大学数学竞赛试题参考答案
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第七届 北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题 一、(10分)已知函数()f x 在0x =的某个临域内有连续导数,且20sin ()lim()2x x f x x x
→+=,试求(0)f 及(0)f '
二、(10分)已知函数(,)z z x y =满足222z z x y z x y
∂∂+=∂∂, 设1111u x v y x z x ϕ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩
对函数(,)u v ϕϕ=,求证0u ϕ∂=∂
三、(10分)计算D dxdy xy ⎰⎰,其中222224:24x x y D y x y ⎧≤≤⎪+⎪⎨⎪≤≤⎪+⎩
四、(10分)计算曲面积分3
2222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z +++=++⎰⎰,其中S +是
22
(2)(1)1(0)72516
z x y z ---=+≥的上侧。
五、(10分)设函数对于任意x 的及a 满足1()()(0)2x a x a
f t dt f x a a +-=≠⎰,证明()f x 是线性函数。
六、(10分)求微分方程2(ln )0x x y xy y '''-+=的通解。
七、(10分)设函数()f x 在实轴R 上可微,且满足(0)0,|()||f f x p f x '=≤,其中01p <<,证明:()0()f x x R ≡∈
八、(10分)判断级数1sin (3n n π∞
=∑的收敛性。
九、(10分)设()f x 在区间[,]a b 上是非负的连续函数,且严格单调增加,由积分中值定理知,对于任意的正整数n ,存在唯一的
(,)n x a b ∈,使1[()][()]b n n n a f x f x dx b a
=⎰-,试求极限lim n n x →∞,并证明你的结论。
十、(10分)已知12111,1,(2,3,)n n n a a a a a n +-===+= ,试求级数1n n n a x ∞=∑的收敛半径与和函数