双曲线方程知识点及讲义

双曲线一、知识点讲解（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a b x a y 图 形顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B -对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2焦 点 )0,(),0,(21c F c F -),0(),,0(21c F c F -焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c+=离心率 )1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 渐近线 x ab y ±= x ba y ±= 通 径22b a（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。

②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x ； （4）等轴双曲线为222t y x=-，其离心率为2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=xO F 1P B 2 B 1 F 2xO F 1 F 2PyA 2 A 1y（2）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、例题讲解。

例1、如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）25 （D ）31+【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△AB F 2是等边三角形，∴3,.22c OM MA c ==点3,22c A c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程： ()()2222222222222233444c b a c a b c c a a c a c a ⋅-⋅=⇒--=-.化简得：422442284084042331c a c a e e e e -+=⇒-+=⇒=+⇒=+.（∵e ＞1，∴2423e=-及31e =-舍去）故选D.【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：211221221222r r ar c r a c r c r r -=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎩⎪⎩. ∵()222222222124,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=⇒+-=⇒--=.∵e ﹥1，∴取31e =+.选D.例2、设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．63B ．12 C.123 D ．24【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,23,13ab c ===.设；12123,2.22, 2.PF r PF r PF PF a r ==-==∴= 于是2221212126, 4.52PF PF PF PF F F ==+==，故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F 2=90°.∴121211641222PF FS PF PF ∆=⋅=⨯⨯=.选B. 例3、已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =321的双曲线过点P (6，6) (1)求双曲线方程(2)动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论解 (1)如图，设双曲线方程为2222b y a x -=1 由已知得321,16622222222=+==-a b a e b a ,解得a 2=9,b 2=12 所以所求双曲线方程为12922y x -=1 (2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2） 假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有22121112221212224129108124,493129108x x x y y y y y x x x y ⎧+=-=⎧-⎪⇒==⎨⎨+=--=⎪⎩⎩，∴k l =34∴l 的方程为 y =34 (x －2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在一、 同步练习。

1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +3. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A 221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++= D ．221090x y x +++=XYOF 1F 2P 2rA 1A 2MNGPoyx4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ）Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)6. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57. 已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（ ）A. -12B. -2C. 0D. 4 二、填空题8. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为_______9. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．10. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为______11. 已知点P 在双曲线221169x y -=上，并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰是P 到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P 点的横坐标是_________12. 已知12,F F 是双曲线221169x y -=的两个焦点，PQ 是过点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为α，那么22||||||PF QF PQ +-的值是__________13. 已知(6,0),(6,0)B C -是ABC 的两个顶点，内角,,A B C 满足1sin sin sin 2B C A -=，则顶点A 的轨迹方程是________________ 二、 解答题14. 如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．22，求直线l 斜率的取值范围.15. 已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，离心率52e =，顶点到渐近线的距离为255。

（1）求双曲线C 的方程；（2）如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,[,2]3AP PB λλ=∈，求AOB ∆面积的取值范围选择题：1. A 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. C填空题： 8. 3215 9. (1,12)+ 10. 2 11. 645- 12. 16 13.221(3)927x y x -=<- 17. 解：（Ⅰ）以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2. ∴曲线C 的方程为12222=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4. ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a by a x (12222=-＞0，b ＞0）.则由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-411322222b a ba ）（解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠0)1(64)4(01222k k k －⇔ 133k k ≠±⎧⎪⎨-<<⎪⎩ ∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x k k --=-16,14212,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-＝.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+，∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有　解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2). 解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ 22210(4)46(1)0k k k ⎧≠⎪⎨∆=-+⨯->⎪⎩－⇔ 133k k ≠±⎧⎪⎨-<<⎪⎩.∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 ｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示），S △OEF ＝;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=∆∆ODF OEF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝,2121x x OD -⋅于是由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222kk --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆OEF S.22,022*******2≤≤-≤-⇔≥--k k k kk 解得 ④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.18. （Ⅰ）由题意知，双曲线C 的顶点（0，a ）到渐近线2505ax by -=的距离为， 所以22255ab a b =+所以255ab c = 由22225525125ab c a cb ac c a b ⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎪⎩得 所以曲线C 的方程是2y 421x -= （Ⅱ）设直线AB 的方程为,y kx m =+ 由题意知2,0k m <>由2,),222y kx m m m A y x k k =+⎧⎨=--⎩得点的坐标为（由2,),222y kx m m mB y xk k =+⎧-⎨=-++⎩得点的坐标为（121,(),()122122m m AP PB P k k k k λλλλλ=-++-++-+得点的坐标为（uu u r uu r将P 点的坐标代入21x -=2y 4得2224(1)4m k λλ+=- 设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为（0，m ）AOB S ∆=AOQ BOQ S S ∆∆+22111()222114()2222411()12A B A B OQ x OQ x m x x m m m m k k k λλ=+=-=+=-+-=++g g g。