAf，∴4π=A，127π=B，∴6π=--π=BAC．…11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……13分 10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．边化角 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b cbc bc +-=≥- 均值定理在三角中的应用 所以20bc ≤，当且仅当b c=时取“=” ． 取等条件别忘 所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤． 所以三角形面积的最大值为 ……………………13分11、(2011丰台一模理15). 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b2+c 2-a 2=bc 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3A π=．……………………5分 （Ⅱ）2cos2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分 又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =--o , …………………4分角关系 ………5分 （II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分因为11tan tan 023BC =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分所以sin B =sin C =. …………9分 由sin sin a cA C=得a = …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 13、（2011石景山一模理15）．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ． 又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ．∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。